拟凸优化问题严格解的最优性必要条件

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最优化方法(凸集与凸函数)

最优化方法(凸集与凸函数)
i =1 i =1
m
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原来凸集的性质告诉我们: 任意的两个点的凸组合都属于 D。 原来凸集的性质告诉我们: 任意的两个点的凸组合都属于 。 现在让我们证明 们证明, 现在让我们证明,任意的 m 个点的凸组合都属于 D。 。 咋办?? 咋办??
两个―――多个 两个―――多个 ――― 两个―――三个―――四个―――多个 两个―――三个―――四个―――多个 ―――三个―――四个―――
=
(i = 1 , 2 ,⋯, k ) 的凸组合。 的凸组合。
(2)凸集:设集合 X ⊂ R n ,如果 X 中任意两点的凸组合 )凸集: 仍然属于 X ,则称 X 为凸集。 2.凸函数 凸函数 2 1 2 n 设 f : X ⊂ R → R ,任取 x , x ∈ X ,如果∀a1 , a2 ≥ 0 , i∑1ai = 1 , 任取 如果 = 上的( 有 f (a1 x 1 + a2 x 2 )(< ) ≤ a1 f ( x 1 ) + a2 f ( x 2 ) ,则称 f 为X上的(严格) 则称 上的 严格) 凸函数。 凸函数。
~ x+x 凸集, 由于 D 是凸集,故有 ∈ D ,又因为 γ 是集合 D 到 y 的 2
最短距离,上式应有等号成立,因此,存在实数 最短距离,上式应有等号成立,因此,存在实数 α 距离 应有等号成立 ~ y − x = α(y − x)
12
是凸集, 设 D ⊂ R n 是凸集, y ∈ R n 但是 y ∉ D ,则 的距离最小, (1)存在唯一的点 x ∈ D ,使得集合 D 到点 y 的距离最小,即 x − y = inf { x − y , x ∈ D} (2) x ∈ D 是点 y 到集合 D 的最短距离点的充分必要条件为

最优性条件是指优化问题

最优性条件是指优化问题

智能优化算法
如遗传算法、粒子群算法等,通过模 拟自然界中的优化现象,寻找全局最 优解。
05 数值计算方法和实现技术
梯度下降法、牛顿法等经典数值计算方法回顾
梯度下降法
一种迭代优化算法,用于求解机器学习和深度学习中的优化问题。通过沿着目 标函数梯度的反方向进行参数更新,逐步逼近最优解。
牛顿法
一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。使用函数切线的斜率来寻找方 程的根,具有收敛速度快、精度高等优点。但需要计算二阶导数,计算量较大。
迭代终止条件
设定合适的迭代终止条件,如梯度范数小于 给定阈值等。
约束非凸优化问题处理方法
罚函数法
将约束条件转化为罚函数项,加入到 目标函数中,从而将约束问题转化为 无约束问题求解。
乘子法
引入拉格朗日乘子,构造拉格朗日函 数,通过求解拉格朗日函数的极值点 得到原问题的最优解。
投影梯度法
在每次迭代中,将搜索方向投影到可 行域内,以保证迭代点始终满足约束 条件。
启发式搜索算法在求解复杂问题时应用
遗传算法
一种模拟生物进化过程的优化算法, 通过选择、交叉、变异等操作来搜索 最优解。适用于求解离散、非线性、 多峰等复杂优化问题。
模拟退火算法
一种基于物理退火过程的优化算法,通 过模拟高温物体降温过程来搜索全局最 优解。具有跳出局部最优解的能力,适 用于求解大规模组合优化问题。
优化问题数学模型
01
02
03
目标函数
描述优化问题的目标,通 常是一个关于决策变量的 函数,需要最大化或最小 化。
约束条件
对决策变量的限制条件, 包括等式约束和不等式约 束。
决策变量
在优化问题中需要确定的 未知量,通常是多维的。

凸优化问题的带约束优化算法研究

凸优化问题的带约束优化算法研究

凸优化问题的带约束优化算法研究引言凸优化问题是数学和计算机科学领域中的一个重要研究方向,它在各个领域中都有广泛的应用。

在实际问题中,往往需要考虑一些约束条件,这就引出了带约束优化问题。

带约束优化算法是解决这类问题的关键工具。

本文将重点研究凸优化问题的带约束优化算法,并对其进行深入探讨。

一、凸优化和带约束条件1.1 凸集和凸函数在讨论凸优化之前,我们首先需要了解什么是凸集和凸函数。

一个集合称为凸集,如果对于该集合中的任意两个点,连接它们的线段上所有点都属于该集合。

而一个函数称为凸函数,如果其定义域上任意两点之间的线段上所有点都满足函数值不大于线段两端点对应函数值之间。

1.2 凸优化问题定义有了对于凸集和凸函数的理解后,我们可以定义一个一般性的凸优化问题:最小化一个定义在某个实数域上、具有某些性质(如连续性、可微性等)的凸函数,同时满足一些线性等式或不等式约束条件。

二、带约束优化算法2.1 无约束优化算法在介绍带约束优化算法之前,我们先来了解一下无约束优化算法。

无约束优化问题是凸优化问题的一个特例,即在没有任何额外的线性等式或不等式条件下,最小化一个凸函数。

常见的无约束优化算法有梯度下降、牛顿法、拟牛顿法等。

2.2 带约束优化问题带约束优化问题是在最小化一个凸函数的同时,还需要满足一些额外的线性等式或不等式条件。

这类问题可以进一步分为两类:有界条件和非有界条件。

对于有界条件,即最小值存在于一个特定区域内,我们可以使用投影梯度法、内点法和外点罚函数方法来解决。

投影梯度法通过将原始问题转换为无界情况下的最小值求解,并通过投影将结果限制在特定区域内;内点法则通过将原始问题转换为一个无限维空间中的无界问题,并使用迭代方法逼近最小值;外点罚函数方法则是通过对目标函数引入罚项来惩罚违反限制条件。

对于非有界条件,即最小值不存在于一个特定区域内,我们可以使用拉格朗日对偶法和KKT条件来解决。

拉格朗日对偶法通过引入拉格朗日乘子来将原始问题转换为一个对偶问题,并通过求解对偶问题得到原始问题的最优解;KKT条件则是一种必要条件,通过求解一组非线性方程组来确定最优解。

slater 条件

slater 条件

slater 条件Slater条件什么是Slater条件?•Slater条件是一种在优化问题中判断约束条件是否严格可行的方法。

•该条件由 Slater在1970年提出,被广泛应用于凸优化和非凸优化问题中。

Slater条件的表述•对于给定的优化问题,假设约束集合C满足以下两个条件:1.约束集合C非空:C中含有至少一个约束。

2.存在一个可行点:存在一个满足所有约束的点x,使得这个点属于C的相对内部。

Slater条件的重要性•Slater条件在优化问题中具有重要的作用,它保证了一些重要结论的成立:1.强对偶性:如果满足Slater条件,则可以得到问题的强对偶性,也就是原问题的最优解和对偶问题的最优解是相等的。

