专题8极限与函数的导数的题型与方法
极限与函数的导数
极限与函数的导数在微积分学中，极限和函数的导数是两个基础概念。
极限可以用来描述函数在某一点附近的行为，而导数则表示函数在某一点的变化率。
本文将探讨极限与函数的导数之间的关系以及它们在实际应用中的意义。
一、极限的概念极限是描述函数在某一点附近值的性质的概念。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值是否会趋近于某个确定的值。
数学上，我们用极限符号“lim”来表示某个函数在某一点附近的极限。
例如，当x趋近于a时，函数f(x)的极限可以表示为lim(x→a)f(x)。
二、导数的定义函数的导数表示函数在某一点的变化率，也可以看作是函数图像的切线斜率。
数学上，我们用dy/dx或f'(x)来表示函数f(x)的导数。
导数的计算可以通过求出函数在某一点的极限来实现。
函数f(x)在x=a处的导数可以表示为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h或f'(a)。
三、极限与导数的关系极限与导数之间有着密切的关系。
实际上，函数在某一点处可导，意味着该点的极限存在。
换句话说，如果函数在某一点可以取导数，那么该点的极限也必然存在。
这一点可以通过导数定义中求极限的过程来理解。
四、导数的应用导数在实际应用中有着广泛的应用。
以下是导数在几个领域的具体应用：1. 科学和工程学中的模型建立：通过利用导数来描述变化率和曲线的斜率，我们可以建立各种科学和工程中的模型，例如物理学中的运动学模型、化学中的反应速率模型等。
2. 经济学中的边际效应：在经济学中，导数用于计算边际效应，即某一决策在单个单位变化时产生的额外效果。
例如，成本函数的导数可以用于计算每一单位产品的成本变化。
3. 优化问题：导数可以用于解决优化问题，例如在工程设计中最小化材料使用量的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的最小值或最大值点。
4. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要量。
通过求取位移函数的导数，我们可以得到速度和通过速度的导数得到加速度。
导数与函数的极限关系归纳
导数与函数的极限关系归纳在微积分领域中，导数与函数的极限是两个核心概念。
它们之间有着密切的关系，相互之间可以通过数学定理和公式进行转化和推导。
本文将对导数与函数的极限关系进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、导数的定义与函数的极限导数是描述函数变化率的工具，它代表了函数在某一点的瞬时变化速率。
函数的极限则是描述函数在无穷接近某一点时的值趋势。
导数和函数的极限之间的关系可以通过导数的定义和极限的计算来确定。
二、导数与函数极限的关联定理1. 函数在某一点可导，则在该点必定存在极限。
这是因为导数的存在要求函数在该点的斜率存在，而斜率的存在又要求函数在该点必须是连续的，即函数在该点存在极限。
2. 函数在某一点不可导，则在该点的极限未必存在。
这是因为函数不可导说明在该点的斜率不存在，而不存在的斜率会导致函数在该点的极限未必存在。
三、导数和函数极限的计算方法1. 利用导数计算函数在某一点的极限。
当函数在某一点可导时，可以通过导数公式来计算函数在该点的极限。
2. 利用极限计算函数的导数。
当函数在某一点存在极限时，可以利用求极限的方法来计算函数在该点的导数。
这两种方法的应用范围不同，但都是导数与函数极限关系的重要表现形式。
四、导数和函数极限的性质1. 函数在连续的区间上可导，则在该区间上函数的极限存在。
这是因为可导性要求函数在该区间上连续，而连续函数的极限存在。
2. 函数在某一点可导，则在该点的左极限和右极限存在且相等。
这些性质反映了导数与函数极限之间的密切关系，同时也为我们研究函数的性质提供了有效的工具。
五、导数与函数极限的应用导数和函数极限是微积分理论的基础，也是应用于实际问题解决中的重要工具。
它们可以用来求解函数的最值、优化问题、判断函数的增减性等等。
在自然科学、工程技术和经济管理等领域中都有广泛的应用。
综上所述，导数与函数的极限是微积分中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。
导数和极限的计算方法、关联定理、性质和应用，都为我们探索和应用微积分提供了有力的工具和理论基础。
理解函数与导数的极限存在问题
理解函数与导数的极限存在问题在数学领域中，函数与导数的极限存在问题是一个非常重要且经典的问题。
理解这个问题的本质对于进一步学习和研究微积分和数学分析都具有重要的意义。
本文将从函数与导数的定义、极限的概念以及极限存在的条件等方面展开论述，帮助读者深入理解函数与导数的极限存在问题。
一、函数与导数的定义在讨论函数与导数的极限存在问题之前，我们首先来了解一下函数与导数的定义。
函数是一种将一个数域的集合映射到另一个数域集合的数学关系。
常见的函数表示方式包括显式函数、隐式函数和参数方程等。
导数是函数在某一点处的变化率，反映了函数图像在该点附近的变化趋势。
导数的定义可以用极限来表达，即函数在某一点x处的导数等于函数f(x)在x点偏离的极限。
导数的存在与函数的连续性密切相关。
二、极限的概念极限是微积分中的基本概念之一，它描述了一个变量趋于某个确定值时的性质。
对于函数与导数的极限存在问题来说，我们主要关注函数在某一点处的极限是否存在。
当自变量无限逼近某一点时，函数值是否有确定的趋势，即是否存在一个确切的数值作为极限，这就是极限存在的问题。
如果函数在某一点的左极限与右极限都存在且相等，那么该点的极限存在。
否则，该点的极限不存在。
三、极限存在的条件要确保函数在某一点的极限存在，有一些条件需要满足。
1. 函数在该点附近有定义：函数在某一点附近都有定义，即使在该点处没有定义，也不能影响函数在该点的极限存在。
2. 函数在该点附近有界：函数在某一点附近存在上下界，这是确保极限存在的重要条件。
3. 函数在该点附近连续：函数在该点处连续，即函数在该点的左极限与右极限都存在且相等。
