高级宏观经济学 袁志刚版 部分配套习题的答案

l
该最大化问题的一阶条件为：
w 0 w(1 l ) l
利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：
l 1 1 w

(w ) w(1 )
利用闲暇的需求函数， 再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求 得消费者的劳动供给和消费需求函数：
g tw(1 l )
（2） 由于税收扭曲的存在， 我们不能用社会计划者的最优问题去求解竞争均衡。 在给定 g , 0 时，消费者的最优规划问题可描述如下：
max[ln c ln l ln g ]
c ,l
s.t.
c w(1 l )(1 t )
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
n
w w ， c 1 w(1 )
从企业的利润最大化问题中，我们能得到：
w z
竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡：
g
代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中， 可以得到如下的竞争均衡数 量：
l
zg (z g) z g ， n ， c 1 z (1 ) z (1 )
第二步，分析企业的行为：
1 Ak d nd wnd (1 r )k d (1 )k d
FOC n
(1 ) Ak d nd w 0
FOC kd
1 1 Ak d nd r 0
根据市场出清条件，可得如下方程组：


1

n A(1 )k 0


1

b.
1 l 1 (1 )A(1 ) k 0 0 A 1 n 1 (1 )A(1 ) k 0 0 A
y c 1 A A A r A A
因为这些解与上面我们已经推导出来的竞争均衡数量是相同的，因此，竞争均衡 分配是帕累托最优的分配。 在这一例子中，之所以两者的结果相同是因为总额税 并不会产生扭曲效应。 （2）因为在题（1）中我们已经求得均衡数量解，因而，我们只需要简单地让这 些均衡解对 g 求全导数，就可以得到结论：
dn 0 dg z (1 ) dy 0 dg 1
1 (1 ) Ak d nd 1 1 Ak d nd r k k 0 d
求解得：
1 n A(1 )k 0 1 r A (1 )1
dc 1 0 dg 1
可以注意到，平衡预算乘数是小于 1 的。因为， 1 ，所以，
dy 1。 dg 1
（回忆： 政府预算约束 g 必须成立， 因而，g 的任何一个变化一定对应着 的 一个相同变化： d dg 。因此，我们有“平衡预算乘数”这一名词。 ）也可以注 意到，挤出是不完全的：因为 0 ，所以
利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：
g l 1 z 1
(z g) z (1 )
利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束、生产函数和资源约束，我们可 以进一步求得如下的均衡数量：
n
z g zg z g ，y ， c 1 1 z (1 )
c ,l c ,l
s.t.
c Ak 0 (1 l )1
代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：
max Ak 0 (1 l )1 l
l


对 l 求一阶导数，并令其为零，可得：
(1 ) Ak 0 (1 l ) 1
解得：
l 1 A(1 )k 0
其中， c 是消费， l 是闲暇，且 0 。消费者拥有一单位的时间禀赋和 k 0 单位的 资本。代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来表示：
y Ak n1
其中， y 是产出， A 是全要素生产率，k 是资本投入，n 是劳动投入， 且 0 1。 记 w 为市场的实际工资， r 为资本的租金率。 a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。 b.试分析全要素生产率 A 的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本 租金率产生怎样的影响。 解：a.第一步，分析消费者行为：
1
1

(1 )
1
1
k0 0

(1 )
0
w 0 A
说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和 资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。
3.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。 消费者的偏好由如下的效用 函数代表：
maxln[ w(1 l )(1 t )] ln l ln g
l
该最大化问题的一阶条件为：
w(1 t ) 0 w(1 l )(1 t ) l
利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：
l

1
代闲暇的需求函数进预算约束方程，我们可以进一步求得消费者的消费需求函 数：


第三步，全部均衡解：
l 1 n



1 A(1 )k
0

1
y c Ak 0 A(1 )k 0




1

A (1 ) k 0

1
1
w
1

或者，考虑计划经济情形：
max u(c, l ) max c l
u(c, l ) ln c ln l ln g
这里， c 是消费； l 是闲暇； g 是政府购买； , 0 。消费者拥有一单位的时间 禀赋。私人消费品的生产技术如下：
y zn
这里， y 是产出， n 是劳动投入， z 0 。假设政府通过向消费者征收一个总额税 来为自己的购买融资。 （1）对于一个给定的 g ，试求均衡时的消费、产出和就业。证明这些均衡数量 是帕累托最优的。 （2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。平衡预 算乘数时大于 1 还是小于 1，解释之。 （3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的 g 。也就是说， 政府将选择一个合适的 g 去最大化代表性行为人的福利。 试求解最优水平的政府 购买数量。 解：
c
w(1 t ) 1
可以注意到消费与税后收入成正比关系。因此，消费将随税率的提高而下降。从
企业的最大化问题中，我们可以得到：
w z
市场出清条件是：
n 1 l
c g y( zn)
因此，竞争均衡的数量解将由如下的表达式给出：
l

1
，n
max[ln c ln l ln g ]
c ,l
s.t.
c g z(1 l )
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
maxln[ z (1 l ) g ] ln l ln g
l
该最大化问题的一阶条件为：
z 0 z (1 l ) g l
max u(c, l ) max c l
c ,l c ,l
s.t.
c w(1 l ) (1 r )k 0
代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。
max [w(1 l ) (1 r )k 0 ] l
l
对 l 求一阶导数，并令其为零，可得：
w
1

（1）在给定 g , 0 时，消费者的最优规划问题可以表述如下：
max[ln c ln l ln g ]
c ,l
s.t.
c w(1 l )
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
maxln[ w(1 l ) ] ln l ln g
max [ zk0 (h l )1 ] l 1
l


一阶条件为：
( FOCl )
z k0 (1 ) (h l ) (1 ) 1 l 1 z k 0 (h l ) (1 ) (1 )l
求解可得：
l
(1 )h 1 h (1 ) 1
利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：
h (1 ) w zk0 1

r zk 0

1
h (1 ) 1
1
1
2.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。代表性消费者的效用函数如下：
u(c, l ) c l
n
代 n 进生产函数可得：
h (1 ) c y zk0 1

1

企业利润函数为：
zk n1 (1 r )k wn
企业利润最大化的一阶条件为：
zk 1n1 (1 r ) 0 k z (1 )k n w 0 n
第二讲
单期代表性行为人模型
1.若效用函数现为：
u(c, l ) c l 1
（ 0 1）
其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。 计划者目标函数为：
max{c l 1 }
c ,l
s.t.
c y zk0 (h l )1
代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：
max ln c( g ) ln l ( g ) ln g
g
或者，等价地：
zg ( g) max ln ln g ln z (1 ) g 1