2.KKT条件:Slater条件是KKT条件成立的一个重要充分条件。

3.凸优化:在凸优化问题中,满足Slater条件的约束集合可以保证强对偶性。

Slater条件的应用•Slater条件的应用非常广泛,特别是在凸优化和非凸优化问题中。

•在支持向量机(SVM)中,Slater条件的满足可以保证原问题和对偶问题都存在解。

•在线性规划问题中,Slater条件保证了原问题和对偶问题的最优解相等。

总结•Slater条件是一种判断约束条件是否严格可行的重要方法。

•它在优化问题中具有重要的作用,保证了强对偶性和KKT条件的成立。

•在凸优化和非凸优化问题中,Slater条件被广泛应用,并且在支持向量机和线性规划等问题中起到关键作用。

以上就是关于Slater条件的相关介绍,Slater条件在优化问题中具有重要的地位和作用,为解决优化问题提供了可行性和有效性的保证。

很高兴继续为您介绍关于Slater条件的相关内容。

Slater条件的证明•接下来我们将简要介绍Slater条件的证明方法。

•假设约束集合C满足Slater条件的两个条件:1.C非空:存在一个约束,表示为g(x) ≤ 0。

2.存在一个可行点:存在一个满足所有约束的点x,使得g(x)< 0。

凸优化理论与应用_凸优化

凸优化理论与应用_凸优化

凸优化理论与应用_凸优化凸优化是指优化问题中目标函数是凸函数,约束条件是凸集的优化问题。

凸函数具有很多良好的性质,例如在定义域上的局部极小值就是全局极小值,凸函数的极值问题可以通过一些有效的算法来求解。

凸优化理论以及相关的算法方法在实际应用中有着广泛的应用。

在机器学习中,凸优化广泛应用于支持向量机(SVM)、逻辑回归等分类算法的求解。

在图像处理领域,通过凸优化方法可以实现图像的去噪、图像恢复以及图像压缩等任务。

在信号处理中,凸优化可以用于信号的降噪、滤波以及信号的拟合等问题。

在控制理论中,凸优化可以用于控制系统的设计和优化。

凸优化理论中的一些重要概念包括凸集、凸函数、凸组合等。

凸集是指一个集合中的任意两点连接的线段仍然在集合内,而凸函数则是定义在凸集上的函数,其函数值在定义域上任意两点间的线段上保持不减。

凸组合则是指通过凸权重将多个点加权求和得到的点。

在凸优化中,常用的优化问题形式包括极小化凸函数的无约束问题、极小化凸函数的约束问题、线性规划问题等。

对于这些优化问题,凸优化理论提供了一些有效的求解方法,包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法可以用于求解凸优化问题的局部极小值。

此外,对于一些特殊的凸优化问题,可以应用一些特殊的求解算法,例如线性规划问题可以通过单纯形法来求解,二次规划问题可以通过内点法来求解。

这些算法方法对于特定的凸优化问题来说是高效且可行的。

总的来说,凸优化理论与应用是数学优化领域中的一个重要分支,它在现代科学技术中有着广泛的应用。

凸优化理论提供了一些有效的求解方法,可以用于解决许多实际的优化问题。

kkt条件简述

kkt条件简述

kkt条件简述KKT条件简述KKT条件是数学优化中的一种理论,它是由Kuhn、Karush和Tucker三位数学家提出的。

KKT条件是在给定约束条件下寻找最优解的重要工具,被广泛应用于各个领域的最优化问题中。

KKT条件是一组必要条件,用于判断一个点是否为最优解。

它由四个方面组成:可行性条件、梯度条件、互补松弛条件和非负性条件。

下面将对这四个方面进行详细介绍。

首先是可行性条件。

可行性条件要求最优解必须满足所有的约束条件。

也就是说,最优解所在的点必须在约束条件所定义的可行域内。

如果一个点不满足约束条件,那么它就不可能是最优解。

其次是梯度条件。

梯度条件要求最优解的梯度向量与约束条件的梯度向量线性无关。

这意味着最优解的梯度向量不能完全由约束条件的梯度向量线性组合而成。

如果最优解的梯度向量可以由约束条件的梯度向量线性组合而成,那么这个点就不可能是最优解。

接下来是互补松弛条件。

互补松弛条件要求最优解的拉格朗日乘子与约束条件的乘积等于零。

也就是说,最优解的拉格朗日乘子与约束条件之间存在一种互补关系。

当最优解与约束条件的乘积为零时,最优解才满足互补松弛条件。

最后是非负性条件。

非负性条件要求最优解的拉格朗日乘子必须大于等于零。

这是因为拉格朗日乘子的取值范围是非负的,所以最优解的拉格朗日乘子也必须是非负的。

如果最优解的拉格朗日乘子小于零,那么这个点就不可能是最优解。

KKT条件是用于判断一个点是否为最优解的一组必要条件。

它包括可行性条件、梯度条件、互补松弛条件和非负性条件。

只有满足所有的KKT条件的点才能被认为是最优解。

KKT条件在最优化问题中具有重要的作用,它能够帮助我们找到最优解,从而提高效率和优化结果。

在实际应用中,我们可以利用KKT条件来解决各种各样的最优化问题,如线性规划、非线性规划、凸优化等。

KKT条件是数学优化中的一种重要理论,它能够帮助我们判断一个点是否为最优解。

KKT条件由可行性条件、梯度条件、互补松弛条件和非负性条件组成。

数学中的凸优化与凸分析

数学中的凸优化与凸分析

数学中的凸优化与凸分析凸优化和凸分析是数学中重要的分支领域,它们在诸多应用领域都有着广泛的应用。

本文将介绍凸优化和凸分析的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、凸集与凸函数在进一步探讨凸优化和凸分析之前,我们先来了解一些基本概念。

首先是凸集和凸函数。

1. 凸集凸集是指集合中任意两点的连线上的点都属于该集合。

具体地,对于任意$x, y$属于集合$C$和$0\leq\lambda\leq 1$,满足$\lambda x+(1-\lambda)y$也属于$C$,则$C$是一个凸集。

2. 凸函数凸函数是定义在凸集上的实值函数,满足对于集合内的任意$x,y$和$0\leq\lambda\leq 1$,有$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambdaf(x)+(1-\lambda)f(y)$。

简单来说,凸函数的任意两点的连线上的函数值都不超过连线两端的函数值。

二、凸优化凸优化是指优化问题的目标函数是凸函数,约束条件是凸集的优化问题。

凸优化问题有着许多重要的性质和算法。

1. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为:$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &f(x)\\\text{subject to}\quad &x\in C\end{align*}$$其中,$f(x)$是凸函数,$C$是凸集。

2. 凸优化问题的性质凸优化问题具有以下性质:(1)全局最优解是局部最优解。

这意味着在凸优化问题中,存在一个全局最优解,同时该最优解也是局部最优解。

(2)凸优化问题无局部最优解和全局最优解之间的鞍点。

凸优化问题不存在鞍点,因此可以通过寻找局部最优解来获得全局最优解。

3. 典型凸优化问题凸优化问题在实践中有着广泛的应用,以下是一些典型的凸优化问题:(1)线性规划问题(Linear Programming,简称LP)$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &c^Tx\\\text{subject to}\quad &Ax\leq b\\&x\geq 0\end{align*}$$(2)二次规划问题(Quadratic Programming,简称QP)$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\frac{1}{2}x^TPx+q^Tx+r\\\text{subject to}\quad &Gx\leq h\\&Ax=b\end{align*}$$(3)半正定规划问题(Semidefinite Programming,简称SDP)$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\langle C,X\rangle\\\text{subject to}\quad &\langle A_i,X\rangle=b_i,\quad i=1,\ldots,m\\&X\succeq 0\end{align*}$$三、凸分析凸分析是研究凸集和凸函数性质的数学分支,它主要研究凸集的性质以及凸函数的导数和二阶导数。

13约束最优化条件KTT

13约束最优化条件KTT

g3(x) 0 ●
D

g1(x) 0
g2(x) 0

如图:观察不同点处 的有效约束
D内的点没有有效约束 仅边界上的点存在有 效约束
总结:x处的有效约束是指该约束对该点处的可行方 向起限制作用, 反之无效约束即对该点处的可行方向 没有任何影响.不同的可行点一般有不同的有效约束.
所有存在有效约束的点构成可行域的边界.
??? 约束品性对研究约束问题的最优性条件非常重要
约束品性(约束规格)
SFD(x*,D) LFD(x*,D)
最优解 x*
KKT点 x*
基本概念
定义9.1.1 设x D, d Rn.若存在数 0, 使得
x d D, (0, ],
则称d是D在x处的一个可行方向. 记x处所有可行方向的集合为FD( x, D)
xk x* kdk x* 其中k 0, dk d. 所以,当k充分大时, xk N (x*).
故 f (x*) f (xk ) f (x* kdk ) f (x*) kf (x*)T dk o(|| kdk ||)
在上式两端除以k , 然后令k 0, 取极限即可得
f (x* )T d 0
例9.1.1
考察如下约束问题:
x2
min f ( x) x12 x22
x2 3
x1 2x2 8
s.t. x1 2x2 8 0 x1 4 0 x2 3
x1 0 可行域
O

x(0) (0, 0)
x2 0
● x(1) (4, 2) x1 4 x1
标 g1(x) 8 - x1 - 2x2 0
定义9.1.4 设x D, 若向量组
{ gi (x),h j (x),i I (x), j E } 线性无关, 则称在x处线性无关约束品性成立, 简称为在 x处LICQ (Libear independence ConstraintQualification) 成立.

