人教八年级下册数学-二次根式的性质导学案
最新人教版八年级数学下册二次根式全章导学案
第16章 二次根式全章导学案16.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 2、计算 ：(1) 2)4( (2) 2)3(4（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , )0()(2≥=a a a的意义是 。
3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。
（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 2、（1）若有意义，则a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数（四）展示反馈 (学生归纳总结)1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)
第十六章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程 （一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
43、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4((2)（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
新人教版八年级数学下导学案(全册)
， ,b - 3 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.第十六章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质： a ≥ 0(a ≥ 0) 和 ( a ) 2 = a (a ≥ 0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质 a ≥ 0(a ≥ 0) 和 ( a ) 2 = a (a ≥ 0) 。
三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知 x 2 = a ，那么 a 是 x 的_____; x 是 a 的____, 记为____, a 一定是 ____数。
（2）4 的算术平方根为 2，用式子表示为=______；正数 a 的算术平方根为4_____，0 的算术平方根为____；式子 a ≥ 0(a ≥ 0) 的意义是。
（二）自主学习(1) 16 的平方根是；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是 t (单位：秒)与开始下落时的高度 h ( 单位：米 ) 满足关系式 h = 5t 2 。
如果用含 h 的式子表示 t ，则t =；(3)圆的面积为 S ，则圆的半径是 ；(4)正方形的面积为 b - 3 ，则边长为。
思考： 16 ，h 5s π定义: 一般地我们把形如 a （ a ≥ 0 ）叫做二次根式，a 叫做______。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3 ， - 16 ， 34 ， -5 ， a (a ≥ 0) ， x 2 + 13。
2、当a为正数时a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。
所以，在二次根式a中，字母a必须满足,a才有意义。
3、根据算术平方根意义计算：(1)(4)2(2)(3)2（3）(0.5)2（4）(13)2根据计算结果，你能得出结论：(a)2=________，其中a≥0,4、由公式(a)2=a(a≥0)，我们可以得到公式a=(a)2,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
新人教版八年级数学下册导学案(130页)
义务教育基础课程初中教学资料第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义学习目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x 学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？2-x ⑵x-21 ⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。
巩固练习：已知(),03122=-++b a 求a,b 的值2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
3.已知122+-+-=x x y ，则=yx 4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子aba 1+-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展示成果，提出质疑 评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。
新人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念及性质》导学案
新人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念及性质》导学案 课 题二次根式的概念及性质 课 型 展示课 执笔人 审核人级部审核 学习时间 第 周第 导学稿教师寄语学习目标 1、理解2a =a （a ≥0）并利用它进行计算和化简． (难点)2、通过具体数据的解答，探究2a =a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．(重点)学生自主活动材料 一.前置自学（一）自学指导：复习引入1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式；2．a （a ≥0）是一个非负数； 3．(a )2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0时，2a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．（二）、自主学习学生学习课本知识5页，探究新知1、填空：根据算术平方根的意义，22=___； 20.01=___； 21()10=__ ； 22()3=___； 20=_ _ ； 23()7=___． 2、 重点：2a =a （a ≥0）二、合作探究1 、 化简（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-解：（1）9=23= （2）2(4)-=24=（3）25=25= （4）2(3)-=23=注意：（1）2a ＝a （a ≥0）． （2）、只有a ≥0时，2a ＝a 才成立．2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？为什么？（2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？为什么？（3）2a >a ，则a 可以是什么数？为什么？三、拓展提升1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）． A ．0 B ．23 C ．4232、-0.0004=________．3、若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．4、先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．5、若│1995-a │+2000a -=a ，求a -19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）6、当x>2，化简2(2)x --2(12)x -．7、 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。
人教版-数学-八年级下册---21.1 二次根式导学案
21.1 二次根式学习目标、重点、难点【学习目标】1、 理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目.2、 理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简.【重点难点】1、 二次根式的性质.2、 能确定二次根式中字母的取值范围.知识概览图（a ）2=a （a ≥0）新课导引如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km ，电视节目信号的传播半径为r km ，则它们之间存在近似关系式，r =2Rh ，其中R 是地球半径，R ≈6400 km ．若某个电视塔高为200 km ，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?【问题探究】 因为R ≈6400 km ，h ＝200 km ，所以求传播半径r ，实际上就是求26400200⨯⨯的值，即求2560000的值．怎么求2560000的值呢?【解析】因为16002＝2560000，所以2560000＝1600． 所以r ≈26400200⨯⨯=1600(km)教材精华二次根式的性质二次根式的有关概念 (0)a a ≥的式子叫做二次根式代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式 二次根式二次根式的双重非负性①被开方数a 非负，即a ≥0 a a ≥0 二次根式的有关公式22()(0)a a a ≥ 2(0)0(0)(0)a a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜知识点1 二次根式的概念读作“二次根号”．拓展 (1)二次根式必须含有二次根号”，但是4. (2)二次根式中的被开方数a 既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必即a ≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．