高阶系统的时域分析

10:40
Amplitude
Step Response 0.35
s4
0.3
G(s) (s 5)(s3 2s2 3s 4)
1
G(s)
0.25
s3 2s2 3s 4
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Time (sec)
❖ 去掉非主导极点和偶极子后的曲线与原曲线的比较：
Step Response
System: untitled1 Settling Time (sec): 3.91
System: untitled2 Settling Time (sec): 4.02 System: untitled2 Rise Time (sec): 2.22
G1(s)
s
1 1
G2
第三章 时域分析法
第四节 高阶系统的时域分析
10:40
3-4 高阶系统的时域分析
项目
内容
教学目的
掌握高阶系统的阶跃响应时域表达形式，运动的 五种模态，高阶系统近似为二阶系统的条件。
教 学 重 点 高阶系统的降阶处理方法以及matlab图形分析方法。
教 学 难 点 高阶系统复数域表达式的部分分式形式的推导。
j 1
k 1
A0 s
q j 1
Aj s pj
r k 1
s2
Bk s Ck
2 kk s k2
进行拉氏反变换：
L1 (
A0 s
)
A0
10:40
q
L1 (
j 1
Aj ) s pj
q
L1 (
Aj
)
j 1
s pj
q
Aje pjt
j 1
L1[
s2
Bk s Ck
2 kk s
k2
]
L1[
Bk (s kk ) (s kk )2
10:40
运动的模态
按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正 负值，将暂态响应的运动形式分为5个模态：
❖ 一阶模态 e pjt
pj<0 一阶收敛模态 pj>0 一阶发散模态
❖ 二阶模态 ent sin(bt )
n 0 n 0 n 0
10:40
二阶收敛模态 二阶等幅振荡模态 二阶发散模态
传递函数：
j
偶极子
5
作用：通过增加含有零点的微分环节使某些极 点的作用减小或消失；或者增加含有极点的惯性环 节使某些零点的作用减小或消失。
10:40
高阶系统单位阶跃响应类似于二阶响应
r(t)
c(t)
1
G(s)
t
t
10:40
Amplitude
Step Response 0.4
1
0.35
G(s)
s3 2s2 3s 4
❖ 周围没有闭环零点：其输出响应的模态在总的响应 中占的比重大(没有其它零点把它的作用抵消掉)；
❖ 其它闭环极点远离虚轴：其它闭环极点决定的模态 和主导极点决定的模态相比衰减很快。
10:40
※偶极子： 定义：一对非常靠近的零、极点会使该极点的
对应留数很小，其在系统动态响应中的作用近似相 互抵消，这对零极点叫做偶极子。
10:40
c(t) L1[C(s)]
q
r
A0
Aje pjt
A e kkt k
sin
dkt k
j 1
k 1
结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。
对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大(极 点距虚轴愈远)，则其对应的响应分量(模态)衰减的越迅 速，否则，衰减的越慢。(和极点有关)
Ai [C(s)(s pi )]s pi
在留数的计算过程中，要用到C(s),而C(s)中包含有闭 环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留数 的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关)
10:40
进一步理解
Ai [C(s)(s pi )]s pi
a.零极点相互靠近，则对Ai的影响就越小，且离 虚轴较远(衰减速度快)，对c(t)影响越小；
sin
dkt k
Dk
10:40
c(t) L1[C(s)]
q
r
A0 Aje pjt Akekkt sin dkt k
j 1
k 1
结论(性能分析)：
1、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶 振荡子系统的时间响应函数项组成；
2、如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着t 的增长，上式的第二项和第三项都趋于0，系统的稳 态输出为A0。
Impulse Response 1.2
1
s 1
(s)
0.8
(s 0.2)2 1
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
传递函数：
(s)
A1s B1 s2 b2
零极点分布图：
j b
0
10:40
Amplitude
运动模态4
c(t) Asin(bt )
j
-10
-1
s =-1为主导极点，忽略极点s =-10的影响。为了保持
G(0)值不变，应将系统简化为：
G(s) 1
简化前后稳态增益不变
s 1
10:40
Amplitude
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
10:40
System: untitled1 Rise Time (sec): 2.2
0
P= -5.0000 -0.4000 + 0.9165i -0.4000 - 0.9165i
10:40
系统传递函数可近似为
G(s)
s2
0.2 0.8s
1
G(s)
1
s3 +5.8s2 +5s+ 5
0.35 0.3
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05 0 0
10:40
Amplitude
Step Response
10:40
ห้องสมุดไป่ตู้
※高阶系统的降阶简化思路： 1、去除传递函数中影响较小的极点； 2、利用偶极子概念的零极点抵消作用，最终降为 二阶或三阶系统。
注意保持系统稳态放大倍数不变，即Φ(0)不变 或A0不变。
10:40
例： 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的
可能性。
G(s)
10
(s 1)(s 10)
b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影响；
c.零极点重合——偶极子，对c(t)无任何影响；
d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对 c(t)影响大。
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中
那些靠近虚轴而又远离零点的极点(主导极点)
来决定。
10:40
二、高阶系统的二阶近似
※主导极点
1、离虚轴最近;
讲授技巧及注 尽可能将表达式转换过程中所使用的数学基础讲
意事项
清楚，再将表达式和图形一一对应起来。
10:40
❖描述系统的微分方程高于二阶的系统为高阶系 统。
工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当 地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。
