高二下学期数学3月质量监控试卷

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2023-2024学年重庆市高二下学期3月月考数学质量检测试题(含答案)

2023-2024学年重庆市高二下册3月月考数学质量检测试题一、单选题1．已知集合(){}{}21,60A x y ln x B x x x ==+=--≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．(]1,3-C ．(]3,2-D ．()1,3-【正确答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】(){}{}{}1101A x y ln x x x x x ==+=+>=>-，{}()(){}{}26032023B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以A B ⋂{}(]131,3x x =-<≤=-，故选：B2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（）A ．0.97B ．0.86C ．0.65D ．0.55【正确答案】A【分析】在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是0.97．故选：A ．本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A ．8=24(8)4n n n n -+---B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+-D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-【正确答案】A【分析】由已知结合归纳推理即可求解【详解】解：从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n ，另一个分子必为8－n ，故8=24(8)4n n n n -+---满足；故选：A4．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B分别化简命题p 和命题q ，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．【详解】命题p ：220x x +->等价于1x >或<2x -；命题q ：()(){}3{|lg 23}|230|2x f x x x x x x ⎧⎫=-=->=>⎨⎬⎩⎭则p 是q 的必要不充分条件故选：B5．函数22o )l g (1f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．1184⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．112⎛⎫⎪⎝⎭D ．()12，【正确答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解．【详解】2111151log 08484f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭211151log 04242f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭21111log 1022f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭()12110f =-=>()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，221log ()f x x x ∴=-+的零点所在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C6．某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为x24568y3040605070A ．-10B ．0C ．10D ．20【正确答案】C【分析】由已知求得,x y 的值，得到ˆa，求得线性回归方程，令5x =求得y 的值，由此可求解结论.【详解】由题意，根据表格中的数据，可得2456830406050705,5055x y ++++++++====，所以ˆ6506520ay x =-⨯=-⨯=，所以ˆ620y x =+，取5x =，得ˆ652050y=⨯+=，所以随机误差的效应（残差）为605010-=，故选C.本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．设曲线f (x )＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝（）A ．2B ．－116C ．12D ．－1【正确答案】B【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解．【详解】f (x )＝ax 2，则()2f x ax'=因为在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，所以()1244f a =-'=所以116a =-故选：B8．函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x xx x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【正确答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(C ．(,-∞D ．(0,【正确答案】A先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可.【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120xg x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ≤故选：A.利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立；（2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.12．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-b a b a ，则（）A ．124+=+a bB ．122-=-a b C ．2a b >D ．240b a -<【正确答案】B【分析】利用基本不等式可得)222212b a +-≥（当且仅当222b a =时取等号），利用熟知的结论1ln x x -≥（当且仅当1x =时取等号）进行放缩可得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知条件，得到22ln ln 222b a b a +=+-，考虑到各不等式取等号的条件，解得,a b 的值，然后逐一检验即可做出正确判断.【详解】先证明熟知的结论：1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.设()1ln f x x x =--,则()11f x x'=-,在(0,1)上，()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,+∞)上，()0f x '>,()f x 单调递增.故()()11100min f x f ==--=,∴()1ln f x x x =-≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.由)22222212lnln ln 2b a a b +-≥=≥+,由已知22ln ln 222b a b a +≤+-，∴22ln ln 222b a b a +=+-，且2221b a ⎧=⎪=，解得12a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,经检验只有B 正确，故选：B.本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号进行研究，得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和1ln x x -≥取等号的条件，才能列出方程组求得,a b 的值.二、填空题13．函数()f x =__________．【正确答案】(0,1)(1,]e ⋃【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求x 的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：01ln 0220x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得0x e <≤且1x ≠.故答案为.(0,1)(1,]e ⋃14．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________.【正确答案】1【分析】由复数除法求得z 后可得z ，从而得其虚部．【详解】由已知243(43)(12)4836212(12)(12)5i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，2z i =+，虚部为1．故1．15．已知函数()f x 定义域为R ，满足 ()(2)f x f x =-，且对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-，则不等式(21)(3)0f x f x ---≥解集为______．【正确答案】4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出函数()f x 关于直线1x =对称，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．在(],1-∞上单调递减，再解不等式|211||31|x x --≥--即得解.【详解】因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-成立，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．由对称性可知()f x 在(],1-∞上单调递减．因为()()2130f x f x ---≥，即()()213f x f x -≥-，所以|211||31|x x --≥--，即|22||2|x x -≥-，解得0x ≤或43x ≥．故4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：对于函数问题的求解，通常要先研究函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性等，再利用这些性质求解函数的问题.16．已知函数()()()202ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【正确答案】(),16ln 224-∞-【分析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围．【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <），则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>，所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=，当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-.因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-.故答案为.(),16ln 224-∞-本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知命题:,p x R ∀∈240++≤mx x m .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题[]:2,8q x ∃∈，使得2log 1m x ≥，当p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题时，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）14m ≤-；（2）14m ≤-.（1）由题得0m <且21160∆=-≤m ，解不等式即得m 的取值范围；（2）先转化为[]2,8x ∃∈，21log m x ≥，再求21log x的最小值得m 的范围，因为p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题，所以p 真q 假，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（1）∵2,40x R mx x m ∀∈++≤，0m ∴<且21160∆=-≤m ，解得14m ≤-p ∴为真命题时，14m ≤-.（2）[2,8]∃∈x ，21log m x ≥，又[2,8]x ∈时，211[,1]log 3x ∈，13m ∴≥∵p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题∴当p真q假，有1413mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得14m≤-【点晴】方法点晴：复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占2 5．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.87910.828参考公式为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【正确答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”；（2）35．【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，再由公式计算2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）先由题中条件，确定被抽取的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ；用列举法写出总的基本事件，以及满足“恰有1人不赞成种植”的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意可得2×2列联表：赞成种植不赞成种植合计45岁及以下20015035045岁以上100150250合计30030060022600(200150150100)300300350250K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12017.1437.8797=≈>经查表，得()27.8790.005P K >≈，所以有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．（2）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为2:3，所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ，从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法：(,)a b ，(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ，共有10种不同的结果，两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，共有6种结果．所以所求概率63105P ==．方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.19．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若a<0，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.【正确答案】（1）20190x y --=；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得解；（2）对函数求导，结合二次函数的性质，按照0a -≤<、a <-()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解.【详解】（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++，2()324f x x x '=++Q ，(2)20f '∴=即切线的斜率20k =，(2)21f =Q ，∴切线方程为2120(2)y x -=-即20190x y --=；（2）导函数2()324f x x ax '=++的对称轴为03a x =->，①当24480a ∆=-≤即0a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当24480a ∆=->即a <-(0)40f '=>，令2()3240f x x ax '=++=，则13a x -=，23a x -=，因为120x x <<，所以当0x <<或x >时，()0f x '>；x <<时，()0f x '<；所以()f x在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；()f x 在33a a a a ⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.本题考查了导数几何意义的应用及利用导数研究函数的单调性，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.（2）由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21．已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【正确答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20x f x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥，①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102x h x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102x x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max 7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦,综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x x f x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e 74244e -+++⇔xx x x ，令()223e 7424()(0)e -+++=≥x x x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x x x x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=x x x x ()2(2)2e 9e ⎡⎤--+-⎣⎦x x x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎣⎦x 时，()0,()h x h x <'单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21x g x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意.综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.【正确答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2))6π,)3π,2)3π,5)6π.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）求函数()f x 的最小值.【正确答案】（1）{7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭；（2）92-．【分析】(1)将绝对值函数化为分段函数，用不同的区间对应的解析式大于2，分别解出不等式求其并集即可.(2)由分段函数求其值域即可得到最小值.【详解】1521()33425(4)x x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩⑴①由5212x x -->⎧⎪⎨<-⎪⎩解得7<-x ；②332142x x ->⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩解得543x <≤；③524x x +>⎧⎨>⎩解得>4x ；综上可知不等式的解集为{|7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭.⑵由(1)知，当12x <-时，()195522f x x =-->-=-；当142x -≤≤时，()33f x x =-，()992f x -≤≤；当>4x 时，()59f x x =+>；综上x ∈R 时，()92f x ≥-，所以min 9()2f x =-故函数()f x 的最小值为92-.。

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高二下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高二下学期3月月考数学试卷1.已知点，若向量，则点B的坐标是（）.A．B．C．D．2.设，为的导函数，若，则（）A．B．C．e D．3.用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（）A．B．C．D．4.可表示为（）A．B．C．D．5.在三棱柱中，记，，，点P满足，则（）A．B．C．D．6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．7.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．种B．种C．种D．种8.已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（）A．B．C．D．9.设数列的前n项和为，已知，，，则（）A．B．C．数列是等比数列D．数列是等比数列10.平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（）A．直线AB的一个方向向量为B．线段AB的长度为3C．平面α的法向量中D．向量与向量夹角的余弦值为11.甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（）A．共有72种安排方法B．若甲被安排在学校，则有12安排方法C．若学校需要两名志愿者，则有12种安排方法D．若甲、乙不能在同一所学校，则有6种安排方法12.已知，那么________；13.如图，已知空间四边形ABCD中，，，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量表示)14.已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于____.15.甲组有3名男生．3名女生；乙组有4名男生，2名女生．(1)从这些学生中选出3人参加活动，至少有1名女生的不同选法有多少种？(2)从甲、乙两组中各选出2名学生，选出的4人中恰有1名女生的不同选法有多少种？(3)将这些学生排成两排，两组的女生站第一排，两组的男生站第二排，且同组学生均相邻，共有多少种不同的排法？16.记等差数列的前n项和为，，．设．(1)求的值；(2)记为数列的前2n项和，为数列的前n项和，且，求实数t的值．17.已知椭圆C：的离心率为，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积．18.已知函数．(1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；(2)讨论函数的单调性；(3)若有两个零点，求a的取值范围．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．(1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由；(2)求点到平面的距离；(3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．。

北京市高二下学期3月调研数学试题(解析版)

