第2章-流体运动的基本概念
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其中，v x v x ( a ,b ,c ,t)v y , v y ( a ,b ,c ,t)vz,vz(a,b,c,t)。
流体加速度
a v t v txi v tyj v tzk a x i a yj a z k
其中a x a x ( a , b , c , t ) \ a y a y ( a , b , c , t ) \ a z a z ( a , b , 。c , t )
第二章
流体流动的基本概念
概述 1、流体运动的特点 2.流动的分类
描述流动的两种方法 1、拉格朗日法 2、欧拉法 3、质点导数 4、两种方法的关系
迹线和流线 1、迹线 2、流线 3、流管
流体的运动与变形 流体的流动与阻力
2 流体流动的基本概念
2.1 概 述
2.1.1 流体运动的特点 在关于固体的运动学中，研究对象或是刚体，或 是数量有限的质点。质点运动可以用曲线运动理论来描 述；而刚体的运动则可以分解为平动和转动。刚体的运 动参数，如轨迹、速度、加速度、角速度和角加速度等， 都可以只用时间函数来表达，而且不必分别考虑刚体上 各几何点的运动情况。但流体运动问题就没有这样简单。 原因在于①流体由无穷多质点构成，很难采用质点曲线 运动理论来研究；②在运动中流体要变形，考虑流体团 块运动时，除了平动和转动外，还必须考虑流体变形的 因素。因此，流体运动学有鲜明的特点。
于速度有
vx vx(x, y, z)
vy vy(x, y, z)
(2-3)
vz vz(x, y, z)
则这样的流动称为稳态流动或定常流动；反之如果流体运 动参数与时间有关，即流体速度按式(2-1)表达,则称为非 稳态流通或非定常流动。
必须说明的是，流体流动的稳态或非稳态与所选定的 参考系有关。
(x,y,z,t)
若流场中任何一个物理量φ都不随时间变化，这个流 场就称之为稳态流场，相应的流动称为稳态流动或定常流
动。或者说，对于稳态流动有 0
t
2.2.3 质点导数
流体质点的物理量对于时间的变化率称之为该物理
量的质点导数。
在拉格郎日法中，由于直接给出了流体质点的物理量
的表达式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。如 速度的质点导数（即加速度）为
v v v v v v a lim v v v x v y v z
t 0 t t x y z t
(2-24)
由式(2-17)可见，在欧拉法中，流体速度的质点导数或加速度包
括两部分，一部分是随空间的变化率 (vv) ， 另一部分是随时间的变化率 v/t 。(vv)项显示流场在空间中的
的速度 vz,x,y方向的速度为零，但由于vz的分布与 x, y
有关，即 vzvz(x,y) ,所以流动是二维流动；而对于
图2-2（b）所示的圆形 截面管道，在离进口处 同样只有沿z方向的速
度vz ，但由于圆管的轴
对称性，vz 的分布只与r
有关即 vzvz(r)，
所以流动是一维流动。
2.2 描述流体运动的两种方法
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
(2-5)
z z(a,b,c,t)
其中，（ a, b, c ）为某一确定时刻 t 0 该质点在
所处的位置（ x0,y0,z0），是该质点不同于其他质点
的标志，称为拉格郎日变量。显然，不同的质点有不同的
一组 (a,b, c)值。
若用矢量来表示式(2-5)，则流体质点任意时刻的空 间位置的矢径为
因此，两种方法之间的关系就是拉格郎日变数和欧拉变数 之间的数学变换。
（1）从拉格郎日表达式变换为欧拉表达式 若已知用拉格郎日变数（a,b,c,t）表示的物理量
(a,b,c,t)，如果需要变换为以欧拉变数（x,y,z,t）表
示的物理量，则通过流体迹线方程(2-3)解出（a,b,c）