原因： 1、高阶系统的计算比较困难； 2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往 往是不必要的，甚至是无意义的。
2
2.5
Time (sec)
c(t) L1[C(s)]
q
r
A0
Aje pjt
A e kkt k
sin
dkt k
j 1
k 1
结论3：响应曲线的类型由闭环极点决定
如果有一个闭环极点位于s右半平面，则由它 决定的模态是发散的，在其他模态(位于s左半平 面的极点决定)，随t的推移最终趋于其对应的稳 定值的时候，它的作用就会显现出来，导致整个 系统对外显示是发散的。
0.35
0.3
0.25
0.2
Amplitude
System: g2 Rise Time (sec): 0.721
bm1s bm an1s an
m
Kr (s zi )
q
i 1 r
(s p j ) (s2 2 kk s k2 )
10:40
j 1
k 1
在单位阶跃信号下的响应：
m
C(s) s
q
Kr (s zi )
i 1
1
(s p j ) r (s2 2 kk s k2 ) s
s 1
(s)
1.5
Impulse Response
s2 1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
传递函数：
(s)
(s
A1s a)2
B1 b2
零极点分布图：
j b
0a
10:40
Amplitude
运动模态5
c(t) Aeat sin(bt )
10:40
一、高阶系统的单位阶跃响应
a0
dn dt n
c(t)
a1
d n1 dt n1
c(t)
an1
d dt
c(t)
an c(t )
b0
dm dt m
r(t) b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
进行拉氏变换可得：
(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
0
-0.5
-1
-1.5
10:40
-2 -5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
指令：[P,Z] = PZMAP(g)
P= -5.0000 -1.6506 -0.1747 + 1.5469i -0.1747 - 1.5469i
Z= -4
❖ 去掉偶极子后的曲线与原曲线的比较：
Bk kk
2 2
kk
Ck
k2
]
L1[
Bk (s kk )
(Ck
Bk kk)
k k
1
2 k
1
2 k
]
(s kk )2 (k
1
2 k
)2
(s kk )2 (k
1
2 k
)2
B e kkt k
cos(k
1
2 k
)t
Ck
k
Bk kk
1
2 k
e kkt
sin(k
1
2 k
)t
A ekkt k
2、附近没有零点存在;
3、其他所有极点远离虚轴(与虚轴的距离 都在此极点与虚轴的距离的五倍以上)。
j
主导极点
5
主导极点
10:40
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中 的主导极点决定。
原因：
❖ 离虚轴近：由此极点决定的指数项衰减缓慢，等其 它闭环极点随时间的推移作用消失后，其作用仍然 存在，并逐渐显现出来；
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
高阶系统的主导极点常常是共轭 复数极点，因此高阶系统可以常用主 导极点构成的二阶系统来近似。相应 的性能指标可按二阶系统的各项指标 来估计。在设计高阶系统时，常利用 主导极点的概念来选择系统参数，使 系统具有预期的一对共轭复数主导极 点，这样，就可以近似的用二阶系统 的性能指标来设计系统。
-1
-1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
Impulse Response 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec)
Impulse Response 14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
(s) A s p
零极点分布图：
j
-p
0
10:40
Amplitude
运动模态1
c(t) Ae pt
Impulse Response 1
0.9
1
0.8
(s) s 1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
传递函数：
(s) A s p
零极点分布图：
j
10:40
(s)
(s
10 1)( s
10)
指令：step(tf(1,[1,1])),hold on
step(tf(10,conv([1,1],[1,10])))
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
例： 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的 可能性。
G(s)
(s
1 5)(s2
0.8s
1)
j
指令：[P,Z] = PZMAP(g)
0p
Amplitude
运动模态2
c(t) Ae pt
Impulse Response 14
12
1
(s)
10
s 1
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
传递函数：
(s)
(s
A1s a)2
B1 b2
零极点分布图：
j b
-a 0
10:40
Amplitude
运动模态3
c(t) Aeat sin(bt )
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10:40 0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
Impulse Response 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
Impulse Response 1.5
1
0.5
0
-0.5
Impulse Response 12
10
s 1
8
(s) (s 0.1)2 1
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Time (sec)
运动模态总结
j
j
j
j
j
0
0
0
0
0
Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude
Impulse Response 1
5
10
Time (sec)
G(s)
(s
1 5)(s2
0.8s
1)
0.2 G(s)
s2 0.8s 1
15
例： 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的 可能性。
G(s)
s4
(s 5)(s3 2s2 3s 4)
Pole-Zero Map 2
pzmap(g)
1.5
1
0.5
Imaginary Axis