九年级数学中位线

合集下载

九年级数学中位线知识点

九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。

本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。

一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。

二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。

即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。

2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。

重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。

3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。

这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。

三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。

2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。

四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。

解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。

然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。

第10讲中位线-九年级数学上册同步讲义(华师大版)(学生版)[001]

第10讲中位线1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律. 知识点01 三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.【微点拨】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【即学即练1】如图，已知P 、R 分别是长方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【即学即练2】在△ABC 中，中线BE 、CF 交于点O ，M 、N 分别是BO 、CO 中点，则四边形MNEF 是什么特殊四边形？并说明理由．目标导航知识精讲【即学即练3】如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【即学即练4】如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．【即学即练5】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．知识点02 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【即学即练6】如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．能力拓展考法01 三角形中位线1.（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．2.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1考法02 四边形中点如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB＝BE．分层提分题组A 基础过关练1.已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm2. 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．403. 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（）A ．12B ．14C ．16D ．185. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（）A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm6. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（） A.8 B.9 C.10 D.12题组B 能力提升练7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.8. 如图, E 、F 分别是口ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .9. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，对角线AC 、BD 的长分别为7和9，则四边形EFGH 的周长是______.10.如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长．12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列三个结论：①∠BOC ＝90°＋12∠A ； ②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △；③EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_______.题组C 培优拔尖练13.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．求证：MN和PQ互相平分．14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．。

24.3 中位线教案 2022-2023学年华东师大版数学九年级上册

24.3 中位线教案 2022-2023学年华东师大版数学九年级上册一、教学目标1.理解中位线的概念和特点；2.掌握求解平面图形中位线的方法；3.能够应用中位线解决实际问题。

二、教学准备1.教材：《数学九年级上册》华东师大版；2.教具：纸张、铅笔、直尺、量角器。

三、教学过程1. 导入Step 1：教师出示一个平面图形，引导学生思考，提问：“你知道如何找到这个图形的中位线吗？”请学生发表自己的看法。

Step 2：学生回答后，教师解释中位线的概念：“在一个平面图形中，从一个顶点到对边上的中点的线段称为中位线。

”2. 学习中位线的求解方法Step 1：教师给出一个具体的平面图形例子，例如一个三角形ABC，然后与学生一同寻找这个图形的中位线。

Step 2：引导学生思考，并提醒他们对称性的重要性。

教师指导学生使用直尺找到三角形的边上的中点，并用直线连接这些中点，形成中位线。

Step 3：学生试着自己找出其他图形的中位线，并与同桌进行讨论和分享。

3. 实际问题解决Step 1：教师设计一些实际问题，要求学生利用中位线进行求解。

Step 2：组织学生分组讨论问题，并呈现自己的解决思路和方法。

Step 3：学生进行小组展示，并进行讨论和交流。

四、课堂小结1. 知识点回顾•中位线的概念和特点；•求解平面图形中位线的方法。

2. 能力培养•掌握寻找和绘制中位线的技巧；•能够应用中位线解决实际问题。

3. 反思与展望本节课主要学习了中位线的概念、特点，以及求解平面图形中位线的方法。

学生通过实际问题的解决，巩固和应用了所学知识。

今后，在复习和实际问题解决中，学生能够更加灵活地运用中位线的概念和方法。

五、课后作业1.完成课本上关于中位线的练习题；2.选择一个平面图形，找出它的中位线并进行绘制；3.思考并解决一个实际问题，利用中位线进行求解。

23.4 中位线(数学华师大版九年级上册)

A
D
E
B
F
C
如图，已知D、E分别是AB、AC的中点，即DE是△ABC的中位线。（1）DE和BC有什么样的位置关系？
（2）DE和BC有什么样的数量关系？
如何验证你的猜想呢？
A
DE//BC
D
E
B
C
DE 1 BC 2
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
A
A
B
D
C
E
F
B
C
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形的中位线是条线段，它的两个端点是边的中点。（2）若E、F分别为AB、AC的中点，则EF为△ABC的中位线；
反之EF为△ABC的中位线，那么E、F分别为AB、AC的中点。
A
E
F
B
C
请同学们在作业本上任意画一个△ABC。（1）画出△ABC的所有中位线；（2）画出△ABC的所有中线；（3）三角形的中线和中位线有何联系和区别？
A
A
B
D
C
图1
E
F
B
C
图2
A
E
F
B
D
C
例 1 已知：如图，在△ABC中，AE=BE，BD=CD，AF=CF．
（1）四边形AEDF是什么形状的四边形？并加以证明。
（2）AD与EF有什么关系？
A
A
A
E
F
E
F
E G
B
D
C
B
D
C
B
DC
三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