a a ( x , y , z , t ) b b ( , x , y , z , t ) c c ( , x , y , z , t )
在流体力学中研究流体运动通常有两种方法：① 通过 研究流场中单个质点的运动规律，进而研究流体的整体运 动规律，这种方法称为拉格郎日法；② 通过研究流体流 过一个空间的运动规律，进而研究流场内的流体运动规律， 这种方法被称为欧拉法。形象地说，前者是沿流体质点运 动的轨迹进行跟踪研究；而后者则是固定在某个空间位置 观察由此流过的每一个流体质点。
d v x x (x ,y ,z ,t)d , v y y (x ,y ,z ,t)d , v z z (x ,y ,z ,t)
Байду номын сангаас
dt
dt
dt
对微分方程组（2-26）进行求解，其结果为
x x ( c 1 , c 2 , c 3 , t ) y y , ( c 1 , c 2 , c 3 , t ) z z , ( c 1 , c 2 , c 3 , t )
——周向坐标，
——经
D 1 1
D(tvr r vr vs in t)
2.2.4 两种方法的关系 拉格郎日法和欧拉法是描述流体运动的两种不同方法，
对同一流场，两种方法都可以使用。因此两种方法在数学 上是可以互换的。
在拉格郎日法中，流体的运动和物理参数被表示成 拉格郎日变数（a,b,c,t）的函数；在欧拉法中，流体的运 动和物理参数则被表示成欧拉变数（x,y,z,t) 的函数。
其中，c1,c2,c3是积分常数，由 t t0时的 (a,b,c)决
定。于是得到
x x ( a , b , c , t ) y y ( , a , b , c , t ) z z ( , a , b , c , t )
并代入欧拉法表达式 (x,y,z,t)后就得到该物理量 的拉格郎日法表达式 (a,b,c,t)。
显然，经过时间间隔 t后，流体质点的速度增量为
v v p ' v p v ( x v x t , y v y t , z v z t , t t ) v ( x , y , z , t )
对上式右边第一项作泰勒展开并略去二阶以上的高阶小量得
v v ( x ,y ,z ,t) v x v t v y v t v z v t v t v ( x ,y ,z ,t) x y z t
点的速度为 vpv(x,y,z,。t)经过时
间间隔 后t ，该流体质点运动到
点，p '质( x 点 移v x 动t , 的y 距 v 离y 为t ,z v z 。t ) 在p’ 点处流体质点的速度为 vt
v p ' v ( x v x t , y v y t , z v z t )
不均匀性，有时又被称为传输加速度或对流加速度。v/t 项表示流
场的非稳态部分，有时又被称为局部加速度。
这使得区分流场的稳态或非稳态非常直观。 通常用符号Dv/D来t 表示欧拉法中的质点导数。因此
式(2-17)可以写成
aD vv v v vx v vy v vz v v (2-28) Dt t x y z t
同样，流体密度、压力和温度可表示为
(a,b, c,t)
p p(a,b, c,t) T T (a,b, c,t)
2.2.2 欧拉法 欧拉法的基本思想是在确定的空间点上来考察流体的 流动，将流体的运动和物理参数直接表示为空间坐标和时 间的函数，而不是沿运动轨迹去追踪流体质点。例如，在 直角坐标系中的任意点（x,y,z）来考察流体流动，该点 处流体的速度、密度和压力表示为
流体团的运动不能简单分解为平动和转动来进行研究， 而必须分析其每个几何点上流体的运动变化。因此，在数
学上，流体的运动参数就被表示为空间和时间的函数。如
在空间中，流体运动速度矢量 的三个分量可表示如下
vx vx(x, y, z,t)
vy vy(x, y, z,t)
(2-1)
vz vz(x, y, z,t)
vx v tvy v tvz v t v t x y z t
(vxvvyvvzvv)t x y z t
注意矢量运算公式
vvvxvvyvvzv，其中，