一、单选题1．在等差数列中，，则的值为{}n a 1910a a +=5a A ．5B ．6C ．8D ．10 【答案】A【详解】解析：由角标性质得，所以=51952a a a +=5a2．已知函数，则（）()f x =()f x '=A ．BC ．D ．-【答案】A【分析】根据基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导法则，即可求得答案.【详解】由可得 ()f x =()11221(1)(1)(1)2f x x x -'⎡⎤'=-=-⨯-=⎢⎥⎣⎦故选：A 3．设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（）()f x ()f x 'A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由原函数的单调性是由导函数的函数值的正负，单调递增可得，单调()f x ()0f x '≥()f x 递减可得，数形结合即可得解.()0f x '≤【详解】解：由的图像知:当时，单调递减，，()f x (),1x ∈-∞()f x ()0f x '<当时，单调递增，，()1,4x ∈()f x ()0f x ¢>当时，单调递减，，()4,x ∞∈+()f x ()0f x '<由选项各图知：选项C 符合题意，故选：C.4．在等比数列中，公比是，则“”是“”的（） {}n a q 1q >()*1N n n a a n +>∈A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出11a =-答案.【详解】解：当时，则，11a =-1n n a q -=-因为，所以，所以，1q >1n n q q ->1n n q q --<-故， ()*1N n n a a n +<∈所以不能推出， 1q >()*1N n n a a n +>∈当时，则，11a =-1n n a q -=-由，得， ()*1N n n a a n +>∈1n n q q -->-则，所以，1n n q q -<01q <<所以不能推出， ()*1N n n a a n +>∈1q >所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 1q >()*1N n n a a n +>∈故选：D.5．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC ．D【答案】D 【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.，所以，1(2,)n n a n n N-+=≥∈又，则1a f =7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数1n n a q a +=*0,q n N ≠∈1n n a q a -=*0,2,q n n N ≠≥∈{}n a 列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比{}n a 0n a ≠212n n n a a a --=⋅*3,n n N ≥∈{}n a 数列.6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）()323f x x tx x =-+R t A ．B ．C ．D ．(],3-∞-[]3,3-()3,3-[)3,+∞【答案】B 【分析】原函数在区间上单调递增，则导函数在区间上恒大于或等于0，可求实数的取值范R R t 围.【详解】由，则，()323f x x tx x =-+()2323f x x tx '=-+因为函数在区间上单调递增，所以恒成立，()f x R ()0f x '≥即恒成立，则，解得.23230x tx -+≥24360t ∆=-≤33t -≤≤故选：B7．若直线是函数切线，则实数的值是（） y kx =()ln f x x =k A ． B ． C ．1 D ．21e 1e 1-【答案】B【分析】设切点为，利用导数的几何意义可求得的值，即可求得答案.00(,)x y 0x 【详解】由题意设切点为，则，00(,)x y 00ln y x =由，得， ()ln f x x =()1f x x '=故，故， 0001y k x x ==001,e y x =∴=故， 1ek =故选：B8．已知数列，若，，则（）{}n a 11a =121n n a a n +-=-51a =A ．2500B ．2501C ．2502D ．2503【答案】B【分析】利用累加法结合等差数列的前n 项和公式，即可求得答案.【详解】由，，11a =121n n a a n +-=-可得 5150504921511(())()a a a a a a a a -+-+-=++ ， 50(991)9997311125012+=+++++=+= 故选：B 9．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则'()f x ()f x x R ∈(1)0f -=0x >'()()0xf x f x -<使得成立的的取值范围是()0f x >x A ．B ． (,1)(0,1)-∞- (1,0)(1,)-È+¥C ．D ． (,1)(1,0)-∞-- (0,1)(1,)⋃+∞【答案】A【详解】构造新函数,，当时. ()()f x g x x =()()()2'xf x f x g x x -='0x >()'0g x <所以在上单减，又，即. ()0,∞+()()f x g x x =()10f =()10g =所以可得,此时， ()()0f x g x x=>01x <<()0f x >又为奇函数，所以在上的解集为：.()f x ()0f x >()(),00,-∞⋃+∞()(),10,1-∞-⋃故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造()()xf x f x '-.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就()()f x g x x=()()f x f x '+()()x g x e f x =()()f x f x -'构造，（3），就构造，（4）就构造()()x f x g x e=()()2f x f x +'()()2x g x e f x =()()2f x f x -'，等便于给出导数时联想构造函数. ()()2xf xg x e =10．数列的通项公式为，，前项和为，给出下列三个结论：{}n a 23n a n n =-n N ∈n n S ①存在正整数，使得；(),m n m n ≠m n S S =②存在正整数，使得；(),m n m n ≠m n a a +=③记则数列有最小项，()121,2,3,n n T a a a n == {}n T 其中所有正确结论的序号是（）A ．①B ．③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】由，令，求得，得到，可判定①正确；由当时，23n a n n =-0n a =30a =23S S =3n ≥，且单调递增，结合基本不等式，可判定②不正确；由，且当0n a ≥1232,2,0a a a =-=-=3n >时，，且单调递增，可判定③正确.0n a >【详解】由题意，数列的通项公式为，{}n a 23n a n n =-令，即，解得或（舍去），即，0n a =230n n -=3n =0n =30a =所以，即存在正整数，使得，所以①正确；23S S =(),m n m n ≠m n S S =由，可得当时，，且单调递增，23n a n n =-3n ≥0n a ≥当且时，可得，，所以；,[1,3]m n ∈,m n N +∈0m n a a +<0≥m n a a +≠当且时，时等号成立，[),3,m n ∈+∞,m n N +∈m n a a +≥m n a a =综上可得，不存在正整数，使得，所以②不正确；(),m n m n ≠m n a a +=由数列的通项公式为，{}n a 23n a n n =-可得，且当时，，且单调递增，1232,2,0a a a =-=-=3n >0n a >所以，所以当时，数列有最小项，所以③正确. ()121,2,3,n n T a a a n == 1n ={}n T 12T =-故选：C.二、填空题11．是等比数列的前和，，，则公比__________. n S {}n a n 18a =212S =q =【答案】##120.5【分析】根据已知求得，根据等比数列的公比的含义即可得答案.2a 【详解】由是等比数列的前和，，， n S {}n a n 18a =212S =可得，12212,4a a a +=∴=故， 2112a a q ==故答案为：1212．已知是等差数列，公差不为零.若，，成等比数列，且，则数列的通{}n a d 2a 3a 5a 21a =-{}n a 项公式是___________.【答案】1n a n =-【分析】根据条件列出关于公差和首项的方程，解之即可求解.【详解】因为数列是等差数列，公差不为零，且，，成等比数列，{}n a d 2a 3a 5a 所以，即，所以，2325a a a =⋅2111(2)()(4)a d a d a d +=++10a =又因为，所以公差，则，21a =-211d a a =-=-1(1)1n a a n d n =+-=-故答案为：.1n a n =-13．已知函数，则函数的单调递增区间为__________. ()ln x f x x =()f x 【答案】(0,e)【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.()0f x ¢>【详解】由函数可得， ()ln ,(0)x f x x x =>()21ln x f x x -'=令， ()21ln 0,0,0e x f x x x -'>∴>∴<<即函数的单调递增区间为，()f x (0,e)故答案为：(0,e)14．已知函数，当时，有极大值.写出符合上述要求的一个()()()()23R f x x a x a =--∈3x =()f x a 的值为_________.【答案】4（答案不唯一，满足即可）3a >【分析】由极大值的概念及求导法则即可求解【详解】由题意得，，令,解得 ()()()()()()()()232333223323f x x x a x x x x a x x a =-+-⨯-=--+-=---'()0f x '=或， 3x =233a +当即时，在上单调递增，在上单调递减， 2333a +>3a >()f x (),3-∞233,3a +⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在处取极大值，()f x 3x =所以的一个取值可取，a 4a =故答案为：4（答案不唯一，满足即可）.3a >15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为，用的大小评价在这()W f t =()()f b f a b a---[,]a b 段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；[]12,t t ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；2t ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；3t ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．[][][]112230,,,,,t t t t t []10,t 其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】表示区间端点连线斜率的负数， ()()f b f a b a---在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治[]12,t t 理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数[][][]112230,,,,,t t t t t []12,t t 最大，即在的污水治理能力最强．④错误；[]12,t t 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力2t 比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 3t 故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题16．设是公比为正数的等比数列，，.设的前项和，.{}n a 12a =324a a =+{}n b n n S 2n S n =(1)求与的通项公式；{}n a {}n b (2)求数列的前项和；{}n n a b +n n T (3)设，求数列的前项和. 11n n n c b b +=⋅{}n c n n H 【答案】(1),2n n a =21n b n =-(2)1222n n T n +=-+(3) 21n H n n =+ 【分析】（1）根据等比数列的定义以及通项公式即可求得，利用和之间的关系可求得； n a n S n b n b （2）利用分组求和的方法结合等差以及等比数列的前n 项和公式，即可得答案;（3）结合（1）可得的表达式，利用裂项求和法即可求得答案. 11n n n c b b +=⋅【详解】（1）由题意是公比为正数的等比数列，，，{}n a 12a =324a a =+设公比为q ，则，2224,2q q q =+∴=故；2n n a =由的前项和，，则，{}n b n n S 2n S n =111b S ==当时，，2n ≥221(1)21n n n b S S n n n -=-=--=-也适合该式，故.11b =21n b n =-（2）由题意可得1122()()()n n n T a b a b a b =++++++2(222)[13(21)]n n =+++++++- .1222n n +=-+（3）由（1）得， 111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===-⋅-+-+故 111111[(1)()()23352121n H n n =-+-++--+ . 11(122121n n n =-=++17．已知函数()33f x x x =-(1)若在点处的切线与直线垂直，求实数的值；()f x ()()0,0f 10x ay ++=a (2)求在区间上的最值； ()f x 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)若，求的单调区间.()()()31g x f x a x =+-()g x 【答案】(1)3-(2)18;2-(3)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，利用两直线的垂直关系即可求得答案.（2）令导数等于0，求得极值点，计算出函数在区间端点处的值以及极值，比较大小可得答案. （3）求出导数，解不等式，即可求得函数的单调区间.【详解】（1）由得，则，()33f x x x =-()233f x x ¢=-()03f '=-由在点处的切线与直线垂直，()f x ()()0,0f 10x ay ++=可得. 1(3)(1,3a a--=-∴=-（2）令，则，()2330f x x '=-=1x =±当和时，，在上单调递增，1x <-1x >()0f x ¢>()f x (,1),(1,)-∞-+∞当时，，在上单调递减，11x -<<()0f x '<()f x (1,1)-故的极大值为，极小值为，()f x ()12f -=(1)2f =-又，， ()333918f -=-+=-39()28f =-故在区间上的最小值为，最大值为2. ()f x 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18-（3），故，()()()3313x g x a a x x f x ==--+()233a g x x =-'当时，，在上单调递减；0a ≤()0g x '<()g x (,)-∞+∞当时，，得 0a >()0g x '>x <x >故的单调递增区间为和， ()g x (,-∞)+∞时，得的单调递减区间为, ()0g x '>()g x (即当时，在上单调递减；0a ≤()g x (,)-∞+∞当时，的单调递增区间为和， 0a >()g x (,-∞)+∞单调递减区间为. (18．已知函数.()e x f x x =(1)求在点处的切线方程；()f x ()()1,1f (2)求证：当时，.0x >()2f x x >(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.0x >()20f x ax -≥a 【答案】(1)2e e y x =-(2)证明见详解(3)e a ≤【分析】（1）由题意及导数的几何意义先求出和，由点斜式可得解；()1f ()1f '（2）当时，恒成立，等价于恒成立，0x >()2f x x >e x x >构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得证；()e x g x x =-()g x （3）利用参变分离将原不等式转化为恒成立， e ,(0)xa x x ≤>再构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得解 e (),(0)xh x x x=>()h x 【详解】（1）由题意，，又()1=e f ()e e ,x x f x x '=+由导数的几何意义，，(1)e e 2e k f '==+=所以在点处的切线方程：，()f x ()()1,1f e 2e(1)y x -=-即；2e e y x =-（2）当时，恒成立，等价于恒成立，0x >()2f x x >e x x >设，则，()()e ,0x g x x x =->()e 1x g x '=-当时，，所以，即在上为增函数，0x >e 1x >()0g x '>()g x ()0,∞+所以，即恒成立，恒成立，()(0)10g x g >=>e 0x x ->e x x >所以当时，，问题得证；0x >2e x x x >（3）若时，恒成立，0x >()20f x ax -≥等价于恒成立， e ,(0)xa x x≤>令，则， e (),(0)xh x x x =>2(1)()x e x h x x '-=令，得，()0h x '=1x =当时，；当时，，()0,1x ∈()0h x '<()1,x ∈+∞()0h x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()h x ()0,1()1,+∞则，min ()(1)h x h e ==故当时，原不等式恒成立.e a ≤【点睛】利用导函数解不等式常见思路：（1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题．19．设等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且{}n a n n S 28a =440S ={}n b n n T ，.230n n T b -+=*N n ∈(1)求数列，的通项公式；{}n a {}n b (2)设，求数列的前项和. ,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}nc 21n +21n P +【答案】(1)，（），，（）4n a n =*N n ∈132n n b -=⋅*N n ∈(2)212212482n n P n n ++=+++ 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，可求数列的通项公式；n {}n a 对于数列，当时，，先求出递推公式，从而得到的通项公式；{}n b 2n ≥1n n n b T T -=-{}n b （2）利用分组求和的方法可求数列的前项和.{}n c 21n +21n P +【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得{}n a d ，解得，所以，（）； 1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩144a d =⎧⎨=⎩4n a n =*N n ∈对于数列，由已知，当时，，得，{}n b 1n =11302b b +-=13b =当时，，，2n ≥230n n T b -+=11230n n T b ---+=两式相减，得，所以数列为等比数列，12,(2)n n b b n -=≥{}n b 得，（）.132n n b -=⋅*N n ∈（2）由（1）可得设, 14, 32,n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数所以211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++ 44(21)6(14)(1)214n n n ++-=⋅++-2122482n n n +=+++20．已知函数()()2ln 1f x x ax x =-+-+(1)若，求函数的极值点.1a =()f x (2)若函数既存在极大值又存在极小值，求实数的取值范围.()f x a 【答案】(1)极小值点为，极大值点为0； 12-(2)()2,+∞【分析】（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可1a =()()2ln 1f x x x x =-+-+求得函数的极值点；（2）先求导数，由函数既有极大值又有极小值，转化为在定义域上两个不同实根，()f x ()0f x '=再由二次方程的根的分布即可求的取值范围．a 【详解】（1）当时，，定义域为，1a =()()2ln 1f x x x x =-+-+()1,-+∞则，令，可得或， ()1(21)2111x x f x x x x -+=-'+-=++()0f x '=12x =-0x =列表： x 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12- 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0()0,∞+ ()f x ' -0 +0- ()f x A 极小值 A 极大值A 由上表可知，函数的极小值点为，极大值点为0； ()f x 12-（2），定义域为，()()2ln 1f x x ax x =-+-+()1,-+∞ ()()()22211211x a x a f x x a x x -+-+-'=-+-=++()1x >-记，，()22(2)(1)h x x a x a =-+-+-()1x >-因为函数既存在极大值又存在极小值，()f x所以在上有两个不同实根，即在上有两个不同实根，()0f x '=()1,-+∞()0h x =()1,-+∞由二次方程的根的分布可得，解得， ()()()212210214Δ2810h a a a a a ⎧-=-+-+-<⎪-⎪->-⎨⎪⎪=-+->⎩2a >-所以的取值范围为．a ()2,+∞21．若有穷数列满足且对任意的，{}n a ()12:0,3k a a a k N k *≤<<<∈≥ ,(1)i j i j k ≤≤≤至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质j i j i a a a a +-与{}n a {}n a P （1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为的数列具有性质，求证：；(,3)k k N k *∈≥{}n a P ()1212k k k ka a a a a -=++++（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的(,3)k k N k *∈≥{}n a P 4k ={}n a 例子，并证明当时，数列是等差数列4k >{}n a 【答案】（1）数列不具有性质，理由见解析；（2）证明见解析；（3）数列具有1,2,4,8P 0,1,4,5性质，但该数列不是等差数列，证明见解析.P 【解析】（1）根据性质的定义判断；P （2）根据性质有若，则，从而得,这个等式P k i a a M +∉k i a a M -∈(1)k k i i a a a ---=(1,2,,)i k = k 相加后可证；（3）由（2）得，设，得，设，得10a =2i k ≤≤1(11)k k i i a a a i k -+-=≤≤-31i k ≤≤-，两者相减得，得证等差数列．1(13)k k i i a a a i k ---=≤≤-11(11)k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-【详解】解：（1）数列不具有性质1,2,4,8P 因为，但是，它们均不是数列中的项，01248≤<<<415,413+=-=1,2,4,8所以数列不具有性质.1,2,4,8P （2）证明：因为，所以，即，所以k k a a M +∉k k a a M -∈0M ∈10a =设，因为，所以.2i k ≤≤k i a a M +∉k i a a M -∈则得12210k k k k k k k k a a a a a a a a a a --=-<-<-<<-<-L 因为12310k k a a a a a -≤<<<<<L 所以11223211,,,,,k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a ----=-=-=⋯⋯-=-=将上面的式子相加得()12211231k k k k k k ka a a a a a a a a a a ----+++++=++++L L 所以.()1212k k k ka a a a a -=++++ （3）数具有性质，但该数列不是等差数列.(答案不惟一)0,1,4,5P 下面证明当上，即时，数列是等差数列.4k >5k ≥{}n a 由（2）得10a =①设2i k ≤≤由（2）知12210k k k k k k k k a a a a a a a a a a --=-<-<-<<-<-L 因为，12310k k a a a a a -≤<<<<<L所以11223211,,,,,k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a ----=-=-=⋯⋯-=-=因此.(*)1(11)k k i i a a a i k -+-=≤≤-②设，31i k ≤≤-则，所以，得.112k i k k a a a a a --+>+=1k i a a M -+∉1k i a a M --∈由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<<-<-=L 及123320k k a a a a a --≤<<<<<L 可得111122133133,,,,k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ---------=-=-=⋯⋯-=所以.1(13)k k i i a a a i k ---=≤≤-因为，由上知，，且，5k ≥111k k a a a ---=122k k a a a ---=所，且，111k k a a a ---=122k k a a a ---=所以.(**)1(11)k k i i a a a i k ---=≤≤-由(*)知，1(11)k k i i a a a i k -+-=≤≤-两式相减11(11)k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-所以当时，是等差数4k >123,,,,k a a a a L 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是新定义对数列进行转化，在证明等差数列时，利用性质得出，解题时从数列最大项开始考虑，确定最大项与P 11(11)k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-前面各项的差仍在数列中，这是解题的关键所在．。

