第一讲 倍数与因数
第一讲：因数与倍数
因数与倍数一天，因数和倍数走到了一起。
倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？”“我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。
“我是老大呀。
”“你是老大？为什么”“你说，一个数的倍数有多少个呀？”“这我知道，一个数的倍数有无数个。
”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。
而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。
你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。
再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗？”因数理直气壮地回答。
只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。
刚才是我不对，我向你道歉了。
”“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。
在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。
没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。
因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。
1、因数和倍数： 如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些？就是找能整除15的整数，则有：1, 3, 5, 15。
所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15也就是本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 。
3 是3最小的倍数，也就是本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数知识点拨因数与倍数一4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
小学奥数因数与倍数复习课程
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如：15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
《倍数与因数》ppt课件
√
7×10=70 7×11=77
Hale Waihona Puke 找一找7的倍数有： 7, 14, 21, 28, 35, 42， 49， 56，63，70 ……
8的倍数有：8,16, 24,32， 40，48，56，64，72，80，88，96 ……
思考：1.一个数的最小倍数是什么？有最大的倍数吗？ 2.你能找得完一个数的所有倍数吗？ 3.找一个数的倍数时，怎样做到不重复、不遗漏？
求一个数倍数的方法： 用这个数分别乘以1、2、3、4…这些非0自然数。
一个数倍数的特点： 一个数倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
4
2
12
18
48
6
9
20
30
既是4的倍数，又是6的倍数
一个数小于60，既是6的倍数，又是9的倍数，这个数可能是多少？
6的倍数有：6, 12, 18,24,30, 36， 42，48，54，60 …… 9的倍数有：9, 18, 27,36,45， 54，63 ……
北京师范大学出版社 五年级 | 上册
第三单元 · 倍数与因数
第1课时 倍数与因数
回想一下：小学阶段所学的数有哪些？
像0、1、2、3、4、5……这样的数是自然数
整数
自然数
请根据算式的特点分类。 商是整数，有余数
商是整数，无余数
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就 说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
在算式_____________________中，
（
）是（
）的倍数，
（
）是（
）的因数。
因数与倍数是相互依存的， 不能单独存在。
我们只在自然数 （零除外）范围内 研究倍数和因数。
(完整)小学奥数因数与倍数
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
第一讲 因数与倍数
第一讲因数与倍数知识归纳：1.只有在乘法算式中因数和积都是整数的情况下才讨论因数和倍数，换言之，只有在除法算式中被除数、除数和商都是整数且没有余数的情况下，才能讨论因数和倍数。
（式子中出现小数、分数和余数的直接排除）1.2×5＝6，25÷4＝6.25，23÷4＝5……3，19÷7≈3均不可讨论。
2.因数和倍数是相互依存的概念，不能单独出现。
3.找一个数的因数的方法：把这个数当被除数，用从1开始的自然数去除这个数，如果商整好也是整数，那么除数和商都是这个数的因数。
4.找一个数的倍数的方法：用这个数依次与从1开始的自然数相乘，它们的积就是这个数的倍数。
5.一个数的倍数的个数是无限的，如果题目未做要求，应该在最后写上“…”。
6.一个数的因数的个数是有限的，但一个数的倍数的个数是无限的。
7.一个数，它最小的因数是1，最大的因数是它本身；最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
8.一个非零自然数，既是它自己的因数，也是它自己的倍数。
知识补充：1.完全平方数的因数有单数个，其它数的因数有双数个。
2.如果两个数是同一个数的倍数，那么这两个数的和或差也是这个数的倍数。
知识巩固：1.判断：一个数的倍数一定比这个数的因数大。