最优化方法最优化问题与凸分析基础

最优化方法最优化问题与凸分析基础

x12
x22
x1x2 x2x1
2 f
数。
(
x)
6 0
0 4
为正定矩阵,f
(x)
为严格凸函
(2)因为
f
(x)
x12
x22,则易知
2
f
(x)
2 0
0
2
所以 f (x) 为凹函数。
4.3 凸规划
定义:对于规划
min (P) s.t.
f (X) gi ( X ) 0,
i 1, 2,L m
其中 X X p. 而0<θ<1
Taylor展开式还可写成如下形式:
f X p f X f X T p 1 pT2 f X p 0 p 2 2
4、凸集、凸函数和凸规划
4.1 凸集
定义:设集合 S Rn,若x(1), x(2)S, [0,1],必有 x(1)+(1- ) x(2) S ,则 称 S 为凸集。 规定:单点集 {x} 为凸集,空集为凸集。 注: x(1)+(1- ) x(2) = x(2)+(x(1)- x(2)) 是连接 x(1)与x(2)的线段 。
2.2 梯度
梯度:多元函数 f (x)关于 x 的一阶导数
f (x) ( f , f ,L f )T x1 x2 xn
2.3 Hesse矩阵
Hesse 矩阵:多元函数 f (x) 关于 x 的二阶偏导
数矩阵
2
f
X
x12
2
f
X
f
X
2 f X
x1 x2
2
f
X
x1xn
2 f X
第一章 最优化问题与凸分析基础
在日常生活中,无论做什么事情,总是有 多种方案可供选择,并且可能出现多种不 同的结果。我们在做这些事情的时候,总 是自觉不自觉的选择一种最优方案,以期 达到最优结果。这种追求最优方案以达到 最优结果的学科就是最优化。寻求最优方 案的方法就是最优化方法。这种方法的理 论基础就是最优化理论,而凸分析又是最 优化理论的基础之一。

拟凸多目标规划问题解的最优性条件

拟凸多目标规划问题解的最优性条件

拟凸多目标规划问题解的最优性条件陈荣波;高英;李美术【摘要】In this paper,we consider a quasiconvex multiobjective programming problem where the objec-tive is quasiconvex and constraint set is convex.By using subdifferential as a tool.we study the optimality conditions in quasiconvex multiobjective programming. Based on the optimality conditions in quasiconvex multiobjective programming problem and under certain constraint conditions,optimality conditions of qua-siconvex multiobjective programming problem are derived.%考虑约束集为凸集,目标函数为拟凸函数的多目标规划问题,利用次微分为工具研究拟凸多目标规划问题的最优性条件。