河南省高二(下)3月月考数学试题解析版

高二下学期数学3月份月考试卷卷一注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．河南省南阳市第一中学学校2022-2023高二下学期数学3月份月考试卷卷一参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．【解答】解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．【解答】解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．【解答】解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．【解答】解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．【解答】解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．【解答】解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．【解答】解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．【解答】解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．【解答】解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故答案为：3．14．【解答】解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故答案为：21．15．【解答】解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝21+2+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故答案为：8．16．【解答】解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故答案为：②③④．三．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．【解答】解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．【解答】解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．【解答】解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣+...+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．【解答】解：（Ⅰ）由得，故，∵a n＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。

山西高二下学期3月月考数学试题(解析版)

高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（） ()*1111,12321n n n n ++++<∈>-N A ． B ． 1122+<111223++<C ．D ．111323++<11113234+++<【答案】B【分析】取即可得到第一步应验证不等式. 2n =【详解】由题意得，当时，不等式为． 2n =111223++<故选：B ．2．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（）． 73143213983A ．不在此数列中 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项【答案】D【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为，707711472217313,33,33,33⨯⨯⨯⨯====7(1)3n n a -=由解得：， 7(1)9833n -=15n =所以是这个数列的第15项. 983故选：D3．等比数列中，若，则公比为（） {}n a ()1234133a a a a a a +++=+A ．1 B ．－2C ．2D ．2或－2【答案】C【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， {}n a q 因为，()1234133a a a a a a +++=+所以， ()1234131313)3(()a a a a a a a a q a a +++++=+=+即，解得：， 13q +=2q =故选：.C4．在各项均不为零的等差数列中，若，{}n a 2110(2)n n n a a a n +--+=≥则 214n S n --=A ． B ． C ． D ．2-012【答案】A【详解】试题分析：根据等差数列性质可知，所以，因为{}n a ()1122n n n a a a n +-+=≥220n n a a -=，所以，则，故选A. 0n a ≠2n a =()21421242n S n n n --=-⨯-=-【解析】等差数列.5．一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差23是 A ． B ．C ．D ．2-3-4-5-【答案】C【详解】设等差数列的公差为，，又数列前六项均为正数，第七{}n a d 67235,236a d a d ∴=+=+ 项起为负数，，，又数列是公差为整数的等差数列，2350,2360d d ∴+>+<232356d ∴-<<- ，故选C.4∴=-d 6．（）2321777(7)n -+-++-= A ．B ．C ．D ．211(7)8n +--21178n --211(7)8n ---22178n ++【答案】A【分析】利用等比数列前项和公式求解即可.n 【详解】表示以为首项，为公比的前项和， 2321777(7)n -+-++- 17-21n +所以. 21212321(7)1(7)1777(7)1(7)8n n n++-----+-++-==-- 故选：A7．如图第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为1a 2a 3a ，…依此类推，第n 个图案的总点数记为，则（）n a 423520223342029999a a a a a a a a ++++=A ．B ．C ．D ．20212022202220212023202220222023【答案】A【分析】由题意可得时，从而可得，再利2n ≥33n a n =-()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--用裂项相消求和法可求得答案.【详解】由题意，，当，时，，11a =1n >*n ∈N 33n a n =-又当，时，， 1n >*n ∈N ()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--∴ 233445202220239999a a a a a a a a+++⋅⋅⋅+=()()()()1111111112233420212022-+-+-+⋅⋅⋅+-． 12021120222022=-=故选：A8．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的3×3正方形网格中，每个小方格中只能填一个数，每个数限填一次．考虑网格中每行从左到右、每列从上到下、两条对角线从上到下所填的数各构成一个数列，共计八个数列，则下列结论中不正确的是（）A ．这八个数列有可能均为等差数列B ．这八个数列中最多有三个等比数列C ．若中间一行、中间一列、两条对角线上的数列均为等差数列，则中心小方格中所填的数必为5D ．若第一行、第一列上的数列均为等比数列，则其余数列中至多有一个等差数列【答案】D【分析】逐个分析每个选项即可.【详解】对于A 项，将1，2，3，4，5，6，7，8，9依次填入网格中，如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9则这8个数列均为等差数列，故A 项正确；对于B 项，1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数中，能构成等比数列的有：1，2，4； 2，4，8；4，6，9；1，3，9.但1，2，4与2，4，8这两个等比数列不可能在同一列，同一行，或对角线上，所以这8个数列中最多有3个等比数列，如图， 1 2 4 3 6 5 9 7 8故B 项正确；对于C 项，若三个数a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a +c ，根据题意要有4组数列成等差数列，且中间的b 相同，则只能是b ＝5，因为2×5＝1+9＝2+8＝3+7＝4+6，所以中间一行、中间一列、两条对角线四组数分别为1，5，9；2，5，8；3，5，7；4，5，6时满足条件，如图， 3 2 4 1 5 9 6 8 7当中心数为其他数时，不满足条件，故C 项正确；对于D 项，若第一行为1，2，4，第一列为1，3，9，满足第一行，第一列均为等比数列，第二行为3，5，7，第二列为2，5，8，则第二行和第二列均为等差数列，此时有两个等差数列，如图， 1 2 4 3 5 7 9 8 6故D 项不正确. 故选：D.二、多选题9．已知数列的通项公式为，则（） {}n a 316n na n =-A ．数列为递增数列B ．{}n a 4862+=a a aC ．为最小项D ．为最大项5a 6a 【答案】CD【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的{}n a 11616393n a n =+⎛⎫- ⎪⎝⎭*N n ∈性质即可判断A 、C 、D ；求得即可判断B ．486,a a a +【详解】， 11616316393n n a n n ==+-⎛⎫- ⎪⎝⎭当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减， 5n >*N n ∈0n a >5n ≤*N n ∈0n a <则为最小项，为最大项，故C 、D 正确，A 错误；5a 6a ，，则，故B 错误，4803414863816a a +=⨯-⨯-+=6336616a ⨯==-4862a a a +≠故选：CD ．10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）如：取正整数，根据上述运算法则得出6m =6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m 为正整数），，若n a 1a m =1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时61a =，则m 所有可能的取值为（） A ．4 B ．5C ．17D ．32【答案】ABD【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则, 61a =52a =则，则或 44a =38a =31a =当时，或5 38a =216,a =132a =当时，， 31a =22a =14a =综上可能的取值为. m 4,5,32故选：ABD11．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故⋅又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则n a n 数列满足：，，记，则下列结论正确的是{}n a 121a a ==21n n n a a a ++=+121ni n i a a a a ==++⋯+∑（） A ． B ．68a =223(3)n n n a a a n -+=+≥C ．D ．202020221i i a a ==∑20232202320241i i a a a ==⋅∑【答案】ABD【分析】利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A 选项；推导出，6a 212n n n a a a +-=+，两式相加可判断B 选项；推导出，利用裂项相消法可判断C 选项；21n n n a a a --=-12n n n a a a ++=-+推导出，利用裂项相消法可判断D 选项.21112n n n n n a a a a a ++++=-+【详解】A ：，，，，正确； 3122a a a =+=4233a a a =+=5345a a a =+=6458a a a =+=B ：当时，，①3n ≥21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+，可得，② 12n n n a a a --=+21n n n a a a --=-①②得：，正确；+223n n n a a a +-+=C ：对任意的，，则，N n *∈21n n n a a a ++=+12n n n a a a ++=-+因此，，错误；()()()20202334202120222022220221i i a a a a a a a a a a ==-++-+++-+=-≠∑ D ：，()2112112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-+因此，()()()20232211223233420212022202220231i i a a a a a a a a a a a a a a ==+-++-+++-+∑ ()2022202320232024a a a a +-+，正确.211220232024202320242023202411a a a a a a a a a =-+=-+=故选：ABD.【点睛】关键点点睛：利用已知递推式关系推出，、、212n n n a a a +-=+21n n n a a a --=-12n n n a a a ++=-+判断各项正误.21112n n n n n a a a a a ++++=-+12．在平面四边形ABCD 中，点D 为动点，的面积是面积的2倍，又数列满ABD △BCD △{}n a 足，恒有，设的前n 项和为，则（） 12a =()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ {}n a n S A ．为等比数列B ．为等差数列{}n a 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．为递增数列D ．{}n a ()1326n n S n +=--【答案】BD【分析】连交于，根据面积关系推出，根据平面向量知识推出AC BD E 2AE EC =BE =，结合，推出，即，求1233BA BC + ()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ 11222n n n n a a +-=-11222n n n n a a +--=-出，，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断1242nn a n -=-+()22n n a n =-+⋅B ，根据数列的单调性可判断C ；利用错位相减法求出，可判断D. n S 【详解】如图，连交于，AC BD E则，即，1sin 21sin 2ABD BD AE AEBS S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△B C DÐÐ=2AE EC =2AE EC =所以，所以，2AE EC =()2BE BA BC BE -=- 所以， BE =1233BA BC +设，BD tBE =(1)t >因为， ()()1122n n n n BD a BA a BC -+=-++ 所以，()()111122n n n n BE a BA a BC t t -+=-++ ，所以， ()()1111231223n n n n a t a t-+⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()11222n n n n a a -++=-所以，即， 11222n n n n a a +-=-11222n nn n a a +--=-又，所以， 12a =122a =所以是首项为2，公差为的等差数列，12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭2-所以，所以， ()1221242n n an n -=--=-+()()124222n n n a n n -=-+⋅=-+⋅因为不是常数，所以不为等比数列，故A 不正确； ()11(1)222222n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+{}n a因为，()()()111122(1)21212222nn n n n n n n n a a n n n ++++-+⋅-+⋅-=-=-+--+=-所以为等差数列，故B 正确；2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭因为，1n n a a +-=()1(1)222n nn n +-+⋅--+⋅=2n n -⋅所以为递减数列，故C 不正确；{}n a 因为，()1231202(1)222nn S n =⨯+⨯+-⨯++-+⋅ 所以， ()234121202(1)222n n S n +=⨯+⨯+-⨯++-+⋅ 所以，()()23412222222n n n S n +-=-++++--+⋅ 所以，()()1142222263212n n n n S n n ++-⨯-=---+⋅=+-⋅-所以，故D 正确.()1326n n S n +=--故选：BD三、填空题13．已知数列中，，则______. {}n a 1111,1n n a a a +==-+2023a =【答案】1【分析】由求出，，，确定数列的最小正周期为3，进而求.11a =212a =-32a =-41a ={}n a 2023a 【详解】因为，所以，，11a =211112a a =-=-+321121112a a =-=-=-+-+43111121a a =-=-=+-+，……，所以数列为循环数列，最小正周期为3， {}n a 故. 20236743111a a a ⨯+===故答案为：114．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪（1906—1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动n n a n 次数，且数列满足，，，则______． {}n a 11a =22a =()1*223,N n n n a a n n --=+≥∈8a =【答案】170【分析】利用累加法可求得的值.8a 【详解】解：因为，，， 11a =22a =()1*223,N n n n a a n n --=+≥∈所以当且时，，3n ≥*N n ∈122n n n a a ---=所以.()()()()435782426486214222217014a a a a a a a a -=+-+-+-=+++==-故答案为：.17015．若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已{}n a {}n a 知数列是一个二阶等差数列，且，，，则_______________． {}n a 13a =27a =313a =n a =【答案】21n n ++【分析】利用已知条件求出二阶等差数列的首项和公差，再求出二阶等差数列的通项公式，最后利用累加法即可得到数列的通项公式.{}n a 【详解】，，且数列是一个二阶等差数列，214a a -=326a a -={}n a()141222n n a a n n +∴-=+-⋅=+21321462n n a a a a a a n--=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩ 由累加法得()()2114246222n n n a a n n n -+-=++⋅⋅⋅+==+-．而a 1=3也符合， 22321n a n n n n ∴=++-=++故答案为：21n n ++16．已知数列的前项和为，对任意，，且{}n a n n S n N *∈()1132nn n nS a n =-++-恒成立，则实数的取值范围是__________．()()10n n t a t a +--<t【答案】311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由得,再由当n ⩾2时,,通过讨论n 的奇偶分别得到(n 为正奇n S 1a 1n n n a S S -=-1112n n a +=-数),(n 为正偶数)，从而得到数列的单调性，进而得到若恒成立，则132n na =-()()10n n t a t a +--<,从而得解.12a t a <<【详解】由,令,得； ()1132nn n nS a n =-++-1n =134a =-当n ⩾2时, ()()1111111311322nn n n n n n n n a S S a n a n ----⎡⎤=-=-++---++--⎢⎥⎣⎦， ()()111112nnn n na a -=-+--+若n 为偶数,则,∴(n 为正奇数)； 1112n n a -=-1112n n a +=-若n 为奇数,则 11111112121132222n n n n n n a a -+-⎛⎫=--+=---+=- ⎪⎝⎭∴(n 为正偶数). 132n na =-函数 (n 为正奇数)为减函数,最大值为， 1112n n a +=-134a =-函数 (n 为正偶数)为增函数,最小值为， 132n na =-2114a =若恒成立， ()()10n n t a t a +--<则,即. 12a t a <<31144t -<<故答案为.311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】⑴对于数列递推关系中含有,通常是通过讨论n 的奇偶分情况求数列通项公式, ()1n-⑵根据不等式恒成立，求参数的取值范围.一般的方法是分离变量，转化为数列的最值问题.四、解答题17．下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？把错误的地方改正确．用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是． 1()2n n n a a S +=证明，①当时，左边=，右边，等式成立． 1n =11S a =1a =②假设当时，等式成立，即．则当时， ()N*n k k =∈1()2k k k a a S +=1n k =+，11231k k k S a a a a a ++=+++++．11121k k k k S a a a a a ++-=+++++ 上面两式相加并除以2，可得， 111(1)()2k k k a a S ++++=即当时，等式也成立．1n k =+由①②可知，等差数列的前n 项和公式是 1()2n n n a a S +=【答案】有错误，答案见解析【分析】根据数学归纳法的证明过程知在第二步没有用假设前提来证明，更改过来应该利用假设的前提证得. 111(1)()2k k k a a S ++++=【详解】有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法1n k =+n k =的证明过程.②正确的证明方法：假设当时，等式成立，即， ()N n k k *=∈1()2k k k a a S +=则当时， 1n k =+1111()2k k k k k k a a S S a a ++++=+=+111((1))2k a a k d a kd ++-=++ 12(1)(1)2k a k k d +++=()()1112k a a kd ⎡⎤+++⎣⎦=11(1)().2k k a a +++=这表明，当时，等式也成立.1n k =+18．在等差数列中，已知且．{}n a 12318a a a ++=45654a a a =++(1)求的通项公式； {}n a (2)设，求数列的前项和． 14n n n b a a +=⋅{}n b n n S 【答案】(1)42n a n =-(2) 21n n S n =+【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【详解】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，则,，解得{}n a d 13318a d +=131254a d +=,12a =4d =,；∴24(1)42n a n n =+-=-*n ∈N（2）解：，()()()()14411114242212122121n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪⋅-+-+-+⎝⎭ . 111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 19．已知数列满足． {}()n a n ∈*N 1221122222n n n a a a n -+++=-+ (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，求数列前项和．cos πn n b a n =⋅{}n b 2n 2n T 【答案】(1)22n n a =-(2) 2242.3n n T ⋅-=【分析】（1）用数列中前项和与项的关系求解；n n S n a （2）先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和.【详解】（1）由题意122112.2222n n n a a a n -+++=-+ 当时，； 1n =10a =当时，2n ≥-1122-1213,2222n n n a a a n -+++=-+ 两式相减得， 1211112(3)12222n n n n n a n n ---=-+--+=-所以，当时也成立．22n n a =-1n =所以数列的通项公式.{}n a 22n n a =-（2）根据题意，得 22,.cos π(22)cos π,22,n nn n n n b a n n n ⎧-==-=⎨-⎩为奇数为偶数所以2123212...n n n T b b b b b -=+++++123212(222...22)(222...22)n n -=-+-+-++-+--+123212222...22n n -=-+-+-+ 22[1(2)]1(2)n ---=--242.3n ⋅-=所以 2n T 242.3n ⋅-=20．如图，曲线个正三角为坐标原点）的边长为y =n 10(n n n Q P Q Q -A ．n a(1)求，的值；1a 2a (2)记为数列的前项和，求的通项公式．n S {}n a n {}n a 【答案】(1)， 123a =243a =(2) 23n a n =【分析】（1）根据题意求得点和，代入曲线，即可求解；11(2aP 2212()2a P a +y =（2）记为数列的前项和，求得，得到，结合n S {}n a n 111()2n n n n a P S ++++2113142n n n S a a ++=-，化简得到，利用等差数列的通项公式，即可求解. 1n n n a S S -=-123n n a a +-=【详解】（1）由题意知为边长为的等边三角形，可得， 101Q PQ A 1a 11(2aP因为点在曲线，解得， 1P y =1=123a =又由，解得. 2212()2a P a +2=243a =（2）记为数列的前项和，则， n S {}n a n 111()2n n n n a P S ++++，整理得， 1n +2113142n n n S a a ++=-当时，可得， 2n ≥213142n n n S a a -=-所以，即，112213131()4242n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---1113()()2n n n n n n a a a a a a ++++-=+因为，所以， 0n a >123n n a a +-=又因为，即数列是以为首项，为公差的等差数列，21422333a a -=-={}n a 2323所以数列的通项公式为． {}n a 222(1)333n n a n =+-⨯=21．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In }，{In }表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：In +1＝1.02In ﹣0.2．策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In +1＝1.08In ﹣0.46．当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．(1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？(2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？【答案】(1)分类讨论，答案见祥解；(2)第9周.【分析】（1）分三种情况讨论即可； 111131313,[1,],(,8]333I I I =∈∈（2）根据题意，时，选择策略B ，根据策略B 的数列，求出数列的通项公式，根据条件13I ={}n I 列出不等式，解之即可求解.【详解】（1）策略A ：，1 1.020.2n n I I +=-策略B ：，1 1.080.46n n I I +=-当，可得， 1.080.46 1.020.2n n I I -=-1133I =当时，两者相等， 1133I =当时，用策略B 将使第二周的虫害的严重程度更小；113[1,)3I ∈当时，用策略A 将使第二周的虫害的严重程度更小；113(,8]3I ∈（2）由（1）可知：当时，选择策略B ，113[1,3I ∈所以当时，选择策略B ，13I =因为，所以数列是递减数列， 1 1.080.46n n I I +=-{}n I ，也即，1 1.080.46n n I I +=-1 5.75 1.08( 5.75)n n I I +-=-由等比数列的通项公式可得：，12.75 1.08 5.75n n I -=-⨯+正整数范围内解不等式，得12.75 1.08 5.751n --⨯+<9n ≥所以虫害的危机最快在第9周解除．22．已知等比数列是递减数列，的前项和为，且成等差数列，{}n a {}n a n n S 2311,2,8S a a .数列的前项和为，满足21332a a a =+{}n b n n T 2,*.n T n n n N =+∈（1）求和的通项公式：{}n a {}n b （2）若求 ()2,,38,,n n n n n n a b n c n a n b b +⎧⎪=+⎨⎪⎩是奇数是偶数21n i i c =∑【答案】（1），（2） 12n na =2nb n =()111696517294224n n n n -++--⨯+⨯【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可；（2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解. n 【详解】(1)设数列的公比为，{}n a q 依题意知 ()21112111132148a q a a q a a q a q a ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩由是递减数列，解得， {}n a 111,22q a ==所以. 1112n n na a q -==对于数列，当n =1时，；{}n b 112T b ==当时，，因此，且n = 1时同样适用.2n ≥21n T n n -=-12n n n b T T n -=-=故对于n ∈都有.N *2n b n =所以的通项公式为，的通项公式为. {}n a 12n n a ={}n b 2n b n =（2）当n 是奇数时，， 22n n n c =则 ① 211n i i c -=∑13212642222n n --=+++ ② 21114n i i c -=∑35212642222n n +-=+++ ①、②相减得：， 21134n i i c -=∑1352121211114444242565241112222233414n n n n n n n n --++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+++-=+-=-⨯-得到. 211n i i c -=∑12065994n n -+=-⨯当n 是偶数时，, ()()22381122222n n n n n c n n n n +++==-⋅+⋅+⋅则 21n i i c =∑()24462221111112242426222222n n n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ , 1118(22)4n n +=-+⨯所以 2212111n n n i i i i i i c c c -====+∑∑∑()111696517294224n n n n -++=--⨯+⨯【点睛】关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项()2,,38,,n n n n n n a b n c n a n b b +⎧⎪=+⎨⎪⎩是奇数是偶数21n i i c =∑n 的和与奇数项的和，属于中档题.。

湖北省武汉市高二下学期3月质量检测数学试题(解析版)

