大学高等数学A1期末模拟题及答案

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高等数学A （1）综合测试3

一、选择填空题(18%)

1.

d =

_________d .

2. 2

1

1dx

x

+∞

⎰=_____________.

3. 设

()f x 是定义在[1,1]-上的连续奇函数, 则 12

1

(sin )x f x dx

-⎰

=________.

4. 设函数()21,

0,1

sin ,0

x x f x x x x ⎧+≥⎪

=⎨<⎪

⎩

则0x =是函数的( ).

(A)可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C)连续点 (D) 间断点,但左连续

5. 设函数()f x '的图像如右图所示, 下列说法正确的是( ).

(A) 130,,x x 都是函数()f x 的极值点 (B) 1x 是函数()f x 的极小值点 (C) 2x 是函数()f x 图像的拐点 (D) 3x 是函数()f x 的极大值点 6. 已知2x 是()f x 的一个原函数,则

2

(1)( ).xf x dx -=⎰

（A ）222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+

（C ）

2

2

1(1)2

x C --+ (D)

22

1(1)2

x C -+

二、解答下列各题（36%）

1.

27lim 23x

x x x →∞

+⎛⎫ ⎪-⎝⎭

2. 2

4

sin lim

x x x x dx x

→⎰ 3. 设()y y x =由1y xy e x +=+确定,求

.x dy dx

=

4. 设()f u 为可导函数，且

(cos )cos (),y f x f x =+求.y '

5.

设3sin 4cos x t

y t

=⎧⎨=⎩,求2

2,.dy d y dx dx 6.

设y =

求.y ''

三、解答下列各题（36%）.

1.2

arctan 1x dx x

+⎰

2. 2

1

712

dx x

x -+⎰

3.

9

4

⎰

4．设()2

,

0,cos ,

x

xe x f x x x x ⎧≥⎪=⎨

<⎪⎩求 3 1

().f x dx -⎰

5. 求由双曲线

4y x

=

与直线5x y +=所围成的图形面积，并求绕X 轴旋转一周所得立体的体积.

6.求微分方程sin cos x y y x e -'+= 的通解. 四、解答下列各题（10%） 1.倍受关注的武广高铁于12月26日成功首发,据报道,目前日运力2万人次,票价499元,上座率30%.设上座率s 与票价x(百元)满足2()(9)s x a x b =-+,29x ≤≤.当票价为5百元时上座率为34% ,而票价2百元时

恰好满座.试确定票价使铁道部收入最大. 2. 0

()()()()2.().x f x x t f t dt f x x f x -=-⎰

设有任意阶导数，且满足试求

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高等数学A （1）综合测试3参考答案

一、选择填空题(18%).

1.

d

=

d .

2. 2

1

1dx

x

+∞

⎰=___1___.

3. 设

()f x 是定义在[1,1]-上的连续奇函数, 则 12

1

(sin )x f x dx

-⎰

=__0___.

4. 设函数()21,

0,1

sin ,0

x x f x x x x ⎧+≥⎪

=⎨<⎪

⎩

则0x =是函数的( B ).

(A)可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C)连续点 (D) 间断点,但左连续

5. 设函数()f x '的图像如右图所示, 下列说法正确的是( C ).

(A) 130,,x x 都是函数()f x 的极值点 (B) 1x 是函数()f x 的极小值点 (C) 2x 是函数()f x 图像的拐点 （D) 3x 是函数()f x 的极大值点 6. 已知2x 是()f x 的一个原函数,则2(1)( C ).xf x dx -=⎰

（A ）222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ （C ）2

2

1(1)2

x C -

-+ (D)

22

1(1)2

x C -+

二、解答下列各题（36%）

10

10lim ln 1lim 52323

271.lim 23x x x

x

x x x x x e e e x →∞→∞⎛

⎫

+ ⎪-⎝⎭-→∞

+⎛⎫=== ⎪-⎝⎭

2

2

4

3

sin sin 12.lim

lim

44

x x x x x dx x x x

x

→→==

⎰

00

1.

111 ,=0=0,=1

y

x y

y

x dy y y xy e x dx

x y x y e y dy y dy

x y dx x e dx

==+=+''⋅+⋅+⋅=-=+3.设=(x)由确定，求解：两端对求导，则有：解得：将代入有从而

4. (cos )cos (), =(cos )(sin )[sin ()]()y f x f x y f x x f x f x '''=+-+-设y=f(u)可导，

5. 设3sin 4cos x t y t

=⎧⎨

=⎩,

4sin 4tan ;3cos 3

dy t t dx

t

-=

=-

2

2

2

3

4

sec 4441

3

tan tan .333cos 9cos t

d y d d dt

t t dx

dx dt

dx

t

t

-

⎛⎫

⎛⎫=

-=-==-

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

32

216.(2)=

4(4).

4x y y x y x x

--'==

-=''---设

三、解答下列各题（36%）

2

2

arctan 11. =arctan (arctan )(tan )12

x dx xd x arc x C x

=

++⎰

⎰

2

1

111

1

42.

(

)ln

712

4

3

4

3

3

x dx dx dx dx C x

x x x x x x -=

-

=

-

=+-+-----⎰⎰⎰⎰