3.2.2-复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
+
������������2������+-���������������2��� i(c+di≠0).
名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直
接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,
然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).
【做一做 3】 计算:24+-33ii.
集.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
一题多解(变)——复数的综合问题
典例
(1)已知复数
z=(1-
3+i 3i)2
,
������是
z
的共轭复数,则
z·������等于(
)
A.1
B.1
4
2
C.1
D.2
(2)已知复数 z 满足|z|= 5,且(1-2i)z 是实数,求������.
3 4
−
4i ,∴z·������
=
14.
法二:∵z=(1-3+3ii)2,
3.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对 复数z,z1,z2和自然数n,m,有:
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=������1������ ·������2������ .
课前篇自主预习
【做一做1】 (1)(4-i)(3+2i)=
.
(2)(-3+2i)2=
=0×504+i2 016=1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用i幂值的周期性解题的技巧 1.熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时, 相应的幂值分别为1,i,-1,-i. 2.对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
3.2.2_复数代数形式的乘除运算
反思与感悟
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式
1 ＋i 1－i 1 ① i ＝－i；② ＝i；③ ＝－i. 1 －i 1＋i
跟踪训练 2 的值是 A.1 √ C.2
A.i
C.i3
√
B.i2
D.i4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 z1· z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1· z2为纯虚数，
m＋1＝0， ∴ m－1≠0， m＝－1， 即 m≠1，
得m＝－1，∵i2＝－1，
∴实数m可以是i2，故选B.
2－ z －1＋2i 3.设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)， z 的共轭复数为 z ， 则 z ＝________.
∵z1· z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4， ∴z2＝4＋2i.
反思与感悟
(1)两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将
i2换成－1；最后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
z1 a＋bi ac＋bd bc－ad 则z ＝ ＝ 2 2＋ 2 2 i. c＋di c ＋d c ＋d 2
类型一 复数代数形式的乘法运算
－3 例1 (1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝____. 解析 (1 ＋ 2i)(a ＋ i) ＝ a － 2 ＋ (2a ＋ 1)i 的实部与虚部相等，
3.2.2复数代数形式的乘除运算
第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算基础过关练题组一复数的乘法及运算律1.(2019北京朝阳高三二模)复数i(1+i)的虚部为( )A.√2B.1C.0D.-12.(2019广西南宁高二下学期期末)已知i是虚数单位,则(2+i)i=( )A.1+2iB.-1+2iC.-1-2iD.1-2i3.(2019安徽合肥一中高考模拟)已知复数z=(1+i)(3-i)(i为虚数单位),则z的虚部为( )A.2B.2iC.4D.4i4.若复数z=(3-6i)(1+9i),则( )A.复数z的实部为21B.复数z的虚部为33C.复数等于57-21iD.在复平面内,复数z对应的点位于第一象限5.i(2+3i)=( )A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i6.