一、单选题1．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（）2212x y -=2214y x +=A ．B ．C ．D ．2212y x -=2212x y -=2214x y -=2212y x -=【答案】B【分析】根据椭圆与双曲线的性质即可求解.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，2214y x +=(0,y 所以设所求双曲线方程为且，22221,y x a b-=222=3c a b =+双曲线的渐近线方程为，所以，即2212x y -=y =a b ±=a b =联立，解得22=3a b a b⎧+⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线方程为.2212x y -=故选：B.2．函数的单调递增区间为（）21=ln 22y x x -+A ． B ．C ．D ．()1,1-()0,1[)1,+∞()0,∞+【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，21=ln 22y x x -+211x y x x x -'=-=令，得或，0y >'A A A A 1x <-1x >又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为， {}0x x >[1,)+∞故选：C3．已知等比数列满足：，则的值为（） {}n a 24682820,8a a a a a a +++=⋅=24681111a a a a +++A ．20 B ．10 C ．5D ．52【答案】D【分析】利用等比数列的性质可得：，对进行化简后求值即可. 46288a a a a ⋅=⋅=24681111a a a a +++【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：. {}n a 46288a a a a ⋅=⋅=所以． 284624682468284628111120582a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=+===故选：D4．已知函数，则（）()()12e 11xf x f x -=++'()2f '=A ． B ． C ． D ．e 2+e 4-e 7-e 8-【答案】B【分析】根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解.()f x 1x =()11f '=-2x =【详解】，()()1e 21xf x f x -+''=令可得解得，1x =()()1121f f ''=+()11f '=-所以，所以，()1e 2xf x x -'=-()2e 4f '=-故选:B. 5．设函数，则（）1()1f x x =+0(13)(1)lim x f x f x∆→-∆-=∆A ．3 B ．C ．D ．013-13【答案】A【分析】根据导数的定义以及导数运算公式求解. 【详解】因为，0(13)(1)(13)(1)lim 3lim 3(1)3x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆因为，所以，所以， 21()f x x'=-(1)1f '=-3(1)3f '-=故选:A.6．6.《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，正值武汉大学建校130周年，那么据此推算，武汉大学建校的年份是（）A ．癸巳年B ．癸亥年C ．庚丑年D ．庚辰年【答案】A【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个为一个循环的循环数列，倒推130年即可求解.【详解】由题意可知，数列天干的周期为10，地支的周期为12，因为，所以武汉大学建校年份的天干也是癸， 1301310=因为，所以武汉大学建校年份的地支是巳， 13012112=⨯-因此武汉大学建校的年份是“癸巳年”，故选：A.7．已知双曲线的左右焦点分别为，A 为双曲线右支上一点，直线()222210,0x y a b a b -=>>12,F F 1AF交y 轴于点M ，原点O 到直线，且﹐则双曲线的离心率为（） 1AF 12MF AF =A B C ．2 D【答案】B【分析】根据定义结合条件，取的中点为，进而可得，2AM a =AM B 223c a =即得.【详解】因为，，12MF AF =122AF AF a -=所以，又， 12112AF AF AF MF A a M -=-==12MF MF =所以，122MF AF MF ==取的中点为，连接，则， AM B 2BF 21BF AF ⊥因为为的中点，原点O 到直线， O 12F F 1AF，又， 2AM a =所以，1222MF AF MF a ===所以， 2222222211934F BF B a c F F a =+=+=所以，即223c a =e =故选：B.8．已知函数仅有唯一极值点，则实数的取值范围（） ()[)2212,0,2xx mx x f x x x e-+=--∈+∞m A ． B ． C ． D ．[),e -+∞1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)1,-+∞[)0,∞+【答案】C【解析】转化为方程在仅有一个变号根，进一步将问题转化为方程'()0f x =[)0,x ∈+∞在不存在变号根，由得在单调递增，利用10x e mx +-=[)0,x ∈+∞(0)0y =1xy e mx =+-[)0,x ∈+∞导数即可得答案.【详解】∵， 2'(21)(1)(2)(1)()2x x xmx mx x x e mx f x x e e ---+-+-=--=∵在仅有一个变号根，显然为一个变号根， '()0f x =[)0,x ∈+∞2x =∴在恒大于等于0或恒小于等于0， 1x y e mx =+-[)0,x ∈+∞∵，'x y e m =+∴当时，在恒成立， 1m ≥-'0x y e m =+≥[)0,x ∈+∞∴在单调递增时，且， 1x y e mx =+-[)0,x ∈+∞(0)0y =∴在恒成立，10x y e mx =+-≥[)0,x ∈+∞故满足题意.1m ≥-当时，，1m <-'0ln()x y e m x m =+=⇒=-，''0ln();00ln()y x m y x m >⇒>-<⇒<<-∴在单调递减，在单调递增， 1x y e mx =+-[)0,ln(]x m ∈-[)ln(,)x m ∈-+∞且，(0)0y =∴在恒大于等于0或恒小于等于0均不成立， 1x y e mx =+-[)0,x ∈+∞∴不合题意； 1m <-综上所述：. 1m ≥-故选：C.【点睛】本题考查导数的应用、利用导数研究函数的单调性、极值、恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离的应用.二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（）()y f x =()'y f x =A ．是函数的极值点 3-()y f x =B ．是函数的最小值点1-()y f x =C ．在区间上单调递增 ()y f x =()31-，D ．在处切线的斜率小于零 ()y f x =0x =【答案】AC【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断()'f x ()f x 出命题错误的选项.【详解】根据导函数图象可知当x ∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，()'0f x <()3,x ∈-+∞()'0f x ≥∴函数y ＝f （x ）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C 正确； ()3,-+∞则﹣3是函数y ＝f （x ）的极小值点，故A 正确；∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y ＝f （x ）的最小值点，故B 不正确； ()3,-+∞∵函数y ＝f （x ）在x ＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D 不正确；故选：AC10．已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（） {}n a n n S 67S S <78S S >A ．在数列中，大于 B ．在数列中，公差 {}n a 1a 0{}n a 0d >C ． D ．当时，310S S =8n ≥0n a <【答案】AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的70a >80a <0d <性质判断四个选项是否正确.【详解】解：因为，所以， 67S S <7670S S a -=>因为，所以， 78S S >8780S S a -=<所以等差数列公差， {}n a 870d a a =-<所以是递减数列，{}n a 故最大且，选项A 正确；选项B 不正确；1a 10a >， 10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>所以，故选项C 不正确；310S S ≠当时，，即，故选项D 正确； 8n ≥80n a a ≤<0n a <故选：AD11．已知抛物线C ：的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（） 214y x =A ．抛物线C 的准线方程为 1y =-B ．直线与C 相切1y x =-C ．若，则的最小值为4()0,4M PM D ．若，则的周长的最小值为11 ()3,5M PMF △【答案】ABD【分析】确定，，设，计算A 正确，联立方程得到B 正确，2p =()0,1F ()00,P x yC 错误，过点作垂直于准线于，计算得到D 正确，得到答≤P PH H 案.【详解】抛物线C ：，即，，，设， 214y x =24x y =2p =()0,1F ()00,P x y 对选项A ：抛物线C 的准线方程为，正确； 12py =-=-对选项B ：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确；214y x x y=-⎧⎨=⎩()220x -=对选项C ：时取等号，错误；PM ==≥020y =>对选项D ：过点作垂直于准线于，P PHH PF FM MP FM MP PH ++=++，当共线时等号成立，正确.5111≥+=,,M P H故选：ABD12．设函数，，则下列说法正确的有（）()ln f x x x =()()f x g x x'=A ．不等式的解集为；()0g x >1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数在单调递增，在单调递减； ()g x ()0,e ()e,+∞C ．当时，总有恒成立；1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()f x g x <D ．若函数有两个极值点，则实数()()2F x f x ax =-10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】A 选项，解不等式即可；B 选项，求导，利用导函数研究其单调性；C 选项，构造函数，二次求导结合函数单调性和极值，最值进行证明；D 选项，转化为在有两个ln 12x a x+=(0,)+∞根，求导后结合单调性，极值等求出的取值范围. a 【详解】由题意得，则 ()ln 1f x x '=+ln 1()(0)x g x x x+=>对于A ：由，可得，解得，所以解集为，故A 正确；ln 1()0x g x x +=>ln 1x >-1e x >1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭对于B ：，令，解得x =1， 221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+-'==()0g x '=所以当时，，函数为增函数，(0,1)x ∈()0g x '>()g x 当时，，函数为减函数，故B 错误； (1,)x ∈+∞()0g x '<()g x 对于C ：当时，若，则，1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()f x g x <()()0f x g x -<所以，即， ln 1ln 0x x x x +-<2ln ln 10x x x --<令，21,()ln l 11e n ,h x x x x x =--⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，2111()2ln 2ln h x x x x x x x x x x'=⋅+⋅-=+-，22111()2ln 212ln 3h x x x x x x x''=+⋅++=++当时，，函数为增函数，1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x ''>()h x '又，所以在是恒成立，(1)0110h '=+-=()0h x '<1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以为减函数，21,()ln l 11e n ,h x x x x x =--⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又，所以在是恒成立，max 211()0e e h x h ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭2()ln ln 10h x x x x =--<1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以当时，总有恒成立，故C 正确；1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()f x g x <对于D ：若函数有两个极值点，()()22ln F x f x ax x ax x ==--则有两个根，即在有两个根， ()ln 120F x x ax +-'==ln 12x a x+=(0,)+∞令，则，ln 1()x m x x+=2ln ()xm x x -'=所以当时，，函数为增函数， (0,1)x ∈()0m x '>()m x 当时，，函数为减函数，(1,)x ∈+∞()0m x '<()m x 又当时，，当时，，， 0x →()m x →-∞x →+∞()0m x →(1)1m =所以，解得，故D 正确.2(0,1)a ∈10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：ACD【点睛】导函数在研究函数单调性和函数图象上非常重要，很多问题看似与函数单调性无关，不过通过转化或构造新函数，通过求导，结合函数单调性及极值，最值，就变的迎刃而解.三、填空题13．已知一物体的运动方程是的单位为的单位为），则该物体在时间段内2243(S t t S =-m,t s [0,6]的平均速度与时刻的瞬时速度相等，则___________. t t =s 【答案】3【分析】由平均速度和瞬时速度的概念可得关于的等量关系，从而得到的取值. t t 【详解】在到t +这段时间内，物体的平均速度， t Δt ()()2463s t t s t s v t t t t+∆-∆===--∆∆∆所以该物体在时间段内的平均速度为6,当无限趋近于0时即可得到时刻的瞬时速度即[0,6]Δt t ,由题意平均速度与时刻的瞬时速度相等，即,解得,246t -t 2466t -=3t =故答案为：314．若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.()324132x a f x x x =-++【答案】(4，5)【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数()'240f x x ax =-+=(1,4)的单调性后可得实数的取值范围.a 【详解】解：函数，，()324132x af x x x =-++'2()4f x x ax ∴=-+若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，()f x (1,4)()'240f x x ax =-+=(1,4)由得， 240x ax -+=4a x x=+令，，， 4()g x x x =+(1,4)x ∈'2(2)(2)()x x g x x +-=在递减，在递增，而，，， ()g x ∴()1,2()2,4()422+42g ==()411+51g ==()444+54g ==所以.45a <<故答案为：. ()45，15．