连续性是确保函数在某一点的极限存在的关键所在。
通过满足以上条件，我们可以判断函数在某一点的极限是否存在。
四、函数与导数的极限存在问题在函数与导数的极限存在问题中，我们主要关注函数在某一点的导数是否存在。
导数的存在与函数的连续性密切相关。
当函数在某一点的导数存在时，我们可以得到该点处的切线斜率，从而推断函数图像在该点的变化趋势。
函数的极限与导数的应用
函数的极限与导数的应用在微积分学中，函数的极限和导数是两个重要的概念。
函数的极限可以描述函数在某一点逼近的趋势，而导数则可以描述函数在某一点的变化率。
这两个概念在计算机科学、物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和导数，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于的一个确定的值。
通常用符号“lim”表示，下面是函数极限的定义：lim(x→a) f(x) = L意思是当自变量x趋于a时，函数f(x)的取值趋于L。
函数的极限具有一些重要的性质，比如极限的四则运算法则、函数的极限存在性和唯一性等。
通过函数的极限，我们可以研究函数的趋势和性质。
二、导数的定义与性质导数是一个函数在某一点的变化率。
如果函数在某一点处的导数存在，那么这个函数在该点是可导的。
下面是导数的定义：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h这里，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
导数具有一些重要的性质，比如导数的四则运算法则、导数与函数的关系（如反函数的导数和复合函数的导数）、黎曼积分与导数的关系等。
三、函数极限与导数在实际问题中的应用函数的极限和导数不仅是微积分学的基础概念，也在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限在数值逼近中的应用：当我们需要通过计算机进行数值计算时，常常需要使用函数的极限来逼近某个数值。
比如在数值求解方程、数值积分等问题中，通过逼近函数的极限可以得到近似解。
2. 导数在最优化问题中的应用：最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数取得极值的问题。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的极值点，从而解决最优化问题。
这在经济学、工程学、物理学等领域中具有重要的应用。
3. 函数的极限和导数在物理学中的应用：物理学中的很多问题可以通过函数的极限和导数来进行建模和解决。
高考导数题型分析及解题方法
高考导数题型分析及解题方法本知识单元考查题型与方法：※※与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率=2121y y x x --，三代切点入切线、曲线联立方程求解）；※※其它问题（一求导数，二解)('x f =0的根—若含字母分类讨论，三列3行n 列的表判单调区间和极值。
结合以上所得解题。
）特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。
导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。
关注几点：恒成立：（1）定义域任意x 有()f x >k,则min ()f x >常数k ；（2）定义域任意x 有()f x <k,则max ()f x <常数k恰成立：（1）对定义域内任意x 有()()f x g x >恒成立，则min ()-()0,f x g x >【】 （2）若对定义域内任意x 有()()f x g x <：恒成立，则max ()-()0f x g x <【】"能成立：（1）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和，对任意的1[,],x a b ∈存在2[,],x c d ∈使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <（2）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和，对任意的1[,],x a b ∈存在2[,],x c d ∈使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x >一、考纲解读考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；》3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， $（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时[①13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
高中数学的解析函数中的极限与导数
高中数学的解析函数中的极限与导数解析函数是指能够用解析式表示的函数，也就是用符号表达出来的函数。
在高中数学中，解析函数的极限与导数是重要的概念和技巧，对于理解函数的性质和计算函数值具有重要意义。
一、解析函数的极限解析函数的极限描述了函数在某个点附近的表现。
具体而言，对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某一定值a时，如果函数值f(x)也无限接近于一个常数L，则称函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
解析函数的极限可以通过代入法、夹逼法、拉'Hospital法则等多种方法来求解。
代入法是最基本的方法，通过将x的值无限接近于a，计算对应的函数值来确定极限。
夹逼法则是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，利用这两个函数的极限值相等来求解原函数的极限。
