三角恒等变换单元测试基础篇

三角恒等变换单元测试基础篇
一．选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（2019•北京学业考试）cos（α﹣β）等于（）
A．cosαcosβ+sinαsinβB．cosαcosβ﹣sinαsinβ
C．sinαcosβ+cosαsinβD．sinαcosβ﹣cosαsinβ
【解析】解：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．故选：A．
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的公式，是基本知识的考查．
2．（2019秋•乃东区校级月考）求sin120°cos15°+cos60°cos105°的值（）
A．1 B．3 C．D．
【解析】解：sin120°cos15°+cos60°cos105°＝sin60°cos15°﹣cos60°sin15°
＝sin（60°﹣15°）＝sin45°．故选：C．
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数以及诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，是基本知识的考查．
3．（2019秋•湛江校级月考）已知，则cos2α＝（）
A．B．C．D．
【解析】解：由，得﹣sinα，即sin．
∴cos2α．
故选：C．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式与二倍角的余弦，是基础题．
4．（2019秋•太和县校级月考）若，且θ为第三象限角，则的值等于（）A．B．C．﹣7 D．7
【解析】解：若，且θ为第三象限角，则sinθ，
∴tanθ，7，
故选：D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
5．（2019•西湖区校级模拟）已知若，且θ∈（0，π），则（）
A．B．C．±D．
【解析】解：∵，且θ∈（0，π），
∴∈（0，），
∴cos0，
∴．
故选：A．
【点睛】本题注意考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6．（2019秋•兴庆区校级月考）已知2sinα＝cosα，则（）
A．B．3 C．6 D．12
【解析】解：∵已知2sinα＝cosα，∴tanα，则2+2tanα＝3，故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．
7．（2019秋•辛集市校级月考）已知tanα＝﹣3，α是第二象限角，则（）A．B．C．D．
【解析】解：已知tanα＝﹣3，α是第二象限角，根据三角函数的定义求出，
所以sin（）＝cos．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和
转换能力及思维能力，属于基础题型．
8．（2019秋•兰州期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，若a2+b2﹣ab＝c2＝2S，则△ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】解：由a2+b2﹣ab＝c2，且c2＝a2+b2﹣2ab cos C，得
﹣ab＝﹣2ab cos C，则cos C，即C；
又a2+b2﹣ab＝2S，
∴2a2+2b2﹣5ab＝0，得a＝2b或b＝2a．
当a＝2b时，代入a2+b2﹣ab＝c2，得a2＝b2+c2；
当b＝2a时，代入a2+b2﹣ab＝c2，得b2＝a2+c2．
∴△ABC是直角三角形，不是等腰三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形形状的判定，考查余弦定理及正弦定理的应用，是中档题．
9．（2019秋•武汉月考）已知函数f（x）＝a sin x+cos x（a∈R）为偶函数，则（）A．B．C．D．
【解析】解：∵f（x）＝a sin x+cos x（a∈R）为偶函数
∴f（﹣x）＝f（x），即﹣a sin x+cos x＝a sin x+cos x，
则a sin x＝0恒成立，则a＝0，
则f（x）＝cos x，则cos（），
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的值的计算，结合偶函数的性质建立方程求出a的值是解决本题的关键．10．（2019春•城中区校级月考）已知5，则cos2αsin2α＝（）A．B．3 C．﹣3 D．
【解析】解：∵5，
∴sinα+2cosα＝5sinα﹣10cosα，
即12cosα＝4sinα，
则tanα＝3，
则cos2αsin2α＝cos2α+sinαcosα，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及1的代换，结合弦化切是解决本题的关键．
二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（2019秋•渝中区校级月考）sin20°+2sin20°cos40°＝．
【解析】解：sin20°+2sin20°cos40°＝sin（40°﹣20°）+2sin20°cos40°
＝sin40°cos20°﹣sin20°cos40°+2sin20°cos40°
＝sin40°cos20°+sin20°cos40°
＝sin60°．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了两角差及和的正弦公式的简单应用，解题的关键是把20°＝40°﹣20°，属于基础试题
12．（2019春•秦州区校级月考）已知sinα﹣cosα＝0，则cos（2）＝﹣1．【解析】解：因为sinα﹣cosα＝0，所以（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α＝0，即有sin2α＝1，则cos（2）＝﹣sin2α＝﹣1，故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查三角函数的恒等变化，属于基础题．
13．（2019秋•宛城区校级月考）若点P（sinα，cosα）在直线y＝﹣2x上，则．【解析】解：∵点P（sinα，cosα）在直线y＝﹣2x上，∴2，即tanα，
则，故答案为：．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．
14．（2020•天河区一模）设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x cos x取得最大值，则tan（θ）＝2．【解析】解：f（x）＝sin x cos x＝2sin（x）；
∵当x＝θ时，函数f（x）取得最大值
∴θ；
∴θ2kπ，k∈z；
∴tan（）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
三．解答题（共4小题，满分30分）
15．（7分）（2019秋•翠屏区校级月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，且B为锐角
（1）求B；
（2）若b＝1，求△ABC面积的最大值．
【解析】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，所以，整理得，所以，
由于B为锐角，所以B．
（2）由于B．利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac•cos B，
整理得，即，
所以．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力
16．（7分）（2019•浙江学业考试）已知函数．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）∵，
∴；
（Ⅱ）∵，
∴函数f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅲ）由已知，得，
∴当x，即时，函数的最小值为．
【点睛】本题考查y＝A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．
17．（8分）（2019•诸暨市模拟）已知函数f（x）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足f（B）＝2，a＝8，c＝5，求cos A的值．
【解析】解：（1）函数f（x），令（k∈Z），整理得（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足f（B）＝2，
所以，解得：B．由于a＝8，c＝5，所以b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝49，
解得b＝7，所以．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
18．（8分）（2019秋•市中区校级月考）已知函数
（1）求函数y＝f（x）的单调减区间和对称轴
（2）若不等式f（x）+1＜m在上有解，求m的取值范围
【解析】解：（1）由题意
f（x）＝sin（2x）+2（sin2x﹣1）
1﹣cos2x﹣2
sin2x 1
＝sin（2x）﹣1．
由2kπ2x2kπ，k∈Z．
整理，可得kπx≤kπ，k∈Z．
∴函数y＝f（x）的单调减区间为：（kπ，kπ），k∈Z．
又∵2x kπ，解得x，
∴函数y＝f（x）的对称轴方程为：x，k∈Z．
（2）f（x）+1＝sin（2x）．
∵0≤x，∴2x，
∴sin（2x）≤1．
∴要使不等式有解，必须m．
∴m的取值范围为（，+∞）．
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及二倍角相关导出公式进行化简，正弦函数的性质，不等式的性质，本题属中档题.。