已知点是椭圆上任意一点，若圆上存在点，使得P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>222:O x y b +=,M N ，则椭圆离心率的最大值为__________． 120MPN ∠= 【答案】##0.512【分析】根据题意，过作圆的切线，从而可得，从而，利用直角三角P O 120APB ∠≥ 60APO ∠≥形中边与角的可得，进而可求离心率的最大值. a ≤【详解】若为椭圆的上下顶点，则当为圆与轴的交点时，P ,M N 222:O x y b +=x 最大为，不满足题意；MPN ∠90 若不为椭圆的上下顶点，过点作圆的两条切线， P P 222:O x y b +=切点为，所以为角的最大值， ,A B APB ∠MPN ∠所以，则, 120APB ∠≥ 60APO ∠≥ 而，sin AO PO APO =≤∠又因为，所以，所以，所以， maxPO a =a ≤b a ≥2234b a ≥又因为离心率，12c e a ==≤所以椭圆离心率的最大值为， 12故答案为:.12四、双空题16．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，{}n a 10a =，则______；数列的前100项和为______.11,,n n n a n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数100a =(){}1nn a -【答案】50002550【分析】当时，,当时，,联立可得，利2n k =2122k k a a k +=+21n k =-2212k k a a k -=+21214k k a a k +--=用累加法可得，从而可求得，即可得到，根据22122k a k k +=+221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数1005000a =，即可得到.2212n n a a n --=1002550S =【详解】令且，k *∈N 1k ≥当时，①；2n k =2122k k a a k +=+当时，②，21n k =-221212112k k k a a k a k --=+-+=+由①②联立得.21214k k a a k +--=所以，315321214,8,,4k k a a a a a a k +--=-=-= 累加可得. ()22112114844222k k k k a a a k k k +++-==+++=⨯=+ 令(且为奇数)，得. 21k n +=3n ≥212n n a -=当时满足上式，1n =10a =所以当为奇数时，. n 212n n a -=当为奇数时，，n ()21112n n n a a n ++=++=所以，其中为偶数. 22n n a =n 所以，所以. 221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数210010050002a ==因为，()()222212211222n n n n a a n ----=-=所以的前2n 项和 (){}1n n a -21234212n n n S a a a a a a -=-+-++-+ ，()()121222212n n n n n +=⨯+⨯++⨯=⨯=+ 所以10050512550S =⨯=故答案为：， 50002550五、解答题17．数列是以1为首项，以公比为4的等比数列，等差数列的各项均为正数，且{}n a {}n b232424,6a b a b b ==+(1)求数列的通项公式；{}n b(2)求数列的前项和.{}n n a b ⋅n n T 【答案】(1)32n b n =-(2)()114n n T n =+-【分析】（1）等差数列的公差为，然后利用等差数列的通项公式列关于的方程，解出即{}n b d 1,b d 可得数列的通项公式；{}n b （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n b d 14n n a -=则，解得 ()()2111166364b d b d b d ⎧+=⎪⎨+++=⎪⎩113b d =⎧⎨=⎩；32n b n ∴=-（2）由（1）知，()1324n n n a b n -⋅=-①，()2114474324n n T n -∴=+⨯+⨯++- ②，()23444474324n n T n ∴=+⨯+⨯++- ①-②得，()()()()()12141431344432413324333414n n n n n n T n n n ----=++++--=+⨯--=-+-- 整理得. ()114n n T n =+-18．已知函数在处取得极值．()32f x ax bx =++2x =14-(1)求的值；,a b (2)求函数在上的最值．()f x []3,3-【答案】(1)1,12a b ==-(2)最小值为．最大值为14-18【分析】(1)利用极值的定义列方程求解；(2)利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.[]3,3-【详解】（1）因，故，()32f x ax bx =++()23f x ax b '=+由于在处取得极值，()f x 2x =故有即， (2)0(2)14f f =⎧⎨=-'⎩12082214a b a b +=⎧⎨++=-⎩化简得解得， 12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩112a b =⎧⎨=-⎩经检验，时，，1,12a b ==-()()()2312322f x x x x ==+'--令，解得或，令，解得，()0f x ¢><2x -2x >()0f x '<22x -<<所以在单调递增，单调递减，单调递增，()f x (),2-∞-()2,2-()2,+∞所以在处取得极值，()f x 2x =符合题意，所以．1,12a b ==-（2）由（1）知．()()32122,312f x x x f x x '=-+=-令，得．()0f x '=122,2x x =-=在时，随的变化．的变化情况如下表所示：[]3,3x ∈-x ()(),f x f x ' x 3-()3,2-- 2- ()2,2- 2 ()2,3+ 3 ()f x '正 0 负 0 正 ()f x 11 单调递增 18 单调递减 -14 单调递增 -7当时，有极大值，2x =-()f x ()218f -=当时，有极小值．2x =()f x ()214f =-因为，()()3311f f =--=所以．()()()()21837;214311f f f f -=>=-=-<-=因此在的最小值为，最大值为.()f x []3,3-()214f =-()218f -=19．已知正项数列的前项和为，且．{}n a n n S 1n a =+(1)证明：是等差数列．{}n a(2)求数列的前项和为 14n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)证明见解析 (2) 22221n n n ++【分析】（1）根据和的关系进行化简变形即可.n S n a （2）写出数列的通项公式之后，采用分组求和法和裂项相消法即可.【详解】（1）由可得，()1n a =+()241n n S a =+当时，，2n ≥()21141n n S a --=+两式相减可得， ()221142n n n n n a a a a a --=-+-，()22112n n n n a a a a --∴-=+，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥ 又由可得，解得，11a =+11a =+11a =是以1为首项，2为公差的等差数列．{}n a ∴（2）由（1）可得， ()()212111221,2n n n n a n n S n ⎡⎤+-⎣⎦=+-⨯=-==所以， ()()()()2214411111111212141212122121n n n S n a a n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫==+=+=+⋅- ⎪ ⎪-+-+--+⎝⎭⎝⎭所以 1111111111112323522121n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-++⋅-+++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111123352121n n n ⎛⎫=+⋅-+-++- ⎪-+⎝⎭21n n n =++ 111221n n ⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭22221n n n +=+20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面P ABCD -ABCD PD ⊥,2,1,ABCD PD DA DC M ===是的中点，点在上，且．BC Q PM 2PQ QM =(1)证明：平面；DQ ⊥PAM (2)求二面角的余弦值．A PM C --【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面垂直的判定定理即可证明线面垂直；（2）计算出平面和平面的一个法向量，利用空间向量计算面面角.PAM PMC 【详解】（1）由题平面，底面为矩形，可知两两垂直， PD ⊥ABCD ABCD ,,DA DC DP 所以以为原点，直线所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如D ,,DA DC DP x y z D xyz -图：则，()()()()()2,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,2,A D C M P 因为，所以，所以， 2PQ QM =2PQ QM =u u u r u u u r 222,,333Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()222,,,1,1,0,2,0,2333DQ AM AP ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭220303DQ AM DQ AM =-=∴⊥++⋅ 304403,DQ AP DQ AP ==-+⊥+⋅∴ ，且平面平面．AM AP A ⋂= ,AM AP ⊂,PAM DQ ∴⊥PAM（2）由（1）可知平面的法向量为． PAM 222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面的一个法向量为．PMC (),,m x y z =又()()1,1,2,0,1,2PM PC =-=- ，即 00PM m PC m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩2020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令则，所以平面的一个法向量．2,y =0,1x z ==PMC ()0,2,1m = 则cos ,m DQ m DQ m DQ ⋅===u u u r r u u u r r u u u r r 二面角为钝角二面角的余弦值为A PM C --∴A PM C --21．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>F 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C (1)求椭圆的标准方程； C (2)过的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，是坐标原点，线段的中点在直线F x C A B ､O OP 上，求面积的最大值．AB PAB A 【答案】(1) 22143x y +=(2) 32【分析】(1)根据离心率和点在椭圆上建立的关系求解； ,,a b c (2)利用韦达定理表示出，再用点到直线的距离公式表示出三角形的高，结合函数的单调性即可AB 求面积的最大值.【详解】（1）由题意，又，解得，， 22129141c a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222c a b =-24a =23b =的方程为； C ∴22143x y +=（2）设直线的方程为，，，，AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y 00(,)P x y 则，消元整理得， 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my ++-=所以，， 122634m y y m +=-+122934y y m =-+，()2212+13+4m m-因为线段的中点在直线上，OP AB 所以到直线的距离即为到直线的距离，P AB O AB距离为∴h = ()2212116234PAB m Sm +∴=⨯=+A6PAB S ∴=A 设，而在时递增， t =13y t t=+1t ≥当，即时，的最大值为． ∴1t =1=0m =AB P S A 3222．已知函数，为函数的导函数. ()ln e xx x f x =()g x ()f x (1)求的图象在处的切线方程；()f x 1x =(2)求函数的零点个数；()g x (3)若函数在区间上有最小值，其中a 为正整数，求a 的最小值.()f x ()e ,a -+∞【答案】(1)e 10x y --=(2)2个(3)2【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；(2)利用导数求出函数的单调性，根据单调性和零点存在性定理即可求解；()g x (3)结合（2）的结论，要使函数在区间上有最小值，则必须有，解之即可求()f x ()e ,a -+∞2e e a --≤解. 【详解】（1）因为函数，所以， ()ln ex x x f x =(1)0f =又因为， 21(ln )e e (ln )1ln ln ()e e x x x xx x x x x x x x f x +⋅-+-'==所以，所以的图象在处的切线方程为：， 1(1)ef '=()f x 1x =1(1)e y x =-即.e 10x y --=（2）由题意可知：，令， 1ln ln ()e x x x x g x +-=1ln ln ()0e xx x x g x +-==即，令，则， 1ln ln 0x x x +-=()1ln ln h x x x x =+-1()ln 1h x x x'=--因为在上单调性递减，且， ()h x '(0,)+∞(1)0h '=所以当时，，函数在上单调递增； 01x <<()0h x '>()1ln ln h x x x x =+-(0,1)当时，，函数在上单调递减；1x >()0h x '<()1ln ln h x x x x =+-(1,)+∞又，，，222222(e )1ln e e ln e 10e h ----=+-=-<111()1ln e ln e 0e e eh =-+=>(1)10h =>，(e)1ln e eln e 2e 0h =+-=-<由零点存在性定理可知：函数在和上各有一个零点， ()h x (0,1)(1,)+∞也即函数在和上各有一个零点，()g x (0,1)(1,)+∞故函数有两个零点.()g x （3）由（2）可知：使得，使得， 1211(,)e ex ∃∈1()0g x =2(1,e)x ∃∈2()0g x =当时，，函数单调递减；1(0,)x x ∈()0g x <()f x 当时，，函数单调递增；12(,)x x x ∈()0g x >()f x 当时，，函数单调递减；2(,)x x ∈+∞()0g x <()f x 当时，当时，且极小值，1x >()0f x >01x <<()0f x <()f x 1()(0)0f x f <=要使在区间上有最小值，则，()f x ()e ,a -+∞10e a x -<<由a 为正整数，故，解得：，2e e a --≤2a ≥故实数的最小值为. a 2。