（）1000的因数比3的倍数多。
（）3的倍数比300的倍数多。
（）甲大于乙，甲的因数个数比乙的因数个数多。
（）2.A＝a×b×c，a、b、c分别为三个不同的大于1的整数，A的因数有（）个。
3.两个数的和是21，其中一个两位数是6的倍数，另一个数可能是（）。
4.面积是36cm2的长方形，已知长方形的长和宽都是自然数，请问符合条件的长方形共有几种？5.箱子内有24个苹果，如果不一次性拿出，也不一个一个拿，但每次拿出的苹果要求一样多，最后一次刚好拿完，问有几种不同拿法？6.32÷（）＝（）……4，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有几种填法？习题1.既是60的因数，又是5的倍数的数有（）。
《认识因数和倍数》课件
详细描述
一个数的因数和倍数的和等于这个数的两倍 。这是因为一个数的因数都是小于或等于这 个数的正整数，而这个数的倍数是大于这个 数的正整数，所以它们的和一定等于这个数 的两倍。例如，对于数字10，它的因数有1 、2、5、10，而它的倍数有10、20、30等
，它们的和正好是10的两倍。
PART 02
《认识因数和倍数》 ppt课件
REPORTING
• 什么是因数和倍数 • 如何找出一个数的因数 • 如何找出一个数的倍数 • 因数和倍数的应用 • 练习题与答案
目录
PART 01
什么是因数和倍数
REPORTING
因数的定义
总结词
因数是指一个数能被另一个数整除的数。
详细描述
因数是数学中一个重要的概念，它表示一个数能够被另一个数整除的关系。如 果整数a能被整数b整除，那么a的因数中就包括b。例如，12可以被2和3整除， 因此2和3是12的因数。
如何找出一个数的因数
REPORTING
试除法找因数
总结词
通过逐一尝试除法找出因数
详细描述
从1开始逐一尝试除以这个数，如果能整除，那么除数就是它的因数。例如，找24的因数，可以尝试 24除以1、2、3、4...，找到24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。
列表法找因数
总结词
列出所有可能的因数并筛选出真正的因数
这些规律，可以快速地找出某个数的倍数。
PART 04
因数和倍数的应用
REPORTING
在数学中的应用
数学运算
因数和倍数在数学运算中有着广 泛的应用，例如乘法、除法等。 了解因数和倍数的概念有助于更
快速地解决数学问题。
数学定理证明
第一讲因数、倍数和整除的
整除的特征 个位数字是0、2、4、6或8
各位上的数字的和能被（3或9）整除
个位数字是0或5的数
末两位数字能被4（或25）整除的数 末三位数字能被8(或125）整除的数
11
一个数的奇数位上的数字之和与偶数 位上的数字之和的差能被11整除
例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8 整除？哪些能被9整除？ 234、789、7756、8865、3728、8064
36÷4=9
14÷5=2.8
25÷8=3 ……1 整除的概念：整数a除以整数b（b不等于0）， 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 整数a能被整数b整除。
第一讲因数、倍数和整除的特征
基础知识：（因数和倍数）
15÷3=5 9÷4=2.25 除尽 9÷4=2.25 1.4÷0.7=2
1.4÷0.7=2 24÷2=12 整除 15÷3=5 24÷2=12
课堂练习： 1.两个整数的各是30，它们的积是216，求这 216 两个整数？ 1 2 3 4 6 8 9 12 216 108 72 54 36 27 24 18
2.用1155个同样大小的正方形拼成一个长方 形，有多少种不同的拼法？ 解： 1155的因数有：1，1155；3，385；5， 231；7，165；11，105；33，35；55，
12
（2）（117-12）÷（ ）=（ ） 第二步：找105的所有因数 105的因数有： 1 ， 3 ， 5 ，7 ，15 ， 21， 35 ， 105
第三步：填出所有可能的结果。
117÷（ 15）=（ 7 ） ……12 117÷（ 35）=（ 3 ） ……12 117÷（ 21）=（ 5 ） ……12 …… 12 117÷ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 105）=（ 1 ）
因数和倍数的基本概念与应用
因数和倍数的基本概念与应用一、因数和倍数的定义1.因数：如果一个整数a能被另一个整数b整除（b ≠ 0），那么b就是a的因数。
2.倍数：如果一个整数a能被另一个整数b整除（b ≠ 0），那么a就是b的倍数。
二、因数和倍数的关系1.一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1。
2.一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3.两个数的最大公因数和最小公倍数之间存在以下关系：两个数的乘积等于它们的最大公因数和最小公倍数的乘积。
三、因数和倍数的应用1.求一个数的因数：列举出所有小于等于该数的正整数，判断它们是否能整除该数，如果能，则是该数的因数。
2.求一个数的倍数：用该数分别乘以1、2、3、4、5…，直到结果超过该数，列举出所有小于等于该数的倍数。
3.求两个数的最大公因数：a.列举出两个数的所有因数。
b.找出两个数共有的因数。
c.找出共有因数中最大的一个，即为两个数的最大公因数。
4.求两个数的最小公倍数：a.列举出两个数的所有倍数。
b.找出两个数共有的倍数。
c.找出共有倍数中最小的一个，即为两个数的最小公倍数。
四、因数和倍数在实际生活中的应用1.分配任务：例如，有12个苹果，需要将它们分给4个人，每人分得几个苹果？通过求12的因数，可以得到每人分得3个苹果。
2.安排时间：例如，某活动计划在3小时内完成，每小时需要完成多少任务？通过求3的倍数，可以得到每0.5小时完成一个任务。
3.购物优惠：例如，一件商品原价120元，打8折后的价格是多少？通过求120的倍数，可以得到打折后的价格是96元。