复数z=(-1+3i)(1-i)在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.(2019山东栖霞高考模拟)已知复数z=(a+i)(1-i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线y=2x上,则实数a的值为( )A.0B.-1C.1D.-138.设z1,z2是两个复数,已知|z1|=2√2=1+i,且z1z2是纯虚数,求z1.题组二复数的除法运算9.(2020福建南安侨光中学高三月考)已知i是虚数单位,则复数5+3i4-i=( ) A.1+i B.-1+iC.1-iD.-1-i10.(2020重庆南开中学高三开学考试)已知复数z,若z的实部为1,且zi的模为2,则z=( )A.1-iB.1±iC.1+√3iD.1±√3i11.(2020重庆一中高三开学考试)已知复数z满足(1-i)z=-i2 019(其中i为虚数单位),则|z|=( )A.12B.√22C.1D.√212.(2020江苏启东中学高三开学考试)已知复数z满足(1+i)z=3-4i(i是虚数单位),则|z|= .13.(2020天津武清杨村一中高考模拟)已知i是虚数单位,复数z满足(1+2i)z=5,则z的虚部为.14.(2020天津实验中学高考模拟)已知z1=1+i,z2=1-i(i是虚数单位),则z1 z2+z2z1= .题组三共轭复数15.(2020辽宁辽河油田第二高级中学高三月考)复数z=a+bi(a,b∈R)是(2+i)(1+2i)的共轭复数,则a+b=( )A.5B.-5C.5iD.-5i16.(2019河北高三月考)若z=2-i1+i,则z+z=( )A.-1B.1C.-3D.317.复数z=21-i(i为虚数单位)的共轭复数是( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i18.(2019河南濮阳高三月考)已知i 是虚数单位,若2+i=z(1-i),则z 的共轭复数z 对应的点在复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限19.(2019江西临川一中高三月考)若复数z 满足|z+3-4i|=2,则z ·z 的最大值为( ) A.9 B.81 C.7 D.4920.(2019天津新华中学高考模拟)设i 是虚数单位,若复数z=i1+i,则z 的共轭复数为 .21.(2019天津南开中学高考模拟)若复数z=1-2i1+i,则z ·z = .题组四 复数的混合运算22.(2019湖南长沙长郡中学高三月考)若i 为虚数单位,复数z 满足z(1+i)=|1-i|+i,则z 的虚部为( ) A.√2-12 B.√2-1 C.-√2+12iD.1-√2223.(2019河北唐山开滦第二中学高二下期中)设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数,若(z ·z )i+2=2z,则z= . 24.计算i 1+i 2+i 3+…+i 2 019+i 2 020(i 为虚数单位).25.已知z=1+i,a,b为实数,i为虚数单位.(1)若ω=z2+3z-4,求|ω|;(2)若z 2+az+bz2-z+1=1-i,求a,b的值.26.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=a+2i1-i,其中a,b∈R,i为虚数单位.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.能力提升练一、选择题1.(2020黑龙江牡丹江一中高三期末,★★☆)复数z=1+ii在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2020山东淄博实验中学高三期末,★★☆)已知复数z=1-3i3+i,i 为虚数单位,则( ) A.|z|=i B.z =iC.z 2=1D.z 的虚部为-i3.(2019山东济南历城二中月考,★★☆)复数z=i 2 018+(1+i 1-i)2 019(i 是虚数单位)的共轭复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2019云南师大附中高三月考,★★☆)瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:e ix =cos x+isin x,根据三角方程,计算e πi +1的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.i5.(2019辽宁沈阳高二月考,★★★)复数2-i1+2i=A+Bi(m 、A 、B ∈R ),且A+B=0,则m 的值是( ) A.-23B.23C.√2D.26.(★★★)已知i 为虚数单位,且复数z 满足z-2i=11-i,则复数z 在复平面内对应的点到原点的距离为( )A.132B.√262C.√102 D.52二、填空题7.(2019湖北黄冈、华师附中等八校联考,★★☆)已知i为虚数单位,若1+2i+a1+i 是纯虚数,则实数a= .8.