在拟凸单目标规划问题最优性条件的基础上,在一定约束条件下,利用标量化方法得到拟凸多目标规划问题的最优性条件。

【期刊名称】《湖北民族学院学报(自然科学版)》【年(卷),期】2016(034)004【总页数】5页(P386-390)【关键词】多目标规划;拟凸函数;次微分;最优性条件【作者】陈荣波;高英;李美术【作者单位】重庆师范大学数学科学学院,重庆401331;重庆师范大学数学科学学院,重庆401331;重庆师范大学数学科学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O221.6在拟凸规划问题中,最优性条件是一个被广泛应用的概念,最优性条件对于研究向量优化问题的解有着重要理论指导意义.拟凸规划是现代数学规划中的一个重要研究领域.在工程技术、环境污染以及机器人运行轨道设计等工业问题中都有着广泛应用.文献[1]首次提出关于一类凸极值规划问题的解集特征和最优性条件的概念,随后一些学者将凸规划问题中的结论推广到一些其它类型的规划问题.如文献[2-3]研究了无限维凸规划问题的最优性条件,文献[4-6]研究了广义凸规划问题的最优性条件,文献[7]研究了凸向量规划问题的最优性条件,文献[1,8]研究了拟凸单目标规划问题的最优性条件.文献[9]利用SlaterCQ研究了拟凸半无限规划问题的最优性条件.近年来,国内外越来越多的学者开始致力于拟凸规划问题的理论研究,但是关于拟凸多目标规划问题最优性条件的研究并不多.本文研究了如下形式的拟凸多目标规划问题:这里fi是Rn上的拟凸函数,i∈I={1,2,…,p},拟凸函数是指∀x1,x2∈S,λ∈(0,1)总有f[λx1+(1-λ)x2]≤max{f(x1),f(x2)}成立.可行集S是Rn的凸子集.本文在文献[4,10]的基础上,在一定约束品性下研究了一类拟凸多目标规划问题的最优性条件和解集特征.具体结构如下:在第2节,给出了一些基本概念和结论,并介绍了几种次微分.在第3节,利用文献[4]和文献[10]在一定约束条件下,利用标量化的思想给出了拟凸多目标规划问题的有效解、弱有效解、真有效解和最优性条件.是Rn的非负卦限,即:设x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T∈Rn,定义向量x,y的序关系:定义1[10] 点z∈S称作问题(MOP)的弱有效解当且仅当找不到x∈S使得:fi(x)<fi(z),∀i∈I.定义2[10] 点z∈S称作问题(MOP)的有效解当且仅当找不到x∈S使得:fs(x)<fs(z),∃s∈I.定义3[4] g:Rn→R∪{±},假设g在x0∈S处是有限的.g在x0处水平集和严格水平集的定义如下:[g≤g(x0)]={x∈X:g(x)≤g(x0)},[g<g(x0)]={x∈X:g(x)<g(x0)}.定义4[11] 经典Greenberg-Pierskalla次微分定义如下:定义6[12] 凸集C⊂Rn在x0处的法锥定义如下:很显然,当g在[g<g(x0)]上上半连续时,有:∂g(x0)=∂*g(x0)∪{0},且x0是g的最优解当且仅当0∈∂*g(x0)或∂*g(x0)=Rn或∂g(x0)=Rn.另外一类在广义凸性理论下闭的且完全不同的经典次微分形式如下.定义7[13] Gutierrez次微分定义如下:定义8[14] Plastria下次微分定义如下:x0是g的最优解当且仅当0∈∂≤g(x0),0∈∂<g(x0)或∂<g(x0)=Rn.然而,g在某些最优解x0处可能有∂≤g(x0)≠Rn.显然,有:文献[4]针对(MOP)问题中p =1时的情况,利用Greenberg-Pierskalla次微分给出拟凸单目标规划问题的最优性充分条件.引理1[4] 设存在x0∈S都有∂*f1(x0)∩(-N(S,x0))≠∅,则x0是f1在S上的最优解. 文献[10]中研究了一类带有线性不等式约束的非光滑向量伪凸多目标规划问题(NMOP).其中aj∈Rn,bj∈R.且fi:K→R,i∈I={1,2,…,p}是开凸集K上的局部Lipschitz伪凸线性函数.引理2[10] 对于(NMOP)问题,设则以下结论是等价的:是(NMOP)问题的有效解.ii)存在λi>0,i=1,2,…,p∀有:(z).是(NMOP)问题的真有效解.引理3[12] 设S是Rn上非空开凸集, f:S→R在S上可微的伪凸函数,则f也是严格拟凸和拟凸函数.在拟凸单目标规划问题的最优性条件的基础上,将结论推广到拟凸多目标规划问题的最优性充分条件.定理1 对于(MOP)问题,若存在x0∈S,使得:∅则x0是f在S上的弱有效解,其中λi≥0,且至少有一个λi>0,i∈I.证明反证.假设x0不是(MOP)的弱有效解,则存在x∈S使得:f(x)<f(x0),则有:).由式(1)知存在).令则有:即〈y0,x-x0〉<0,又由于y0∈-N(S,x0),则∀x∈S,有〈y0,x-x0〉≥0,矛盾.从而f(x0)为原问题的弱有效解.定理2 对于(MOP)问题,若存在x0∈S,使得:∅则x0是f在S上的有效解,其中λi≥0,i∈I且至少存在一个i∈Ix0⊂I,使λi>0,Ix0={i|fi(x)<fi(x0)}.证明反证.x0不是(MOP)问题的有效解,假设∃使得:).则∀有:不妨取有:又:这表明∀x∈S:矛盾,故x0是f在S上的有效解.定理3 对于(MOP)问题,若存在x0∈S使得:∅则x0是f在S上的真有效解,其中λi>0,i∈I.证明由引理2和引理3显然成立.推论1 假设存在x0∈S使得f 在[f < f(x0)](即对集合中每一点) 上是上半连续且: 其中:则x0是f在S上的有效解.证明在假设条件下,由∂f(x0)=∂*f(x0)∪{0},则式(4)能推出式(2).推论2 假设f在[f < f(x0)]上任意一点都是拟凸,上半连续函数,存在x0∈F,使得f在x0处是Gateaux可微,且:则x0是f在S上的有效解.证明在可微条件下, f 的次梯度和梯度向量是等价的,由定理1可知:fi(x0)∩(-N(S,x0))≠∅则上式成立.下面举例说明在上面两个推论的证明中上半连续这个条件是非常关键的.例1 令X=R2,S=R-×R,f=(f1,f2),其中f1(r,s)=r,f2图像如图1所示.取x0=(0,0)时,则有(-1,0)).但是x0不是f在S上的有效解.一些限制条件的提出是为了满足式(1)必要性的成立,注意到即使在凸性条件下,为了得到必要性条件也必须要满足一些限制条件.下面给出了证明.定理4 设x0是(MOP)问题的有效解,但是x0不是f在X的局部有效解,则:i)如果X 是有限维,则存在y0≠0,λi>0,i∈I使得 .ii)如果f在[f < f(x0)]上任意一点都是上半连续,则存在y0≠0,λi>0,i∈I使得).证明集合G=[f<f(x0)]和F是凸,非空和不相交,且如果fi在[f<f(x0)]上任意一点都是上半连续,集合G是开集,则在这两种情况下∃y0∈X*\{0},r∈R使得:〈y0,w-x0〉≥r≥〈y0,u-x0〉,∀w∈F,∀u∈G.取w=x0,得到r≤0,有:存在λi>0,i∈I使得:当G是开集时,有:存在λi>0,i∈I使得:假设x0不是f在X上的局部有效解,存在任意靠近x0的点u∈G使得r=0,即:-y0∈N(F,x0).下面的例子为了说明x0不是局部有效解这个条件不可省略.例2 设f=(f1,f2):R→R定义如下,其中f1(x)=x,令S=[0,1],对于x0=0,它不是f的局部有效解.∂*f1(x0)=∂*f2(x0)=(0,+),-N(S,x0)=R+,取λ1=λ2=1有:⊂-N(S,x0),然而对于x0=1,∂*f1(x0)=∂*f2(x0)=(0,+),-N(S,x0)=R+,对任意λi>0都不会成立.但x0=1是f的局部有效解.推论3 设f是拟凸函数, S是X的凸子集,x0∈S不是f在X的局部有效解.假设f在[f≤f(x0)]上每一点都是上半连续,则x0是f 在S上的有效解当且仅当:∅,或者:{0}.其中λi>0,i∈I.证明由∂fi(x0)∩(-N(S,x0))≠∅,i=1,2,…,p,已知-N(S,x0)为凸锥.则对∀λi>0,都有:∅.而:由-N(S,x0)为凸集且有:∅.又-N(S,x0)为锥.则:∅.即:∅.推论4 设f在X上是连续拟凸函数, X上的局部有效解就是全局有效解,令inff(S)>inf f(X).假设f在[f≤inf f(S)]上是Lipschitzian,则下面的结论在x0∈S上是等价:i)x0是f在S上的有效解;ii)∂≤f(x0)∩(-N(S,x0))≠∅;iii)∂<f(x0)∩(-N(S,x0))≠∅.证明证明方法同推论3一样.【相关文献】[1] MANGASARIAN O L.A simple characterization of solution sets of convexprograms[J].OperationsResearch Letters,1988,7(1):21-26.[2] JEYAKUMAR V,WOLKOWICZ H.Generalizations of Slater′s constraint qualification for infinite convexprograms[J].Mathematical Programming,1992,57(1/2/3):85-101.[3] JEYAKUMAR V.Infinite-dimensional convex programming with applications to constrained approximation[J].Journal of Optimization Theory &Applications,1992,75(3):569-586.[4] PENOT J P.Characterization of Solution Sets of QuasiconvexPrograms[J].Journal of OptimizationTheory & Applications,2003,117(3):627-636.[5] JEYAKUMAR V,YANG X Q.Convex composite multi-objective nonsmoothprogramming[J].MathematicalProgramming,1993,59(1/3):325-343.[6] JEYAKUMAR V,LEE G,DINH grange Multiplier Conditions Characterizing the Optimal SolutionSets of Cone-Constrained Convex Programs[J].Journal of Optimization Theory & Applications,2004,123(1):83-103.[7] JEYAKUMAR V,LEE G M,DINH N.Characterizations of solution sets of convex vector minimizationproblems[J].European Journal of Operational Research,2006,174(3):1380-1395.[8] QUYENT.Optimality conditions in quaiconvex vector optimization[J].Southeast-Asian J,2014,3(1):24-32.[9] KANZI N,SOLEIMANI-DAMANEH M.SLATER CQ.Optimality and duality for quasiconvex semi-infiniteoptimization problems[J].Journal of Mathematical Analysis &Applications,2016,434(1):638-651.[10] MISHRA S,UPADHYAY B,AN grange Multiplier Characterizations of Solution Sets of ConstrainedNonsmoothPseudolinear Optimization Problems[J].Journal of Optimization Theory & Applications,2014,160(3):763-777.[11] PENOT J P.Are Generalized Derivatives Sseful for Generalized ConvexFunctions?[M].Springer US:Generalizedconvexity,generalized monotonicity:recent results,1998:3-59.[12] CLARK F H.Optimization and NonsmoothAnalysis[M].New York:Wiley-Interscience,1983.[13] GUTIERREZ J M.Infragradientes y direcciones de decrecimiento[J].Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas Fisicas y Naturales,Madrid,1984,78(4):523-532.[14] PLASTRIA F.Lower subdifferentiable functions and their minimization by cutting planes[J].Journalof Optimization Theory and Applications,1985,46(1):37-53.。