x y z
矢量算子 i jk 。于是质点的速度增量可以
x y z
表示为 v(vvv)t
(2-23)
t
于是，从式(2-16)得到速度的质点导数——加速度
2.2.1 拉格郎日法 拉格郎日法的基本思想是将流体质点表示为空间坐标 和时间的函数。流体是连续分布的，不能从一团被研究的 流体中分出一个一个的流体质点来，但是可以用一个空间 坐标来表示一个流体质点的所在位置。若任意时刻某个流
体质点位于直角坐标系（ x, y, z）处，则这个流体
质点的运动轨迹可以用下面的函数来描述
2.3 迹线和流线
2.3.1 迹线 流体质点的运动轨迹称为迹线。 前面已经提到，拉格郎日法表示的式（2-3）就是迹 线的参数方程，即
v v ( x , y , z , t ) v x ( x , y , z , t ) i v y ( x , y , z , t ) j v z ( a , b , c , t ) k (x, y,z,t)
p p(x, y,z,t)
因此，按欧拉法，流动问题有关的任意物理量φ(可以 是矢量，也可以是标量)均可表示为
由于流体团所占的空间每一点都是研究对象，因此就
将其看成一个“场”，充满流体的空间被称为“流场”， 相应地有“速度场”、“加速度场”、“应力场”、“密 度场”等。
在流体力学研究中当然就要使用很多数学中场论的知识。 2.1.2 流动的分类 (1) 流动按其时间变化特性可分为稳态流动和非稳
态流动 如果流场内各点的流体运动参数均与时间无关,如对
并代入拉格郎日法表达式 (a,b,c,t)后就得到该物理
量的欧拉法表达式 (x ,y,z,t)。
（2）从欧拉法表达式变换为拉格郎日表达式
若已知用欧拉变数（x,y,z,t）表示的物理量 (x,y,z,t)
，如果需要变换为以拉格郎日变数（a,b,c,t）表示的物理 量，则首先需要从欧拉法速度表达式求出欧拉变数
如图2-1所示，对于匀速飞行的飞行器，如果在固定与地 面的坐标系（x-y-z）来考察飞行器周围空气的流动，则 流动是非稳态的；但在固定于飞行器上的坐标系（x’-y’z’）来考察飞行器周围空气的流动，则流动是稳态的。
(２) 流动按其空间变化特性可分为一维流动、 二维流动 和三维流动 式(2-2)反映了一般情况下流体流动取决于三维空间坐标, 但是在具体问题中，流体的运动可能只与一个或两个空间 坐标有关。通常，流体速度只沿一个空间坐标变化的流动 称为一维流动，类似地，沿两个或三个空间坐标变化的流 动称为二维流动或三维流动。值得注意的是，流动的维数 与流体速度的分量数不是一回事。比如，对于图2-2（a） 所示的矩形截面管道，在远离进口处，流体只有沿z方向
称之为质点导数算子（直角坐标）[在化工传递过程教材
中，以D/ Dt 表示的导数通常称为随体导数]。
为使用方便，在此给出柱坐标和球坐标的质点导数算 子表达式。
柱坐标系（ r——径向坐标， ——周向坐标，z——轴
向坐标） D (vr v1 vz)
Dt r r z t
球坐标系（
向坐标）
r——径向坐标，
v(a,b,c,t)a(a,b,c,t) t
(2-17)
但在欧拉法中，由于流体物理量被表示成空间坐标和
时间的函数，质点导数的概念因此稍稍有些复杂。下面以
速度为例来分析欧拉法的质点导数。
如图2-3所示，假定在直角坐标 系中存在速度场v(x,y,z,t)。设在时 刻 t 和空间点P(x,y,z)处，流体质
类似地，可用同样的方法得到其他物理量的质点导数，如 密度和压力的质点导数分别为
Dvxvyvz
Dt x y z t
Dpvxpvypvzpp Dt x y z t
推而广之，欧拉法中任意物理量 的质点导数可以写成
D vxvyvz (2-29)
Dt x y z t
并且将
Dvxvy
vz
Dt x y z t
r x y i z j r k ( a , b , c , t )(2-6)
式(2-5)和式(2-6)就是流体质点的运动轨迹方程，既 迹线方程。