广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

子成立的是（）
A．
f
(a) >
f (0)
ea
B．
f
(a) <
f (0)
ea
C． f (a) < ea f (0)
D． f (a) > ea f (0)
试卷第11 页，共33 页
8．设正数数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，数列{Sn} 的前 n 项积为Tn ，且 Sn + 2Tn = 1，则
【分析】设等差数列{an} 的公差为d ，则 d ¹ 0 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、
必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列{an} 的公差为d ，则 d ¹ 0 ，记[x] 为不超过 x 的最大整数.
若{an} 为单调递增数列，则 d > 0 ，
若 a1 ³ 0 ，则当 n ³ 2 时， an > a1 ³ 0 ；若 a1 < 0 ，则 an = a1 + (n -1) d ，
【分析】利用定义分别判断 g ( x) = g¢( x) 的解得个数即可得出答案.
【详解】对于①， g¢( x) = 2x + x × 2x × ln 2 ，由 g ( x) = g¢( x) ，
得
x
× 2x
=
2x
+
x
× 2x
× ln 2
，解得
x
=
1 1 - ln 2
，
∴ g ( x) 只有一个“新不动点”；
由 an
=
a1
+ (n -1) d
>
0 可得 n
>1-
a1 d
，取
N0
=
éêë1 -

河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（）A ．30B ．60C ．120D ．180 3．二项式821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．70- B ．70 C ．358- D ．3584．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A 级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A 级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件A ：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B ：甲和乙选择的景区不同，则条件概率()P B A =（）A ．56B ．67C ．78D ．895．文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“V ”，两个“⨯”和两个“d ”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“V ”，同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数量有（）A ．8个B ．10个C ．12个D ．14个 6．某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（）.A ．15B ．11C ．14D ．237．已知()0.6P A =，()0.3P AB =，()|0.5P B A =，下列选项正确的是（） A ．()0.4P B =B ．()06|.P A B =C ．()|0.5P A B =D ．()()()P AB P A P B ≠8．1234202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C ++++⋅⋅⋅+=（）A ．202321-B ．202421-C ．202110112⨯D ．202210112⨯二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为6B ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为7C ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0D ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为29 10．身高各不相同的六位同学A B C D E F 、、、、、站成一排照相，则说法正确的是（）A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B ．A 与C 同学不相邻，共有5424A A ⋅种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法 D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有504种站法11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（）A ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数B ．123356781C C C C +++=C ．第2020行的第1010个数最大D ．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11三、填空题12．22x x +n 的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n 的值为. 13．若()()()()72701271222x a a x a x a x +=+++++++L ，则4a =.14．已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为.四、解答题15．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A 、B 两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A 元素指标达标的概率为34，B 元素指标达标的概率为89，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．(1)一个食品经过检测，AB 两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种食品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及()E ξ． 16．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：(1)抽到他能答对题目数X 的分布列；(2)求X 的期望和方差17．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1%不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.(1)求取到的是不合格品的概率；(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.18．一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为13、23；若前次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为35、25，记第()N,1n n n ∈≥次按下按钮后出现红的概率为n P ． (1)求2P 的值；(2)当,N 2n n ∈≥，求用1n P -表示n P 的表达式；(3)求n P 关于n 的表达式．19．2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X ．（i ）求()3P X =；（ii ）求使得()P X k =取最大值时的整数k ；(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B ，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为12，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．。