向量优化问题C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker最优性条件

向量优化问题C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker最优性条件

向量优化问题C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker最优性条件张万里;赵克全【摘要】在实局部凸Hausdorff拓扑线性空间中基于co-radiant集提出了C(ε)-真有效性概念.用实例证明其与相关文献中提出的真ε-有效性不同,且包含Benson 真有效性作为其特例.此外,在邻近C(ε)-次似凸性假设下获得了Kuhn-Tucker型必要条件,利用标量化定理得到了Kuhn-Tucker型充分条件.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2015(031)003【总页数】8页(P323-330)【关键词】向量优化;C(ε)-真有效解;Kuhn-Tucker最优性条件【作者】张万里;赵克全【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆401331;重庆师范大学数学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O221.6在向量优化问题研究中,真有效性概念起着十分重要的作用[1-2].近年来,引起了国内外学者的广泛关注,并取得了一系列重要的研究成果.1979年,文献[3]提出了一类改进的真有效性—-Benson真有效性.2000年,文献[4]利用Benson真有效性的思想,提出了ε-Benson真有效性,并建立了标量化定理、ε-Lagrange乘子定理、ε-真鞍点定理和ε-真对偶定理.2006年,文献[5]引进了co-radiant集这类新的工具,提出了新的ε-有效性概念,推广并且统一了很多现有的真有效性及近似真有效性概念.2011年,文献[6]借助于Gutiérrez等人的思想引进了Benson意义下近似真有效解的概念并包含了Benson真有效解作为其特例,利用非线性标量化函数建立了最优性条件,并在锥次似凸假设下建立了线性标量化定理.2012年,文献[7]提出了与文献[6]等价的C(ε)-真有效解概念,并在邻近锥次似凸假设下建立了标量化定理,获得了近似真鞍点定理.其它类型的近似真有效解概念可参见文献[8-9]等.受文献[6-8]的启发,本文在实局部凸Hausdorff拓扑线性空间中基于co-radiant集提出了C(ε)-真有效性概念,它包含了Benson真有效性作为其特例.通过例子说明了C(ε)-真有效性概念与文献[6]中提出的真ε-有效性概念不同.进一步在邻近C(ε)-次似凸假设下,获得了C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性必要条件,并利用标量化定理得到了C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性充分性条件.此外,给出了与向量优化问题等价的无约束优化.假设X为拓扑线性空间,Y,Z为实局部凸Hausdorff拓扑线性空间,K和P分别表示Y 和Z中的闭凸点锥.若K∩(-K)={0},则称K为点的.令C⊆Y、int C、cl C、cone C分别表示C的内部、闭包和锥包.称C是真的,若∅≠C≠Y.若αc∈C,∀c∈C,∀α>1,则称C为co-radiant集.称C是星型集,如果存在q∈C使得引理 1.1[5]设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集且int(kern C)≠∅,则引理1.2[10]设闭凸锥K1,K2⊆Y且K1∩K2={0}.若K2是点锥且是局部紧的,则引理1.3[11]设V是实局部凸空间,凸集M,N⊆V满足则存在V中的超平面分离M和N.引理1.4[12]设A,B⊆Y,则A+int B⊆int(A+B).引理1.5[13]设A,B⊆Y,int A=A.若B是凸集且int B≠∅,则A+B=A+int B.本节基于星型co-radiant集,提出C(ε)-真有效点的定义,通过具体例子说明它与文献[6]中提出的真ε-有效点的概念不同,并包含Benson真有效点作为其特例.此外,还给出了关于C(ε)-真有效点性质的一个定理.定义 2.1 设ε≥0,C⊆Y为真星型co-radiant集且int(kern C)≠∅,A⊆Y.若则称a∈A是C(ε)-真有效点.C(ε)-真有效点的全体记为PE(A,C,ε).注2.1 (i)当C⊆K,cl cone(kern C)=K时与文献[7]中的定义是一致的;(ii)当cl cone(kern C)=K时,PE(A,C,0)就退化为经典的Benson真有效性;(iii)本文的定义与文献[6]中的定义不等价,以下例子可以说明这一点.例2.1令例2.2令定理2.1 (i)PE(A,C,0)⊆PE(A,C,ε),∀ε>0;(ii)PE(A,C,ε1)⊆PE(A,C,ε2),∀ε2>ε1>0;(iii)若x∈PE(A,C,ε),则x∈PE(A,C,aε),∀a>1,∀ε>0;(iv)证明根据定义2.1及C(ε)的性质,容易得到定理2.1的结论成立.向量优化问题在各种解意义下的最优性条件是最优化理论及应用的重要组成部分,是建立现代算法的重要基础.下面给出C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性必要条件和充分条件.本文考虑集值优化问题:其中集值映射F:X⇒Y,G:X⇒Z具有非空值且D≠∅.定义这里µ∈Y∗,C⊆X.(F,G)表示从X到Y×Z的集值映射,记作(F,G)(x)=F(x)×G(x).设ε≥0,x0∈D称为(VP)的C(ε)-真有效解,如果F(x0)∩PE(A,C,ε)≠∅;(x0,y0)称为(VP)的C(ε)-真有效点,如果x0∈D且y0∈F(x0)∩PE(A,C,ε).基于文献[14]的思想,文献[7]提出了如下的邻近C(ε)-次似凸性概念,相似的广义凸性概念也参见文献[8-9].定义3.1[7]设ε≥0,S⊆X.称集值映射F:S⇒Y在S上是邻近C(ε)-次似凸的,若cl cone(F(S)+C(ε))是凸集.引理 3.1 设C⊆Y为真星型co-radiant集满足kern C≠∅,则kern C是凸集.引理 3.2 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集,int(kern C)≠∅,则引理3.3设C⊆Y为真星型co-radiant集满足int(kern C)≠∅,µ∈(cl cone (kern C))+s,则µC也是真星型co-radiant集满足int(kernµC)≠∅且int (µC(ε))=µint C(ε).定理 3.1 设ε>0,C⊆Y为真星型 co-radiant集且 int(kern C)≠∅.如果µ∈(cl cone(kern C))+s,(F,G)在X上是邻近(C(ε)×P)-次似凸的,则(µF,G)在X上是邻近(µC(ε)×P)-次似凸的.证明由引理3.3易得定理3.1成立.定理3.2 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集,int(kern C)≠∅.F:D⇒Y,y0∈F(D).如果存在µ∈(cl cone(kern C))+s满足则y0∈PE(F(D),C,ε).接下来,建立C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性必要条件和充分条件.定理 3.3 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集,int(kern C)≠∅.假设以下条件成立:(i)(x0,y0)是(VP)问题的C(ε)-真有效点;(ii)(F-y0,G)在X上是邻近(C(ε)×P)-次似凸的;(iii)cl cone(G(X)+P)=Z,则存在µ∈(cl cone(kern C))+s和φ∈P+,使得定理 3.4 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集满足int(kern C)≠∅.若x0∈D,且存在y0∈F(x0),µ∈(cl cone(kern C))+s和φ∈P+满足则(x0,y0)是(VP)的C(ε)-真有效点.根据定理3.3和定理3.4下面的结论是显然的.推论 3.1 设ε>0,C⊆Y为真星型co-radiant集,且int(kern C)≠∅.假设以下条件成立:(i)(x0,y0)是(VP)的C(ε)-真有效点;(ii)(F-y0,G)在X上是邻近(C(ε)×P)-次似凸的;(iii)cl cone(G(X)+P)=Z,则(x0,y0)是(VP)的C(ε)-真有效点当且仅当存在µ∈(cl cone(kern C))+s和φ∈P+,使得【相关文献】[1]Jahn J.Vector Optimization:Theory,Applications,and Extensions[M].Berlin:Springer,2004.[2]Chen G Y,Huang X X,Yang X Q.Vector Optimization[M].Vol 541,Lecture Notes in Economics and Mathematical Sciences.Berlin:Springer,2005.[3]Benson H P.An improved definition of proper efficiency for vector maximization with respect to cones[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1979,71(1):232-241.[4]Rong W D,Ma Y.ε-Properly efficient solutions of vector optimization problems with set-valued maps[J].Operations Research Transactions,2000,4(4):21-32.[5]Gutiérrez C,Jiménez B,Novo V.A unified approach and optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems[J].SIAM Journal on Optimization,2006,17(3):688-710.[6]Gao Y,Yang X M,Teo K L.Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems[J].Journal of Industrial and Management Optimization,2011,7(2):483-496.[7]G utiérrez C,Huerga L,Novo V.Scalarization and saddle points of approximate proper solutions in nearly subconvexlike vector optimization problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,389(2):1046-1058.[8]Zhao K Q,Yang X M.E-Benson proper efficiency in vector optimization[J].Optimization,2013,64(4):1-4.[9]Zhao K Q,Xia Y M.A kind of unified proper efficiency in vector optimization [J].Abstract and Applied Analysis,2014(2014):Article ID 636907,5 pages. [10]Borwein J.Proper efficient points for maximizations with respect to cones[J].SIAM Journal on Control and Optimization,1977,15(1):57-63.[11]Tiel J V.Convex Analysis[M].New York:John Wiley and Sons,1984.[12]Tanaka T,Kuroiwa D.The convexity of A and B assures int A+B=int(A+B)[J].Applied mathematics letters,1993,6(1):83-86.[13]Tanaka T,Kuroiwa D.Another observation on conditions assuring int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letters,1994,7(1):19-22.[14]Yang X M,Li D,Wang S Y.Near-subconvexlikeness in vector optimization with set-valued functions[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2001,110(2):413-427.。

