西南交大 数值分析题库

考试目标及考试大纲本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。

通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。

本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。

考试内容包括以下部分：绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。

非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Ne w to n法与弦截法、牛顿局部收敛性、Ne w to n收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。

解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle 和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。

解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。

插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。

曲线拟合和函数逼近：最小二乘法原理和多项式拟合、函数线性无关概念、法方程有唯一解的条件、一般最小二乘法问题、最小二乘拟合函数定理、可化为线性拟合问题的常见函数类；正交多项式曲线拟合、离散正交多项式的三项递推法。

最佳一致逼近问题、最佳一致逼近多项式、切比雪夫多项式、切比雪夫最小偏差定理、切比雪夫多项式的应用(插值余项近似极小化、多项式降幂)。

本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。

数值积分与微分：求积公式代数精度、代数精度的简单判法、插值型求积公式、插值型求积公式的代数精度；牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式、辛卜生（Simpson）公式、几种低价牛顿一柯特斯求积公式的余项；牛顿一柯特斯公式的和收敛性、复化梯形公式及其截断误差、复化Simpson公式及其截断误差、龙贝格（Romberg）求积法、外推加速法、高斯型求积公式、插值型求积公式的最高代数精度、高斯点的充分必要条件。

正交多项式的构造方法、高斯公式权系数的建立、Gauss-Legendre公式的节点和系数。

本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。

常微分方程数值解：常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法、龙格—库塔法、阿当姆斯方法。

本套题库均采用闭卷考试，卷面总分为100分。

试题形式分为判别正误、多项选择、填空、解答和证明等多种题型。

其中判断题、多项选择题和填空题覆盖整个内容范围，题量多而广，重点集中在基本概念、公式和方法的构建与处理思想等方面，此类题型主要用于考查学生对整体内容的理解与掌握情况；解答题重点放在主要的计算技术和方法的具体实现过程，主要考查学生对主要计算技术、技巧和方法理解与掌握情况；证明题主要集中在主要的计算技术和方法的分析过程，主要考查学生的理论分析能力和知识的综合运用能力。

本课程的考试方法与要求：期末闭卷考试，按时完成上机习题。

学习合格条件：考试卷面成绩 60且上机习题符合要求，二者缺一不可。

综合成绩：原则上=卷面成绩，但可参考上机习题完成情况作微调。

填空题1 绪论(1). 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4____位有效数字。

20＝0.4…⨯10, a 1=4, εr ≤121a ⨯10-(n-1)< 0.1% ，故可取n ≥4, 即4位有效数字。

(2). 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4___位有效数字,此时的绝对误差限为31102(3). 设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝对误差限的估计式为: ε ≤| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2| (4). 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：__C_____.(A)6121)(-, (B) (3-22)2, (C)32231)(+, (D) 99-702(5). 要使17的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取_________位有效数字？17＝0.4…⨯10, a 1=4, εr ≤121a ⨯10-(n-1)< 0.1% 故可取n ≥3.097, 即4位有效数字。

(6). 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =y x -, 请给出一个精度较高的算式u =.u=yx y x +-(7).设x =3.214, y =3.213，欲计算u =y x -, 请给出一个精度较高的算式u = .u=yx y x +-(8).设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝对误差限的估计式为: ε ≤| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2|；2 方程根(9). 设迭代函数ϕ(x )在x *邻近有r （≥1）阶连续导数，且x * = ϕ(x *)，并且有ϕ(k )(x *)=0(k =1,…,r -1)，但ϕ(r ) (x *)≠0，则x n +1=ϕ(x n )产生的序列{ x n }的收敛阶数为___r___(10). 称序列{x n }是p 阶收敛的如果c x x x x pn n n =--+∞→**lim1(11). 用牛顿法求 f (x)=0 的n 重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0的单根，u(x)=()()f x f x '(12). 用Newton 法求方程f (x )=x 3+10x -20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= ________ 解x 1=1.5970149 (13). 用牛顿法解方程0123=--x x 的迭代格式为_______________ 解 kk k k k k x x x x x x 2312231----=+ (14). 迭代过程)(1k k x x ϕ=+收敛的充分条件是)(x ϕ' ≤ 1.___(15). 用Newton 法求方程f(x)=x 3+10x-20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= 1.5970149 (16). 用牛顿法解方程0123=--x x 的迭代格式为(17). 用Newton 法求方程f (x )=x 3+10x -20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= ________ 解x 1=1.5970149(18). 迭代公式x k +1=x k (x k 2+3a )/(3x k 2+a )是求a 1/2的 (12) 阶方法3方程组(19). 矩阵的 LU 分解中L 是一个 _为单位下三角阵，而U 是一个上三角阵____。