重庆市2022-2023学年高二下学期3月月度质量检测数学试题

2022-2023学年重庆市高二（下）质检数学试卷（3月份）第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题共40.0分。

在每小题列出的选项中选出符合题目的一项）1. 设i 是虚数单位若z1−i =2+i 则复数z 的共轭复数是( ) A. 1+iB. 2+iC. 3−iD. 3+i2. 已知向量a ⃗=(2,1) b ⃗⃗=(−1,x) a ⃗⊥b⃗⃗ 则x 的值为( ) A. −12B. −1C. 2D. −23. 下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ) A. y =√ xB. y =|lnx|C. y =e |x|D. y =−2x 24. 圆柱的轴截面是边长为2的正方形则圆柱的表面积为( ) A. 6πB. 7πC. 8πD. 9π5. 点D 为△ABC 内一点且DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+7DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ 则S△BCD S△ABC=( ) A. 47B. 13C. 712D. 1126. sin110°cos40°+cos70°sin220°=( ) A. 12B. √ 32C. −12D. −√ 327. 设F 1 F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点点P(x 0,a)为双曲线上的一点若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直则双曲线的离心率为( )A. 3√ 24B. 3√ 34C. √ 2D. √ 38. 在三棱锥P −ABC 中面PAC ⊥面ABC ∠PAC =∠ABC =90° PA =BC PB =AC E 是AB的中点．设AC BC=λ 若λ∈[2,3] 则二面角B −PC −E 的余弦值的范围为( )A. [√ 33,√ 104]B. [√ 33,√ 74]C. [√ 74,√ 104]D. [√ 53,√ 104]二、多选题（本大题共4小题共20.0分。

山西省高二下学期数学3月质量监控试卷

山西省高二下学期数学 3 月质量监控试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 4 题；共 8 分)1. （2 分）如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M,N 分别是 BC1,CD1 的中点，则下列判断错误的是（）A . MN 与 CC1 垂直 B . MN 与 AC 垂直 C . MN 与 BD 平行 D . MN 与 A1B1 平行 2. （2 分）设 i 为虚数单位,若复数 A . -3 B . -3 或 1 C . 3 或-1 D.13. （2 分） (2020·西安模拟) 设复数的概率为（）是纯虚数,则实数 m=（）（，i 为虚数单位），若，则A.B.第 1 页共 23 页C.D.4. （2 分） (2020 高三上·闵行期末) 在正四面体中，点为与所成角为定值 A.圆，则动点的轨迹是（）B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线二、填空题 (共 12 题；共 12 分)所在平面上的动点，若5. （1 分） (2019 高一上·上海月考) 设件.，则“”是“且”的________条6. （1 分） (2020·温岭模拟) 已知若复数( 为虚数单位).若 Z 是纯虛数，则以点的抛物线的标准方程为________；若，则 m=________.为焦7. （1 分） (2014·安徽理) 已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由 2 个和 3 个排列而成，记 S= • + • + • + •+ • ，Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．①S 有 5 个不同的值； ②若 ⊥ ，则 Smin 与| |无关； ③若 ∥ ，则 Smin 与| |无关； ④若| |＞4| |，则 Smin＞0；第 2 页共 23 页⑤若| |=2| |，Smin=8| |2 ，则与的夹角为．8. （1 分） (2019·天津模拟) 已知关于 x 的不等式的最小值是________．的解集为，则9. （1 分） (2017 高一下·淮安期中) 在△ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则△ABC 的形状一定是________三角形．10. （1 分） (2019 高一上·上海月考) 已知有限集合操作过程 T：从 A 中任取两个元素、，由中除了，定义如下、以外的元素构成的集合记为；①若，则令；②若，则；这样得到新集合，例如集合经过一次操作后得到的集合可能是也可能得到等，可继续对取定的实施操作过程，得到的新集合记作，……，如此经过次操作后得到的新集合记作，设合为________．，对于，反复进行上述操作过程，当所得集合只有一个元素时，则所有可能的集11. （1 分） (2016 高三上·太原期中) 在极坐标系中，曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 的公共点到极点的距离为________．12. （1 分） (2018 高二下·中山月考) 已知复数 ________．，且，则的最大值为13. （1 分） (2017 高二上·苏州月考) 在正方体大小为________．中，直线与直线所成角的14. （1 分）长为 2 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上滑动，则线段 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值是 ________．15.（1 分）(2019·湖南模拟) 如图，在棱长为 2 的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且的最小值为________．，若、分别为线段、上的动点，则第 3 页共 23 页16. （1 分） (2019 高二下·徐汇月考) 计算：三、解答题 (共 7 题；共 45 分)17. （5 分） (2020 高二下·芮城月考) 设复数时，（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第一象限.所得的结果为________ ，试求取何值18. （5 分） (2019·凌源模拟) 已知椭圆：上异于的一个动点，设直线的斜率分别为的左、右两个顶点分别为，点为椭圆，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线 .（1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.19. （10 分） (2015 高二上·菏泽期末) 如图，在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD= ．用向量法解决下列问题：第 4 页共 23 页（1）若 AC 的中点为 E，求 A1C 与 DE 所成的角；（2）求二面角 B1﹣AC﹣D1（锐角）的余弦值．20. （10 分） (2019 高二上·杭州期中) 如图，已知直三棱柱，，E 是棱上动点，F 是 AB 中点，，．（1）求证：平面；（2）当是棱中点时，求与平面所成的角；（3）当时，求二面角的大小．21. （5 分） (2018·永春模拟) 已知 m＞1，直线为椭圆的左、右焦点.，椭圆，分别第 5 页共 23 页（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.22. （5 分） (2018 高一上·广东期末) 如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．23. （5 分） (2020 高二下·张家口期中) 记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q 点”.（1）求与的“Q 点”；（2）若与存在“Q 点”，求实数 a 的值.第 6 页共 23 页一、单选题 (共 4 题；共 8 分)答案：1-1、考点：解析：参考答案答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：第 7 页共 23 页解析：答案：4-1、考点：解析：第 8 页共 23 页二、填空题 (共 12 题；共 12 分)答案：5-1、考点：解析：第 9 页共 23 页答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：第 10 页共 23 页答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：。

黑龙江省双鸭山市高二下学期数学3月质量监控试卷

黑龙江省双鸭山市高二下学期数学3月质量监控试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2020高一上·拉萨期末) 表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一下·深圳期中) 已知是两条不同直线, 是两个不同平面,下列命题中的假命题是（）A . 若则B . 若则C . 若则D . 若在内，则3. （2分） (2019高二下·上海月考) 若 ( 是虚数单位),则的最小值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二下·上海月考) 已知直线平行于平面且它们的距离为我们把到直线与到平面的距离都相等的点构成的集合定义为集合A，那么集合A中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（）A . 椭圆B . 两条平行直线C . 一条直线D . 抛物线二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2017高二上·太原月考) 命题“ ，且”的否定为________．6. （1分） (2019高一上·扬州月考) 已知，其中为常数，若，则=________.7. （1分）已知向量若，则 ________．8. （1分） (2019高二下·上海月考) 若（i为虚数单位）是关于的实系数方程（）的一个根，则的值为________.9. （1分） (2019高二下·上海月考) 顺次连结空间四边形四边中点所得的四边形一定是________四边形.10. （1分） (2019高二下·上海月考) 的所有能取到的值构的集合为________.11. （1分） (2019高二下·上海月考) 若是复平面内的曲线与的两个交点,则________.12. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知复数满足则 ________.13. （1分） (2019高二下·上海月考) 在空间四边形ABCD中,AC=BC,AD=BD,则异面直线AB与CD所成角的大小为________.14. （1分） (2019高二下·上海月考) 直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是________.15. （1分） (2019高二下·上海月考) 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是:①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，则其中判断正确的个数是________.16. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知 ( 是虚数单位), 定义:给出下列命题:⑴对任意都有⑵若是的共轭复数,则恒成立；⑶若则⑷对任意结论恒成立.则其中所有的真命题的序号是________.三、解答题 (共7题；共45分)17. （5分） (2019高一上·上海月考) 设集合，，若,试求与 .18. （5分） (2019高二下·上海月考) 讨论方程所表示的曲线(若有焦点,请指明焦点所在的坐标轴).19. （10分） (2019高二下·上海月考) 如图,空间四点A、B、C、D每两点间的距离为都为1，P，Q分别为线段AB，CD的中点，求证:（1）线段PQ是异面直线AB、CD的公垂线；（2）求线段PQ的长.20. （10分） (2019高二下·上海月考) 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、CB的中点.（1）求证:PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成角的大小.21. （5分） (2019高二下·上海月考) 已知椭圆的焦点和上顶点分别为我们称为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知椭圆的一个焦点为且椭圆上的任意一点到两焦点的距离之和为4.（1）若椭圆与椭圆相似,且相似比为2,求椭圆的方程；22. （5分） (2019高二下·上海月考) 画出过三点的截面与多面体在各个平面上的交线,其中与所在平面的边不平行，要求保留作图痕迹.23. （5分） (2019高二下·上海月考) 我们知道,在平面几何中,点到直线的距离是点到直线上任一点距离的最小值.那么在立体几何中,一条斜线与平面所成的角是否有类似的结论?如果有请你写出相应的结论并给予证明；如果没有,请举反例.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共45分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、。

辽宁省高二下学期数学3月质量监控试卷

辽宁省高二下学期数学 3 月质量监控试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 4 题；共 8 分)1. （2 分） (2016 高二下·南昌期中) 平面 α 外有两条直线 m 和 n，如果 m 和 n 在平面 α 内的射影分别是 m1 和 n1 ，给出下列四个命题：①m1⊥n1⇒ m⊥n；②m⊥n⇒ m1⊥n1 ③m1 与 n1 相交⇒ m 与 n 相交或重合④m1 与 n1 平行⇒ m 与 n 平行或重合其中不正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.42. （2 分） (2016 高二下·河南期中) 若复数 z=2﹣3i，则该复数的实部和虚部分别为（）A . 2，﹣3iB . 2，3C . ﹣3，2D . 2，﹣33. （2 分） (2019 高二下·徐汇月考) 设非零复数为复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（）A . 焦距为的双曲线第 1 页共 22 页B.以为圆心，为半径的圆C . 一条直线D . 以上都不对4. （2 分） (2020·杭州模拟) 如图，点 P 在正方体的表面上运动，且 P 到直线 BC 与直线的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点 P 的轨迹在展开图中的形状是（）A.B. C. D.第 2 页共 22 页二、填空题 (共 12 题；共 12 分)5. （1 分） (2020 高二上·江阴期中) 的________条件．是直线和直线平行（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）6. （1 分） (2019 高三上·浙江月考) 复数 ________.（i 为虚数单位），则 z 的虚部为________，7. （1 分）已知向量 =3 ﹣4 ， =（1﹣n） +3n ，若 ∥ ，则 n 的值为________．8. （1 分） (2020 高一上·衢州期末) 已知函数，则 ________．________；②若对任意，不等式，①若不等式的解集为恒成立，则实数的取值范围是9. （1 分）若是________10.（1 分）(2020·杨浦期末) 向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“ 类集”,现有四个命题:①若为“ 类集”,则集合也是“ 类集”;②若 , 都是“ 类集”,则集合也是“ 类集”;③若都是“ 类集”,则也是“ 类集”;④若都是“ 类集”,且交集非空,则也是“ 类集”.其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)11. （1 分）已知点 A（0，1），B（1，0），C（t，0），点 D 是直线 AC 上的动点，若 AD≤2BD 恒成立，则最小正整数 t 的值为________12. （1 分） (2019 高二下·徐汇月考) 在复平面内，三点、、分别对应复数、、，第 3 页共 22 页若，则的三边长之比为________13. （1 分） (2016 高二上·温州期中) 如图，在正方体 ABCD﹣A'B'C'D'中，点 P 在线段 AD'上，且 AP≤ AD' 则异面直线 CP 与 BA'所成角 θ 的取值范围是________．14. （1 分） (2019 高二上·武汉期中) 已知直线与圆(其中 O 为坐标原点)，则实数 b 的取值范围________ 15. （1 分） (2019 高二下·上海月考) 如图，在正方体过、、三点的截面面积为________.交于两点 A，B，若中，，中点为，16. （1 分） (2019 高二下·徐汇月考) 计算：三、解答题 (共 7 题；共 45 分)17. （5 分） (2019 高二下·舒兰月考) 已知复数为实数．（1）若，为纯虚数，求；所得的结果为________，复数，其中是虚数单位，，（2）若，求，的值．18. （5 分） (2018 高二上·淮北月考) 已知定点，为圆第 4 页共 22 页上任意一点，线段上一点满足，直线上一点，满足.（1）当在圆周上运动时，求点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，求证：直线与不可能相切.19. （10 分） (2017·青浦模拟) 在如图所示的组合体中，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与 A、B 重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点 C 是弧 AB 的中点时，求异面直线 A1C 与 AB1 的所成角的大小；（Ⅱ）当点 C 是弧 AB 的中点时，求四棱锥 A1﹣BCC1B1 与圆柱的体积比．20. （10 分） (2018 高三上·嘉兴期末) 如图，在矩形，沿直线将翻折成，使点中，点在平面在线段上，，上的射影落在直线上.（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.21. （5 分） (2020·呼和浩特模拟) 已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右焦点，点 P 为椭圆上一点，面积的最大值为 .（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；分别为第 5 页共 22 页（Ⅱ）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求的面积 S 的取值范围.22.（5 分）如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a ，M 为 BD1 的中点，N 在 A1C1 上，且满足|A1N|＝3|NC1|.（1）求 MN 的长；（2）试判断△MNC 的形状．23. （5 分）如图所示，在△ABC 中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，在四面体 PABC 中，S1 ， S2 ， S3 ， S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论第 6 页共 22 页一、单选题 (共 4 题；共 8 分)答案：1-1、考点：解析：参考答案答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：第 7 页共 22 页解析：答案：4-1、考点：解析：第 8 页共 22 页二、填空题 (共 12 题；共 12 分)答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：第 9 页共 22 页解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：第 10 页共 22 页答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、。