(★★☆)定义运算|a cb d|=ad-bc,若复数z满足|z1-ii|=-1+2i,则z= .三、解答题9.(★★★)已知复数z和ω满足|z|-z=41-i,且ω2=z,求复数ω.10.(★★★)已知复数z满足|z|=√2,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限.(1)求复数z;(2)若复数ω满足|ω-1|≤|zz+i|,求ω在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积.11.(2018上海金山高三二模,★★★)复数z=(12-√32i)2是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的一个根.(1)求m和n的值;(2)若(m+ni)u+u=z(u∈C),求u.答案全解全析 基础过关练1.B ∵i(1+i)=-1+i,∴i(1+i)的虚部为1.2.B (2+i)i=2i-1=-1+2i.3.A 因为z=(1+i)(3-i)=4+2i,所以z 的虚部为2.4.D ∵复数z=(3-6i)(1+9i)=57+21i,∴复数z 的实部为57,虚部为21,在复平面内,复数z 对应的点的坐标为(57,21),位于第一象限.5.D i(2+3i)=2i+3i 2=-3+2i,故选D.6.A 由题得z=-1+i+3i+3=2+4i,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(2,4),位于第一象限.7.D 因为z=(a+i)(1-i)=a+1+(1-a)i,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(a+1,1-a),因为该点在直线y=2x 上,所以1-a=2(a+1),解得a=-13.故选D.8.解析 设z 1=a+bi(a,b ∈R), ∵|z 1|=2√2,∴√a 2+b 2=2√即a 2+b 2=8,①又z 1z 2=(a+bi)(1+i)=(a-b)+(a+b)i,且z 1z 2是纯虚数, ∴{a -b =0,a +b ≠0,② 由①②得,a=b=2或a=b=-2. ∴z 1=2+2i 或z 1=-2-2i. 9.A5+3i 4-i=(5+3i )(4+i )(4-i )(4+i )=17+17i 17=1+i,故选A.10.D 设z=1+mi(m ∈R ), 则|zi |=|1+mi i|=|1+mi ||i |=√m 2+1=2,解得m=±√3,∴z=1±√3i.故选D. 11.B (1-i)z=-i 2 019=i,则z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-1+i 2=-12+12i,所以|z|=√(-12)2+(12)2=√22.12.答案5√22解析 ∵复数z 满足(1+i)z=3-4i(i 为虚数单位), ∴z=3-4i 1+i=(3-4i )(1-i )(1+i )(1-i )=-12-72i,∴|z|=√(-12)2+(-72)2=5√22.13.答案 -2解析 ∵(1+2i)z=5, ∴z=51+2i =5(1-2i )(1+2i )(1-2i )=1-2i,∴z 的虚部为-2. 14.答案 0 解析z 1z 2+z 2z 1=1+i 1-i +1-i 1+i =2i 2+-2i 2=0.15.B ∵(2+i)(1+2i)=2+5i+2i 2=5i=a-bi,∴{a =0,-b =5,解得{a =0,b =-5,因此a+b=-5. 16.B ∵z=(2-i )(1-i )2=12-32i,∴z =12+32i,∴z+z =1. 17.B z=21-i =2(1+i )(1-i )(1+i )=1+i,∴z 的共轭复数为1-i.18.D 由2+i=z(1-i),得z=2+i 1-i =(1+i )(2+i )(1-i )(1+i )=12+32i,∴z =12-32i,则z 的共轭复数z 对应的点的坐标为(12,-32),在复平面的第四象限.19.D 由题意可知,复数z 对应的点的轨迹是以点A(-3,4)为圆心,半径为2的圆,z ·z 表示圆上的点到原点的距离的平方,因为|OA|=√(-3)2+42=5,所以z ·z 的最大值为(5+2)2=49,故选D. 20.答案 12-12i解析 z=i1+i =i (1-i )(1+i )(1-i )=1+i 2=12+12i,故z 的共轭复数为12-12i.21.答案 52解析 z=1-2i 1+i=(1-2i )(1-i )(1+i )(1-i )=-1-3i 2,∴z =-1+3i 2,∴z ·z =-1-3i 2·-1+3i 2=52.22.D z=√2+i 1+i =(√2+i )(1-i )2=1+√22+1-√22i,故z 的虚部为1-√22.23.答案 1+i解析 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi, 由(z ·z )i+2=2z 得(a 2+b 2)i+2=2a+2bi, ∴{2=2a ,a 2+b 2=2b ,解得{a =1,b =1,∴z=1+i. 24.