概率论与数理统计课件(第4章)

第4章随机变量的数字特征

指联系于分布函数的某些数，如平均值，离散程度等.本章介绍随机变量的常用数字特

征：数学期望、方差、相关系数、矩等

4. 1随机变量的数学期望

例4. 1甲、乙两射击手击中目标的环数用随机变量X、Y表示，它们的分布分别

如下:

试比较甲、乙两射击手射击技术的优劣

解假设甲、乙两射击手分别射击N次，则射击手甲击中的总环数为

N 0.3 8 N 0.1 9 N 0.6 10,

N 0.3 8 N 0.1 9 N 0.6 10

平均环数为9.3 ；

N

射击手乙击中的总环数为

N 0.1 8 N 0.4 9 N 0.5 10，

N 0.1 8 N 0.4 9 N 0.5 10

平均环数为---------------------------------------- 9.4

N

上述平均环数可以告诉我们，射击手乙的射击技术优于射击手甲

从例4.1可以看出，在大量次独立重复试验中，离散型随机变量的平均值总是稳定

在一个常数附近，这个常数就是将分布列表中各组对应数据相乘所得乘积的总和，据此, 我们给出随机变量数学期望的定义.

定义4.1设离散型随机变量X的分布律为P(X X j) p i,i 1,2 .

如果

X k P k

k 1

则称

(4. 1)

E(X)= X j P i .

i 1

为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.若|x k | p k不

收敛，则称X的数学期望不存在

类似地给出连续型随机变量的数学期望的定义 定义4.2设连续型随机变量 X 的密度函数为f (X ).

E(X)= xf (x)dx .

为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值•若

| x | f (x)dx 不收敛，则称 X 的数学期望不存在•

例4.2设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间

求 E(X).

4. 1.2随机变量函数的数学期望 按照随机变量 X 的数学期望的定义，

E(X)由其分布唯一确定，如今若要求随机

变量的一个函数 g(X)的数学期望，可以通过下面的一个定理来求得

定理4. 1设Y 是随机变量 X 的函数：Y g(X)( g 为连续函数)

(1)X 是离散型随机变量，它的分布律为 P(X X i ) P i ,i 1,2 ，若 g(X i )p i

i 1

绝对收敛，则有

如果

| x| f (x)dx

则称

计)是一个随机变量, 其密度函数为

f(x)

1 2

x,

15002

J(x 1500 0,

3000),1500

其他

1500 3000，

(4. 2)

X (以分种

E(X) =

xf (x)dx

1500

1

x------- xdx 0

1500

3000

1 …x 1500

2 (x 1500

3000)dx

500 1000 1500 ( min )

4.3柯西分布的密度函数为

f (x)丄 1 1 X 2' .求 E(X).

因为

|x|f(x

)dx

1 1

|x|

—厂严

，故E(X)不存在.

2

0 0

4.1的重要意义在于当求 E(Y)时，不必先算出 Y 的分布.

类似于一维随机变量的数学期望，此定理还可以推广到多维随机变量函数的数学期

(X ，Y )的函数：Z g(X,Y)( g 为连续函数)

这里，假设(4.5)，(4. 6)的右端都是绝对收敛的 例4. 4设随机变量X 的概率密度为

求 E(e 3X )

2 2

1

e 2 dxdy

2

2

e rdr

则有

(2) E(Y) Eg(X) X 是连续型随机变量, E(Y) E g(X)

g(xjP i

(4. 3)

它的密度函数为

f (x).若 g(x)f (x)dx 绝对收敛,

g(x) f (x)dx .

(4. 4)

定理 定理4.2设Z 是二维随机变量

(1)若二维随机变量(X ，Y )

的分布律P(X x i ,Y y j )

P

ij ， i, j

1,2,

E(Z) E(g(X,Y))

g(X i ,y j )P j .

j 1 i 1

(4. 5)

(2)若二维随机变量(

X ，丫 ) 的密度函数为 f (x, y)，则有

E(Z) E(g(X,Y)) g(x, y)f (x,y)dxdy

(4. 6)

f(x)

x

xe

解 E(e 3X )

e 3x f(x)dx o e 3x xe x dx o xe 4x

dx

_1 16

例4.5设随机变量

(X ，Y )服从二维正态分布,

其密度函数为

1

f (x,y) e

，求Z X 2 Y 2的数学期望E(Z).

解 E(Z)

x 2 y 2