向量的基本运算

向量三阶行列式

关于三阶行列式的计算，首先给出一个实例，A、B、C、D、E、F、G、H、I都是数字。

先按斜线计算A*E*I，B*F*G，C*D*H，求和AEI+BFG+CDH

再按斜线计算C*E*G，D*B*I,A*H*F,求和CEG+DBI+AHF

行列式的值就为（AEI+BFG+CDH）-（CEG+DBI+AHF）

法向量

先建立直角坐标系。再找平面内两条相交直线，并求出两条直线的坐标，如A(0 1 2)，B (4 5 6)。三设法向量(X Y Z)，再将A B 两条线的向量与法向量对应相乘，且等于0。即，Y+2Z=0，4X+5Y +6Z=0。最后，连立方程组求出(X Y Z)即为法向量。另，垂直于一个平面的直线，直线的向量即为该平面的法向量。

点乘和叉乘

点乘

也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。

向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>

在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。

叉乘

也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c

的方向）。

因此

向量的外积不遵守乘法交换率，因为

向量a×向量b=-向量b×向量a

在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘

右手定则叉乘

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。

若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

则

向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

向量a×向量b=

| I j k|

|a1 b1 c1|

|a2 b2 c2|

=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。

向量加、减、乘法运算法则

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b ，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点，指向被向量的减法减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λ