因为无论 a取什么实数，都有a 2≥0，因为它们虽然都有，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．的根指数为2，即，我们常省略根指数2，写作，不要误把”的根指数当做0就不是二次根式，因为它的根指数是3．(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：223的形式，此时的有理数称为二次根式的系数.知识点2 确定二次根式中字母的取值范围a 就必须是非负数，即a ≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，，只有当2x +1≥0，即x ≥12-时，才有意义. 再来说，只有当30,10,x x -≥⎧⎨+≥⎩即-1＜x ≤3时，二次根式才有意义.拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.知识点3 二次根式的性质二次根式的双重非负性:0，a ≥0，a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，≥0.2=a（a≥0）.a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有)2=a，例如：2=3，)2=6，2=1.5.拓展（12=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.（22=a（a≥0）逆用，写成a=2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成)2，所以x2-2=x2-)2=（x）（x）.（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：（)2=32×（)2=9×2=18.2=（12)2×)2=14×6=32等，则用到了积的乘方法则（ab)2=a2b2.由于a2.意义时a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0.a =，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如：55=-=. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如5==.a的符号不确定，那么要讨论.(0),0(0),(0).a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪<⎩拓展2知识点5 代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a，a+b，ab，st(t≠0)，x33)x=等都是代数式.拓展代数式中不含有“＝”“＞”“＜”等符号，只有运算符号.课堂检测基本概念题1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1（2（3（4（5；（6；（7（8（9；（10基础知识应用题2、当x取何值时，下列各式有意义？（1）3x x+-；（2）22xxx-++；（3）2(1)x-；（4）123x-；（5）24x+；（6）3x-；（7）121xx--；（8）221aaa-++.3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简222()a b a b---.综合应用题4、（1）三角形的高是底的12，底为xcm，则这个三角形的面积是cm2;（2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是（设第一个圆的半径为r）.图21-1探索创新题5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值11.5a a +=其中 甲同学的做法是：原式＝111214910.55a a a a a a ++-=-=-= 乙同学的做法是：原式＝1111.5a a a a a ++-== 谁的做法是正确的？说明理由.体验中考1、若代数式2x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A. x ＞1且x ≠2 B. x ≥1 C. x ≠2 D. x ≥1且x ≠22、若x ，y 为实数，且20x +=，则（x ＋y ）2010的值为 .学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号；二是看被开方数是否是非负数.解：（1）∵-3＜0.（2）∵(-3)2＞0.（3）∵(-3)3=-27＜0.（4的根指数3不是二次根式.（5中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.①当x≤0是二次根式；②当x＞0不是二次根式..（6的根指是4.（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0.（8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，∴当x≠-3..（9）∵-(a-4)2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4当a≠4时，-(a-4)2＜0..（10）∵m2+2m+1=(m+1)2≥0.【解题策略】本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.2、分析本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.解：（1300 xxx⎧∴=⎨-⎩≥，≥0,.∴当x=0.（22xx+有意义，则必有202xxx-⎧∴⎨+≠⎩≥，≤0,，且x≠-2.∴当x≤0，且x≠-22xx+有意义.（3）∵(x-1)2≥0，∴无论x都有意义.（42-3x＞0，∴x＜23.∴当x＜23.（5有意义，则必有2402xxx+⎧∴⎨-≠⎩≥，≥-20,，且x≠2.∴当x≥-2，且x≠2时，2x-有意义.（6有意义，则必有2303xxx-⎧∴⎨-≠⎩≥，≥30,.∴当x≥3时.（7）欲使1x-有意义，则必有120112xxx-⎧⎪∴⎨-≠⎪⎩≥，≤0,，且x≠-1.∴当x≤12，且x≠-1时，1x-有意义.（821aa+有意义，则必有201aaa-⎧∴⎨+≠⎩≥，≤20,，且a≠-1.∴当a≤2，且a≠-121aa+有意义.【解题策略】本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x-3≥0，得x≥3，由x2-3≠0，得xx≥3的范围内，所以只需满足x ≥3即可. （7）小题中，由1-2x ≥0，得x ≤12，由1x -≠0，得x ≠±1，只有x =-1在x ≤12的范围内，而x =1不在x ≤12的范围内，所以只需满足x ≤12，且x ≠-1即可.3、分析a =. 解：由数轴可知a ＜0，b ＞0，a -b ＜0，a b a b ---=-[()]a b a b ----=a b a b --+-=2b -.【解题策略】a ==(0),0(0),(0).a a a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm ，则高为2xcm ，所以三角形的面积为21··224x x x =（cm 2）. （2）因为第一个圆的半径为r ，所以第二个圆的半径为4r ，所以这两个圆的周长之和为52242r r r πππ+=g . 答案：（1）24x （2）52r π5、分析 本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为15a =，所以1a a＞，所以11.a a a a-=- 解：甲同学的做法是正确的，理由如下：111.5a a a a-=，且，即=5 1111,0,.a a a a a a a a--=∴＞∴＞∴- 乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了a 与1a的大小关系，导致错误. 【解题策略】a =进行化简时，0a ≥.a =体验中考1、分析本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母≠0），由题意知11 2.20,xx xx-⎧⎨-⎩≥0,∴≥且≠≠故选D.2、分析本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由20x+=知x ＋2＝0，且y－3＝0，所以x＝－2，y＝3，所以(x＋y)2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.。
八年级数学下册 16.1《二次根式》二次根式的性质学案1(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1《二次根式》二次根式的性质学案1（新版）新人教版
16、1《二次根式》二次根式的性质班级姓名
【学习目标】
1、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简、
2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题、
【学习重难点】
1、重点：＝a（a≥0）、
2、难点：探究结论、
3、关键：讲清a≥0时，＝a才成立、
(一)
【复习回顾】
1、取何值时，下列各二次根式有意义？①（）
②（）③ （）
（二）自主学习
1、填空：=_______；=_______；=______； =________；
=________；=_______、、因此，一般地：=a（a≥0）
三、合作探究例
1、化简（1）（2）（3）（4）
2、
【归纳】
二次根式的性质：例
2、计算：（1)
=________、5、若是一个正整数，则正整数m的最小值是
________
6、的值是（）、
A、0
B、
C、4
D、以上都不对
7、a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）、
A、=≥-
B、>>-
C、<<-
D、->=