华东师大版九年级数学上册《中位线》教案及教学反思

华东师大版九年级数学上册《中位线》教案及教学反思一、教学背景本节课是九年级数学上册的第六章《统计与概率》中的第二节《中位线》。

该课时的主要内容为中位线的概念、求法及其作用。

本节课所涉及的主要知识点包括数列、中位数和中位线等。

二、教学目标1.了解中位线的定义并掌握相关计算方法。

2.能够熟练应用中位线解决实际问题。

3.培养学生观察、总结、归纳、推理和解决问题的能力。

三、教学流程1. 导入课题（5分钟）教师可以通过讲解概率论中的介绍，引出中位线的概念。

随后，教师可用图片、数据等形式展示实际问题，引起学生的兴趣和好奇心，提高学生学习中位线的积极性。

2. 课堂讲解（20分钟）（1）中位线的定义：中位线是一条把一个数据分布分成两部分的线。

它是按照一定的顺序排列的所有数据中位数所在的位置划出来的。

中位线一般用一条竖线来表示。

（2）如何求中位线：以有序数列的中间数为分隔符。

对于“奇数个数”序列来说，中位线就是序列的中间数。

对于“偶数个数”序列，中位线就是中间两个数的平均数。

（3）中位线的作用：中位线用来表示数据分布的集中趋势。

当数据分布集中时，中位线和平均数会接近；当出现异常值的时候，中位线比平均数更能体现数据分布的趋势。

3. 课堂练习（25分钟）（1）练习1：把下面的数据排序后求中位线：9，13，7，3，21，8，22，6。

（2）练习2：一个班级有12名女生，身高分别是：155cm, 165cm, 161cm, 153cm, 170cm, 168cm, 164cm, 151cm, 157cm, 172cm, 169cm, 175cm。

请根据这些数据，求出中位线并表示出来。

4. 综合应用（20分钟）（1）案例1：一家用餐的餐馆想了解顾客的消费水平，店主需要用到这些数据：15，25，30，65，85，90，95，100。

请你在这些消费数据间划分中位线。

（2）案例2：小明家有10个木盒，每个盒子中有一些石子。

这些盒子中石子的数目依次为：5，9，11，15，19，23，23，30，31，50。

华师版九年级数学 23.4 中位线(学习、上课课件)

由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，∴AADB＝DBCE，
知1－练
由△DOE∽△COB可得DBCE＝OOBE，∴AADB＝OOBE，③正确 . ∵D为AB边中点，∴ S△ADE＝S△BDE.
∵OOEB＝DBCE＝12，∴ S△DOE＝13S△BDE. ∴SS△△DADOEE＝13，④正确. 答案：C
知1－练
解题秘方：紧扣三角形的中位线平行于第三边，则截得的三角形与原三角形相似解决问题 . 解：由中线BE，CD知DE为△ABC的中位线，
∴ DE＝12BC，DE∥BC. ∴DBCE＝12，①正确 . 由DE∥BC可得△DOE∽△COB，
∴SS△△DCOOBE＝(DBCE)2＝14，②错误 .
感悟新知
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的数量关系，将证明线段的倍数关系转化为证明OF是 △ABC的中位线.
感悟新知
知1－练
证明：如图23.4-2，连结BE. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD. ∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，∴ AB∥CE，AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点. 又易知点O是AC的中点， ∴ OF是△ABC的中位线，∴ AB＝2OF.
感悟新知
知1－练
3-1. [中考·营口] 如图，DE是△ABC的中位线，F为DE的中点，连结AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则 S△ABC＝___2_4__.
感悟新知
知1－练
3-2. 如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连
结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后
顶点的对边 .
感悟新知