拉'Hospital法则则是通过利用导函数的极限求解原函数的极限，它适用于某些特殊形式的不定型。
二、解析函数的导数解析函数的导数描述了函数在任意一点的变化率。
对于函数f(x)，它的导数f'(x)表示了函数在点x处的瞬时变化率。
导数的定义是lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，也可以记作f'(x)=lim(h→0)(Δf/Δx)，其中Δf和Δx分别表示函数值和自变量的变化量。
解析函数的导数可以通过求导法则来求解。
常见的求导法则包括函数的四则运算法则、链式法则、乘积法则、商法则等。
通过这些法则，可以将复杂函数的导数计算转化为基础函数的导数计算，从而简化求解的过程。
三、解析函数的极限与导数的关系在解析函数中，极限与导数之间存在着重要的关系。
具体而言，如果函数f(x)在某个点x=a的极限存在，并且该点的导数也存在，则两者是相互关联的。
极限存在的充分必要条件是导数存在，并且它们的值相等。
这个关系可以通过解析函数的定义和导数的定义来理解。
当自变量的变化量趋近于0时，函数值的变化量与自变量的变化量之比等于导数，并且这个比值与自变量的变化量的极限值相等。
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点导数与极限是高考数学中的重要内容，对于理工科考生来说尤其重要。
掌握导数与极限运算的关键点能够帮助考生提高解题效率，下面将介绍几个关键点。
一、理解导数的定义导数是描述函数在某一点的变化率的指标。
在掌握导数运算的关键点之前，我们需要先理解导数的定义。
导数的定义是函数的极限，即函数在某一点的导数等于该点处函数的极限。
这个定义非常重要，理解了这个定义之后才能更好地应用导数进行运算。
二、掌握导数基本运算法则在高考数学中，常见的导数基本运算法则有常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
掌握这些法则是解题的基础，可以帮助考生更快速地求导数。
以乘积法则为例，乘积的导数等于一项的导数乘以另一项，再加上另一项的导数乘以一项，即(d(uv)/dx = u'v + uv')。
熟练掌握这些法则能够帮助考生迅速解题。
三、学会运用导数的性质导数具有一些特殊的性质，掌握这些性质可以简化计算过程。
比如，导数的和的导数等于各项导数的和，导数的差的导数等于各项导数的差，导数的幂的导数等于指数乘以底数的导数等等。
掌握这些性质可以在解题过程中灵活运用，提高解题效率。
四、了解常见的导数公式在高考数学中，有一些常见的函数的导数公式是需要掌握的，比如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟悉这些公式能够帮助考生更快地求出函数的导数。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意各种函数的复合运算，灵活运用链式法则。
五、熟练掌握极限运算的技巧极限是导数的基础，因此对极限运算的技巧的掌握也是非常重要的。
在高考数学中，常见的极限运算技巧有利用夹逼定理、利用等价无穷小、利用洛必达法则等。
熟练掌握这些技巧可以帮助考生更快地求解极限问题，尤其是在计算极限时遇到不确定型的问题。
综上所述，掌握高考数学中的导数与极限运算技巧的关键点主要包括理解导数的定义、掌握导数基本运算法则、学会运用导数的性质、了解常见的导数公式以及熟练掌握极限运算的技巧。
三角函数的极限计算与导数结合应用
三角函数的极限计算与导数结合应用三角函数是数学中重要的一个分支，其通过极限计算与导数的结合应用可以在许多实际问题中得到广泛的应用。
本文将介绍三角函数的极限计算和导数应用，并探讨它们在几个具体问题中的应用。
1. 极限计算三角函数的极限计算是研究三角函数在特定点或无穷远点的趋势问题。
在计算极限时，常用到以下几个基本的极限：- $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$：这个极限是计算其他三角函数极限的基础，它能够将三角函数与直角三角形中的正弦比（$\frac{\sinx}{x}$）联系起来。
- $\lim_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^x=e$：这个极限与三角函数直接相关，通过取对数和指数运算，可以得到三角函数的极限值。
2. 导数的计算导数是描述函数变化率的工具，而三角函数的导数是指其在某一点的切线斜率。
三角函数的导数计算需要使用基本的导数公式，并结合三角函数的特点进行推导。
下面是几个常见的三角函数导数公式：- $(\sin x)'=\cos x$：正弦函数的导数是余弦函数。
- $(\cos x)'=-\sin x$：余弦函数的导数是负的正弦函数。
- $(\tan x)'=\sec^2 x$：正切函数的导数是其平方的倒数。
3. 导数的应用通过将导数与三角函数结合应用，可以解决许多实际问题。
以下是几个具体例子：- 利用导数求解极值问题：根据函数的导数求函数的极值点，进而帮助解决实际问题。
例如，在解决最优化问题中，可以将问题转化为求函数的极值点的问题，然后利用导数计算出极值点的坐标。
- 利用导数解决速度和加速度问题：将物体的位移、速度和加速度之间的关系用函数表示，通过对函数求导，可以计算出速度和加速度的变化情况。
这在物理学中的运动学问题中尤为常见。
- 利用导数推导其他三角函数的导数：通过已知三角函数的导数公式，可以推导出其他三角函数的导数公式。
导数与函数的极限值问题归纳
导数与函数的极限值问题归纳在数学领域，导数和函数的极限值是两个非常重要的概念。
导数用于描述函数在某一点的变化率，而函数的极限值则是研究函数在整个定义域上的极值问题。
本文将对导数和函数的极限值问题进行归纳总结，并探讨它们之间的联系和应用。
一、导数的定义与性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，通常用斜率来表示。