解析 ∵i 1+i 2+i 3+i 4=0, ∴i n +i n+1+i n+2+i n+3=0(n ∈N *), ∴i 1+i 2+i 3+…+i 2 019+i 2 020=(i 1+i 2+i 3+i 4)+(i 5+i 6+i 7+i 8)+…+(i 2 017+i 2 018+i 2 019+i 2 020)=0. 25.解析 (1)∵ω=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,∴|ω|=√(2)∵z 2+az+b z 2-z+1=(a+b )+(a+2)i i =1-i,∴(a+b)+(a+2)i=1+i,∴{a +b =1,a +2=1,解得{a =-1,b =2.26.解析 z 1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,z 2=a+2i 1-i =a+2i 1-i ·1+i 1+i =a+ai+2i -22=a -22+a+22i.因为z 1与z 2互为共轭复数,所以{a -22=-b -1,a+22=b -1,解得{a =-2,b =1.能力提升练一、选择题1.D z=1+i i =(1+i )ii =-(i-1)=1-i,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.2.B z=1-3i 3+i =(1-3i )(3-i )(3+i )(3-i )=3-10i+3i 29-i =-i,所以|z|=1,z =i,z 2=(-i)2=-1,z 的虚部为-1. 3.B 因为z=i 2 018+(1+i 1-i )2 019=-1-i,所以 z =-1+i,所以z 对应的点在第二象限.故选B. 4.B ∵e ix =cos x+isin x,∴e πi +1=cos π+isin π+1=-1+1=0.5.A 因为2-mi 1+2i =A+Bi,所以2-mi=(A+Bi)·(1+2i),即2-mi=(A-2B)+(2A+B)i,由此可得{A -2B =2,2A +B =-m ,结合A+B=0可解得{ A =23,B =-23,m =-23,故选A. 6.B 由z-2i=11-i ,得z=2i+11-i =2i+1+i (1-i )(1+i )=12+52i,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,52),该点到原点的距离为√14+254=√262.二、填空题7.答案 -2解析 1+2i+a 1+i =1+2i+a 2(1-i)=1+a 2+(2-a 2)i 是纯虚数,故1+a 2=0,解得a=-2,此时2-a 2=3≠0.故答案为-2.8.答案 1+i解析 ∵|z 1-ii|=iz+i,∴iz+i=-1+2i, ∴z=1+i.三、解答题9.解析 设z=a+bi(a,b ∈R),由|z|-z =41-i ,得2+b 2-a+bi=41-i =4(1+i )(1-i )(1+i )=2+2i,所以{√a 2+b 2a =2,b =2,解得{a =0,b =2, 所以z=2i.令ω=m+ni(m,n ∈R),由ω2=z,得(m+ni)2=m 2-n 2+2mni=2i,所以{m 2-n 2=0,2mn =2,解得{m =1,n =1或{m =-1,n =-1, 所以ω=1+i 或ω=-1-i.10.解析 (1)设z=x+yi(x,y ∈R),则z 2=x 2-y 2+2xyi,由|z|=√2,z 2的虚部为-2,且z 在复平面内对应的点在第二象限,得{ √x 2+y 2=√2,2xy =-2,x <0,y >0,解得{x =-1,y =1,∴z=-1+i. (2)由(1)知,z=-1+i,∴z z+i =-1-i -1+2i =(-1-i )(-1-2i )(-1+2i )(-1-2i )=-1+3i 5=-15+35i, ∴|z z+i |=√(-15)2+(35)2=√105,∴复数ω满足|ω-1|≤√105. 由复数的几何意义,得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,√105为半径的圆面, ∴所求图形的面积为π·(√105)2=2π5. 11.解析 (1)因为z=(12-√32i)2=-12-√32i,所以z =-12+√32i, 由题意知:z 、z 是一元二次方程mx 2+nx+1=0(m 、n ÎR)的两个根,所以{-n m =(-12-√32i)+(-12+√32i),1m =(-12-√32i)(-12+√32i), 解得{m =1,n =1.(2)设u=c+di(c,d ÎR), 则(1+i)(c-di)+(c+di)=-12-√32i,即2c+d+ci=-12-√32i,所以{2c +d =-12,c =-√32,解得{c =-√32,d =-12+√3, 所以u=-√32+(√3-12)i.。
高中数学3.2.2 复数代数形式的乘除运算
解析:∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,∴a-2=0,∴a=2.