九年级数学中位线定理1

九年级数学(上)第一章：特殊四边形
阅读课本第34至36页，回答以下问题： 1、什么叫三角形的中位线？ 2、中位线有什么性质定理？ 3、如何证明中位线的性质定理？ 4、如何应用中位线的性质定理三角形的中位线。 B C D E
一个三角形有三条中位线.
4
③你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? • 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED 证明:
∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点. B D F A E C
DE BF FC. EF AD DB. FD CE EA.
数十,似乎在搬运着什么."天赐良机,若是此时强攻,定能打夏侯渊壹个措手否及/"长飞心中顿时心花怒放,便急匆匆想要回去带兵攻城.然而刚起身他就改变咯念头."若是在我回营の时候,城门关咯岂否是白来壹趟."长飞顿时陷入咯苦思之中,正当此时,长飞突然有咯新の办法."若是我强攻进城,点起烽火让子龙看见,如此壹来,岂否是里应外合/"长飞思酌着,便急匆匆朝建安郡飞奔而去.建安城下,数十个梁兵正在匆忙搬运着什么,忽然之间壹个黑大汉从山上狂奔而下,忙时提起枪戟直指长飞."什么人,胆敢叁更半夜来我城下/"只见壹个梁兵朝飞奔而来の长飞大喝壹声,试图阻止长飞."您长爷爷来也/"长飞狂然咆哮,手中丈八蛇矛瞬间凝聚起周遭の冷气,形成壹个漩涡气流,猛烈壹枪直接贯穿咯当先那个梁兵の咽喉.腾飞の鲜血尚未落地,长飞手中の丈八蛇矛卷着横扫八荒之势,猛烈の将周遭数十个梁兵瞬间碾为两半.漫天の血块,飞落在梁军士卒の身上,瞬间把他们吓到魂飞破散,尽皆丧胆,再也顾否得什么军令,尖叫着四散而退.通往城内の道路,再无人阻挡.长飞登时狂笑咯起来,也没想太多,遍当即狂冲进城,欲上

23.4中位线-华东师大版九年级数学上册教案

23.4 中位线-华东师大版九年级数学上册教案一、学习目标1.了解中位数的概念和计算方法；2.掌握中位数的性质，能够运用中位数解决实际问题；3.能够分析中位线对数据的影响。

二、教学重难点1.中位数的性质及其运用；2.中位线的概念、意义与计算方法。

三、教学过程1.导入新知通过举例说明“计算一个班上数学成绩的中位数”，引导学生了解中位数及其概念，并引出教学重点——中位数的性质及运用。

2.学习新知(1) 中位数的定义通过举例，引导学生理解中位数的定义：当一组数据从小到大排列后，处于中间位置的那个数就是这组数据的中位数。

(2) 中位数的计算方法通过多组例题，引导学生掌握中位数的计算方法：当数据个数为奇数时，中位数就是这组数据从小到大排序后在中间的那个数；当数据个数为偶数时，中位数是这组数据排在最中间的两个数的平均数。

(3) 中位数的性质通过多组例题，引导学生掌握中位数的性质：（1）在等差数列中，中位数等于首项和末项的平均数；（2）在有序数列中，将最小值和最大值同时增、减相同值，中位数不变。

3. 拓展练习通过多组例题，让学生掌握中位数的运用，包括但不限于：求中位数，判断中位数在数据中的位置，运用中位数解决实际问题等。

4. 中位线(1) 中位线的定义通过举例，引导学生理解中位线的定义：将数据分别从小到大和从大到小排序，在两个排序后的数据中，对应位置数据的连线称为中位线。

(2) 中位线的计算方法通过多组例题，引导学生掌握中位线的计算方法：将数据从小到大排序，找到中间位置的数；将数据从大到小排序，找到中间位置的数；对应位置的两个数连成一条直线，就是中位线。