(20). 设线性方程组的系数矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6847153131483412,全主元消元法的第一次可选的主元素为 -8，或8___，第二次可选的主元素为 8+7/8或-8-7/8 ____. 列主元消元法的第一次主元素为 _－8_________；第二次主元素为(用小数表示) 7.5_____;(21). 在方阵A 的LU 分解中, 方阵A 的所有顺序主子不为零,是方阵A 能进行LU 分解的充 分 (充分,必要)条件；严格行对角占优阵 能__(能,不能)进行LU 分解；非奇异矩阵___不一定___(一定，不一定)能进行LU 分解。

(22). 设A 是正定矩阵，则A 的cholesky 的分解 唯一 (唯一,不唯一).(23). 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2021012a a A ，为使A 可分解为A=LL T ，其中L 是对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围是 ，取a=1，则L= 。

(24). 解 )3,3(-∈a ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32320023210024迭代(1). ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3211A ，则=1||||A ，=2||||A ，=∞||||A ； 答：4，3.6180340，5；(2). 已知方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121132.021b b x x ，则解此方程组的Jacobi 迭代法___是___收敛（填“是”或“不”）。

(3). 给定方程组 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111 211111112321x x x 记此方程组的Jacobi 迭代矩阵为B J =(a ij )3⨯3，则a 23= -1； , 且 相应的Jacobi 迭代序列是__发散_____的。

(4). 设3()1f x x ，则()f x 关于[0,1]C的f 1, 2f(5). ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1301A ，则)1,)1(|(|1)(,4||||2,121=-=-==λλλρA I A A (6). R n 上的两个范数||x||p , ||x||q 等价指的是_∃C,D ∈R,_C_||x||q _≤||x||p ≤D ||x||q _； R n 上的两个范数_一定____是等价的。

（选填“一定”或“不一定”）。

(7). Tx )12,4,0,3(-=，则=1||||x 19 ,=2||||x 13____，=∞||||x ____12 ； (8). 已知方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121132.021b b x x ，则解此方程组的Jacobi 迭代法___收敛（填“收敛”或“发散”），12∞解(10). 已知方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121132.021b b x x ，则解此方程组的Jacobi 迭代法_____________收敛（填“是”或“不”），解 （3）因⎥⎦⎤⎢⎣⎡=132.021A 的Jacobi 迭代矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=032.020B ，8.0)(=B ρ，故Jacobi 迭代是收敛的，(11). 已知方程组⎩⎨⎧=-=+26203825y x y x ，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞德尔法的迭代格式是________________；解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+++10132035852,0203520)1()1()()1(k k k k x y y x (12). 已知方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121132.021b b x x ，则解此方程组的Jacobi 迭代法_____________收敛（填“是”或“不”），解 因⎥⎦⎤⎢⎣⎡=132.021A 的Jacobi 迭代矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=032.020B ，8.0)(=B ρ，故Jacobi 迭代是收敛的，(13). 已知方程组⎩⎨⎧=-=+26203825y x y x ，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞德尔法的迭代格式是________________；解(14). ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=21010a A ，要使0lim =∞→k k A ，a 应满足___________； 解 1<a12∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1301A ，则=1||||A ，=)(A ρ 。