4.制作计划：例如，某项目需要在5天内完成，每天需要完成多少工作？通过求5的倍数，可以得到每天完成的工作量。
因数和倍数是数学中的基本概念，掌握它们的关系和应用方法对于中小学生的学习和生活具有重要意义。
通过学习因数和倍数，学生可以更好地理解数学运算，解决实际问题，提高逻辑思维能力。
习题及方法：1.习题：找出24的所有因数。
因数和倍数精选教学PPT课件
一个数的倍数是无限的，可以找到任意大的倍数。
因数和倍数的应用
数学问题解决
因数和倍数是解决数学问题的重要工 具，如找出一个数的因数或倍数，或 者通过因数和倍数来证明某些数学性 质。
密码学
计算机科学
在计算机科学中，因数和倍数用于实 现数据加密、解密和信息隐藏等任务。
在密码学中，因数和倍数常用于生成 加密密钥，以确保信息的安全传输。
学习方法反思
学生对自己的学习方法进行反思，找出适合自己 的学习方法。
3
学习计划调整
根据自我评价，调整学习计划，提高学习效率。
下节课预告
预告内容
01
简要介绍下节课的主题和重点内容。
预习要求
02
提出下节课的预习要求，引导学生提前预习。
注意事项
03
提醒学生注意下节课的教学安排，确保准时参加。
THANKS
3. 判断题：一个数的因数一 定小于这个数。
进阶练习题
总结词：培养分析能力 5. 一个数的倍数有哪几个特点？请举例说明。
4. 一个数的因数有哪几个特点？请举例说明。 6. 找出100以内8的所有倍数。
挑战练习题
01
总结词：提高解题技巧
02 7. 一个数的因数和倍数之间有什么关系？ 请举例说明。
03
03
因数和倍数的性质
因数的性质
01
02
03
定义
如果整数a能被整数b整除， 那么a就是b的因数。
举例
如1、2、3、4、6和12都 是6的因数，因为6能被这 些数整除。
唯一性
一个数的因数是唯一的， 即不重复。
倍数的性质
定义
整数a是整数b的倍数，如果存在一个整数k，使得 a=kb。
五年级寒假衔接数学第一讲 因数倍数 奇偶数
第一讲因数倍数奇偶数【知识点睛】倍数与因数：如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。
倍数和因数是相互依存的。
注：1.一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
2.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
2、3、5、9的倍数特征：2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
5的倍数：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
3的倍数：一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数是3的倍数。
6的倍数：【精讲精练】例1：填一填。
（1）28÷（）=（） 28÷（）=（） 28÷（）=（）28的因数有1,2，（），（），（），（）。
其中最小的因数是（），最大的因数是（）。
（2）30以内4的倍数有（）。
【练习1】在1,2,3,4,6,8,12,24,36中，8的因数有（），8的倍数有（）例2：（1）下面各数，哪些是2的倍数，哪些是5的倍数，哪些同时是2和5的倍数？73 4 25 96 50 608 85 47230 89 109 75 410 24 196 56002的倍数有：5的倍数有：同时是2和5的倍数的有：我发现：（2）圈出3的倍数。
78 53 69 222 123 31590 261 4317 359 585 8013我发现：【练习2】1. （1）52☐，☐里填（ ）是2的倍数，☐里填（ ）是5的倍数。
（2）3☐6，☐里填（ ）是2的倍数（3）58☐0，☐里填（ ）是5的倍数2. 在☐里填一个数字，使每个数字都是3的倍数，把可能的结果写在括号里（首位不为0）☐3 （ ） 1☐7（ ）28☐（ ） 6☐9（ ）☐47（ ） 2☐ （ ）334☐（ ） 67☐1（ ）例3：从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组成三位数。
（每个小题写出2个数）（1）奇数：（2）偶数：（3）5的倍数:（4）2的倍数:（5）既是2的倍数，又是5的倍数：【练习3】（1）在2,4,6，…，96,98,100这列数中，每个数都是（ ）的倍数，第29个数是（ ）（2是5的倍数，并且是5的倍数中最大的两位奇数。
(完整版)因数和倍数讲义
第一讲因数和倍数【课堂讲解】【考点】一：因数和倍数【知识点】1：因数和倍数的理解（1）数的整除：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
（2）因数和倍数：定义1：被除数÷除数=商，要求被除数、除数、商都是整数，所以除数和商是被除数的因数，被除数则是除数和商的倍数。
定义2：4×5＝20,20是4和5的倍数，4和5是20的因数。
注意：在研究因数与倍数时，我们所说的数指的是非0整数。
要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
（3）因数和倍数的关系：倍数和因数是相互依存的。
【例题】1：根据算式1000÷10＝100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
【例题】2：根据算式24×15=360，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
【例题】3：判断题：因为78÷3＝26，所以说3是因数，78是倍数。
（）【知识点】2：求一个数的因数和倍数【例题】1：求下列数的因数1的因数（）17的因数（）78的因数（）91的因数（）39的因数（）44的因数（）51的因数（）87的因数（）95的因数（）【例题】2：求下列数的倍数(写出最小的5个）2的倍数（）4的倍数（）5的倍数（）10的倍数（）50的倍数（）【挑战自己】（一）填空（1）因为78÷2＝39，所以2是78的（），78是39的（）。