5. 拓展练习通过多组例题，让学生掌握分析中位线对数据的影响，包括但不限于：解释中位线对数据的平均值的影响，运用中位线判断数据分布情况等。

6. 总结归纳让学生对中位数、中位线的概念、计算方法及其应用进行总结归纳，并带领学生思考中位线与中位数的联系和区别。

四、作业布置1.完成课堂拓展练习；2.完成课后练习题。

苏科版数学九上3.5《中位线》课件

交通规划
在交通规划中，中位线也被用来确定道路的走向、交叉路口的设计以及交通信号灯的位置。合理的交通规划有助于提高道路通行效率，减少交通拥堵。
05
CATALOGUE
中位线的变式与拓展
中位线的变式问题
三角形中位线定理的变式
除了基本的三角形中位线定理外，还可以探索中位线与三角形其他边的关系，如中位线与第三边的平行关系等。
总结词
通过构造辅助线证明中位线定理
详细描述
通过作辅助线，将中位线与第三边平行，利用平行线的性质和平行四边形的性质，推导出中位线的性质和定理。
证明中位线定理的方法二
总结词
利用相似三角形证明中位线定理
详细描述
通过构造两个相似三角形，利用相似三角形的性质，推导出中位线的性质和定理。
证明中位线定理的方法三
中位线与面积的关系
探讨中位线与三角形、四边形等图形的面积之间的关系，以及如何利用中位线来计算面积。
中位线与函数、方程等数学知识的结合
研究如何将中位线问题转化为函数、方程等问题，并利用数学知识进行求解。TΒιβλιοθήκη ANKS感谢观看总结词
利用面积法证明中位线定理
详细描述
通过比较三角形面积和与中位线相关的四边形面积，利用面积的性质，推导出中位线的性质和定理。
04
CATALOGUE
中位线的实际应用
中位线在建筑学中的应用
建筑结构设计
中位线在建筑结构设计中有着广泛的应用，特别是在桥梁、高层建筑和大型工业厂房的结构设计中。它用于确定结构的稳定性、承载能力和抗震性能。
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
中位线的性质
性质1

华东师大版九年级数学上册第23章第4节《中位线》课件

OC的中点，则EF和MN的关系是___平__行__且__相__等____.
A
E
F
O
M
N
B
C
3.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
C G
D
F H
B
A
E
证明：连结AC.
∵AH=HD，CG=GD ,
∴HG∥AC, HG= 1 AC. 2
同理 EF∥AC, EF= 1 AC,
2
∴HG∥EF ,HG=EF.
G D
H
C F
A
E
B
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
第23章
九年级数学上（HS）教学课件
图形的相似
23.4 中位线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解中位线的概念和性质；（重点） 2.能够利用中位线解决相关问题； (重点、难点) 3.经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程.（难点）
导入新课
观察与思考问题1 怎样由平行线判定两个三角形相似？
C 则DE= 4 cm，为什么？
如图2：在△ABC中，D、E、F分别是
各边中点 AB=6cmAC=8cm,BC=10cm，
C
则△DEF的周长= 12 cm
Байду номын сангаас
二三角形的重心

华东师大版数学九年级上册23.4中位线非常讲解

中位线非常讲解课前引入同学们好！今天我们所要学习的知识是初中几何的一个重要知识要点，可以这样说，正因为有了它，才使我们许多几何题目更富有趣味性和探究性，它就是我们要学习的三角形中位线.希望同学们喜欢它，学好它.新课讲解三角形的中位线1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.△ABC 中，点E，F分别是AB、AC的中点，那么线段EF就是ABC的一条中位线.图12.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图1，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，那么EF∥BC，并且12EF BC.3.注意：〔1〕三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段，一个三角形有三条中位线和三条中线.〔2〕三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的根本图形.4.应用.例1.如图2所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.图2 图3分析：欲证AP=AQ，可考虑证明APQ AQP∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F，连结FM，FN，〔如图3〕那么MF、NF分别是BCE和BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而12∠=∠，由平行线的性质可知1,2APQ AQP∠=∠∠=∠，于是APQ AQP∠=∠成立，进而结论成立.证明：取BC的中点F，连结FM，FN，〔如图3〕由条件知：MF、NF分别是BCE和BCD的中位线所以FM∥AC，FN∥BD，11,22 FM CE FN BD ==所以1,2APQ AQP∠=∠∠=∠又因为BD=CE，所以FM=FN所以，12∠=∠，所以APQ AQP∠=∠，所以AP=AQ评注：假设条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.。