除了空间位置以外，流体的其他运动参数和物理量 也应该表示成拉格郎日变量的函数，例如：流体速度
v r t x ti y tj z tk v x i v y j v z k
流体加速度
a v t v txi v tyj v tzk a x i a yj a z k
其中a x a x ( a , b , c , t ) \ a y a y ( a , b , c , t ) \ a z a z ( a , b , 。c , t )
第二章
流体流动的基本概念
概述 1、流体运动的特点 2.流动的分类
描述流动的两种方法 1、拉格朗日法 2、欧拉法 3、质点导数 4、两种方法的关系
迹线和流线 1、迹线 2、流线 3、流管
流体的运动与变形 流体的流动与阻力
2 流体流动的基本概念
2.1 概 述
2.1.1 流体运动的特点 在关于固体的运动学中，研究对象或是刚体，或 是数量有限的质点。质点运动可以用曲线运动理论来描 述；而刚体的运动则可以分解为平动和转动。刚体的运 动参数，如轨迹、速度、加速度、角速度和角加速度等， 都可以只用时间函数来表达，而且不必分别考虑刚体上 各几何点的运动情况。但流体运动问题就没有这样简单。 原因在于①流体由无穷多质点构成，很难采用质点曲线 运动理论来研究；②在运动中流体要变形，考虑流体团 块运动时，除了平动和转动外，还必须考虑流体变形的 因素。因此，流体运动学有鲜明的特点。
于速度有
vx vx(x, y, z)
vy vy(x, y, z)
(2-3)
vz vz(x, y, z)
则这样的流动称为稳态流动或定常流动；反之如果流体运 动参数与时间有关，即流体速度按式(2-1)表达,则称为非 稳态流通或非定常流动。
必须说明的是，流体流动的稳态或非稳态与所选定的 参考系有关。
(x,y,z,t)
若流场中任何一个物理量φ都不随时间变化，这个流 场就称之为稳态流场，相应的流动称为稳态流动或定常流
动。或者说，对于稳态流动有 0
t
2.2.3 质点导数
流体质点的物理量对于时间的变化率称之为该物理
量的质点导数。
在拉格郎日法中，由于直接给出了流体质点的物理量
的表达式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。如 速度的质点导数（即加速度）为
v v v v v v a lim v v v x v y v z
t 0 t t x y z t
(2-24)
由式(2-17)可见，在欧拉法中，流体速度的质点导数或加速度包
括两部分，一部分是随空间的变化率 (vv) ， 另一部分是随时间的变化率 v/t 。(vv)项显示流场在空间中的
的速度 vz,x,y方向的速度为零，但由于vz的分布与 x, y
有关，即 vzvz(x,y) ,所以流动是二维流动；而对于
图2-2（b）所示的圆形 截面管道，在离进口处 同样只有沿z方向的速
度vz ，但由于圆管的轴
对称性，vz 的分布只与r
有关即 vzvz(r)，
所以流动是一维流动。
2.2 描述流体运动的两种方法
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
(2-5)
z z(a,b,c,t)
其中，（ a, b, c ）为某一确定时刻 t 0 该质点在
所处的位置（ x0,y0,z0），是该质点不同于其他质点
的标志，称为拉格郎日变量。显然，不同的质点有不同的
一组 (a,b, c)值。
若用矢量来表示式(2-5)，则流体质点任意时刻的空 间位置的矢径为
因此，两种方法之间的关系就是拉格郎日变数和欧拉变数 之间的数学变换。
（1）从拉格郎日表达式变换为欧拉表达式 若已知用拉格郎日变数（a,b,c,t）表示的物理量
(a,b,c,t)，如果需要变换为以欧拉变数（x,y,z,t）表
示的物理量，则通过流体迹线方程(2-3)解出（a,b,c）
a a ( x , y , z , t ) b b ( , x , y , z , t ) c c ( , x , y , z , t )