（2）因为16×3=48，所以（）是（）的因数，48是16的（）。
（3）根据算式25×4=100，（）是（）的因数，（）也是（）的因数；（）是（）的倍数，（）也是（）的倍数。
（4）写出下列数的所有因数59（） 87（）23（）45（）91（） 62（）（5）24的因数有（）．说明：一个数因数的个数是（），最小的因数是（），最大的因数是（）．（6）3的倍数有（）．说明：一个数的倍数的个数是（），最小的倍数是（），（）最大的倍数．（7）一个数的最大因数是34 ，这个数是（），它的所有因数有（），这个数的最小倍数是（）。
《因数和倍数的认识》课件
因数的性质
定义
因数是能够整除给定数的数。
举例
如12的因数有1、2、3、4、6和12。
特性
因数可以重复，如12的因数中，2和2是重复的。
倍数的性质
定义
01
倍数是给定数的整数倍。
举例
02
如6是12的因数，因为12是6的2倍。
特性
03
倍数不能为负数，且必须为整数。
因数和倍数的应用
01
02
03
数学问题解决
《因数和倍数的认识 》ppt课件
• 引言 • 因数和倍数的定义 • 因数和倍数的性质 • 寻找因数和倍数的方法 • 因数和倍数的练习题 • 总结与回顾
目录
Part
01
引言
课程目标
知识目标
学生应掌握因数和倍数的 概念，理解其在实际问题 中的应用。
能力目标
培养学生运用因数和倍数 的知识解决实际问题的能 力，提高数学思维能力。
寻找因数的方法
定义法
根据因数的定义，通过列 举出给定数的所有因数来 寻找。
分解质因数法
将给定的数分解为若干个 质因数的乘积，然后找出 所有可能的因数组合。
试除法
通过逐一尝试除给定数， 找出所有能够整除给定数 的因数。
寻找倍数的方法
定义法
除法原理
根据倍数的定义，通过列举出给定数 的所有倍数来寻找。
通过将给定的数除以某个自然数，得 到该数的倍数。
乘法原理
通过将给定的数与某个自然数相乘， 得到该数的倍数。
寻找因数和倍数的注意事项
避免重复
在列举因数或倍数时，应避免重 复计算相同的因数或倍数。
注意正负
在寻找因数或倍数时，应注意正负 数的计算。
《倍数》倍数和因数
西方的倍数文化
在西方文化中，倍数也有着重要的地位。例如，在古希 腊的哲学中，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，其中 就涉及到了倍数的概念。此外，在西方音乐中也有很多 与倍数相关的元素，例如交响乐中的乐器数量和音调都 是通过倍数来确定的。
感谢您的观看
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对数与指数
对数和指数是两个相反的概念，它们与倍数和因数也有一定的关系。例如，log(a*b) = log(a) + log(b)，这个公式中就涉 及到了倍数的概念。
倍数和因数的历史与文化背景
中国的倍数文化
在中国传统文化中，倍数有着特殊的地位。例如，在中 国古代的诗词中，经常用倍数来表示数量的增加或减少 。此外，中国的传统音乐中也有很多与倍数相关的元素 ，例如二胡、笛子等乐器的音调都是通过倍数来确定的 。
06
倍数和因数的拓展知识
与倍数和因数相关的定理和公式
最大公约数和最小公倍数
最大公约数是两个或多个整数共有的最大正整数因子，最小公倍 数是两个或多个整数的最小公共倍数。它们与倍数和因数有密切 关系。
素数与合数
素数是只有1和它本身两个正因数的自然数，合数是除了1和它本 身以外还有其他正因数的自然数。它们是研究倍数和因数的基础 。
因数与除法的关系
除法
在数学中，除法是一种基本的算术运算， 用于计算一个数被另一个数整除的程度。
关系
因数是除法运算的结果之一，当一个数能 被另一个数整除时，这个数就是另一个数 的因数。
04
倍数和因数的应用
倍数在生活中的应用
01
确定物品数量
在日常生活中，我们经常使用倍数来确定物品的数量。例如，当我们
因数来简化表达式和求解方程。
倍数和因数在计算机科学中的应用
(精品教案)《因数和倍数》的讲课稿(精选5篇)
（精品教案）《因数和倍数》的讲课稿（精选5篇）《因数和倍数》的讲课稿（精选5篇）作为一位优秀的人民教师，就别得别需要编写讲课稿，讲课稿有助于提高教师的语言表达能力。
这么应当怎么写讲课稿呢？以下是小编整理的《因数和倍数》的讲课稿（精选5篇），供大伙儿参考借鉴，希翼能够帮助到有需要的朋友。
一、教材分析。
倍数和因数一课是苏教版数学第八册中的内容。
这一内容是在学生差不多分时期认识了百以内、千以内、万以内、亿以内以及一些整亿的数，较为系统地掌握了十进制记数法，并且也基本完成了整数四则运算基础上举行的教学，要紧是要使学生初步认识倍数和因数的意义，学会在１－１００的自然数中找１０以内某个数的所有倍数和１００以内某个数的所有因数的办法。
这是学生进一步学习公倍数和公因数，以及分数的约分、通分和四则运算的基础，对往后的学习起着重要的作用。
二、教学目标及重点和难点。
１、知识与技能目标：使学生结合整数乘、除法运算初步认识倍数和因数的含义，探究求一具数的倍数和因数的办法，并能找一具数的倍数和因数。
２、过程与办法目标：引导学生自主探索找一具数倍数和因数的办法，体味数学知识之间的内在联系，提高数学考虑的水平。
３、情感与态度目标：在学习活动中激发学生学习数学的兴趣和自信心。
４、重点：明白因数和倍数的含义，懂它们呢的关系是相互依存的。
５、难点：探究并掌握求一具数的倍数和因数的办法。
三、教学设计（一）认识倍数和因数认识倍数和因数时，利用学生对乘法运算以及长方形的长、宽和面积关系的已有认识，引导学生在操作中得到乘积相同的别同乘法算式，并进一步引出倍数和因数的概念。
倍数和因数是指两个数之间的关系，别能单独讲某数倍数或因数，这一点学生往往搞别清，为了使学生理解倍数和因数是一种相互依存的关系，我举了日子中的兄弟关系，母女关系的例子帮助学生明白，让学生感觉到数学与日子的联系，并且也让学生理解，用数学知识解决日子咨询题是学习数学的真正目的。