设函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处的导数可以用下列极限表示：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a) 〗2. 导数的性质a) 可导函数一定连续，但连续函数不一定可导；b) 若函数f(x)在点x=a可导，则f(x)在点x=a连续；c) 若函数f(x)在点x=a，b可导，则它在(a,b)内必可导。
3. 常见导数求法a) 基本初等函数的导数（如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）；b) 导数的四则运算法则（加减乘除）；c) 复合函数的导数（链式法则）；d) 特殊函数的导数（反函数的导数、隐函数的导数等）。
二、函数的极限值问题1. 极值的定义函数在其定义域内的某一点上取得最大值或最小值时，称该点为函数的极值点，对应的函数值称为极值。
2. 极值的判定条件a) 必要条件：若f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=0 或f'(a)不存在；b) 充分条件：f'(a)=0 或f'(a)不存在时，并不能确定该点为极值点，还需通过二阶导数或借助临界点来判定。
3. 极大值和极小值的判定极值分为极大值和极小值，判定方法如下：a) 极大值：若f'(a)=0 且 f''(a)<0，则点x=a为极大值点；b) 极小值：若f'(a)=0 且 f''(a)>0，则点x=a为极小值点；4. 闭区间上的极值问题在闭区间[a, b]上求极值问题，可以通过以下步骤进行：a) 求出函数在开区间(a, b)内的临界点；b) 求出函数在闭区间[a, b]的端点处的函数值；c) 将临界点和端点处的函数值进行比较，确定极值的取值。
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。
而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。
通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。
一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。
3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。
4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。
5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。
二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。
导数求极限的方法总结
导数求极限的方法总结导数是微积分中的一个重要概念，用于研究函数的变化率和函数的极值。
在求解极限时，导数是一种常用的方法。
本文将从导数的定义、导数与极限的关系以及导数求极限的具体步骤等方面进行详细介绍。
导数的定义是函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，在x点处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
其中，h表示自变量x的增量。
从这个定义可以看出，导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
导数与极限之间存在密切的联系。
在求解导数时，我们实际上是在求解一个极限。
通过求导，我们可以得到函数在每个点上的导数值，进而研究函数的变化情况。
而在求解极限时，我们通常可以利用导数的性质来简化问题，进而求得极限的值。
接下来，我们将具体介绍如何利用导数求解极限。
假设我们要求解函数f(x)在x=a处的极限lim(x→a) f(x)，其中a为常数。
首先，我们可以使用导数的定义，计算出函数f(x)在x=a处的导数f'(a)。
然后，我们将极限的问题转化为求导数的问题，即求解f'(a)。
最后，我们可以通过计算导数f'(a)的值来得到极限的值。
具体步骤如下：1. 计算函数f(x)在x=a处的导数f'(a)。
根据导数的定义，我们可以通过求解极限lim(h→0) (f(a+h) - f(a))/h来得到导数f'(a)的值。
2. 将极限的问题转化为求导数的问题。
我们可以将求解极限lim(x→a) f(x)转化为求解f'(a)的问题。
3. 计算导数f'(a)的值。
将常数a代入导数的表达式中，计算出f'(a)的值。
4. 得到极限的值。
将导数f'(a)的值代入极限的表达式中，计算出极限的值。
通过以上步骤，我们可以利用导数求解函数在某一点上的极限。
需要注意的是，在计算导数和求解极限时，我们需要考虑函数的定义域、连续性以及导数的存在性等条件。
微积分中的极限与导数求解专题
微积分中的极限与导数求解专题引言微积分是数学的重要分支之一，其中极限和导数是研究微积分的基础概念。
了解和掌握这两个概念对于解决各种实际问题和理论推导都具有重要意义。
本文将深入探讨微积分中的极限和导数的求解方法，帮助读者理解和应用这些概念。
极限的概念与求解极限的定义在微积分中，极限是描述函数接近某个特定值时的性质的概念。
如果一个函数在某点附近的取值可以无限接近于某个确定的值，那么我们就说这个函数在该点处的极限存在。
极限的求解方法求解极限需要了解一些基本的极限规则和方法。
常用的有代入法、夹逼法、洛必达法则等。
通过这些方法，我们可以更好地理解函数在特定点的行为，并计算出极限的值。
导数的概念与求解导数的定义在微积分中，导数是函数变化率的度量。
粗略地说，导数可以理解为函数在某点处的切线斜率。
导数的符号、大小以及正负性都与函数的性质有密切的联系。
导数的求解方法求解导数的常见方法有定义法、几何法和运算法则。
定义法是通过极限的概念来求解导数，几何法是通过图形来推导导数的值，运算法则则是通过已知函数的导数和其他函数的关系来求解导数。