8、已知0<x<1时，化简的结果是（）A2X-1 B1-2X C
12、若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
14、在△ABC中，a,b,c是三角形的三边长，试化简备课时间存在问题。
二次根式导学案(人教版全章)
二次根式导学案 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
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第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义学习目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x 学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？2-x ⑵x-21 ⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。
巩固练习：已知(),03122=-++b a 求a,b 的值2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
3.已知122+-+-=x x y ，则=yx4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子aba 1+-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展示成果，提出质疑 评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。
人教版八年级数学下册 16.1.1二次根式的定义 导学案
16.1.2二次根式的性质教学目标1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。
2、了解二次根式的上述两个性质。
3、会运用上述两个性质进行有关计算。
教学重点是理解二次根式的上述两个性质；教学难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算。
教学过程一、 回顾与引入1、 平方根的概念：一个数的平方等a （a ≥0），则这个数叫做a 的平方根，记做a ±，则()a a =±22、()a a =23、大家抢答 填空()=22 ()=213 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛271二、新课讲解从熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一 4、性质一：()()02≥=a a a5、能用几何图形作出直观解释吗？用正方形的面积启发诱导数形结合思想6、填空 课本6页7、比较 2a 和a 有何关系？当a ≥0时，2a ＝ 和a ﹤0，2a ＝ 先练习、再观察发现总结规律得出性质二8、性质二：9、课内练习(()(()(()(()()()(2222322211_____,2______,33_____,5141_____,54____,62____.3⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭=---=梳理知识使条理清楚，及时练习巩固10、例1 计算（1）()()221317-- （2）()323332+•⎥⎦⎤⎢⎣⎡--规范书写，知道运算程序、强调性质运用的条件，二次根式运算顺序11、课本7页课内练习第2题（领悟方法，会正迁移）12、计算：217375212-+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 要求比较先算括号里与直接利用二次根式性质的优劣；强调先判断2a 中a 的符号三、引申与提高例4 化简：（1）（2） （3） (a ＜0,b ＞0) （4）(a ＞1 ) 四、分享与体会你能说出这节课你的收获和体验与大家分享吗？五、作业1．课本作业题；2．预习下节课。
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案2(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案2（新版）新人教版（二）一、明确目标1、掌握二次根式的基本性质：≥0(a≥0)，()2=a(a≥0)，(a≥0)、2、能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简。
重点：二次根式的性质及运用。
难点：运用二次根式的性质进行二次根式的化简。
二、自主预（复）习1、当a＞0时，表示a的__________，因此，__________0；当a＝0时，表示0的__________，因此，＝__________；就是说(a≥0)总是一个__________数。
2、根据算术平方根的意义填空：()2=__________；()2=__________；()2=__________；()2=__________；()2=__________；()2=__________；()2=__________、根据以上结果，你能发现什么规律？3、填空：=__________；=__________；=__________；=__________；=__________；=__________、代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把__________和表示数的__________连接起来的式子，叫做代数式。
三、合作探究1、由公式()2=a(a≥0)，我们可以得到公式a=()2，利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式、⑴把下列非负数写成一个数的平方的形式：5；、⑵在实数范围内因式分解：x2―7；4a2―11、四、当堂反馈1、计算：⑴()2；⑵(3)2；⑶()2；⑷()2、2、化简：⑴；⑵；⑶；⑷、五、拓展提升1、实数a，b在数轴上的位置如图：ab 0化简：、2、已知，化简：、六、课后检测。
人教版八年级数学下册 第2课时 二次根式的性质 导学案
第十六章 二次根式16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质一、学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：（a ）2=a （a ≥0）；a a =2；2.能利用上述性质对二次根式进行化简.二、学习重点、难点重点：二次根式的性质（a ）2=a （a ≥0）；a a =2．难点：综合运用性质对二次根式进行化简和计算。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式52-x 有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y - )（二）合作交流（小组互助）1、计算 (1) 2)4(= (2)()=23（3）2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，能得出结论： （0≥a ）2.计算：（1）=24 =22.0 =2)54(=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ﹥0时，=2a（2） =-2)4( =-2)2.0( =-2)54(=-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，=2a（3）=20 得到：当a=0时，=2a________)(2=a3.归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的非常重要的性质： 性质一：（a ）2=a （a ≥0）； 性质二：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2 a a 4. （1）阅读课本思考：什么是代数式？我们前面还学过那些代数式吗？（2）思考、讨论：二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
四.精讲点评 利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。
五.当堂达标1、化简下列各式（1）（5.1）2 （2）（52）2 （3）22)33()10(-+--计算：（4）)0(42≥x x (5)4x 2、化简下列各式（1）)3()3(2≥-a a （2）()232+x （x ＜-2）六.拓展延伸（1）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________. (2) 把(2-x)21-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x(3) 已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x七.教后反思。
八年级数学下册 16.1 二次根式 二次根式的性质(第2课
