大学运筹学课程知识点总结

1. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还

是 无可行解。

max Z = X i + X 2 6x i +10x 2 "20 * 5兰x 1兰10

【3乞X 2乞8

惟一最优解

最优点(10, 6)最优值Z 二16

戸 5

si = 10 /

2. 将下述线性规划问题化成标准形式。

min Z = -3x ^ 4X 2 - 2x ^ 5x 4 M x 1 - x 2 + 2x 3 - X 4 = -2

为中 X 2 — X3 + 2x 4 兰 14

（1）

j - 2x 1 + 3x 2 + X 3 - X 4 A 2 1x1, x2, x3 H 0,x4无约束

解：令 z' = —Z ，X 4 =X 4 — x ；

max z^ 3X ] - 4x ^ 2X 3 - 5x 4 5x 4 [—4X ] + X 2 - 2X 3 + x 4 - x ； = 2

j X ] + X 2 - X 3 + 2x 4 - 2x 4 十 X 5 = 14 |- 2x 1 + 3x 2 + X 3 - X 4 + x 4 - X e = 2 _X 1，X 2，X 3，X 4，X 4，X 5，X 6 k 0

3. 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应

、

、

1 、

1 ^2=®

0X|+1O Z 2-12O

护 ____________

寸 v/ max

Li

10

图解法中的可行域的哪个顶点。

max =10x

+ 4x2 <9 {5捲

+2x2 <8

[X i,X2 >0

解：①图解法：

②单纯形

法：

max Z =10x i +5x2

：3捲+4x2 +x3 =9 {5x i +2x2 +x4 =8 I

[X i,X2,X3,X4 >0

C j 10 5 0 0

0对应图解法中的

点

C B B b X1 X2 X3 X4

0 X3 9 3 4 1 0 3

0 X4 8 [5] 2 0 1 8/5 0点

O j 0 10 5 0 0

0 X3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2

10 X1 8/5 1 2/5 0 1/5 4 C点

宵-16 0 1 0 -2

5 X2 3/2 0 1 5/14 -3/14

10 X1 1 1 0 -1/7 2/7 B点

35/2 0 0 -5/14 -25/14

1,3/2,0,0Z=35/2

单纯型法步骤：转化为标准线性规划问题；找到一个初始可行解，列出初始单纯型表；最优性检验，求cj-zj，若所有的值都小于0,则表中的解便是最优解，否则，找出最大的值的那一列，求出bi/aij ，选取最小的相对应的刈，作为换入基进行初等行变换，重复此步骤。

4.写出下列线性规划问题的对偶问题。

m n

min z = S 送c i j x i j

■ n

无X ij = a i j 二

m

z

i 二(i = 1,…，m )

(1)

s.t X

ij =bj (j =1,…，n)

X ij

(i

=1,…,m; j = 1,…，n ) n

maxw = 2 a i y ^Z by j 如

i 二

(i T, ,m ； j T,…，n

)

i 二

f y i 中 y m +j 乞

C ij

s.t. { n*

j X i ,y j 无约束

n

maxz

c j x j

j 吕

L n

S a ij x j j 吕

n

S .t.jW a

ij x

j

j4

X j >0

[X j 无约束 m

min w = Z b i y i i T

L m

送 a ij y i

i 吕 m

(i =1,…mi < m )

=b i

(j (i = m-^ +1,m 1 +2"' , m ) =1,…rn

(j 72,…n ^ n ) s.t.書 a ij y i :

i 占

y^o

(j = n - +1,…,n ) (i = 1,2，…m^

m )

5. 给出线性规划问题

max z = 2为 + 4x 2 + x 3

要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为 X * =（2,2,4,O T ，试根据对偶理论，直 接求出对偶问题的最优解。 解：

min w =8y i +6y 2 +6y 3 +9y 4

例已知原问题

Max z =x 1 + 2 x 2 +

X i + 2 X 2 +

2 X

3 +

2x 1 + x 2 + 3 x 3 + X i 、 x 2、 x 3、 和对偶问题

Min w =20y

1

+ 20 y 2

y i + 2

y 2绍 2y 1 + y 2>2

2y 1 + 3 目 2 >3 3y 1 + 2 y 2 >4 y i 、 y 2> 0

已知对偶问题的最优解 y r = 1.2、y 2 =0.2，最优值 min w=28

+ X 4

X i 2x i + 3x 2 + x 4 + x 2

<8

st.{ X 2 +X 3 +X 4 + X 2 +X 3

x j >0(j =1,…4 ) X i

<9 (1)

y 1 +2y 2 3y 1十 s.t 「

5兰2 y 2 + y 3 + y 4 > 4 y 3 + y 4 31

5 31

y 1

yj 网=1,…4）

、2）因为X 1,X 2,X 3>0，第四个约束取等号，根据互补松弛定理得:

丫1 +2y 2 +丫4 =2

3% + 丫2 中丫3 +丫4 =4

=1 y 3 +y 4 + y 4 求得对偶问题的最优解为:

=0

*

「4 3

\

Y = — ,-,1,0 I ，最优值 min w=16。

V 5 5丿

3 X

3

+ 4 X

4

3 x

4 w 20 2X 4'w 20 x 4 > 0