应用实例极限的应用实例极限的应用非常广泛，例如在物理学中，我们可以通过极限概念分析物体在特定条件下的运动规律；在经济学中，我们可以通过极限求解实际问题中的最优解等。
对于工程领域和科学研究，极限的应用更是无处不在。
导数的应用实例导数的应用可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
例如，在经济学中，通过导数可以分析供需关系，找到最大利润点；在物理学中，导数可以用来描述物体的加速度和速度；在工程领域，导数可以帮助我们优化设计和提高效率。
结论本文对微积分中的极限和导数的概念进行了深入的探讨，并介绍了求解这两个概念的方法。
了解和掌握这些概念对于研究微积分和应用数学在实际问题中都具有重要性。
希望本文能帮助读者更好地理解和应用微积分中的极限和导数的求解方法。
这份文档共计829字，涵盖了微积分中的极限与导数求解专题的定义、求解方法以及应用实例。
数学中的函数极限与导数计算技巧
数学中的函数极限与导数计算技巧在数学中，函数极限与导数计算技巧是一项重要的内容。
函数极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数的取值趋于某个确定值的过程。
导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
本文将介绍数学中函数极限与导数计算的一些技巧。
一、函数极限计算技巧1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接将自变量代入函数中进行计算。
例如，对于函数f(x) = x²+3x，在计算x趋于3时的极限时，我们可以将x值代入函数中得到f(3) = 3²+3*3 = 18。
2. 分母有理化：当函数中含有根号、分式等形式时，可以尝试将分母进行有理化。
例如，对于函数f(x) = (x+1)/(√x-1)，当x趋于1时，分母为0，无法直接代入计算。
我们可以将分母有理化，即乘以分子的共轭复数，得到f(x) = (x+1)(√x+1)/((√x-1)(√x+1)) = (x+1)(√x+1)/(x-1)。
这样就可以直接代入1进行计算。
3. 夹逼法：当函数难以直接计算时，可以通过夹逼法来计算某点的极限。
夹逼法的思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得这两个函数在该点的极限都相等，并且夹住原函数。
通过计算上界函数和下界函数在该点的极限，进而得到原函数在该点的极限。
夹逼法常用于求解对数函数、三角函数等的极限。
二、导数计算技巧1. 基本函数导数：对于一些基本函数，我们可以通过求导公式来计算它们的导数。
例如，对于常数函数f(x) = a，它的导数就是0；对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
掌握基本函数的导数公式，可以帮助我们更快地计算复杂函数的导数。
2. 基本运算法则：导数具有一些基本的运算法则。
例如，对于求导的和差法则，即 (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)；对于求导的乘积法则，即(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
函数的极限与导数的关系
函数的极限与导数的关系函数的极限和导数是微积分中两个重要的概念，它们之间存在紧密的关联。
本文将探讨函数的极限与导数的关系，并分析它们在数学和实际应用中的重要性。
一、函数的极限在微积分中，函数的极限是指当自变量无限接近某个特定值时，函数值的趋势。
通过极限，我们可以了解函数在特定点附近的行为和变化。
函数f(x)的极限可以表示为lim┬(x→a)〖f(x)〗=L，其中x→a表示x无限接近于a，L表示极限的值。
这意味着当x无限接近a时，f(x)会无限接近于L。
二、导数的定义导数是函数在某一点的变化速率，描述了函数图像的斜率。
导数的定义为：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h。
其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，h表示自变量的微小增量。
导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率，通过导数我们可以研究函数的增减性、曲线的凹凸性等性质。
三、函数的极限与导数的关系函数的极限与导数有着密切的联系。
当函数f(x)在点a处可导时，f'(a)即为f(x)在点a处的导数。
而函数在点a处的极限lim┬(x→a)〖f(x)〗就等于f(a)。
这种关系可以用极限和导数之间的定义来解释。
因为导数定义中的极限是针对自变量趋近于某个点时的函数值变化情况，因此导数也可以看作是函数在某一点的极限。
另外，函数在某一点可导，意味着函数在该点右侧和左侧的极限都存在且相等。
这是因为导数定义中的极限需要考虑自变量的微小增量在点a左右两侧的变化情况。
四、极限与导数的应用函数的极限和导数在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在数学中，极限和导数是微积分的基础概念，对于研究函数的性质和变化规律具有重要作用。
通过研究函数的极限和导数，我们可以计算曲线的斜率、判断函数的极值点和拐点等。
在实际应用中，极限和导数被广泛运用在物理学、经济学、工程学等领域。
例如，在物理学中，我们可以利用导数来描述物体的运动状态和速度变化；在经济学中，导数可用来衡量生产函数的边际收益率；在工程学中，导数可以帮助我们分析电路中电流和电压的变化。
函数求导练习掌握极限与导数的计算方法
函数求导练习掌握极限与导数的计算方法在数学中，函数的导数是研究函数变化率的一种工具，它是微积分中的重要概念之一。
对于已知函数，我们可以通过求导的方式，来计算函数在某一点的斜率以及变化率。
因此，掌握函数求导的方法对于深入理解数学和应用于实际问题都具有重要意义。