二次根式的性质1.理解a(a≥0)是一个非负数.2.理解二次根式的两个性质(a)2=a(a≥0)和2a=a(a≥0).3.会运用上述两个性质进行有关计算和化简.自学指导：阅读教材第3页至4页，完成下列的问题.知识探究(—)当a>0时，a表示a的算术平方根，因此a>0；当a=0时，a表示0的算术平方根，因此a=0.概括:一般地：a(a≥0)是一个非负数.知识探究(二)根据算术平方根的意义填空：(4)2=4；(2)2=2；(13)2=13；(0)2=0.概括:一般地：(a)2=a(a≥0) 知识探究(三)22=2；20.01=0.01；223⎛⎫⎪⎝⎭=23；20=0.概括：一般地：2a=a(a≥0)二次根式的三个性质：(1)a(a≥0)是一个非负数；(2)(a)2=a(a≥0)；(3)2a=a(a≥0). 自学反馈1.计算：(1)(32)2 (2)(35)2 (3)(56)2 (4)(72)2解：(1)32；(2)45；(3)56；(4)74.2.化简：(1)9 (2)()24- (3)25? (4)()23-解：(1)3；(2)4；(3)5；(4)3.3.代数式的概念：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、开方等)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.活动1 小组讨论 例1 计算：（1）( 1.5)2 （2）(25)2 解：(1)1.5；(2)20.例2 化简：（1)(16)2 （2）()25- 解：(1)16；(2)5.一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.一个负数的平方的算术平方根等于这个负数的相反数. 例3 若1a ++1b -=0，求a 2013+b 2013的值.解：∵1a +≥0，1b -≥0，1a ++1b -=0，∴a=-1，b=1.∴a2013+b 2013=0.二次根式本身具有非负性.活动2 跟踪训练1.计算：(1)(3)2 (2)(32)2 解：(1)3；(2)18.2.说出下列各式的值：(1)20.3 (2)217⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)-2()π- (4)-210 解：(1)0.3；(2)17；(3)-π；(4)-10. 3.计算： (1)(5)2 (2)(-0.2)2(3)20.6 (4)223⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解：(1)5；(2)0.2；(3)0.6；(4)23. 4.教材第4页下框练习.活动3 课堂小结二次根式的性质： a (a ≥0)是一个非负数.(a )2=a (a ≥0)2a =a (a ≥0)教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
人教版数学八年级下册16.1《二次根式(1)》导学案
16.1二次根式〔1〕 学案学习目标：1.了解二次根式的意义；2.会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。
学习重点：二次根式的概念及意义。
学习难点：二次根式的判断与字母取值范围确实定。
学习过程：一、温故互查1.什么叫平方根？2.什么叫算数平方根？3.〔算数〕平方根的性质平方根式是二、设问导读 感受新知阅读课本，完成以下问题在课本思考框的问题中，结果分别是 ，结果都分别是表示65，S ，2，5h 的 . 我们知道：一个正数有两个平方根，它们 ；0的平方根是 ；在实数范围内， 数没有平方根。
因此，开平方时，被开方数只能是 .【归纳】一般地，我们把形如〔a≥0〕的式子叫做 ，“〞称为 ．【注意】二次根式应满足两个条件：1.形式．．上必须是a 的形式； .三、自我检测例1.当x 是怎样的实数时，2 x 在实数范围内有意义？例2.当a<0时，a 有意义吗？【归纳】a 的双重非负性：1. a≥0 ; 2.四、稳固训练1.、1x x>0〕、、、1x y+〔x≥0，y ≥0〕．2.当x 是多少时，x 35-在实数范围内有意义？【课本练习】 1、2五、拓展提升1.当x 是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义？〔1〕48-+x x 〔2〕2x 〔3〕3x2.〔1〕，求x y的值．〔2=0，求a 2021+b 2021的值．六、小结评价1.请你说说对二次根式的认识？〔口述给组长〕2.小组对你这节课表现进展评价：〔较好；好；一般；差；较差〕组长：。
人教版八年级数学下册16.1二次根式(2)导(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的基本概念、性质、乘除法则及其在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式（2）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或长度的问题？”比如，计算一个正方形的对角线长度。这个问题与我们将要学习的二次根式密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的基本概念。二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。它在数学运算中具有重要作用，尤其在解决几何问题时不可或缺。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算一个边长为2√3的正三角形面积，我们将学习如何运用二次根式来解决这个问题。
2.教学难点
-二次根式的化简：学生往往难以掌握化简过程中的细节，如如何将一个复杂的二次根式化为最简形式。
人教版数学八年级下册 二次根式的性质(导学案)
16.1二次根式投我以桃，报之以李。
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韩愈第2课时二次根式的性质一、新课导入1.导入课题我们知道二次根式a中a≥0，那么二次根式a还有哪些性质呢？今天我们学习“二次根式的性质”(板书课题).2.学习目标（1）知道a≥0(a≥0)，会用非负数的性质解题.（2）会用公式()2a=a(a≥0)进行计算.（3）知道形如2a的化简方法及结果.3.学习重、难点重点：a≥0(a≥0)，()2a=a(a≥0).难点：运用公式()2a=a(a≥0)和2a=a(a≥0)进行计算化简.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：探究：a(a≥0)及a(a≥0)中a的值的特点.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：围绕探究提纲进行演算归纳.（4）探究提纲：①当a >0时，a 是什么数？当a =0时，a 是什么数？当错误!未找到引用源。
有意义时，a 是什么数？②从①中我们可以探究得出：当a ≥0时，a 是非负数，即a ≥0.③从a (a ≥0)所表示的数值特点，你知道有哪些式子的值具有这种特性？④已知()0112=++-y x ,求x ，y 的值.(x=1,y=-1) 2.自学：学生参照探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生： ①明了学情：了解学生在探究中存在的认识偏差和困惑.②差异指导：引导学生分析a 表示的数值特点归纳已学过的非负数及其和为0时所足的条件.（2）生助生：学生相互交流帮助. 4.强化（1）当a ≥0时，错误!未找到引用源。
≥0，即a 的值为非负数.（2）回顾所学过的三类非负数：①一个数的偶次幂；②一个数的绝对值；③a (a 0).（3）非负数性质：若x +2y +|z|=0，则x=y=z=0.（4）练习：已知01=+++y x x ,求x ，y 的值.答案：x=-1,y=1.1.自学指导（1）自学内容：探究()2a (a ≥0)的结果. （2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：通过回顾算术平方根的意义，归纳()2a (a ≥0)的结果. （4）探究提纲：①∵3的算术平方根是3，∴()23=3. ②∵32的算术平方根是32，∴232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32.③∵非负数a 的算术平方根是a ，∴()2a (a ≥0)=a . ④∵()222b a ab =，∴()()()2223232=⨯=18.⑤计算：答案：3；18；25；21. ⑥由①—⑤的探讨，归纳得出：一般地，()2a =a (a ≥0). 2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生： ①明了学情：关注学生对()2a (a ≥0)的值的理解. ②差异指导：指导学生应用()2a (a ≥0)的结果进行计算. （2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确结论.4.强化（1）强调()2a =a (a ≥0)及其应用. （2）强调公式()2ab =22b a 和2⎪⎭⎫ ⎝⎛b a =22b a 在二次根式计算中的运用. （3）展示本节所学知识点和数学思想方法.1.自学指导（1）自学内容：探究：当a ≥0时，2a 等于什么？若a 的值无限定，2a 又等于什么？（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手尝试2a (a ≥0)和2a 的化简，结果有何不同？（4）探究提纲：①==4222；==⎪⎭⎫ ⎝⎛4121221；==36.06.020.6；由此可以看出：当a ≥0时，2a =a 。
八年级数学下册16.1二次根式2导学案新版新人教版2
16.1二次根式（2）学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：a a =2； 2.能利用上述性质对二次根式进行化简. 学习重、难点： 重点：二次根式的性质a a =2．（a ）2=a （a ≥0）难点：运用性质进行化简和计算（a ）2=a （a ≥0），2a =a （a ≥0）”解决具体问题． 学习过程：一、自主学习：1.什么是二次根式，它有哪些性质？2.计算：=24 =22.0 =2)54( =220观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时计算：=-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20(观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时计算：=20 当==2,0a a 时归纳总结：将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：⎪⎩⎪⎨⎧<->==00002a a a aa a 认真理解！！二、合作交流：1.化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）2.请大家思考、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系？3.化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x（1）)3()3(2≥-a a （2）()232+x （x ＜-2）三、课堂检测（1、2必做 3、4题选做）：1.