中考数学之全等三角形的存在性(讲义)

1. 2.

3.

1.

2.

3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与

y 交于点C (0

，4)，对称轴直线2x =与x 轴交于点D ，顶点为且DM =OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式．

（2）设点P (x ，y )是第一象限内该抛物线上的一动点，△的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 直线QE 与y 轴交于点E ，是否存在以O ，Q ，E 形与△OQD 全等？若存在，求出直线QE 的解析式；请说明理由．

4. 如图，在平面直角坐标系中，直线1l 过点A (1，0)且与

y 轴平

行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于点P ．点

E 为直线2l 上一点，反比例函数k y x

=（0k >）的图象过点E 且

与直线1l 相交于点F ．

（1）若点E 与点P 重合，求k 的值．

（2）连接OE ，OF ，EF ．若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标．

（3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】 1. （1）223y x x =-++

（2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或

a =1，

b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =4

2. （1）213442

y x x =-++

（2）

(18(18-+-+---，，

(4(4+， 3.（1）

21242y x x =-++（2）21

4(022

S x x x =-+<<+

（3）122y x =+，y =6或7

24

y x =

- 4.（1）2 （2）（3，2）（3）3(2)8，，8

(2)3，

学生做题前请先回答以下问题

问题1：全等三角形的判定有哪些？

问题2：全等三角形存在性问题中如何确定分类标准，分类标准确定的依据是什么？

问题3：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？

问题4：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时的异同有哪些？

全等三角形的存在性（一）

1.如图1，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P(x，y)在直线y=-2x+4上，过点P作AB的垂线，与x轴、y轴分别交于点E，F．若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( )

A. B.

C.

D.

2.如图2，已知点A，B在抛物线上，且点A在第四象限，点B在第一象限，A，B两点的横坐标满足方程．连接OB，OA，AB，将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到线段OC．若D是坐标平面内一点，且△OAB和△OCD全等，则符合题意的点D的坐标为( )

图1 图2

A.

B.

C.

D.

3.如图3，抛物线经过三

点，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D．P为该抛物线的顶点，

连接PA，AD，DP ，线段AD与y轴相交于点E．若Q 为平面直角坐

标系中的一点，且以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等，则

图3 点Q的坐标为( )

A. B.

C.

D.

学生做题前请先回答以下问题

问题1：全等三角形的判定有哪些？

问题2：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？

全等三角形的存在性（二）

1.如图1已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，直线与x轴交于点D．在第一象限内，若直线上存在点P，使得以P，B，D为顶点的三角形与△OBC全等，则点P的坐标为( )

A.（4，1），（0，3）

B.（4，1），（3，2）或（1，2）

C.（4，1），（0，3）或（3，2）

D.（4，1），（4，-1），（3，2）或（3，-2）

2.如图2，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是直线上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若以B，C，D为顶点的三角形与△AOB全等，则点C的坐标为( )

A. B.

C.

D.图1 图2

3.如图3所示，抛物线的顶点为A，直线与

y 轴的交点为B ，其中．若Q 为抛物线的对称轴直线l上一

个动点，在对称轴左侧的抛物线上存在点P，使以P，Q，A为顶

点的三角形与△OAB全等，则点P的坐标为( )

A.

图3 B.

C.

D.

学生做题后建议通过以下问题总结反思

问题1：结合试题1分析，如何确定分类标准？

问题2：画图求解时需要根据分析得到的不变特征，结合两个三

角形全等的判定进行分析，试题1中利用的是哪一个全等三角形

的判定？

问题3：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时

的异同有哪些？

学生做题前请先回答以下问题

问题1：在处理全等三角形的存在性问题时首先要分析不变特征，那么如何分析不变特征？

问题2：在全等三角形存在性问题处理时，依据不变特征处理的核心依据是什么？

问题3：课堂所讲解示范的，一般会用哪个判定？

问题4：全等三角形存在性处理时都需要考虑哪些方面？

问题5：已经学习了平行四边形，菱形，矩形，正方形，相似三角形以及全等三角形等各种存在性，存在性问题处理的框架是什么？

全等三角形的存在性（三）

1.如图1，已知抛物线与x轴的交点为A，D （A在D的右侧），与y轴的交点为C，点B与点C关于对称轴对称．点M是抛物线上的一点，使得△CMD≌△CMB，则点M的坐标

为( )

A. B. C. D.

2.如图2，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．M 为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得△DMC≌△DME，则点M 的坐标为( ) 图1

图2