在流体力学中研究流体运动通常有两种方法：① 通过 研究流场中单个质点的运动规律，进而研究流体的整体运 动规律，这种方法称为拉格郎日法；② 通过研究流体流 过一个空间的运动规律，进而研究流场内的流体运动规律， 这种方法被称为欧拉法。形象地说，前者是沿流体质点运 动的轨迹进行跟踪研究；而后者则是固定在某个空间位置 观察由此流过的每一个流体质点。
d v x x (x ,y ,z ,t)d , v y y (x ,y ,z ,t)d , v z z (x ,y ,z ,t)
Байду номын сангаас
dt
dt
dt
对微分方程组（2-26）进行求解，其结果为
x x ( c 1 , c 2 , c 3 , t ) y y , ( c 1 , c 2 , c 3 , t ) z z , ( c 1 , c 2 , c 3 , t )
——周向坐标，
——经
D 1 1
D(tvr r vr vs in t)
2.2.4 两种方法的关系 拉格郎日法和欧拉法是描述流体运动的两种不同方法，
对同一流场，两种方法都可以使用。因此两种方法在数学 上是可以互换的。
在拉格郎日法中，流体的运动和物理参数被表示成 拉格郎日变数（a,b,c,t）的函数；在欧拉法中，流体的运 动和物理参数则被表示成欧拉变数（x,y,z,t) 的函数。
其中，c1,c2,c3是积分常数，由 t t0时的 (a,b,c)决
定。于是得到
x x ( a , b , c , t ) y y ( , a , b , c , t ) z z ( , a , b , c , t )
并代入欧拉法表达式 (x,y,z,t)后就得到该物理量 的拉格郎日法表达式 (a,b,c,t)。
显然，经过时间间隔 t后，流体质点的速度增量为
v v p ' v p v ( x v x t , y v y t , z v z t , t t ) v ( x , y , z , t )
对上式右边第一项作泰勒展开并略去二阶以上的高阶小量得
v v ( x ,y ,z ,t) v x v t v y v t v z v t v t v ( x ,y ,z ,t) x y z t
点的速度为 vpv(x,y,z,。t)经过时
间间隔 后t ，该流体质点运动到
点，p '质( x 点 移v x 动t , 的y 距 v 离y 为t ,z v z 。t ) 在p’ 点处流体质点的速度为 vt
v p ' v ( x v x t , y v y t , z v z t )
不均匀性，有时又被称为传输加速度或对流加速度。v/t 项表示流
场的非稳态部分，有时又被称为局部加速度。
这使得区分流场的稳态或非稳态非常直观。 通常用符号Dv/D来t 表示欧拉法中的质点导数。因此
式(2-17)可以写成
aD vv v v vx v vy v vz v v (2-28) Dt t x y z t
同样，流体密度、压力和温度可表示为
(a,b, c,t)
p p(a,b, c,t) T T (a,b, c,t)
2.2.2 欧拉法 欧拉法的基本思想是在确定的空间点上来考察流体的 流动，将流体的运动和物理参数直接表示为空间坐标和时 间的函数，而不是沿运动轨迹去追踪流体质点。例如，在 直角坐标系中的任意点（x,y,z）来考察流体流动，该点 处流体的速度、密度和压力表示为
流体团的运动不能简单分解为平动和转动来进行研究， 而必须分析其每个几何点上流体的运动变化。因此，在数
学上，流体的运动参数就被表示为空间和时间的函数。如
在空间中，流体运动速度矢量 的三个分量可表示如下
vx vx(x, y, z,t)
vy vy(x, y, z,t)
(2-1)
vz vz(x, y, z,t)
vx v tvy v tvz v t v t x y z t
(vxvvyvvzvv)t x y z t
注意矢量运算公式
vvvxvvyvvzv，其中，
x y z
矢量算子 i jk 。于是质点的速度增量可以
x y z
表示为 v(vvv)t
(2-23)
t