填空：（1）、2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________.（2）、2)4(-π=（3）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________.2．若042=-++--y x y x ，则x=3. 已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x x4.把()212--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号内，得（ ）A 、x -2B 、2-xC 、x --2D 、2--x八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列各组数不是勾股数的是（ ）A ．3，4，5B ．6，8，10C ．4，6，8D ．5，12，13【答案】C【分析】根据勾股数的定义：有a 、b 、c 三个正整数，满足a 2+b 2=c 2，称为勾股数．由此判定即可．【详解】解：A 、32+42=52，能构成勾股数，故选项错误；B 、62+82=102，能构成勾股数，故选项错误C 、42+62≠82，不能构成勾股数，故选项正确；D 、52+122=132，能构成勾股数，故选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 2．如图，直线y kx b =+()0b＞经过点(2,0)，则关于x 的不等式0kx b +≥的解集是（ ）A ．x>2B ．x<2C ．x≥2D ．x≤2【答案】D 【分析】写出函数图象在x 轴上方及x 轴上所对应的自变量的范围即可．【详解】解：当x ≤2时，y ≥1．所以关于x 的不等式kx ＋3≥1的解集是x ≤2．故选D ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx ＋b 的值大于（或小于）1的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝kx ＋b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．3．一个多边形内角和是720，则这个多边形的边数为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【分析】n 边形的内角和为（n−2）180 ︒，由此列方程求n 的值．【详解】设这个多边形的边数是n ，则：（n−2）×180 ︒＝720 ︒，解得n ＝6，故选：C ．【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．4．在平面直角坐标系中，线段AB 的端点分别为()()2,00,4A B ，，将线段AB 平移到11A B ，且点1A 的坐标为(8,4)，则线段11A B 的中点的坐标为（ ）A ．(7,6)B ．(6,7)C ．( 6,8)D ．(8,6) 【答案】A【分析】根据点A 、A 1的坐标确定出平移规律，求出B 1坐标，再根据中点的性质求解．【详解】∵()2,0A ，1A (8,4)，∴平移规律为向右平移6个单位，向上平移4个单位，∵()0,4B ，∴点B 1的坐标为（6，8），∴线段11A B 的中点的坐标为8648,22++⎛⎫⎪⎝⎭，即(7,6), 故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．5．已知直角三角形两边的长分别为6和8，则此三角形的周长为（ ）A ．14B ．14+C ．24或14+D ．14或7+【答案】C【分析】先设Rt △ABC 的第三边长为x ，由于8是直角边还是斜边不能确定，故应分8是斜边或x 为斜边两种情况讨论．【详解】解：设Rt ABC ∆的第三边长为x ，①当8为直角三角形的直角边时，x 为斜边，由勾股定理得，22x=+=，6810=++=；此时这个三角形的周长681024②当8为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，22x=-=-=，此时这个三角形的周长86643627=++=+，68271427故选：C.【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．6．如图,在平面直角坐标系中,点P坐标为(-4,3),以点B(-1,0)为圆心,以BP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于( )A．-6和-5之间B．-5和-4之间C．-4和-3之间D．-3和-2之间【答案】A【解析】先根据勾股定理求出BP的长，由于BA=BP，得出点A的横坐标，再估算即可得出结论．【详解】∵点P坐标为（-4，3），点B（-1，0），∴OB=1，∴22+233∴OA=32，∴点A的横坐标为2，∵-6＜2＜-5，∴点A的横坐标介于-6和-5之间．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理、估算无理数的大小、坐标与图形性质，根据题意利用勾股定理求出BP的长是解题的关键．7．下列关于三角形分类不正确的是（整个大方框表示全体三角形）（）A．B．C．D．【答案】C【分析】给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确．【详解】解：根据选项，可知根据角和边来对三角形分别进行分类．故选：C．【点睛】此题考查三角形问题，很基础的一道考查数学概念的题目，在考查知识的同时也考查了学生对待学习的态度，是一道好题．8．设(2a+3b)2＝(2a﹣3b)2+A，则A＝()A．6ab B．12ab C．0 D．24ab【答案】D【解析】∵(2a+3b)2＝4a2+12ab+9b2, (2a-3b)2+A=4a2-12ab+9b2+A, (2a+3b)2 =(2a-3b)2+A∴4a2+12ab+9b2=4a2-12ab+9b2+A,∴A=24ab;故选D．9．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据轴对称图形的定义作答．如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．故选A．考点：轴对称图形．10．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】试题解析：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选C．考点：基本作图.二、填空题11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°．AD⊥BC于点D，若∠C＝30°，BD＝1，则线段CD的长为_____．【答案】1【分析】求出∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝10°，求出AB＝2，求出BC＝4，则CD可求出．【详解】∵AD⊥BC于点D，∠C＝10°，∴∠DAC＝60°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝10°，∴在Rt△ABD中，AB＝2BD＝2，∴Rt△ABC中，∠C＝10°，∴BC＝2AB＝4，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查直角三角形的性质与证明，解题的关键是熟知含10°的直角三角形的性质．12．2234xy z·（-28z y ）的值为_______ 【答案】-6xy 【解析】试题分析：原式＝222384xy z z y ⋅-⋅＝222244xy z yz -＝－6xy ． 故答案为－6xy ．13．如图，ABC △中，6AC =cm ，8AB =cm ，10BC =cm ，DE 是边AB 的垂直平分线，则ADC 的周长为______cm.【答案】16【解析】根据垂直平分线的性质得到AD=BD,AE=BE ，再根据三角形的周长组成即可求解.【详解】∵DE 是边AB 的垂直平分线，∴AD=BD,AE=BE∴ADC 的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=10+6=16cm ，故填16.【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质.14．在某次数学测验后，王老师统计了全班50名同学的成绩，其中70分以下的占12%，70～80分的占24%，80～90分的占36%，则90分及90分以上的有__________人．【答案】1【分析】先求出90分及90分以上的频率，然后根据“频数=频率×数据总和”求解．【详解】90分及90分以上的频率为：1-12%-24%-36%=28%，∵全班共有50人，∴90分及90分以上的人数为：50×28%=1(人)．故答案为：1．【点睛】本题考查了频数和频率的知识，解答本题的关键是掌握频数=频率×数据总和．15．一次函数y=kx+b 与y=x+2两图象相交于点P （2，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2y kx b y x =+⎧⎨=+⎩的解为____． 【答案】24x y =⎧⎨=⎩． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．【详解】∵一次函数y=kx+b 与y=x+2两图象相交于点P （2，4），∴关于x ，y 的二元一次方程组2y kx b y x =+⎧⎨=+⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：24x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 16．根据数量关系：x 的5倍加上1是正数，可列出不等式：__________．【答案】510x +>【分析】问题中的“正数”是关键词语,将它转化为数学符号即可.【详解】题中“x 的5倍加上1”表示为:51x +“正数”就是0.> x 的5倍加上1是正数，可列出不等式：510x +>故答案为510x +>.