【复习笔记】最优化方法-3.无约束优化方法

【复习笔记】最优化方法-3.无约束优化方法

【复习笔记】最优化⽅法-3.⽆约束优化⽅法第三章⽆约束优化⽅法本⽂是本⼈研究⽣课程《最优化⽅法》的复习笔记,主要是总结课件和相关博客的主要内容⽤作复习。

3.1 算法理论基础1. ⽆约束优化问题的最优性条件先是⼀元函数取得极值的条件,⾼中就学过的然后是拓展到多元函数后的理论这三条和前⾯⼀元函数的三条是⼀⼀对应的,半正定对应⼤于等于,正定对应严格⼤于。

这⾥的最优性⼀直在说的都是局部最优性。

2. ⽆约束凸规划问题的最优性条件凸规划就有⼀个很好的特点,就是只要是局部最优解,那他就是全局最优解,也就是不存在鞍点了,再把前⾯的思路拓展就可以得到很好的结果了。

3. 线搜索下降算法及其收敛性算法收敛性收敛速度后⾯的⼏种⽅法总览参考:【1】最速下降法利⽤⽬标函数⼀阶梯度进⾏下降求解,易产⽣锯齿现象,在快接近最⼩值时收敛速度慢。

Newton法利⽤了⼆阶梯度,收敛速度快,但是⽬标函数的Hesse矩阵不⼀定正定。

于是出现了修正的Newton法,主要是对不同情况进⾏了分情况讨论。

Newton法的优缺点都很突出。

优点:⾼收敛速度(⼆阶收敛);缺点:对初始点、⽬标函数要求⾼,计算量、存储量⼤(需要计算、存储Hesse矩阵及其逆)。

共轭梯度法是介于最速下降法和⽜顿法之间的⼀个⽅法,相⽐最速下降法收敛速度快,并且不需要像⽜顿法⼀样计算Hesse矩阵,只需计算⼀阶导数(共轭梯度法是共轭⽅向法的⼀种,意思是搜索⽅向都互相共轭)。

拟Newton法是模拟Newton法给出的⼀个保优去劣的算法。

3.2 最速下降法最速下降⽅向:梯度的定义是:变化最快的⽅向,其实指向的就是上升最快的⽅向。

下降最快的⽅向是梯度的反⽅向,即−g k。

1. 算法框架2. 优缺点3. 精确⼀维线搜索 + 最速下降法:4. 例题3.3 ⽜顿法这⾥参考博客:1. ⽜顿法与阻尼⽜顿法2. 优缺点Processing math: 100%3. 例题3.4 共轭梯度法共轭⽅向法是介于最速下降法和Newton法之间的⼀种⽅法。

凸优化问题的拟凸规划算法研究

凸优化问题的拟凸规划算法研究

凸优化问题的拟凸规划算法研究第一章引言1.1 研究背景凸优化问题在数学和工程领域中具有重要的应用价值。

然而,一些实际问题并不总是严格符合凸优化的条件,而是拟凸的。

为了解决这些拟凸优化问题,研究人员提出了一系列拟凸规划算法。

本文旨在对这些算法进行研究和总结。

1.2 研究目的本文旨在系统地研究和分析拟凸规划算法,并对其应用进行探讨。

通过对不同算法的比较和实验验证,为解决实际问题提供有效的方法。

第二章凸优化与拟凸优化2.1 凸集与凸函数介绍了集合、函数以及它们之间关系中的重要概念,并详细讨论了什么是凸集以及什么是凹函数。

2.2 函数可微性与可微性条件讲解了可微性概念,并介绍了一些常见函数类别中可微性条件。

2.3 函数最小值与最大值介绍了如何通过最小值和最大值来判断一个函数是否为凸函数。

2.4 拟凸函数定义了拟凸函数,并与凸函数进行了对比。

第三章拟凸规划算法3.1 拟凸规划问题的数学模型对拟凸规划问题进行数学建模,并给出一些实例。

3.2 穷举法介绍了一种简单但低效的算法,通过枚举所有可能的解来求解拟凸规划问题。

3.3 近似算法介绍了一些近似算法,通过近似求解来得到问题的近似最优解。

3.4 迭代优化算法详细介绍了迭代优化算法,包括梯度下降、牛顿迭代等方法,并探讨其在拟凸规划中的应用。

第四章算例分析与实验验证4.1 算例分析通过一些具体的例子,对比不同算法在求解拟凸优化问题中的效果和性能差异,并进行详细分析和讨论。

4.2 实验验证通过设计和实施一系列实验,验证不同算法在不同情况下的性能表现,并得出结论和建议。

第五章结果与讨论5.1 结果总结与分析总结并分析了前面章节中的研究结果,对比不同算法的优缺点,并对其应用进行评估。

5.2 研究限制与展望对本研究的限制进行了讨论,并展望了未来可能的研究方向和改进方法。

第六章结论本文通过系统地研究和分析拟凸规划算法,深入探讨了凸优化问题与拟凸优化问题之间的关系。

通过实验验证和算例分析,验证了不同算法在求解拟凸问题中的有效性和性能差异。

凸函数和全局最优解的存在性

凸函数和全局最优解的存在性

凸函数和全局最优解的存在性数学是一门非常深奥的学科,其中涉及到很多高深的知识,如函数、极值、微积分等等。

其中凸函数是一个非常重要的概念,在很多学科中都有着广泛的应用,尤其是在经济学、运筹学和最优化问题中,凸函数的应用是非常广泛的。

但是对于许多人来说,凸函数是一个非常陌生的概念,他们不知道什么是凸函数,也不知道凸函数和全局最优解之间的关系。

因此,在本篇文章中,我们将来介绍一下凸函数和全局最优解的存在性。

一、什么是凸函数?在了解凸函数和全局最优解的关系之前,我们需要先了解一下什么是凸函数。

凸函数是一种非常重要的函数类型,它具有很多优良的性质,被广泛应用于各个学科中。

在数学中,凸函数是指在定义域上的任意两个点之间的连线不超过函数上方的函数,简单来说,就是函数图像上的任意一条弦,都位于曲线上方。

具体地说,在实数集合上,对于一维函数$f(x)$,如果对于任意的$x_1,x_2\in R$和任意的$\lambda\in[0,1]$,都满足如下的不等式:$$f(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda) f(x_2)$$则函数$f(x)$是凸函数。