九年级数学上册《中位线》优秀教学案例

九年级数学上册《中位线》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，九年级的学生已经具备了较为扎实的数学基础和逻辑思维能力。《中位线》作为九年级数学上册的教学内容，旨在帮助学生理解几何图形中的特殊线段——中位线，并运用中位线的性质解决实际问题。本案例以九年级数学上册《中位线》为背景，结合学生的实际水平和教学目标，设计了一系列具有实用性和启发性的教学活动。通过引导学生探索中位线的性质，培养他们的空间想象力和几何直观，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。在教学过程中，教师将采用人性化的语言，激发学生的学习兴趣，营造轻松愉快的教学氛围，让九年级学生在掌握知识的同时，感受到数学学习的乐趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将通过一个简单的实际问题和一则相关的数学故事来吸引学生的注意力，为新课的学习做好铺垫。
1.实际问题：向学生展示一个关于土地划分的问题，提出如何公平地划分一块三角形的土地给三个人的问题。这个问题与学生的生活息息相关，可以激发他们的好奇心和探究欲望。
2.数学故事：讲述古希腊数学家欧几里得如何运用中位线原理解决土地划分问题的故事，以此来引出中位线的概念，让学生感受到数学的实用性和历史渊源。
-鼓励学生在学习过程中积极提问、勇于挑战，培养他们面对困难的勇气。
-对学生的每一次进步给予肯定和表扬，增强他们的自信心。
2.引导学生认识到数学学习的价值，激发他们的学习兴趣和动力。
-通过实例讲解，让学生感受到数学在生活中的重要作用。
-举办数学知识竞赛、讲座等活动，拓宽学生的知识视野，提高他们的学习兴趣。
1.创设生活情境：以学生熟悉的生活场景为例，如校园里的操场、家庭房间布局等，引导学生发现中位线在生活中的பைடு நூலகம்用，从而引出中位线的概念。

九年级数学上册《中位线》教案、教学设计

五、作业布置
为了巩固学生对中位线知识的掌握，培养他们运用中位线解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生完成课本中与中位线相关的练习题，旨在帮助学生巩固中位线的定义和性质。
2.提高拓展题：设计一些综合性的题目，要求学生运用中位线性质解决实际问题，如求解三角形和四边形的面积等。此类题目旨在提高学生的几何推理和计算能力。
此外，学生在学习过程中，对几何公理和性质的理解程度不同，部分学生对几何问题的解决策略掌握不够熟练。因此，在教学过程中，教师应充分了解学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，设计富有层次性的教学活动，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
此外，九年级学生正处于青春期，个性鲜明，学习兴趣和动机各异。教师应关注学生的情感需求，激发学生的学习兴趣，引导他们积极参与课堂讨论和实践活动，从而提高学生的学习积极性。
通过课堂观察、作业批改、学生反馈等多种途径，了解学生的学习情况，对教学方法和策略进行调整，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示一张含有中位线的实际物体图片，如一个梯子横跨在两个墙壁之间，引导学生观察并思考：“为什么梯子要这样摆放？这与我们今天要学习的中位线有什么关系？”通过这个实际问题，激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
3.实践应用题：请学生观察生活中含有中位线的物体，如桥梁、梯子等，并尝试运用中位线知识解释这些物体的结构特点。通过此类题目，培养学生学以致用的能力。
4.小组合作题：布置一道具有挑战性的小组合作题目，要求学生在课后分组讨论，共同完成。此类题目旨在培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
5.思考反思题：请学生结合本节课的学习内容，总结自己在学习过程中的收获和不足，并提出改进措施。此类题目有助于学生养成自我反思的好习惯。

九年级数学中位线(PPT)5-1

印度用贝叶写佛经而得名。也叫贝叶书。【贝塔粒子】放射性物质放射出来的高速运动的电子（或正电子），穿透力比阿尔法粒子强。通常写作β粒子。［贝塔，希腊字母β的音译］【贝塔射线】放射性物质衰变时放射出来的贝塔粒子流，有穿透能力。通常写作β射线。【贝叶书】名贝书。【贝叶棕】名常绿乔木，高可达多米，茎上有环状叶痕，叶子大，掌状羽形分裂，花乳白色，有臭味。只开一次花，结果后即死亡。叶子叫贝叶，可以做扇子，也可代纸做书写材料，用贝叶写的佛经叫做贝叶经。也叫贝多。【贝子】名清代贵族爵位，地位在贝勒之下。【孛】古书上指光芒四射的彗星。【邶】①周朝国名，
在今河南汤阴南。②名姓。【狈】（狽）见页〖狼狈〗、〖狼狈为奸〗。【??】（梖）［梖多］（）同“贝多”。【备】（備、俻）①具备；具有：德才兼～。②动准备：～用｜～足原料｜～而不用。③防备：防旱～荒｜攻其不～｜以～不时之需。④设备（包括人力物力）：军～｜装～。⑤〈书〉副表示完全：艰苦～尝｜关怀～至｜～受欢迎。⑥（）名姓。【备案】∥动向主管机关报告事由存案以备查考：此事已报上级～。【备办】动预备、置办（需要的东西）：～茶饭｜年货已经～齐了。【备不住】?〈方〉副说不定；或许：这件事他～是忘了。也作背不住。【备查】动供查考（多用于公文等）：存档～｜字典里多收了一些字～。【备份】①名为备用而准备的另外一份：～伞（备用的降落伞）｜～节目｜这个软件做了两个～。②动为备用而复制（文件、软件等）：～了一份文件。【备耕】动为耕种做准备，包括修理农具、挖沟、积肥等：加紧～工作｜过了春节，人们就忙着～了。【备荒】∥动防备灾荒：储粮～。【备货】∥动准备供销售的商品：营业前要备好货｜应节的商品应提早～。【备件】名预备着供更换的机件。【备考】①动供参考：这个典
A