【点睛】用不等式表示不等关系是研究不等式的基础,在表示时,一定要抓住关键词语,弄清不等关系,把文字语言和不等关系转化为用数学符号表示的不等式.17．把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式：__________________．【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．【分析】首先找出原命题中的条件及结论，然后写成“如果…，那么…”的形式即可．【详解】解：故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．【点睛】此题主要考查学生对命题的理解及运用能力．三、解答题18．如图，平面直角坐标系xoy 中A(﹣4，6)，B(﹣1，2)，C(﹣4，1)．（1）作出△ABC 关于直线x=1对称的图形△A 1B 1C 1并写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标；（2）将△A 1B 1C 1向左平移2个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2，并写出△A 2B 2C 2各顶点的坐标； （3）观察△ABC 和△A 2B 2C 2，它们是否关于某直线对称？若是，请指出对称轴，并求△ABC 的面积．【答案】（1）作图见解析，A 1(6，6)，B 1(3，2)，C 1(6，1)；（2）作图见解析，A 2(4，6)，B 2(1，2)，C 2(4，1)；（3）△ABC 和△A 2B 2C 2关于y 轴对称，△ABC 的面积=7.1．【分析】（1）根据题意分别作出三顶点关于直线x=1的对称点，再顺次连接即可得；（2）由题意将△A 1B 1C 1的三个顶点分别向左平移，再顺次连接即可得；（3）由题意观察图形即可得，再利用三角形的面积公式求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，A 1(6，6)，B 1(3，2)，C 1(6，1)．（2）如上图所示，△A 2B 2C 2即为所求，A 2(4，6)，B 2(1，2)，C 2(4，1)；（3）△ABC 和△A 2B 2C 2关于y 轴对称，△ABC 的面积为12⨯1×3=7.1． 【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答此题的关键． 19． (1)已知2=2+x x ，求()()()2()2311x x x x x ++++﹣﹣的值． (2)化简：259123-⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭x x x ，并从±2，±1，±3中选择一个合适的数求代数式的值． 【答案】（1）原式=23x x ++，把22x x +=代入得；原式235=+=；（2）原式12x =+，当1x =时，原式13=．【分析】（1）先进行整式运算，再代入求值；（2）先进行分式计算，根据题意选择合适的值代入求解．【详解】解：（1）原式2224431x x x x x =++--+-23x x =++，把22x x +=代入得，原式235=+=；（2）原式2322(3)(35)x x x x x x ++⎛⎫=-⨯ ⎪++-+⎝⎭ 332(3)(3)x x x x x -+=⨯+-+ 12x =+， 由分式有意义条件得 当x 为-2，±3时分式无意义， ∴当1x =时，原式13=． 【点睛】（1）整体代入求值是一种常见的化简求值的方法，要熟练掌握；（2）遇到分式化简求值时，要使选择的值确保原分式有意义．20．阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式225a a -+的最小值.方法如下：∵()2222521414a a a a a -+=-++=-+，由()210a -≥，得()2144a -+≥； ∴代数式225a a -+的最小值是4.（1）仿照上述方法求代数式2107x x ++的最小值.（2）代数式2816a a --+有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.【答案】（1）18-；（2）有最大值，最大值为32.【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：（1）∵()222107102518518x x x x x ++=++-=+-，由()250x +≥， 得 ()251818x +-≥-；∴代数式2107x x ++的最小值是18-；（2）()22281681632432a a a a a --+=---+=-++， ∵()240a -+≤， ∴()243232a -++≤， ∴代数式2816a a --+有最大值，最大值为32.【点睛】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 21．计算：（1）（﹣a 1）3•4a （1）1x （x+1）+（x+1）1．【答案】 (2)-4a 7; (2) 3x 2+4x+2．【解析】试题分析:（2）根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可；（2）根据单项式乘以多项式以及完全平方公式进行计算即可．解：（2）原式=﹣a 6•4a=﹣4a 7；（2）原式=2x 2+2x+x 2+2x+2=3x 2+4x+2．22．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：①211x x -+；②222a b a b --；③22x y x y +-；④()222a b a b -+．其中是“和谐分式”是 （填写序号即可）；（2）若a 为正整数，且214x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值； （3）在化简22344a ab ab b b -÷-时， 小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：原式=22344a a ab b b b -⨯-=223244a a ab b b --=()()222323244a b a ab b ab b b ---， 小强：原式=22344a a ab b b b -⨯-=()()()222224444a a a b a a b a b ba b b ---=--， 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，请你接着小强的方法完成化简．【答案】（1）②；（2） 4，5；（3）见解析.【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；（2）根据和谐分式的定义可以得到a 的值；（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题.【详解】（1）②分式=，不可约分， ∴分式是和谐分式， 故答案为②；（2）∵分式为和谐分式，且a 为正整数， ∴a=4，a=﹣4（舍），a=5；（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，原式====故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．【点睛】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答. 23．化简与计算（1）将公式a b x ab-=变形成已知x 与a ，求b .（假定变形中所有分式其分母都不为0） （2）22214()2442x x x x x x x x+---÷--+ （3）计算：2221(21)4(1)(0.5)8x x x x x +--+-÷ （4）计算：23(12)(536)x x mx x --+-，并把结果按字母x 升幂排列【答案】（1）1a b ax =+；（2）()222x -； （3）6x-3 （4）()()23451366212x m x m x x -++-++ 【分析】（1）代数式通过变形，即可得到答案；（2）先把代数式进行因式分解，计算括号内的运算，然后除法变成乘法，进行计算即可；（3）根据完全平方公式进行计算，以及整式乘法的运算法则进行计算，即可得到答案；（4）利用多项式乘以多项式进行计算，然后按照x 的升幂排列，即可得到答案.【详解】解：（1）∵a b x ab -=，∴abx=a -b ，∴abx+b=a ，∴（1ax +）b = a ， 1a b ax ∴=+； （2）原式= ()()()()()222212•422x x x x x x x x x x ⎡⎤-+--⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=()222•4422xx x x x x x --+--=()242•42x x x x x ---=()222x -；（3）原式=22284414444x x x x x x ++-+--•=832x x --=6x -3；（4）原式=23234536106212x mx x x x mx x -+--+-+=()()23451366212x m x m x x -++-++【点睛】本题考查了分式的化简求值，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则进行计算. 24．如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD ＝∠ACE.求证：BD ＝CE.【答案】见解析.【分析】先求出∠CAE ＝∠BAD 再利用ASA 证明△ABD ≌△ACE ，即可解答【详解】∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAE+∠CAE ＝90°，∠BAE+∠BAD ＝90°，∴∠CAE＝∠BAD.又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于判定三角形全等25．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，求证：BD平分∠ADC．