对于二维及以上的多元函数,类似的定义也可以推广到更一般的情况。

二、全局最优解的存在性在经济学、运筹学以及最优化理论中,凸函数有着非常重要的应用。

我们都知道,在很多实际问题中,我们常常需要找到一组最优解,也就是一组满足某些条件下的最佳解决方案。

而对于一个凸函数,我们可以证明:定理1:对于一个凸函数$f(x)$,其全局最优解存在且唯一。

证明:设$x^*$和$x^{**}$是凸函数$f(x)$的两个不同的全局最优解,考虑连线$L=\{(1-\lambda)x^*+\lambdax^{**}:\lambda\in[0,1]\}$,由于$f(x)$是凸函数,因此$$f((1-\lambda)x^*+\lambda x^{**})\leq(1-\lambda)f(x^*)+\lambda f(x^{**})$$对于$\lambda=1$,上式就变成了$$f(x^{**})\leq f(x^*)$$对于$\lambda=0$,则有$$f(x^*)\leq f(x^{**})$$由此可知,$f(x^*)=f(x^{**})$。

理解凸优化——精选推荐

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理解凸优化导⾔凸优化(convex optimization)是最优化问题中⾮常重要的⼀类,也是被研究的很透彻的⼀类。

对于机器学习来说,如果要优化的问题被证明是凸优化问题,则说明此问题可以被⽐较好的解决。

在本⽂中,SIGAI将为⼤家深⼊浅出的介绍凸优化的概念以及在机器学习中的应⽤。

凸优化简介在SIGAI之前的公众号⽂章“理解梯度下降法”中我们介绍了最优化的基本概念以及梯度下降法。

如果读者对⽬标函数,优化变量,可⾏域,等式约束,不等式约束,局部极⼩值,全局极⼩值的概念还不清楚,请先阅读那篇⽂章。

求解⼀个⼀般性的最优化问题的全局极⼩值是⾮常困难的,⾄少要⾯临的问题是:函数可能有多个局部极值点,另外还有鞍点问题。

对于第⼀个问题,我们找到了⼀个梯度为0的点,它是极值点,但不是全局极值,如果⼀个问题有多个局部极值,则我们要把所有局部极值找出来,然后⽐较,得到全局极值,这⾮常困难,⽽且计算成本相当⾼。

第⼆个问题更严重,我们找到了梯度为0的点,但它连局部极值都不是,典型的是x3这个函数,在0点处,它的导数等于0,但这根本不是极值点:梯度下降法和⽜顿法等基于导数作为判据的优化算法,找到的都导数/梯度为0的点,⽽梯度等于0只是取得极值的必要条件⽽不是充分条件。

如果我们将这个必要条件变成充分条件,即:问题将会得到简化。

如果对问题加以限定,是可以保证上⾯这个条件成⽴的。

其中的⼀种限制⽅案是:对于⽬标函数,我们限定是凸函数;对于优化变量的可⾏域(注意,还要包括⽬标函数定义域的约束),我们限定它是凸集。

同时满⾜这两个限制条件的最优化问题称为凸优化问题,这类问题有⼀个⾮常好性质,那就是局部最优解⼀定是全局最优解。

接下来我们先介绍凸集和凸函数的概念。

凸集对于n维空间中点的集合C,如果对集合中的任意两点x和y,以及实数0 ≤ θ ≤ 1,都有:则称该集合称为凸集。

如果把这个集合画出来,其边界是凸的,没有凹进去的地⽅。

直观来看,把该集合中的任意两点⽤直线连起来,直线上的点都属于该集合。

凸优化面试题

凸优化面试题

凸优化面试题凸优化是数学中一种重要的优化问题的研究领域,针对凸优化问题,以下是一些常见的面试题,帮助你更好地理解和应对相关问题。

1. 什么是凸集?凸集是指其中的任意两点之间的连线上的点也在集合中的集合。

换句话说,对于凸集中的任意两点,在集合中的连线上的点都在该凸集中。

2. 什么是凸函数?凸函数是定义在凸集上的实值函数,对于凸集中的任意两点,函数值的连线上的点也在函数图像的上方或者等于函数图像。

3. 什么是凸优化问题?凸优化问题是指目标函数是凸函数,约束条件为线性等式或线性不等式的优化问题。

常见的凸优化问题有线性规划、二次规划等。

4. 凸集的性质有哪些?凸集具有以下性质:闭性、凸性、可加性、稳定性和非空性。

5. 凸函数的性质有哪些?凸函数具有以下性质:极小值点就是全局最小值点、任意两点间的连线上的点都满足函数值小于等于这两个点的函数值,并且函数的一次导数是递增的。

6. 如何证明一个函数是凸函数?可以使用以下方法证明函数的凸性:- 使用定义证明:利用定义证明函数图像上的任意两点之间的连线上的点的函数值都小于等于这两个点的函数值。

- 使用一阶导数证明:证明函数的一阶导数是递增的。

- 使用二阶导数证明:证明函数的二阶导数非负。

7. 凸优化问题有哪些常见方法可以求解?常见的凸优化方法包括:梯度下降法、牛顿法、内点法等。

具体选择方法取决于问题的规模、约束条件和求解效率的要求。

8. 怎样将非凸优化问题转化为凸优化问题?有一些常见的方法可以将非凸优化问题转化为凸优化问题,例如引入新的变量、利用凸函数的性质进行放缩、通过松弛约束等。

9. 如何判断一个凸优化问题是否有解?对于凸优化问题,如果目标函数有界且问题满足约束条件,则凸优化问题有解。

此外,一些具体的凸优化问题可以应用解析解或者数值方法得到解。

10. 为什么凸优化在现实中具有重要意义?凸优化在现实中具有广泛的应用,例如在机器学习中用于参数估计、模型拟合和分类问题,还可以应用于经济学、物理学、工程学等领域。

KT必要条件的充分性

KT必要条件的充分性

KT必要条件的充分性
等式约束的最优性条件
对于凸优化来说,KKT条件为充分必要条件,而对于非凸优化来说,KKT条件为必要条件。

注:1.几何意义:f在该最优点上的负梯度为g,h在该点上梯度的线性组合。

2.在该最优点上,不等式约束函数g(x)的梯度方向必须与f的梯度方向在g(x)=0的不同侧(否则该点就不是最优点),即g(x)的梯度方向与f的负梯度方向在g(x)=0的同一侧,因此式中有
u>=0。