于是，从式(2-16)得到速度的质点导数——加速度
2.2.1 拉格郎日法 拉格郎日法的基本思想是将流体质点表示为空间坐标 和时间的函数。流体是连续分布的，不能从一团被研究的 流体中分出一个一个的流体质点来，但是可以用一个空间 坐标来表示一个流体质点的所在位置。若任意时刻某个流
体质点位于直角坐标系（ x, y, z）处，则这个流体
质点的运动轨迹可以用下面的函数来描述
2.3 迹线和流线
2.3.1 迹线 流体质点的运动轨迹称为迹线。 前面已经提到，拉格郎日法表示的式（2-3）就是迹 线的参数方程，即
v v ( x , y , z , t ) v x ( x , y , z , t ) i v y ( x , y , z , t ) j v z ( a , b , c , t ) k (x, y,z,t)
p p(x, y,z,t)
因此，按欧拉法，流动问题有关的任意物理量φ(可以 是矢量，也可以是标量)均可表示为
由于流体团所占的空间每一点都是研究对象，因此就
将其看成一个“场”，充满流体的空间被称为“流场”， 相应地有“速度场”、“加速度场”、“应力场”、“密 度场”等。
在流体力学研究中当然就要使用很多数学中场论的知识。 2.1.2 流动的分类 (1) 流动按其时间变化特性可分为稳态流动和非稳
态流动 如果流场内各点的流体运动参数均与时间无关,如对
并代入拉格郎日法表达式 (a,b,c,t)后就得到该物理
量的欧拉法表达式 (x ,y,z,t)。
（2）从欧拉法表达式变换为拉格郎日表达式
若已知用欧拉变数（x,y,z,t）表示的物理量 (x,y,z,t)
，如果需要变换为以拉格郎日变数（a,b,c,t）表示的物理 量，则首先需要从欧拉法速度表达式求出欧拉变数
如图2-1所示，对于匀速飞行的飞行器，如果在固定与地 面的坐标系（x-y-z）来考察飞行器周围空气的流动，则 流动是非稳态的；但在固定于飞行器上的坐标系（x’-y’z’）来考察飞行器周围空气的流动，则流动是稳态的。
(２) 流动按其空间变化特性可分为一维流动、 二维流动 和三维流动 式(2-2)反映了一般情况下流体流动取决于三维空间坐标, 但是在具体问题中，流体的运动可能只与一个或两个空间 坐标有关。通常，流体速度只沿一个空间坐标变化的流动 称为一维流动，类似地，沿两个或三个空间坐标变化的流 动称为二维流动或三维流动。值得注意的是，流动的维数 与流体速度的分量数不是一回事。比如，对于图2-2（a） 所示的矩形截面管道，在远离进口处，流体只有沿z方向
称之为质点导数算子（直角坐标）[在化工传递过程教材
中，以D/ Dt 表示的导数通常称为随体导数]。
为使用方便，在此给出柱坐标和球坐标的质点导数算 子表达式。
柱坐标系（ r——径向坐标， ——周向坐标，z——轴
向坐标） D (vr v1 vz)
Dt r r z t
球坐标系（
向坐标）
r——径向坐标，
v(a,b,c,t)a(a,b,c,t) t
(2-17)
但在欧拉法中，由于流体物理量被表示成空间坐标和
时间的函数，质点导数的概念因此稍稍有些复杂。下面以
速度为例来分析欧拉法的质点导数。
如图2-3所示，假定在直角坐标 系中存在速度场v(x,y,z,t)。设在时 刻 t 和空间点P(x,y,z)处，流体质
类似地，可用同样的方法得到其他物理量的质点导数，如 密度和压力的质点导数分别为
Dvxvyvz
Dt x y z t
Dpvxpvypvzpp Dt x y z t
推而广之，欧拉法中任意物理量 的质点导数可以写成
D vxvyvz (2-29)
Dt x y z t
并且将
Dvxvy
vz
Dt x y z t
r x y i z j r k ( a , b , c , t )(2-6)
式(2-5)和式(2-6)就是流体质点的运动轨迹方程，既 迹线方程。
除了空间位置以外，流体的其他运动参数和物理量 也应该表示成拉格郎日变量的函数，例如：流体速度
v r t x ti y tj z tk v x i v y j v z k