答案:2
-6-
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
3.复数的除法
设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),规定������������12 = ������������++������������ii=(a+bi)·������+1������i
������-2 2
=
-������-1,
解得 ������ = -2,
������+2 2
=
-(1-������),
������ = 1.
-14-
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
反思感悟共轭复数的求解与应用 1.若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出 ������ , 再进行复数的四则运算.必要时,需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式,再根据共轭复数的定义求 ������ . 2.共轭复数应用的另一种常见题型是:已知关于z和 ������的方程,而复 数z的代数形式未知,求z,解此类题的常规思路为设z=a+bi(a,b∈R), 则 ������ =a-bi,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组) 求解.
(4)(
3-i)6 ;(5)(42+-i4)2i ;(6)
1+i 1-i
8
.
分析:按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》教案 新人教A版选修1-2
1 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
3.2.2复数代数形式的乘除运算
• [点评] 复数的运算顺序与实数的运算顺序相同， 即先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次高级 运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如 含有i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次 数降低，然后再进行四则运算．
• (1)若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单
一、选择题
1．(2010·德州高二检测)设复数 z 满足1＋z 2i＝i，则 z＝
A．－2＋i
B．－2－i
()
C．2－i
D．2＋i
• [答案]
[解析]
zC＝1＋i 2i＝－i＋2.
2．在复平面内，复数1＋i i＋(1＋ 3i)2 对应的点位于
→ 结论
• [解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)． • 则集合P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0}
• ＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}，
• 故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．
• 设w＝a＋bi(a，b∈R)．
• z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.
则ab＝＝－2x02y0 ，将xy00＝＝12－b12a
• 掌握复数的乘法、除法的运算法则并能熟 练准确地运用法则解决相关的问题．
• 本节重点：复数代数形式的乘除运算． • 本节难点：复数除法．
• 1．复数的乘法按多项式乘法的规则进行 运算，结果中的i2要换成－1，并且把实部 与虚部分别合并，两个复数的乘积仍然是 一个复数．
• 2．i的幂的周期性．
• 计算：1＋2i＋3i2＋…＋2012·i2011. • [解析] 设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2012i2011① • 则iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2011i2011＋2012i2012② • ①－②得 • (1－i)·S＝1＋i＋i2＋…＋i2011－2012i2012 • ＝－1－2012(i4)503＝－2013
2022版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修2_
复数z,z1,z2和自然数n,m,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·
=z2)n
1 ·2 .
知识梳理
【做一做1-1】 复数z1=2+i,z2=1-i,那么z=z1·z2在复平面内对
应的点位于(
)
A.第一象限 B.第二象限
=(-8-8 3i)(2-2
=-16+16 3i-16
(4)(方法 1)
=
2i 4
-2i
3 − i)2]3=(2-2 3i)3
3i)
3i)
3i-48=-64.
1+i 8
1-i
=
4
1+i 2
1-i
= (-1)4=1.
1+i
(1+i)2
(方法 2)因为 1-i = (1-i)(1+i) =
所以
1+i 8
=
21-28i+3i-4i 2
25
(i-2)(i-1)
(4)
=
(1+i)(i-1)+i
-2-i+6i+3i 2
5
(5)原式 =
=
=
=
25-25i
= 1-i.
25
2
i -i-2i+2
i-1+i 2 -i+i
-5+5i
=
1-3i
-2+i
=
(1-3i)(-2-i)
(-2+i)(-2-i)
= −1+i.
5
(-1+ 3i)2 (-1+ 3i)
3.2.2复数代数形式的乘除运算课件人教新课标
A．A C．C
B．B D．D
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： (1)z＝1＋i 2i＝1＋－2ii2－i＝2－i，则复数 z ＝2＋i. (2)因为 x＋yi 的共轭复数为 x－yi，故选 B.
答案： (1)D (2)B
数学 选修2-2
＝
ac＋bd＋bc－adi
＋
bc－ad c2＋d2
i(c＋di≠0)．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
复数代数情势的乘除法
1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝__(_a_c_－__b_d_)＋__(_b_c_＋__a_d_)i__ ；
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合作探究 课堂互动
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方法二：(技巧解法)
原式＝1＋2 i26＋
2＋ 3－
3ii 2ii
＝i6＋
2＋ 2＋
33iii＝－1＋i.