（二）探究求一具数的倍数的办法从例1中得出：12是3的倍数，又把学生举的一具3的倍数的例子有目的地写在黑板上结合起来看，引导学生讲出3的倍数还有哪些。
《倍数和因数》公开课教案和教学研讨
《倍数和因数》公开课教案和教学研讨第一章：倍数和因数的概念介绍1.1 倍数和因数的定义讲解倍数和因数的基本概念通过举例让学生理解倍数和因数的关系1.2 倍数的性质讲解倍数的性质，如：一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身等通过练习题让学生巩固倍数的性质第二章：求一个数的因数2.1 因数的定义讲解因数的概念，如：一个数的因数是可以整除这个数的整数等通过举例让学生理解因数的概念2.2 求一个数的因数的方法讲解求一个数的因数的方法，如：通过试除法等通过练习题让学生掌握求一个数的因数的方法第三章：倍数和因数的关系3.1 倍数和因数的联系讲解倍数和因数的联系，如：一个数的倍数一定是它的因数的倍数等通过举例让学生理解倍数和因数的联系3.2 倍数和因数的区别讲解倍数和因数的区别，如：一个数的因数是可以整除这个数的整数，而倍数是这个数的整数倍等通过练习题让学生区分倍数和因数的区别第四章：最大公因数和最小公倍数4.1 最大公因数的定义讲解最大公因数的定义，如：两个数的最大公因数是能够整除这两个数的最大的因数等通过举例让学生理解最大公因数的定义4.2 最小公倍数的定义讲解最小公倍数的定义，如：两个数的最小公倍数是能够被这两个数整除的最小的倍数等通过举例让学生理解最小公倍数的定义第五章：倍数和因数的应用5.1 倍数和因数在实际生活中的应用讲解倍数和因数在实际生活中的应用，如：购物时选择合适的包装等通过实例让学生了解倍数和因数在实际生活中的重要性5.2 倍数和因数在数学中的应用讲解倍数和因数在数学中的应用，如：解方程等通过练习题让学生掌握倍数和因数在数学中的应用。
第六章：最大公因数和最小公倍数的求法6.1 求两个数的最大公因数讲解求两个数的最大公因数的方法，如：欧几里得算法等通过练习题让学生掌握求两个数的最大公因数的方法6.2 求两个数的最小公倍数讲解求两个数的最小公倍数的方法，如：通过两个数的乘积除以它们的最大公因数等通过练习题让学生掌握求两个数的最小公倍数的方法第七章：倍数和因数在数列中的应用7.1 倍数和因数在等差数列中的应用讲解倍数和因数在等差数列中的应用，如：找出等差数列中的某个数的倍数等通过实例让学生了解倍数和因数在等差数列中的应用7.2 倍数和因数在等比数列中的应用讲解倍数和因数在等比数列中的应用，如：找出等比数列中的某个数的因数等通过实例让学生了解倍数和因数在等比数列中的应用第八章：倍数和因数在几何中的应用8.1 倍数和因数在几何中的应用概述讲解倍数和因数在几何中的应用，如：面积的计算等通过实例让学生了解倍数和因数在几何中的应用8.2 倍数和因数在特定几何问题中的应用讲解倍数和因数在特定几何问题中的应用，如：黄金分割等通过实例让学生了解倍数和因数在特定几何问题中的应用第九章：倍数和因数与其他数学概念的关系9.1 倍数和因数与素数的关系讲解倍数和因数与素数的关系，如：素数的因数只有1和它本身等通过实例让学生了解倍数和因数与素数的关系9.2 倍数和因数与完全数的关系讲解倍数和因数与完全数的关系，如：完全数是所有真因数（除了自身以外的因数）的和等于该数本身的数等通过实例让学生了解倍数和因数与完全数的关系第十章：倍数和因数的教学研讨10.1 倍数和因数教学方法探讨探讨倍数和因数教学的有效方法，如：通过实际生活中的例子引导学生理解倍数和因数的概念等分享教学经验和心得，提高教学效果10.2 倍数和因数教学难点和解决方法分析倍数和因数教学中的难点，如：学生对最大公因数和最小公倍数的理解等分享解决难点的方法和技巧，提高教学质量10.3 倍数和因数教学实践与反思分享倍数和因数教学的实践经验，如：教学设计、课堂管理等反思教学过程中存在的问题，提出改进措施，提升教学水平。
《倍数和因数》公开课教案和教学研讨
《倍数和因数》公开课教案和教学研讨第一章：倍数和因数的概念介绍1.1 倍数和因数的定义讲解倍数和因数的基本概念举例说明倍数和因数的关系1.2 倍数的性质介绍倍数的性质，如：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身等通过实例让学生理解倍数的性质第二章：求一个数的因数和倍数的方法2.1 求一个数的因数的方法讲解求一个数的因数的方法，如：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5…，一直除到商和除数互换位置结束通过实例让学生学会求一个数的因数2.2 求一个数的倍数的方法讲解求一个数的倍数的方法，如：用这个数分别乘自然数1，2，3，4，5…，一直乘到积和这个数相等为止通过实例让学生学会求一个数的倍数第三章：因数和倍数的应用3.1 因数和倍数在实际生活中的应用通过实际例子让学生理解因数和倍数在生活中的应用，如：购物时选择合适的包装等引导学生学会用因数和倍数解决实际问题3.2 因数和倍数在数学中的运用讲解因数和倍数在数学中的运用，如：分解质因数、最大公因数和最小公倍数等通过实例让学生学会运用因数和倍数解决数学问题第四章：最大公因数和最小公倍数4.1 最大公因数和最小公倍数的定义讲解最大公因数和最小公倍数的定义举例说明最大公因数和最小公倍数的关系4.2 求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法讲解求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，如：先求最大公因数，再用两个数的乘积除以最大公因数得到最小公倍数通过实例让学生学会求两个数的最大公因数和最小公倍数第五章：教学研讨与反思5.1 教学目标的达成情况分析本节课教学目标的达成情况，如：学生是否掌握了倍数和因数的概念、求一个数的因数和倍数的方法等针对未达成目标的原因进行反思和调整5.2 教学方法和手段的有效性分析本节课所采用的教学方法和手段的有效性，如：讲解、实例、练习等针对不足之处进行改进和调整5.3 学生的参与度和反馈分析本节课学生的参与度和反馈情况，如：学生是否积极回答问题、对教学内容的掌握程度等根据学生的反馈调整教学内容和教学方式第六章：倍数和因数在数列中的应用6.1 