本文将介绍函数求导的基本方法，并提供一些练习题帮助读者巩固对极限和导数的计算方法的掌握。
1. 极限的基本概念在开始讨论函数的导数之前，我们首先需要回顾一下极限的基本概念。
在数学中，极限表示一个变量无限接近于某个值时的情况。
对于一个函数f(x)，我们通常用lim表示其极限，格式如下：lim(x→a) f(x) = L其中，当x无限接近于a时，函数f(x)的值趋近于L。
这个概念对于导数的计算非常重要，因为求导可以看作是计算函数在某一点上的极限。
2. 导数的定义函数的导数代表着函数在某一点上的变化率。
对于已知函数f(x)，我们可以通过求导公式来计算其导数。
函数f(x)在某一点x=a处的导数表示为f'(a)，其定义如下：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h这个定义的意思是，当我们取一个非常小的h（趋近于0）时，函数在点a上的增量f(a+h) - f(a)与h的比值就趋近于导数。
3. 导数的计算方法在求导的过程中，我们可以使用一些规则来计算各种不同类型函数的导数。
以下是一些常见函数求导的规则：- 常数规则：常数的导数为0.- 幂函数规则：对于函数f(x) = x^n，其中n为常数，则导数为f'(x)= nx^(n-1)。
- 指数函数规则：对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。
- 对数函数规则：对于对数函数f(x) = ln(x)，则导数为f'(x) = 1/x。
- 三角函数规则：对于三角函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
函数与函数极限的关系与计算方法
函数极限的描 述性定义可以 帮助我们更好 地理解函数的
性质和行为
函数极限是描述 函数在某一点附 近的变化趋势的 数学概念。
函数极限的定义 包括“lim”符号和 函数表达式两部 分。
函数极限的定义 可以表示为 lim(x→x0)f(x)=A， 其中x趋近于x0， f(x)在x0处的极 限为A。
定义：在自变量的某个变化过程中，若函数f(x)的极限存在，且f(x)=g(x)，则称g(x)为f(x)的 等价无穷小。
适用范围：主要用于求极限时简化计算，特别是当涉及到无穷小量时。
计算方法：利用等价无穷小替换原函数中的某些项，简化计算过程。
注意事项：使用等价无穷小替换法时，需要确保替换后的函数在自变量的变化过程中仍然保 持一致性。
定义：洛必达法 则是求函数极限 的一种方法，当 函数在某点的导 数存在时，该点 极限值等于函数 在该点的导数值。
使用条件：函数 在该点的导数必 须存在，且分子 分母的导数均不 为0。
计算步骤：先求 出函数的导数， 然后将导数带入 到极限表达式中， 最后求出极限值。
应用范围：洛必 达法则可以用于 求解多种类型的 极限问题，如 0/0型、∞/∞型 等。
泰勒展开法：将函数展开成泰勒级 数，然后利用已知的泰勒级数计算 函数的极限。
定义：将函数分解为简单函数或基本初等函数，以便计算极限 适用范围：适用于具有特定形式的函数，如多项式、三角函数等 计算步骤：先分解函数，然后分别计算各部分的极限，最后求和或求积 注意事项：分解时要保证每部分都存在极限，否则不能使用分解法
函数极限的应用
函数极限的定义和性质
利用函数极限证明不等式的方 法和步骤
举例说明如何利用函数极限证 明不等式
注意事项和常见错误
超越极限高中数学中的极限与导数典型题目详解
超越极限高中数学中的极限与导数典型题目详解超越极限高中数学中的极限与导数典型题目详解极限与导数是高中数学中重要的概念和知识点。
通过掌握极限与导数的理论和运用，可以帮助我们解决各种实际问题。
在这篇文章中，我们将详细解析几道极限与导数的典型题目，帮助读者更好地掌握这一部分的知识。
题目一：求函数在给定点的导数已知函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，求在点 x = 3 处的导数。
解析：要求函数在给定点的导数，我们可以使用导数的定义进行计算。
导数表示函数在某一点处的变化率，可以通过求函数的极限来表示。
对于给定的点 x = 3，我们需要计算 x = 3 处的导数，即 f'(3)。
根据导数的定义，我们有：f'(3) = lim (h→0) [f(3+h) - f(3)] / h将函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 代入上式，得到：f'(3) = lim (h→0) [(3+h)^2 + 2(3+h) + 1 - (3^2 + 2(3) + 1)] / h= lim (h→0) [9 + 6h + h^2 + 6 + 2h + 1 - 9 - 6 - 1] / h= lim (h→0) [7h + h^2] / h化简上式得：f'(3) = lim (h→0) 7 + h = 7所以，函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 在点 x = 3 处的导数为 7。
题目二：求函数的极限已知函数 g(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x，求x → ∞ 时 g(x) 的极限。
解析：要求函数在无穷大时的极限，我们可以分析函数 g(x) 的阶数，找出主导项，来确定极限的值。
由函数 g(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x，可以看出最高次幂为 3，因此主导项为2x^3。
当x 趋近于正无穷时，主导项的值也趋近于正无穷。
所以，极限的值为正无穷。
综上，函数 g(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x 在x → ∞ 时的极限为正无穷。
极限与函数的导数与泰勒展开
极限与函数的导数与泰勒展开极限是微积分学中核心的概念之一，它能够揭示函数在某一点附近的变化规律。
而函数的导数和泰勒展开则是用来描述函数的变化率和逼近函数值的有效方法。