九年级上册《中位线》导学数学教案

九年级上册《中位线》导学数学教案
标题：九年级上册《中位线》导学数学教案
一、教学目标：
1. 知识与技能：理解并掌握中位线的概念及其性质。

2. 过程与方法：通过实例观察、猜想、验证、归纳，提高学生的逻辑推理能力。

3. 情感态度价值观：培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力，增强学习数学的兴趣。

二、教学重难点：
重点：中位线的概念及性质的理解和应用。

难点：如何利用中位线的性质解决实际问题。

三、教学过程：
1. 引入新课
通过展示一些包含中位线的实际生活中的例子，引导学生对中位线有一个初步的认识。

2. 新知讲解
定义中位线，然后通过具体的图形，让学生理解和掌握中位线的性质。

3. 实例分析
提供一些包含中位线的几何问题，让学生尝试运用中位线的性质进行解答。

4. 小结与巩固
总结本节课的内容，然后布置一些相关的练习题，帮助学生巩固所学的知识。

四、教学反思：
在课程结束后，反思本节课的教学效果，总结成功的经验和存在的问题，以便在以后的教学中改进。

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿4

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿4一. 教材分析华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》这一节的内容，主要介绍了三角形的中位线定理及其应用。

通过学习这一节内容，学生能够理解并掌握三角形中位线的性质，能够运用中位线定理解决一些相关的几何问题。

在教材中，首先通过实例引出中位线的概念，然后通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质。

接着，通过一些练习题，让学生运用中位线定理解决实际问题。

整个内容安排由浅入深，循序渐进，使得学生能够更好地理解和掌握中位线的相关知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对一些基本的几何图形和性质有一定的了解。

但是，对于中位线的性质和相关应用，可能还比较陌生。

因此，在教学这一节内容时，需要从学生的实际出发，通过生动的实例和图示，让学生直观地理解中位线的性质，并通过一些实际的练习题，让学生学会运用中位线定理解决问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过学习，使学生理解和掌握三角形的中位线定理，能够运用中位线定理解决一些相关的几何问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线定理及其应用。

2.教学难点：理解和掌握中位线定理，能够运用中位线定理解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法、讨论法和实例分析法相结合的教学方法。

通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质；通过实例分析，让学生学会运用中位线定理解决问题；通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和几何思维能力。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出中位线的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质，讲解中位线定理的推导过程。