对于等式约束来说g的梯度方向可以在g(x)=0的任意一侧,只要保证f的梯度和g的梯度的线性组合共线就行,因此对v的正负性没有要求。

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i
1, 2, , p 为拟凸函数。
定义 2.2 [13]:i) 当 p = 1 时,(MOP)为单目标问题。若存在 µ > 0 ,对任意 x ∈ Ω 满足
f ( x) − f ( x ) ≥ µ x − x ,
则 x ∈ Ω 称为单目标优化问题的严格解。 ii) 当 p ≥ 2 时,(MOP)为多目标问题。若存在 µ > 0 ,对任意 x ∈ Ω 满足
令Ω=
( −∞, +∞ ) ,取 x = 0 ,则 ∂ ≤ f ( x= ) [0, +∞ ) , N ( Ω, x= ) {0} 。因此 0 ∈ ∂ ≤ f ( x ) + N ( Ω, x ) ,但 x 不
是严格解。 若将 0 ∈ ∂ ≤ f ( x ) + N ( Ω, x ) 更改为 µU ∈ ∂ ≤ f ( x ) + N ( Ω, x ) ,其中 U 为 R n 中的闭单位球,则有如下结 论。 定理 3.2:对单目标问题,若存在 µ > 0 使得
ϕ ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ≤ max {ϕ ( x1 ) , ϕ ( x2 )}
则称 ϕ ( x ) 是 Ω 上的拟凸函数。 本文考虑下面的多目标优化问题
( MOP )
= 其中, Ω ∈ R n 为凸集, f ( x )
1 p
min f ( x ) s.t. x ∈ Ω
T
x ) , , f ( x ) ) , f : Ω → R, i ( f ( x), f (=
P ≥ µ x−x , d f ( x ) − f ( x ) , − R+
(
)
则 x ∈ Ω 称为多目标优化问题的严格解。 = R R {+∞} 在 x ∈ domϕ 处的 Plastria 次微分和 Gutierrez 次微分定义如 定义 2.3 [15]:函数 ϕ : Ω → 下
∂ <ϕ ( x = ) ∂ ≤ϕ ( x = )
Open Access
1. 引言
凸性在最优化理论中被广泛使用。然而,在很多实际问题的研究中,我们所研究的函数或集合大都 是非凸的。所以研究各类广义凸函数及其应用具有很重要的现实意义。近年来,凸性的概念已被推广到 不同类型的广义凸函数。特别,1965 年,Mangassrian [1]首次引进拟凸和伪凸的概念并给出若干性质。 1970 年,Cottle 和 Ferland [2] [3]进一步对拟凸优化问题进行了研究,并给出了拟凸函数的一些性质。 另一方面,次微分是研究凸优化问题最优性条件的基本工具。因此,对于广义凸函数类,如何引进 对应的次微分并研究其最优性条件是很重要的研究方向。1973 年,Greenberg 和 Pierskalla [4]定义了拟凸 函数的 Greenberg-Pierskalla 次微分。1985 年,Plastria [5]定义了 Plastria 次微分。随后,Penot [6] [7]利用 拟凸函数几种次微分给出了最优性条件。目前,对拟凸数值优化问题最优性条件的研究已取得一定的进 展[8] [9] [10] [11],而对于拟凸多目标优化问题解的最优性条件研究较少[12]。特别地,文献[13]研究了 凸性条件下严格解的最优性条件,在此基础上我们进一步研究拟凸多目标优化问题严格解的最优性必要 条件。 本文主要研究了拟凸多目标优化问题严格解的最优性必要条件。具体内容安排如下:第 2 节给出拟 凸优化的概念和结果;第 3 节考虑带有抽象集约束的拟凸优化问题,给出多目标拟凸优化问题的最优性 必要条件;第 4 节考虑带有不等式约束的优化问题,给出第 3 节中拟凸优化多目标问题的最优性必要条 件的具体形式。
其中, domϕ =
{x ∈ Ω : {x ∈ Ω :
* * * *
< x* , x − x ≤ ϕ ( x ) − ϕ ( x ) , ∀x ∈ Sϕ (x) ,
x* , x − x ≤ ϕ ( x ) − ϕ ( x ) , ∀x ∈ Sϕ
} ( x )} .
{x ∈ R
p
< : ϕ ( x ) < +∞ , Sϕ (x= )
DOI: 10.12677/aam.2019.83045
402
应用数学进展
李林廷 等
且 u* ∈ N ( S f ( x ) , x ) = R+ ∂ ≤ f ( x ) 。由 x 不是 f 在 Ω 上的局部弱有效解且 Ω ∈ R+ 可知 inf S f ( x ) ≠ ∅ 。因为
令x=x, 则由上式左边可知 c ≤ 0 , 令ω = x , 则由上式右边可知 c ≥ 0 , 因此 c = 0 。 故有 −u * ∈ N ( Ω, x )
N ( Ω, x ) =
{d ∈ R
*
n
: d T x ≤ 0, ∀x ∈ T ( Ω, x )
}
特别的当 Ω 是凸集时,法锥退化为
N ( Ω, x = )
对 x, y ∈ R p
{x ∈ R
n
: x* , x − x ≤ 0, ∀x ∈ Ω
}
x < y ⇔ xi < yi
x y ⇔ xi yi


本文对拟凸多目标优化问题的严格解进行研究。利用拟凸次微分给出拟凸优化问题严格解的最优性必要 条件。首先,引进拟凸函数次微分的基本概念和严格解的概念。然后,将拟凸函数次微分的概念应用到 拟凸优化问题中,给出拟凸优化问题严格解的最优性必要条件。
文章引用: 李林廷, 杨铭, 高英. 拟凸优化问题严格解的最优性必要条件[J]. 应用数学进展, 2019, 8(3): 400-406. DOI: 10.12677/aam.2019.83045
µU ∈ ∂ ≤ f ( x ) + N ( Ω, x ) ,
则称 x ∈ Ω 为单目标优化问题的严格解。 证明:令 x ∈ Ω 则 x − x ∈ T ( Ω, x ) 。存在 x* ∈ U 使得
x* ( x − x ) = x − x ,
由 µU ∈ ∂ ≤ f ( x ) + N ( Ω, x ) 可知,存在 ξ * ∈ ∂ ≤ f ( x ) 使得 µ x* − ξ * ∈ N ( Ω, x ) ,即
(µx
故有
*
−ξ*
) ( x − x ) ≤ 0,
µ x* ( x − x ) ≤ ξ * ( x − x ) ≤ f ( x ) − f ( x ) ,
所以
µ x − x ≤ f ( x) − f ( x ).
即 x 为单目标优化问题的严格解。 下面,我们针对多目标优化问题给出严格解的最优性必要条件。 定理 3.3: x ∈ Ω 为多目标优化问题的严格解, fi 在 x 处为 Gutierrez 函数,且 x 不是 f 在 Ω 上的局部 弱有效解,则存在不全为零的 λi ≥ 0, i = 1, 2, , p ,使得
}
) { x ∈ Ω : ϕ ( x ) ≤ ϕ ( x )} 。 { x ∈ Ω : ϕ ( x ) < ϕ ( x )} , Sϕ ( x =
< 定义 2.4 [15]:称 ϕ : Ω → R 在 x 处为 Plastria 函数,若严格水平集 Sϕ ( x ) 是凸的,且有
< N Sϕ ( x ) , x= R+ ∂ <ϕ ( x )
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(3), 400-406 Published Online March 2019 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2019.83045
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
≤ 称 ϕ : Ω → R 在 x 处为 Gutierrez 函数,若水平集 Sϕ ( x ) 是凸的,且有
N ( Sϕ ( x ) , x= ) R+ ∂ ≤ϕ ( x )
3. 拟凸条件下严格解的最优性必要条件
本节内容主要利用拟凸的次微分给出拟凸单目标和多目标优化问题的最优性必要条件。 首先,考虑单目标优化问题严格解的最优性必要条件。 定理 3.1: x ∈ Ω 为单目标优化问题的严格解,f 在 x 处为 Gutierrez 函数,且 x 不是 f 在 Ω 上的局部 弱有效解,则
李林廷 等
关键词
拟凸优化,严格解,最优性条件
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
Keywords
Quasiconvex Optimization Problems, Strict Solution, Optimality Condition
拟凸优化问题严格解的最优性必要条件
李林廷,杨 铭,高 英
重庆师范大学数学科学学院,重庆
收稿日期:2019年2月11日;录用日期:2019年2月27日;发布日期:2019年3月6日
2. 预备知识
n 设 R n 是 n 维欧几里得空间, R+ 为非负象限, Ω ∈ R n 是非空集合。 cl Ω , coneΩ 分别表示 Ω 的闭包
和锥包。对 x ∈ R n , d ( x, Ω ) 表示 x 到 Ω 的距离。 对 x ∈ cl Ω , Ω 在 x 的切锥和法锥分别定义为
xi − x = d T ( Ω, x= ) d ∈ R n : ∃{ xi } ⊆ Ω, ti ↓ 0, s.t. lim i →∞ ti
u * ≠ 0 ,所以存在 ξ ∈ ∂ ≤ f ( x ) , r ∈ R+ ,使得 ξ ∈ ru * ,所以 0 ∈ ∂ ≤ f ( x ) + N ( Ω, x ) 。
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