本文将介绍极限、函数的导数和泰勒展开的概念、性质和应用。
一、极限在微积分中，极限用于描述函数在某一点逼近某一值的过程。
我们用x趋于a时，函数f(x)趋近于L来表示函数的极限。
数学上表示为：lim (x→a) f(x) = L其中，x→a表示x趋向于a的过程，f(x)表示函数，L是极限值。
极限的概念是微积分中很重要的基础，它与函数的连续性、微分性、积分性等密切相关。
二、函数的导数函数的导数用于描述函数在某一点的变化率，也可以理解为函数的切线斜率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，数学上定义为：f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中h表示自变量x的增量。
导数的计算方法有很多，例如利用函数的定义、利用导数运算法则、利用导数的几何意义等。
函数的导数具有很多重要的性质和应用。
例如，导数为0表示函数在该点处取得极值；导数的正负可以判断函数的增减性；导数还可以用来求解函数的极值、优化问题等。
三、泰勒展开泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，可以将函数在某一点附近的性质用多项式来描述。
泰勒展开的初级形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2 + ...其中f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。
泰勒展开可利用函数的导数信息来逼近函数值，具有广泛的应用。
例如，可以利用泰勒展开求解无法直接计算的函数值、优化函数的计算速度等。
泰勒展开的高级形式是泰勒级数，可以无限次展开，适用范围更广。
泰勒级数形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2 + ... + (1/n!)f^n(a)(x-a)^n其中n!表示n的阶乘，f^n(a)表示函数在点a处的n阶导数。
高中数学中的极限与函数的导数的关系
高中数学中的极限与函数的导数的关系在高中数学中，极限和函数的导数是两个非常重要且关联紧密的概念。
本文将探讨极限和函数的导数之间的关系，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、极限的定义及基本性质极限是数学中描述函数逐渐趋近于某一值的概念。
具体而言，设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。
如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
我们用lim┬(x→a)〖f(x)=L〗或f(x)→L(x→a)来表示极限的存在。
极限具有一些基本的性质，包括唯一性、局部性、有界性等。
其中，唯一性表示函数在某一点的极限是唯一确定的；局部性表示函数在某一点的极限存在，则函数在该点的某个邻域内也存在；有界性表示如果函数在某一点存在极限，则函数在该点附近是有界的。
二、导数的定义及基本性质函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，是微积分中的重要概念之一。
设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。
若极限lim┬{h→0}〖(f(a+h)-f(a))/h=A 〗存在，其中A为常数，则称函数f(x)在x=a处可导，并将此极限值A称为函数f(x)在x=a处的导数。
我们用f'(a)或 df(x)/dx|_(x=a)来表示函数f(x)在x=a处的导数。
导数具有一些基本的性质，包括可导的函数必定连续、导函数具有局部性、可加性和乘法常数性等。
这些性质使得导数成为了研究函数变化的有力工具。
三、极限与导数的关系极限和导数之间存在着紧密的联系，在某些情况下两者可以互相推导。
1. 极限与函数连续性的关系根据导数的定义，可知如果函数在某一点可导，则在该点必然连续。
而连续函数的定义也可以用极限来表达。
因此，对于某个区间上的函数，如果它的导数在该区间上存在，则该函数在该区间上一定连续。
2. 导数与函数的极值点的关系函数在某一点处的导数为零，被称为该点的导数为零点。
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专题八 极限与函数的导数的题型与方法【考点审视】极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。
纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。
从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞→是常数）,2)01lim=∞→nn ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n .(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。
对00、∞∞、∞-∞、∞•0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。
例如（2004年辽宁，14）πππ--→x x x x cos )(lim=【分析】这是00型，需因式分解将分母中的零因子消去，故πππ--→x x x x cos )(lim=x x x cos )(lim ππ+→=π2-。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。
例如：（2004年广东,4）-+++-+∞→131211(lim n n n n …+12112+-++n n n n )的值为…（ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）21（D ）1【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限12112+-++n n n n =11+-n ，∴原式=)1(lim +-∞→n nn =-1，故选)(A 。