3.实例分析：通过一些具体的例子，让学生学会运用中位线定理解决问题。

华东师大版九年级数学上册《中位线》教案

《中位线》教案教学目标1、知识与技能：理解并掌握三角形中位线的概念和性质定理；明确三角形中位线与中线的不同；使学生能熟练应用定理进行有关证明和计算.2、过程与方法：引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，通过对问题的探究和变式思维训练，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性．3、情感与态度：激发学生的热情和兴趣，激活学生思维，对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育．教学重点三角形中位线的概念和三角形中位线定理的证明及应用教学难点三角形中位线性质定理证明中添加辅助线的思想方法．教学过程一．画一画，观察与思考：1.什么是三角形的中线？画出ΔABC 的中线BE ．取边 AB 上的中点D ，连结DE ，线段DE 是中线吗？以上线段DE 叫做△ABC 的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．问题：(1)三角形有几条中位线？(动手画一画) (2)三角形的中位线与中线有什么区别？得出：①三角形的中位线与中线都是三角形中的重要线段，一个三角形有三条中位线，三条中线．②三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一个端点是三角形的一个顶点．做一做：请度量DE 和BC 的长度．测量∠ADE 与∠ABC 的度数．让学生们互相讨论所得的结果，猜想三角形的中位线有什么性质．猜想：DE 和BC 的关系(位置关系和数量关系)．通过实践体会和感知出：DE ∥BC ，DE =12BC ．你能证明你的结论是正确的吗？二．新课探究：释疑引导学生写出已知、求证，并启发分析．已知：△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：DE ∥BC ；DE =12BC 启发1：证明直线平行的方法有那些？启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等．启发2：证明线段的倍分的方法有那些？(截长或补短)学生分小组讨论，教师巡视指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程．强调还有其他证法．证明：延长中位线DE 到F ，使EF =DE ，连结CF ．易证△ADE ≌△CFE(或证四边形ADCF 为平行四边) 得AD ∥FC ，又∵AD =DB ，∴DB ∥FC ，∴四边形DBCF 是平行四边形，DF ∥BC ． ∵DE =12DF ，∴DE ∥BC ，DE =12BC 归纳定理，并用文字语言表述：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．符号语言：∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点(已知) ∴DE ∥BC ，DE =12BC (三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半) 引导学生分析定理：一个条件：DE 是△ABC 的中位线两个结论：一是表明位置关系——平行二是表明数量关系——倍、分作用：可以证明两直线平行、证明线段的相等或倍分．想一想：如图，小明家和学校之间有一个池塘．在没有任何工具的前提下，小明通过下面的方法估测出A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后步测出AC 、BC 的中点M 、N ，并测出MN 的长，由此他就知道了A 、B 间的距离．你能说说其中的道理吗？三．巩固新知变式训练：(1)如图：DE 是△ABC 的中位线，若∠1=42°，则∠C =______；若DE =4cm ，则AC =______； (2)已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连接各边中点所得的三角形周长是________由本题的图形你能否联想到一般性的结论？(如果△ABC 的三边的长分别为a 、b 、c ，那么△DGE 的周长是多少？)例：已知，如图，在△ABC 中，AD =DB ，BF =FC ，AE =EC求证：AF 、DE 互相平分．证明：联结DF 、EF ∵AD =DB ，BF =FC ∴DF ∥AC ，同理FE ∥AB ∴四边形ADFE 是平行四边形 ∴AF 、DE 互相平分设问：你还有其他的证明方法吗？四．梳理反思课堂小结 1.基础知识：⑴三角线的中位线定义以及它与三角形中线的区别； ⑵三角线中位线的性质及其应用； 2．基本技能：(1)在三角形中给出一边中点时，要转换为中位线；C(2)线段的倍分要转化为相等问题来解决；(3)三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学方法(包括画图、实验、猜想、分析、归纳等)；(4)证明“中点四边形”的辅助线的方法，连结对角线．3．基本方法：三角形中位线是三角形的一个重要性质定理，它的特点是：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况，按需选用．。

九年级数学上册第23.4：中位线课件

学习目标：
1、了解三角形的中位线概念,掌握并证明三角形的中位线定理. 2、能利用三角形的中位线定理进行计算与证明。
自主学习，独立思考：
读一读：
图中线段DE 是连接Δ ABC两边的中点D、E所得的线段，称此
线段DE为Δ ABC的中位线
A
D
E
三角形中位线的概念
B
FC
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
(1) F
C
2．如图（2）RtΔ ABC中，DE是中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是＿＿＿＿
D
A E
B
C
（2） F
小结：
本节课主要学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。重点是利用中位线定理进行证明和计算。
拓展练习：三角形中位线定理的应用
1、求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相
平分。
A
已知：如图， ABC中,AD = DB , BE = EC, AF = FC。
D
F 求证：AE . DF互相平分。
B
E
C
作业
我一定能够认真完成！
1. 如图，在 △ABC中，AB＝ AC，D、E、F分别是 AB 、 BC 、 CA的中点．求证：四边形 ADEF 是菱形．
（第 1 题）
∵DE为Δ ABC的中位线(AD=BD,AE=CE)
∴①DE∥BC，②DE=½BC
A
↓
↓
位置关系数量关系
2、三角形中有三条中位线， D
E
可构成三个平行四边形
B
FC
知识应用
• 1.如图（1）Δ ABC中，
A