【答案】见解析【分析】由AB＝AD可得出∠ADB＝∠ABD，由AB∥DC，利用“两直线平行，内错角相等”可找出∠ABD ＝∠BDC，结合∠ADB＝∠ABD可得出∠ADB＝∠BDC，进而可证出BD平分∠ADC．【详解】证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，又∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∴∠ADB＝∠BDC，即BD平分∠ADC．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的判定，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．近期，受不良气象条件影响，我市接连出现重污染天气，细颗粒物（PM2.5）平均浓度持续上升，严重威胁人民群众的身体健康，PM2.5是直径小于或等于2.5微米（1微米相当于1毫米的千分之一）的颗粒物，可直接进入肺部把2.5微米用科学记数法表示为（ ）A ．2.5×10﹣6米B ．25×10﹣5米C ．0.25×10﹣4米D ．2.5×10﹣4米【答案】A【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×-n 10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；【详解】∵1微米＝0.000001米＝1×-610米，∴2.5微米＝2.5×1×-610米＝2.5×-610米；故选：A ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，掌握科学记数法是解题的关键.2．点P 在第二象限内，那么点P 的坐标可能是（ ）A ．(4,3)B ．(3,4)--C ．()3,4-D ．(3,4)- 【答案】C【分析】根据第二象限内点坐标的特点：横坐标为负，纵坐标为正即可得出答案．【详解】根据第二象限内点坐标的特点：横坐标为负，纵坐标为正，只有()3,4-满足要求 故选：C ．【点睛】本题主要考查第二象限内点的坐标的特点，掌握各个象限内点的坐标的特点是解题的关键． 3．下列图形是轴对称图形的为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（）A．1200012000100 1.2x x=+B．12000120001001.2x x=+C．1200012000100 1.2x x=-D．12000120001001.2x x=-【答案】B【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x元，根据题意可得等量关系：学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，【详解】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：12000120001001.2x x=+故选B．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．5．运用乘法公式计算（x+3）2的结果是( )A．x2+9 B．x2–6x+9 C．x2+6x+9 D．x2+3x+9【答案】C【解析】试题分析：运用完全平方公式可得（x＋3）2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋1．故答案选C 考点：完全平方公式.6．如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【答案】B【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答．【详解】∵∠1是三角形的一个外角，∴∠1＞∠A ，又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，熟练掌握，即可解题.7．下列运算错误的是（ ）A ．22()a a -=．B ．()26(2)3a b ab a -÷=-．C ．3128-=．D ．0(1)1-=-． 【答案】D【分析】根据及整式的除法法则及零指数幂与负指数幂计算.【详解】解：A 选项2222()(1)a a a =-=-，A 正确；B 选项()26(2)3a b ab a -÷=-，B 正确； C 选项3311228-==，C 正确； D 选项0(1)11-=≠-，D 错误.故选：D【点睛】本题综合考查了整式乘法的相关运算，熟练掌握整式的除法运算及零指数幂与负指数幂的计算是解题的关键.即011(0),p pa a a a -=≠=. 8．在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的（ ）A ．平均状态B ．分布规律C ．离散程度D ．数值大小 【答案】C【解析】根据标准差的概念判断．标准差是反映数据波动大小的量．【详解】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．而标准差是方差的算术平方根，同样也反映了数据的波动情况．故选C ．【点睛】考查了方差和标准差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．而标准差是方差的算术平方根，9．对于任何整数m ，多项式()2459m +-都能（ ）A ．被8整除B ．被m 整除C ．被()1m -整除D ．被()21m -整除 【答案】A【分析】先对多项式进行因式分解，化为多个最简因式的乘积，再找出其中有无和选项中相同的一个，即可得出答案.【详解】原式2(45)3m =+- (453)(453)m m =+++-(48)(42)m m =++8(2)(21)m m =++故可知()2459m +-中含有因式8、2m +、21m +，说明该多项式可被8、2m +、21m +整除，故A 满足，本题答案为A.【点睛】本题关键，若想让多项式被因式整除，需要将多项式化简为多个最简因式的乘积，则多项式一定可以被这几个最简因式整除.10．如图，在等腰△ABC 中，顶角∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，若AB=m ，BC=n ，则△DBC 的周长是( )A ．m+2nB ．2m+nC ．2m+2nD ．m+n【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质和等腰三角形的定义，可得AD=BD ，AC=AB=m ，进而即可求解．【详解】∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，顶角∠A=40°，∴AD=BD ，AC=AB=m ，∴△DBC 的周长=DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n ．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义以及垂直平分线的性质定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，是解题的关键．二、填空题11．计算：2422a a a a -=++____________． 【答案】2a a- 【分析】根据分式的加减运算的法则，先因式分解复杂的因式，找到最简公分母，通分，然后按同分母的分式相加减的性质计算，在约分，化为最简二次根式．【详解】解：2422a a a a-++ =42(2)a a a a -++ =24(2)(2)a a a a a -++ =24(2)a a a -+ =(2)(2)(2)a a a a +-+ =2a a-． 故答案为：2a a -． 【点睛】本题考查分式的加减运算．12．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若225∠=，则1∠的度数为__________．【答案】35︒【分析】延长AB 交CF 于E ，求出∠ABC ，根据平行线性质得出∠AEC=∠2=25°，再根据三角形外角性质求出∠1即可．【详解】解：如图，延长AB 交CF 于E ，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵GH ∥EF ，∴∠AEC=∠2=25°，∴∠1=∠ABC-∠AEC=35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．13．已知：如图，45AOB ∠=︒，点P 为AOB ∠内部一点，点P 关于OA OB ，的对称点12P P ，的连线交OA OB ，于M N ，两点，连接PM PN ，，若2OP =，则PMN ∆的周长=__________．【答案】22【分析】连接OP 1，OP 2，利用对称的性质得出OP= OP 1= OP 2=2，再证明△OP 1 P 2是等腰直角三角形，则△PMN 的周长转化成P 1 P 2的长即可.【详解】解：如图，连接OP 1，OP 2，∵OP=2，根据轴对称的性质可得：OP= OP 1= OP 2=2，PN= P 2N ，PM= P 1M ，∠BOP=∠BOP 2，∠AOP=∠AOP 1，∵∠AOB=45°，∴∠P 1O P 2=90°，即△OP 1 P 2是等腰直角三角形，∵PN= P 2N ，PM= P 1M ，∴△PMN 的周长= P 1M+ P 2N+MN= P 1 P 2，∵P 1 P 221=22故答案为：22【点睛】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质将三角形周长转化成线段的长度.14．如图，若△ABC≌△ADE，且∠B=65°，则∠BAD= ．【答案】50°【解析】试题分析：由全等三角形的性质可知AB=AD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到答案．∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵∠B=65°，∴∠BAD=180°﹣2×65°=50°考点：全等三角形的性质．15．如图，已知Rt ABC的两条直角边长分别为6、8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积为______．