倍数和因数在等差数列中的应用讲解倍数和因数在等差数列中的应用，如：求等差数列中的某个数的倍数或因数通过实例让学生学会用倍数和因数解决等差数列问题6.2 倍数和因数在等比数列中的应用讲解倍数和因数在等比数列中的应用，如：求等比数列中的某个数的倍数或因数通过实例让学生学会用倍数和因数解决等比数列问题第七章：倍数和因数在几何中的应用7.1 倍数和因数在几何图形中的应用讲解倍数和因数在几何图形中的应用，如：求图形的周长、面积等通过实例让学生学会用倍数和因数解决几何问题7.2 倍数和因数在几何证明中的应用讲解倍数和因数在几何证明中的应用，如：证明两条直线平行或三角形全等通过实例让学生学会用倍数和因数解决几何证明问题第八章：倍数和因数在物理中的应用8.1 倍数和因数在物理测量中的应用讲解倍数和因数在物理测量中的应用，如：选择合适的测量工具、计算物体的体积等通过实例让学生学会用倍数和因数解决物理测量问题8.2 倍数和因数在物理公式中的应用讲解倍数和因数在物理公式中的应用，如：欧姆定律、功率公式等通过实例让学生学会用倍数和因数解决物理公式问题第九章：倍数和因数在化学中的应用9.1 倍数和因数在化学计算中的应用讲解倍数和因数在化学计算中的应用，如：计算化学反应的摩尔比、质量比等通过实例让学生学会用倍数和因数解决化学计算问题9.2 倍数和因数在化学实验中的应用讲解倍数和因数在化学实验中的应用，如：选择合适的试剂、计算反应物的用量等通过实例让学生学会用倍数和因数解决化学实验问题第十章：教学研讨与反思10.1 教学目标的达成情况分析本节课教学目标的达成情况，如：学生是否掌握了倍数和因数在数列、几何、物理、化学等领域的应用针对未达成目标的原因进行反思和调整10.2 教学方法和手段的有效性分析本节课所采用的教学方法和手段的有效性，如：讲解、实例、练习等针对不足之处进行改进和调整10.3 学生的参与度和反馈分析本节课学生的参与度和反馈情况，如：学生是否积极回答问题、对教学内容的掌握程度等根据学生的反馈调整教学内容和教学方式第十一章：倍数和因数在实际问题中的应用11.1 倍数和因数在日常生活中的应用讲解倍数和因数在日常生活中的应用，如：时间计算、购物打折等通过实例让学生学会用倍数和因数解决实际问题11.2 倍数和因数在工作中的应用讲解倍数和因数在工作中的应用，如：生产计划、工作分配等通过实例让学生学会用倍数和因数解决工作问题第十二章：倍数和因数的扩展学习12.1 倍数和因数在其他数学领域的应用讲解倍数和因数在其他数学领域的应用，如：数论、代数等通过实例让学生学会用倍数和因数解决其他数学问题12.2 倍数和因数的相关数学历史和文化讲解倍数和因数的相关数学历史和文化，如：因数和倍数的起源、相关数学家的故事等让学生了解倍数和因数在数学发展中的重要性第十三章：倍数和因数的巩固练习13.1 倍数和因数的练习题提供一些关于倍数和因数的练习题，让学生进行巩固练习包括选择题、填空题、解答题等不同类型的题目13.2 倍数和因数的拓展练习题提供一些关于倍数和因数的拓展练习题，让学生进行进一步的思考和探索包括综合题、应用题、创新题等不同类型的题目第十四章：倍数和因数的学习评价14.1 倍数和因数的课堂表现评价对学生在课堂上的表现进行评价，如：参与度、回答问题准确性等给予学生积极的反馈和建议，促进学生的学习进步14.2 倍数和因数的作业和练习评价对学生完成的作业和练习进行评价，如：解题思路、答案准确性等给予学生及时的指导和纠正，帮助学生提高解题能力第十五章：倍数和因数的教学总结与展望15.1 倍数和因数的教学总结对本节课的教学进行总结，如：教学目标的达成情况、学生的参与度等反思教学过程中的优点和不足，提出改进和优化的建议15.2 倍数和因数的教学展望对后续倍数和因数的学习进行展望，如：进一步探索倍数和因数在各个领域的应用、学习相关拓展知识等激发学生对倍数和因数的兴趣和好奇心，促进学生的深入学习重点和难点解析本文主要介绍了倍数和因数的概念、性质、求法以及在各个领域的应用。
1因数和倍数第一讲
因数和倍数第一讲知识小屋1. 因数、倍数概念：如果ａ×ｂ＝ｃ（ａ、ｂ、ｃ都是不为０的整数）我们就说ａ和ｂ都是ｃ的因数ｃ是ａ的倍数也是ｂ的倍数。
倍数和因数是相互依存的。
２. 一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
３． ２、３、５倍数的特征。
（１）２的倍数的特征：个位上是０、２、４、６、８的数，都是２的倍数，是２的倍数的数叫做偶数；不是２的倍数的数叫做奇数。
（２）３的倍数的特征：一个数各位数上的和是３的倍数这个数是３的倍数。
（３）个位上是０、５的数都是５的倍数。
４．质数和合数。
（１）一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（质数）。
最小的质数是２。
（２） 一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的因数叫做合数。
最小的合数是４，合数至少有三个因数。
（３）１既不是质数，也不是合数。
５．质因数和分解质因数。
（１）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
（２） 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：３０＝２×３×５６．最大公因数和最小公倍数。
（１） 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
（２）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
７．互质数：公因数只有１的两个数，叫做互质数。