河南省洛阳市高二下学期数学3月质量监控试卷

河南省洛阳市高二下学期数学3月质量监控试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）已知为不同的直线，为不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确命题的序号是（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①④2. （2分）(2018·梅河口模拟) 若复数满足，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·徐汇月考) 设非零复数为复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（）A . 焦距为的双曲线B . 以为圆心，为半径的圆C . 一条直线D . 以上都不对4. （2分）动圆经过双曲线左焦点且与直线相切，则圆心的轨迹方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分）(2017·扬州模拟) x＞1是的________条件．6. （1分） (2018高二下·海安月考) 已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．7. （1分）已知向量 =（2，1）， =（3，m）．若（ +2 ）∥（3 ﹣），则实数 m 的值是________．8. （1分） (2017高一上·如东月考) 已知函数是定义域为上的偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是________．9. （1分）△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，﹣1为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状为________．10. （1分）(2020·海安模拟) 在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2 ， y＝y1+y2 ，（x1 ， y1）∈A，（x2 ， y2）∈B}所表示的区域的面积为________．11. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知复数Z满足|Z|= ，Z2的虚部是2．设Z，Z2 ， Z﹣Z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为________．12. （1分） (2018高二下·中山月考) 已知复数，且，则的最大值为________．13. （1分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．则直线AB1和EF所成的角为________．14. （1分）在直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，1）到直线L的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为________．15. （1分） (2019高二下·上海月考) 如下图，在一个棱长为2的正方体内挖去一个倒置圆锥，圆锥的上底圆周与正方体底面正方形相切，圆锥的顶点在正方体的底面上，用一个与正方体下底面平行且距离为d的平面去截这个几何体，截得的图形面积为________.16. （1分） (2019高二下·徐汇月考) 计算：所得的结果为________三、解答题 (共7题；共45分)17. （5分） (2018高二下·陆川月考) 已知，复数（其中为虚数单位）.（1）当实数取何值时，复数是纯虚数；（2）若复数在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围。

四川省乐山市高二下学期数学3月质量监控试卷

四川省乐山市高二下学期数学3月质量监控试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2018高三上·鹤岗月考) 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A . 则B . ，则C . 则D . 则2. （2分） (2017高二下·深圳月考) 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2019高二下·徐汇月考) 设非零复数为复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（）A . 焦距为的双曲线B . 以为圆心，为半径的圆C . 一条直线D . 以上都不对4. （2分）动圆经过双曲线左焦点且与直线相切，则圆心的轨迹方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高一上·上海期中) 命题“ ”是命题“ ”的________条件。

（可填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必要）6. （1分） (2018高二下·海安月考) 已知复数满足（为虚数单位），则的值为________．7. （1分）(2020·汨罗模拟) 已知单位向量与向量方向相同，则向量的坐标是________.8. （1分） (2016高二下·连云港期中) 若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是________．9. （1分）在△AB C中，若sin2A=sin2B，则该三角形是________ 三角形．10. （1分）(2020·海安模拟) 在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2 ， y＝y1+y2 ，（x1 ， y1）∈A，（x2 ， y2）∈B}所表示的区域的面积为________．11. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知复数Z满足|Z|= ，Z2的虚部是2．设Z，Z2 ， Z﹣Z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为________．12. （1分） (2018高二下·中山月考) 已知复数，且，则的最大值为________．13. （1分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，且所有棱长都相等．平面A1BC1∩平面ABC=l，则直线l与AB1所成角的余弦值为________．14. （1分）(2018·临川模拟) 已知圆过点，，，则圆的圆心到直线：的距离为________．15. （1分） (2019高二下·上海月考) 如下图，在一个棱长为2的正方体内挖去一个倒置圆锥，圆锥的上底圆周与正方体底面正方形相切，圆锥的顶点在正方体的底面上，用一个与正方体下底面平行且距离为d的平面去截这个几何体，截得的图形面积为________.16. （1分） (2019高二下·徐汇月考) 计算：所得的结果为________三、解答题 (共7题；共45分)17. （5分） (2018高二下·陆川月考) 已知，复数（其中为虚数单位）.（1）当实数取何值时，复数是纯虚数；（2）若复数在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围。

云南省昭通市高二下学期数学3月质量监控试卷

云南省昭通市高二下学期数学3月质量监控试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2016高二上·黄陵期中) 平面α∥平面β的一个充分条件是（）A . 存在一条直线a，a∥α，a∥βB . 存在一条直线a，a⊂α，a∥βC . 存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD . 存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α2. （2分） (2017高二上·清城期末) 复数z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ=（）A . ﹣B . ﹣C .D .3. （2分） (2019高二下·徐汇月考) 设非零复数为复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（）A . 焦距为的双曲线B . 以为圆心，为半径的圆C . 一条直线D . 以上都不对4. （2分） (2020高三上·闵行期末) 在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2017高二上·邯郸期末) “x＞3”是“x＞1”的________条件．6. （1分） (2018高二下·西宁期末) 已知复数（是虚数单位），则 ________．7. （1分） (2016高一上·嘉兴期末) 设向量不平行，向量与平行，则实数λ=________．8. （1分） (2018高二上·中山期末) 已知的解集为，则不等式的解集为________．9. （1分）在△ABC中，若sin2A=sin2B，则该三角形是________ 三角形．10. （1分）(2020·杨浦期末) 向量集合 ,对于任意 ,以及任意 ,都有 ,则称为“ 类集”,现有四个命题:①若为“ 类集”,则集合也是“ 类集”;②若 ,都是“ 类集”,则集合也是“ 类集”;③若都是“ 类集”,则也是“ 类集”;④若都是“ 类集”,且交集非空,则也是“ 类集”.其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)11. （1分） i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k的范围是________.12. （1分） (2019高二下·徐汇月考) 在复平面内，三点、、分别对应复数、、，若，则的三边长之比为________13. （1分） (2015高三下·武邑期中) 在已知空间四边形ABCD中，E、F分别是棱AB、CD的中点，若2EF=BC，且异面直线EF与BC所成的角为60°，则AD与BC所成的角是________14. （1分） (2016高二下·深圳期中) 已知点A（﹣2，0），B（0，4）到直线l：x+my﹣1=0的距离相等，则m的值为________．15. （1分） (2019高二下·上海月考) 如图，在正方体中，，中点为，过、、三点的截面面积为________.16. （1分） (2019高二下·徐汇月考) 计算：所得的结果为________三、解答题 (共7题；共45分)17. （5分） (2019高二下·宁夏月考) 实数取什么数值时，复数分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数的点在复平面的第四象限？18. （5分）(2016·上海理) 有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2 ，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F 的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的经验值．19. （10分）(2012·上海理) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2 ，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．20. （10分）(2017·红桥模拟) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．21. （5分）(2020·泉州模拟) 已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由22. （5分） (2018高一上·广东期末) 如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．23. （5分）如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体PABC中，S1 ， S2 ， S3 ， S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共45分) 17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

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高二下学期数学3月质量监控试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分）下列条件中，能判断两个平面平行的是（）
A . 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
B . 一个平面内有两条直线平行于另一个平面
C . 一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面
D . 两个平面同时垂直于另一个平面
2. （2分）设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=（）
A . 2
B . 1
C . 0
D . -1
3. （2分） (2019高二下·上海月考) 设复数，（是虚数单位），若复数满足
，则的最小值是（）
A . 1
B . 2
C .
D .
4. （2分）(2020·金堂模拟) 关于曲线：性质的叙述，正确的是（）
A . 一定是椭圆
B . 可能为抛物线
C . 离心率为定值
D . 焦点为定点
二、填空题 (共12题；共12分)
5. （1分） (2017高二下·溧水期末) “a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的________条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”中的一个）．
6. （1分） (2018高二下·西安期末) 若，其中都是实数，是虚数单位，则
________.
7. （1分）(2018·武邑模拟) 已知向量若，则 ________．
8. （1分） (2018高一下·宜昌期末) 已知实数满足不等式组则关于的方程
两根之和的最大值是________；
9. （1分）已知O为△ABC的外心，且，则△ABC的形状是________．
10. （1分）(2020·杨浦期末) 向量集合 ,对于任意 ,以及任意 ,都有 ,则称为“ 类集”,现有四个命题:
①若为“ 类集”,则集合也是“ 类集”;
②若 ,都是“ 类集”,则集合也是“ 类集”;
③若都是“ 类集”,则也是“ 类集”;
④若都是“ 类集”,且交集非空,则也是“ 类集”.
其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)
11. （1分） (2018高二下·中山月考) 已知复数，若复数满足，则的最大值为________
12. （1分） (2019高二下·徐汇月考) 在复平面内，三点、、分别对应复数、、，若，则的三边长之比为________
13. （1分） (2018高二下·上海月考) 已知空间四边形中，，点分别是边
和的中点，且，则异面直线和所成角的大小是________；
14. （1分）过点（1，2）且与点A（2，3）和点B（4，﹣5）距离相等的直线l的方程是________（请写一般式）．
15. （1分） (2019高二上·南宁月考) 如图，在边长为2正方体中，为的中点，点在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点构成的图形的面积是________.
16. （1分） (2019高二下·徐汇月考) 计算：所得的结果为________
三、解答题 (共7题；共45分)
17. （5分） (2019高二下·宁夏月考) 实数取什么数值时，复数分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数的点在复平面的第四象限？
18. （5分）(2018·六安模拟) 已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为 .
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线相交于，两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.
19. （10分） (2018高三上·深圳月考) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为直角三角形，，且 .
（1）证明：平面平面；
（2）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值.
20. （10分）已知四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，其三视图如下，若M是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面MAC；
（2）求证：CD⊥平面PAD；
（3）求直线CM与平面PAD所成角的正弦值．
21. （5分）(2020·湖南模拟) 设椭圆的离心率为，且经过点 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交两点，是坐标原点，分别过点作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
22. （5分） (2018高一上·广东期末) 如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．
（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；
（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．
23. （5分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）
若ab cd，则++;
（2）
++是|a-b||c-d|的充要条件
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共12题；共12分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共45分) 17-1、
17-2、
17-3、
17-4、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、
20-1、20-2、20-3、
21-1、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、。