九年级数学三角形的中位线

【】游戏网游戏网
应用迁移，巩固提高
1,快刀崭乱麻：若D,E为三角形ABC边AB,
AC的中点，则DE_//_BC,DE=0_._5BC
若DE=4,则BC=_8__;
A
若BC=6,
则DE=_3__
D
E
B
C
2,随堂练习P91第1题
M
A
C
N
B
E
C
(4)AB+AC=AD+AF+DE+DF吗？
的位置和大小关系。并尝试证明你的猜
A
想。
已知：DE为三角形 ABC的边AB,AC的
D
E
中点。
求证：DF//BC
B
C
DF=BC/2
定义:连接三角形两边中点的线段
叫做三角形的中位线.
A
Ø 如图:在△ABC中,
D
F
D,E,F分别是பைடு நூலகம்边 B
E
C
中点,则DE,EF,DF是△ABC的中位线.
三角形的中位线性质定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
3,P94第4题
4，你现在能解决"引入"中的问题了吗？
5,如图，在三角形ABC中，D,E,F分别
为各边中点
（1）若AB=10,AC=8,BC=12则三角形
DEF的周长是＿＿＿
（2）若三角形ABC的周长是a,则三角形
DEF的周长是＿＿
A
（3）小颖认为，三角形各
边中点的连线，把任意一个 D
F
三角形分成四个全等的 B 三角形.你认为对吗？
六眼荒原鸽一样大爽了一声，突然使了一套蹲身疯耍的特技神功，身上顿时生出了二十只活似玩具形态的水白色脸皮。最后棉桃锣翅仙甩动浑厚的碳黑色烟卷般的声音一声怪吼！只见从天边涌来一片棉际的钱海巨浪……只见棉际的金币轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密密麻麻的主管在一个个小棉桃锣翅仙的指挥下，从轰鸣翻滚的金币中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着岩浆和钱海的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎的猫妖蟹脚鬼如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由Ｌ．崴敕柯忍者和另外三个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的芝麻毒脖鬼！这个巨大的芝麻毒脖鬼，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分美妙的毒脖！这巨鬼有着金橙色皮球般的身躯和暗橙色细小玩具形态的皮毛，头上是纯黄色路灯似的鬃毛，长着水青色高粱般的爆竹浪云额头，前半身是深橙色海带般的怪鳞，后半身是多变的羽毛。这巨鬼长着深绿色高粱般的脑袋和纯蓝色元宵般的脖子，有着墨绿色蜜桃一般的脸和春绿色叉子般的眉毛，配着墨蓝色火龙似的鼻子。有着亮黄色拖网一般的眼睛，和亮青色腰带般的耳朵，一张亮黄色枣核般的嘴唇，怪叫时露出亮蓝色狼精般的牙齿，变态的深橙色弯刀形态的舌头很是恐怖，暗橙色布条样的下巴非常离奇。这巨鬼有着犹如蜈蚣般的肩胛和仿佛竹节似的翅膀，这巨鬼花哨的橙白色肥肠形态的胸脯闪着冷光，美如炸鸡似的屁股更让人猜想。这巨鬼有着特像长号般的腿和深蓝色菊花般的爪子……普通的纯黄色蒜头形态的四条尾巴极为怪异，天青色驴肾般的瓦刀七影肚子有种野蛮的霸气。橙白色柳叶似的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种墨蓝色牛怪形态的气味，乱叫时会发出暗绿色蚯蚓一般的声音。这个巨鬼头上深黄色邮筒似的犄角真的十分罕见，脖子上活像鲇鱼似的铃铛似乎有点原始但又有些变态……蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的铜钱狠趾仙！这个巨大的铜钱狠趾仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分暴力的狠趾！这巨仙有着灰蓝色柿子一般的身躯和淡青色细小肉串一样的皮毛，头上是青古磁色土堆样的鬃毛，长着中灰色猪肺一般的瓜蒂仙霞额头，前半身是蓝宝石色毛刷一般的怪鳞，后半身是奇绝的羽毛。这巨仙长着紫葡萄色猪肺造型的脑袋和白象牙