８. 100以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、93、979. 13的倍数：26、39、52、65、78、91、104、11717的倍数：34、51、68、85、102、119、136、15319的倍数：38、57、76、95、114、133、152、171同步练习一.填空1.一个数是3、5、7的倍数,这个数最小是( ).2.是3的倍数的最小三位数是( ）.3.三个数相乘，积是70，这三个数是（ ） （ ）（ ）4.同时是2、3、5的倍数的最小两位数是（ ），最大两位数（ ）最小三位数（ ）最大三位数（ ）。
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第一讲倍数与因数(一)例题精讲：1、五位数73□28能被9整除,□应填几?2、BA8919能被66整除,这个六位数是多少?3、期末考试六年级一班数学平均分是90分,总分是□95□,这个班有多少名学生?4、任意一个三位数连着写两回得到一个六位数,这个六位数一定能被7,11,13整除,为什么?5、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的6倍,求这个两位数?6、在298的后面填上一个三位数,使这个六位数能被476整除?7、一梯形面积为1400平方米,高为50米,若两底的米数都是整数且可被8整除,求两底。
(有几组解？)8、某校人数是一个三位数,平均每个班36人,若将全校人数的百位与十位数对调,则全校人数比实际少180人,那么该校最多可达多少人?练习：1、四位数841□能被2和3整除,□里应填___________.2、把789连续写___次,所组成的数能被9整除,并且这个数最小.3、四位数ab36=__________.36能同时被2,3,4,5,9整除,则ab4、把1,2,3这三个数字任意排列,可组成若干个三位数.在这些三位数中,能被11整除的是______________.5、同时能被3,4,5整除的最小四位数是____________。
6、从3,5,0,1这四个数字中任选3个组成没有重复数字且同时能被3,5整除的三位数有_____个.46,求x.7、一个三位数减去它的各个数位的数字之和,其差还是一个三位数x8、商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,商店里剩下的一箱货重多少千克?9、三位数的百位,十位,个位数字分别是5,a,b将它接连重复写99次成为: 5⋅⋅⋅⋅⋅⋅，如果所组成之数能被91整除,这个三位数ab5abab5ab5是多少?99个5 ab第二讲倍数与因数(二)——质数、合数、分解质因数例题精讲：1、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有几个因数？这个数的两位数因数中最大的是几？2、将21、30、65、126、143、169、275分成两组，使两组数的积相等。
3、商店将积压的圆珠笔降价到每枝不足4角出售，共卖得31．93元，积压的圆珠笔有多少枝？4、两个相邻的自然数之积是1980，求这两个连续的自然数？5、四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次，他的年龄，他得的分数的乘积是2910，这个学生得第几名？成绩是多少分？6、72的因数有几个？144的因数有几个？504的因数有几个？7、有10张标有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29的纸牌，从中抽出一张，记住其数字后放回去重洗，再抽出一张记住其数字后又放回去重洗……如此进行四次，记住的四个数的积为P，那么136，、198、455、1925、2001这五个数中不可能等于P的是。
8、求48×925×38×435的积的末尾有几个连续的0？练习：1、有8个不同的因数的自然数中，最小的一个是.2、有两个两位数，已知它们的积是3927，则这两个数的和是.3、五个连续自然数，每个都是合数，这五个连续自然数的和最小是.4、有四个小朋友，他们的年龄是四个连续自然数，四人年龄的乘积是360，则其中年龄最大的一个是岁.5、1998的因数个数是个.6、合数3570有个因数，其中最小的三位因数是7、14×75×39×143与33×30×35×169的乘积相等吗？8、一个数是6个2，3个3，1个5，2个7的连乘积，这个数有许多因数是两位数；这些两位数的因数中，最大的是几？9、有1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片，甲、乙、丙三个人每人拿了三张。
甲说：“我的三张卡片上数的积是48。
”乙说：“我的三张卡片上数的和是15。
”丙说：“我的三张卡片上数的积是63。
”他们各拿了哪三张？第三讲倍数与因数(三)——奇数和偶数例题精讲：1、能否在下式的□内填入加号或减号，使下式成立？为什么？9□8□7□6□5□4□3□2□1=102、有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在前1000个数中有多少个奇数？3、用0～9这10个数字组成5个两位数，每个数只用一次，要求它们的和是奇数，那么这5个两位数的和最大是多少？4、已知a×b+ b = x，其中a，b都是小于100的质数，x是偶数，那么x的最大值是多少？5、甲袋中放着1997个白球和1000个黑球.乙袋中放着2000个黑球，小强每次从甲袋中随意摸出两个球放在外面，如果摸出的两个球颜色相同，小强就从乙袋中取一个黑球放到甲袋，如果摸出的两个球颜色不同，小强就将白球放回甲袋。
小强就这样从甲袋中摸了2995次后，甲袋中还剩几个球？它们各是什么颜色？6、7只杯子，全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子，能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？7、有50张卡片，每一张都分别写着1到50的数字。
卡片的两面一面是红色，一面是蓝色，两面都写着相同的数字。
有一个班正好有50名同学，老师把这50张卡片蓝色朝上摆在桌上，对同学们说：“请你们按学号的顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上数字是你自己学号的倍数，你就把它们翻过来，蓝色就翻成红的，红的就翻成蓝的。