【答案】1【分析】先分别求出以6、8为直径的三个半圆的面积，再求出三角形ABC的面积，阴影部分的面积是三角形ABC的面积加以AC为直径和以BC为直径的两个半圆的面积再减去以AB为直径的半圆的面积．【详解】解：由勾股定理不难得到AB=10以AC为直径的半圆的面积：π×（6÷2）2×12=92π＝4.5π，以BC为直径的半圆的面积：π×（8÷2）2×＝8π，以AB 为直径的半圆的面积：π×（10÷2）2×12＝12.5π， 三角形ABC 的面积：6×8×12＝1， 阴影部分的面积：1＋4.5π＋8π−12.5π＝1；故答案是:1．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解答此题的关键是，根据图形中半圆的面积、三角形的面积与阴影部分的面积的关系，找出对应部分的面积，列式解答即可．16．如图, 在平面直角坐标系中, 一次函数y=x+32的图象与x 轴交于点A, 与y 轴交于点B, 点P 在线段AB 上, PC ⊥x 轴于点C, 则△PCO 周长的最小值为_____【答案】323【解析】先根据一次函数列出PCO ∆周长的式子，再根据垂线公理找到使周长最小时点P 的位置，然后结合一次函数的性质、等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】由题意，可设点P 的坐标为(,32)(0)a a a +<,32OC a PC a ∴=-=+PCO ∴∆周长为3232OC PC OP a a OP OP ++=-++=则求PCO ∆周长的最小值即为求OP 的最小值如图，过点O 作⊥OD AB由垂线公理得，OP 的最小值为OD ，即此时点P 与点D 重合由直线32y x =+(32,0),(0,32)A B -，则32OA OB ==BAO ∴∆是等腰直角三角形，45BAO ∠=︒DAO ∴∆是等腰直角三角形，2232OD AD OD AD OA =+==解得3OD =则PCO ∆周长的最小值为3232323OP OD ==故答案为：323+．【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、垂线公理等知识点，依据题意列出PCO ∆周长的式子，从而找到使其最小的点P 位置是解题关键．17．华为30 5mate G 手机上使用7nm 的芯片, 10.0000001nm cm =,则7nm 用科学记数法表示为__________cm【答案】7710-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：7770.0000001710nm c cm m -=⨯=⨯．故答案为：7710-⨯．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 三、解答题18．（1）先化简，再求值：21(1)121a a a a -÷+++，其中21a =； （2）解分式方程：23193x x x +=--． 【答案】（1）1a +22）4x =-【分析】（1）先进行化简，然后将a 的值代入求解；（2）根据分式方程的解法求解． 【详解】（1） 原式= 211()1121a a a a a a +-÷++++ =2121a a a a a ÷+++ =2211a a a a a++⋅+ =2(1)1a a a a+⋅+=1a + 当21a =-时，原式= 2112-+=（2）原方程可化为：31(3)(3)3xx x x +=+--方程两边乘()(33)x x +-得：3(3)(3)(3)x x x x ++=+-22339x x x ++=-22393x x x +-=--312x =-4x =-检验：当4x =-时， (3)(3)0x x +-≠所以原方程的解是4x =-【点睛】本题考查了分式的化简求值、解分式方程等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．19．如图，点C 在线段AF 上，AB ∥FD ，AC ＝FD ，AB ＝FC ，CE 平分∠BCD 交BD 于E ．求证：（1）△ABC ≌△FCD ；（2）CE ⊥BD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据SAS 即可判定△ABC ≌△FCD ；（2）由全等三角形的性质得CB ＝CD ，结合等腰三角形的性质定理，即可得到结论．【详解】（1）∵AB ∥FD ，∴∠A ＝∠F ，又∵AC ＝DF ，AB ＝FC ，∴△ABC ≌△FCD （SAS ）；（2）∵△ABC ≌△FCD ，∴CB ＝CD ，又∵CE 平分∠BCD ，∴CE ⊥BD ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．20．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，将ACE ∆沿着AE 折叠以后C 点正好落在AB 边上的点D 处．（1）当28B ∠=︒时，求CAE ∠的度数；（2）当6AC =，10AB =时，求线段DE 的长．【答案】（1）31︒ ；（2）3【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出CAB ∠的度数，再由折叠的性质得出CAE EAB ∠=∠，从而CAE ∠的度数可求;（2）先由勾股定理求出BC 的长度，然后由折叠的性质得到,,90AC AD CE CD CEA C ==∠=∠=︒，设DE x =，在Rt EDB 中利用勾股定理即可求出x 的值，即DE 的长度．【详解】（1）∵90C ∠=︒，28B ∠=︒90902862CAB B ∴∠=-∠=︒-︒=︒由折叠的性质可知CAE EAB ∠=∠1312CAE CAB ∴∠=∠=︒ （2）∵90C ∠=︒，6AC =，10AB = ∴22221068BC AB AC --由折叠的性质可知,,90AC AD CE DE EDA C ==∠=∠=︒1801809090EDB EDA ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒设DE x =，则8,1064BE x DB =-=-=在Rt EDB 中,222ED DB EB +=∴2224(8)x x +=-解得3x =∴3DE =。
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第十六章 二次根式
原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！
落红不是无情物，化作春泥更护花。
出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》 16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
一、学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：（a ）2=a （a ≥0）；a a =2；
2.能利用上述性质对二次根式进行化简.
二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质（a ）2=a （a ≥0）；a a =2．
难点：综合运用性质对二次根式进行化简和计算。
三、学习过程
（一）自学导航（课前预习）
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式5
2-x 有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y - )
（二）合作交流（小组互助）
1、计算 (1) 2)4(= (2)()=23
（3）2)5.0( = （4）2)3
1(= 根据计算结果，能得出结论： （0≥a ）
2.计算：
（1）=24 =22.0 =2)54( =220
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ﹥0时，=2a
________)(2=a
（2） =-2)4( =-2
)2.0( =-2)54( =-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，=2a
（3）=20 得到：当a=0时，=2a
3.归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的非常重要的性： 性质一：（a ）2=a （a ≥0）； 性质二：⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2
a a 4. （1）阅读课本思考：什么是代数式？我们前面还学过那些代数式吗？
（2）思考、讨论：二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区
别与联系。
四.精讲点评 利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。
五.当堂达标
1、化简下列各式
（1）（5.1）2 （2）（52）错误!未找到引用源。
（3）22)33()10(-+--计算：
（4）)0(42≥x x (5) 4
x
2、化简下列各式
（1）)3()3(2≥-a a （2）（x ＜-2）
六.拓展延伸
（1）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________.
(2) 把(2-x)2
1-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x
(3) 已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x
七.教后反思
【素材积累】
驾驭命运的舵是奋斗。
不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。
逆境给人宝贵的磨炼机会。
只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。
人间的事往往如此，当时提起痛不欲生，几年之后，也不过是一场回忆而已。
知识给人重量，成旧给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。
摘一条不适合自己的路上奔波，旧如同穿上一双不合脚的鞋，会令你十分痛苦。