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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共轭复数
－3z1z2i＝4－6i，求z1和z2. [思路点拨]
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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2．(2014·西安五校一模)已知复数 z＝1－3＋3ii， z 是 z 的共
轭复数，则 z 的模等于( )
高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》评估训练 新人教A版选修1-2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算双基达标 限时20分钟1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15iC ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C 3.－1＋3i 31＋i 6＋－2＋i 1＋2i的值是 ( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i解析 原式＝－1＋3i 3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i 3＋－2＋i i－2＋i＝－1i＋i＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案 －35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －8＋4a ＋6i 25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 836．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2i i ＝i 2＋2＋3i i 2＋3i＝－1＋i.(2)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i.法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.综合提高 限时25分钟7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1 解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1， 所以1x 2－x＝－1，故选B. 答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确． 答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝________.解析 令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i ＝22＝1.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i.答案 －i11．复数z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .解 由z 2＋a z <0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2<0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．(创新拓展)复数z ＝1＋i 3a ＋b i 1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解 z ＝1＋i 2·1＋i 1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
3.2.2复数代数形式的乘除运算
������＋������ ������＋������������
•
＝((������������＋＋���������������)���)((������������－－���������������������)���)
＝
������������－������������������＋������������－������������������
3.2.2 复数代数形式的 乘除运算
第4课时 复数代数形式 的乘除运算
• 两个实数的积、商是一个实数，那么两 个复数的积、商是怎样的?怎样规定两个 复数的乘、除运算，才能使在复数集中 的乘法、除法与原实数集中的有关规定 相容?复数的加减运算把i看作一个字母， 相当于多项式的合并同类项，那么复数 乘法可否像多项式乘法那样进行呢?
＝
������������－������－������������＋������ ������－������＋������������－������＋������
•
＝－������－������＋������������������
＝
(������－������������)(－������－������) (－������＋������)(－������－������)
第4课时 复数代数形式 的乘除运算
• 2.复数的除法运算
• 例2计算:(1)(������－������������)(������������＋＋������������)������＋������＋������������;
• (2)(������(＋������－������)���(���)������－(������－������)���＋���) ������; (3)(－(������������＋＋������)������������������)������ － －������＋������＋������������������.
选修1-2第三章3-3-2-2复数代数式的乘除运算
. z 1 ·( z 2 · z 3 )
． z1 z2 ＋z1 z3
课堂讲练互动
(3)乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝
课前探究学习
.
活页规范训练
想一想：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 提示 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在
所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
－ － 2 ②z· z ＝|z| ∈R(因为 z· z ＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2)； － － ③z＋ z ＝2a 为实数；z－ z ＝2bi(b≠0)为纯虚数； － ④z 为实数⇔z＝ z ； － ⑤z 为纯虚数⇔z＋ z ＝0 且 z≠0.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分 化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接 约分化简．复数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积 是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分 式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分 母的共轭复数)，并把结果化简即可． a＋bi a＋bic－di ac＋bd＋bc－adi ac＋bd 也就是说 ＝ ＝ ＝ 2 2 2 c＋di c＋dic－di c ＋d c ＋d2 bc－ad ＋ 2 i(c＋di≠0)． c ＋d2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．共轭复数 如果两个复数满足 实部相等、虚部互为相反数 时，称这
－ 两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用 z 表示，即 z＝a＋bi(a， － b∈R)，则 z ＝ 4．复数的除法法则 z1 设 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0 且 c，d∈R)，则z 2 a＋bi ac＋bd bc－ad ＝ ＝ 2 2＋ 2 2 i(c＋di≠0)． c＋di c ＋d c ＋d
3.2.2复数代数形式的乘除运算
§3.2.2复数代数形式的乘除运算
教学目标
1.知识与技能：
理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则；
2.过程与方法：
理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；
3.情感、态度与价值观：
通过乘除法的逆运算，让学生体会数学中的转化思想。
设计意图：给出教学目标，有利于教师有针对性的突破教学中的重难点，同时也更有利于学生明确本节课的学习目的。
三、例题讲解：【例1】计算：(1-2i)(3+4i)(-2+i)
【例2】计算：①(3+4i) (3-4i)；②（1+ i)2.