那么50个同学翻完后，红色朝上的卡片有多少张？练习：1、从3开始，依据后一数是前一数加上3，写出2000个数，排出一行：3，6，9,12，15，18，21……在这行数中第1995个数是（填奇数或者偶数）。
2、有15张卡片，其中有3张写着1，有5张写着3，有7张写着5，你能从中选出5张来，使五个数的和为30吗？为什么？3、7小玲看过后，说统计员肯定统计错了，你的看法是。
4、有一串数，最前面的四个数依次是1，9，8，8，从第五个数起，每一个数都是它前面的四个数之和的个位数字，那么在这一串数中，会依次出现1，9，9，4这四个数吗？为什么？5、甲盒中放有180枚白色围棋子和181枚黑色围棋子，乙盒中放有181枚白色围棋子，李明每次任意从甲盒中摸出两枚棋子，如果两枚棋子同色，他就从乙盒中拿出一枚白子放入甲盒，如果两枚棋子不同色，他就把黑子放入甲盒，那么他拿次后，甲盒中只剩下一枚棋子，这枚棋子是颜色。
6、某城市举行小学生数学竞赛，试卷共有20道题，规定评分标准是：答对一道给三分，不回答给1分，答错一道倒扣1分，那么，无论有多少人参加，所有竞赛学生得分的总和一定是（填奇数或偶数）7、六一儿童节，学校举办歌咏比赛，每位参赛同学领到的糖块数都等于他所在班参赛总人数加3，结果发现每班得到糖块的总数都是偶数，请问这是为什么？第四讲倍数与因数(四)例题精讲：1、已知被除数比除数多78，被除数除以除数所得的商为6，余数为3，求被除数，除数各是多少？2、两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是多少？3、一个两位数去除251，得到的余数是41，求这个两位数。
4、用自然数n去除63、91、129，得到的三个余数之和为25，那么n等于多少？5、有一列数，第一个数是7，第二个数是11，从第三个数起每个数恰好是前两个数的和，求第1998个数除以3的余数是多少？练习：1、两个整数a＞b，a除以b的商是16，余数是0，如果b是5，那么a是多少？2、两个整数c、d，c除以d的商是9，余数是3，如果d是5，那么c是多少？3、81除以一个自然数，商是6，余数是9，这个自然数是多少？4、商是9，余数是4，而且除数比被除数小28，那么被除数是多少，除数是多少？5、一个整数除以27的商是81，余数是9，这个数是多少？6、用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数、商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？7、2205除以一个两位数，余数为21，则这个两位数是多少？第五讲倍数与因数(五)例题精讲：1、有苹果，橘子各一筐，苹果有240个，橘子有313个，把这两筐水果平均分给一些小朋友，已知苹果分到最后余2只不够分，橘子分到最后还余7个不够再分，求最多有多少个小朋友参加分水果？2、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数［即3月16日（第二天）15日（第三天）……］的第1990天是星期几?3、某数除以7余2,除以17余14,求（1）满足条件的最小数是多少? （2）400以内满足条件的所有数是什么?4、一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数?5、一个大于1的自然数去除300、243、205时得到相同的余数,则这个自然数是多少?6、如图:将黑白两种小珠自上而下一层层地排,每层又是从左到右逐颗地排,当白珠比黑珠多2003颗时,那么恰好排到第____层的第____颗?●〇〇〇●●●●●〇〇〇〇〇〇〇… … … … …练习：1、有一串珠子,它是按“三红、两黄、四绿”的规律串起来的,那么第32颗珠子是____颜色,第64颗珠子是_____颜色?2、一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小自然数?3、957除以一个数,商为15,且除数比余数大35,求除数和余数各为多少?4、某两位数,它是3和7的公倍数,用它去除3527时,得到一个不完全商(即不是整除,有一个比除数小的余数),余数是62.则这个两位数是多少?5、一个三位数,被57除余数为27,被217除,余数为60,求这个数?6、有一个整数,用它去除82,165,240后所得到的三个余数的和为13,这个整数是多少?7、有一个比100大,比200小的自然数,当它被9除时余数为1,当它被13除时余数是2,求这个自然数.第六讲图形面积的计算（一）计算平面图形的面积，要熟记计算公式，依据已知或创造条件，找到最佳解法。
例题精讲：1、求图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）2、正方形ABCD的面积是16平方米（如图）。
E，F分别是AB和BC的中点。
求梯形AEFC的阴影部分的面积。
3、下图的四边形中，AB=5厘米，CE=15厘米，CD=12厘米，AF=10厘米，求阴影部分的面积。
4、在图中，三角形ABE，ADF和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积。
（单位：厘米）5、图中每个小正方形的面积都是2平方米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？练习：1、求图中阴影部分的面积。
2、甲，乙两个图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米，和12厘米。
求阴影部分的面积。
3、直角梯形ABCD的上底BC=10厘米。
下底AD=14厘米，高CD=5厘米，又三角形ABF，三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。
求三角形DEF的面积。
4、有两块等腰直角三角板，直角边分别是10厘米和6厘米，如图那样重合，问重合部分中阴影部分的面积是多少平方厘米？5、直角梯形上、下底之和为12厘米，求阴影部分的面积。