3，无穷等比数列的公比q ，当|q |<1时，各项的和qa s -=11及重要应用。
例如（2004年上海，4）设等比数列{}n a （N n ∈）的公比21-=q ，且)(lim 12531-∞→++++n n a a a a =38，则=1a 【分析】 数列}{12-n a 是首项为1a ，公比是412=q 的等比数列，∴)(lim 12531-∞→++++n n a a a a =211q a -=38，解得1a =2。
4，当且仅当()()a x f x f ox x x x ==+-→→lim lim 0时，()a x f ox x =→lim ，0x x =时()x f 可有定义也可无定义。
例如下列命题正确的是……………………………………………( ) (A )若()1-=x x f ,则()0lim 1=→x f x ，()B 若()222++=x xx x f ,则()2lim 2-=-→x f x ，)(C 若()x x f 1=,则()0lim =∞→x f x ， (D)若⎩⎨⎧<+≥=)0(1)0()(x x x x x f ,则0)(lim 0=→x f x 。
【分析】 (A )中-→1x 无定义，（C ）中-∞→x 无定义，而(D)0)(lim 0=+→x f x ，1)(lim 0=-→x f x ，故()B 是正确的。
5，函数()x f 在0x x =处连续是指()()00lim x f x f x x =→，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。
例如||x y =在（0，0）处的导数存在吗？为什么？【分析】1||lim |0||0|lim 00=∆∆=∆-∆+++→∆→∆x x x x x x ，xx x ∆-∆+-→∆|0||0|lim 01||lim 0-=∆∆=-→∆xx x ∴||x y =在（0，0）处的导数不存在。
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。
导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。
9 导数与函数的单调性的关系㈠ 0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
㈡ 0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
㈢ 0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。
因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。
但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
㈣ 单调区间的求解过程，已知)(x f y =（1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。
㈤ 函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数)(x f 在),(b a 单调递增，在),(c b 单调递增，又知函数在b x f =)(处连续，因此)(x f 在),(c a 单调递增。
同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。
)(x f y = ],[b a x ∈（1）0)(>'x f 恒成立 ∴)(x f y =为),(b a 上↑ 【经典题例】例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
解：（1）hh a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)()()()3(lim2)()3(lim00--+-+=--+→→b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('21)('23)()(lim 213)()3(lim 232)()(lim2)()3(lim0000=+=---+-+=--+-+=→→→→（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )()(lim 00)('lim )()(lim0220=⋅=⋅-+=→→a f h h a f h a f h h 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。
解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例3．观察1)(-='n nnxx ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若)(x f 为偶函数 )()(x f x f =- 令)()()(lim0x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆xx f x x f x x f x x f x f x x ∆+-∆-=∆+--∆+-=-'→∆→∆)()(lim)()(lim )(00 )()()(lim 0x f x f x x f x '-=∆--∆--=→∆∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：)()()(])([x f x x f x f f '-='-⋅+'='-='∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数例4．（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。