【例3】计算 （多媒体展示例题）
设计意图：巩固复数的乘除法运算法则。
四、巩固练习：1．（浙江理2）把复数 的共轭复数记作 ， 为虚数单位，若 ，则 ．
2．（天津理1） 是虚数单位，复数 ．
点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
设计意图：由多项式的乘法类比得出复数的乘积运算法则，让学生明确复数乘法的具体算法。
3、试验证复数乘法运算律
（1） （2）
（3）
探究二、共轭复数
1、若 ， ，试计算
2、观察1中 之间实部与虚部分别有什么关系？
3．（全国新课标理1）复数 ．
4．（广东理1）设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 ．
设计意图：检查学生学习情况，有利于对学生的学习情况更进一步掌握
五、课堂小结：
复数的代数形式的乘法与除法运算法则
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行.
3.2.2复数代数形式的乘除运算
3.2.2《复数代数形式的乘除运算》课后练习1． ．2.复数z=a+bi,a,b ∈R,且b ≠0,若是实数，则有序实数对（a,b ）可以是 .(写出一个有序实数对即可)。
3．复数等于（） A ． B ． C ． D ． 4．若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b=（）(A) -2 (B) - (C) (D) 2 5．复数等于（） A ． B ． C ． D ． 6．设是实数，且是实数，则（） A ． B ． C ． D ．7．设复数满足，则（） A ． B ． C ． D ．8.在复平面内，复数z =对应的点位于（） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第在象限 （D ）第四象限9．是虚数单位，（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．10．已知复数，，则复数．11．已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为（）A 、B 、C 、D 、 22(1)i =+24z bz -21(1i)+1212-1i 21i 2-121222i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭4i 4i -2i 2i -a 1i 1i 2a +++a =121322z 12i i z +=z =2i -+2i --2i -2i +i +21i 32i 1i=-1i +1i -+1i -1i --11i z =-121i z z =+ 2z =2,ai b i ++20x px q ++=,p q 4,5p q =-=4,5p q ==4,5p q ==-4,5p q =-=-12．复数的虚部为______. 13．若a 为实数，＝-I ，则a 等于( ) （A ） （B ）- （C ）2 （D ）-214．若（虚数单位），则使的值可能是（）(A) (B) (C) (D) 15．是虚数单位， ．（用的形式表示） 322i i +iai212++22222cos sin z i θθ=+i 21z =-6π4π3π2πi 51034i i-+=+a bi +。
3.2.2复数代数形式的乘除运算课件人教新课标1
【即时练】
若
z＝1
i
2i
，则复数
z
等于(
)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
【解析】选D.由
z＝1 2i i
(1 2i) (－i)
i －i
2－i，
故z =2＋i.
【题型示范】
类型一 复数代数情势的乘法运算
【典例1】
(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi-y=-1+i，则(1+i)x+y的
【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=－2－i，
z2=i，所以 z1 －2－i －1 2i，对应的点在第二象限.
z2
i
2① 1 2i2 31－i －3 4i 3－3i
2i
2i
i i2－i 1 2 i．
2i 5 5 5
②
1－
3i
2
3 i －i
2
3 i
3i
x1y2
x 2 y1 ,
的复数是( )
复数
z
3i
3 i
1
i
(i是虚数单位)对应
A. 3 1 3 1 i C. 3 1 3 1 i
B. 3 1 3 1 i D. 3 1 3 1 i
【解析】选A.由题意，得 z 3 i i 1 3 i 3 1 3 1 i.
【警示误区】注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，பைடு நூலகம் 法公式也适用． (3)常用结论： ①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i.