哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题和答案

哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题
（此卷满分50分）
注：本试卷中()R A 、'A 、*A 分别表示A 的秩，A 的转置矩阵、A 的伴随矩阵；E 表示单位矩阵.
一、填空题（每小题2分，共10分）
1．若4阶方阵A 的特征值为0,1,2,3，且A 与B 相似,则行列式2
||+=B E . 2．过点(1,2,3)-，垂直于直线
456
x y z
==且平行于平面789100x y z +++=的直线方程为 .
3．设123,,ααα是3维欧氏空间的标准正交基，则模12322-+=ααα . 4．若A 为4阶方阵，且R （A ）=3，则方程组0*=A X 的基础解系含 个线性无
关的解向量.
5．yOz 坐标面上的抛物线20
z y
x ⎧=⎨=⎩绕y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为
.
二、选择题（每小题2分，共10分）
1．设A 是n m ⨯矩阵，则线性方程组AX =b 有解的充分条件是 【 】 （A ）()R m =A ； （B ）A 的行向量组线性相关； （C ）()R n =A ； （D ）A 的列向量组线性相关.
2．二次型222
123123121323,,)f x x x tx tx tx x x x x x x =+++++（
正定的充要条件为 【 】 （A ）1t >； （B ）0t >； （C ）1t >-； （D ）1
2
t >
. 3．设462414, 26,41.848⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A B C 则A 与B 【 】
（A ）A 与C 相似且合同； （B ）A 与B 相似且合同； （C ）B 与C 相似且合同； （D ）B 与C 相似但不合同.
4．设,αβ是4维非零列向量,T
A E =+αβ，则在A 的特征值中,至少有 【 】 （A ）1个1； （
B ）2个1； （
C ）3个1； （
D ）4个1.
5．设1234,,,αααα是3维向量，则下列命题正确的为 【 】 （A ）如果12,αα线性相关,34,αα线性相关，则1324,αααα++线性相关；
（B ）如果123,,ααα线性无关,则142434,,αααααα+++线性无关； （C ）如果4α不能由123,,ααα线性表示,则123,,ααα线性相关； （D ）如果3α不能由12,αα线性表示,则123,,ααα线性无关. 三、（本题5分）
求过点(3,1,2)-且过直线43521
x y z
-+==的平面方程. 四、（本题5分）
设向量组：123451*********, , , ,110222363a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ααααα. 求：（1）a 为何值时，该向量组的秩等于3. （2）求该向量组的一个极大无关组. （3）用所求的极大无关组表示其余向量. 五、（本题5分）
当a 等于何值时，方程组12312321231,
,.
ax x x x ax x a x x ax a ⎧--=⎪
-+-=-⎨⎪--+=⎩ 无解，有唯一解，有无穷多解？当有
无穷多解时，写出通解. 六、（本题5分）
已知实二次型2
2
(,,)33244f x y z x y xy xz yz =+++-， 1．写出f 的矩阵；
2．求正交变换=X PY ，将f 化为标准形，并写出所用的正交矩阵P ； 3．方程(,,)1f x y z =表示空间直角坐标系中何种二次曲面. 七、（本题5分）
设n 阶矩阵A 正定，X 是任意n 维非零列向量. 证明：秩T 10A
X X ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
n .
八、（本题5分）
设A B ，
是n 阶矩阵，()||E B λλ=-f 是B 的特征多项式. 证明:矩阵()f A 可逆的充分必要条件为B 的特征值都不是A 的特征值.
哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题答案
一、填空题
1、100.
2、2
132
y x z -+==--. 3、3. 4、3. 5、22y x z =+. 二、选择题
1、A.
2、D.
3、B.
4、C.
5、C.
三、解：因为 5
2
18922142
==---i
j k
n i j k
所以 8(3)9(1)22(2)0x y z ----+= 故所求的平面方程为 8922590x y z ---=. 四、 解：因为
1234101
111
011
10
11210
1121()11020
0301223630
0030a a a a αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
=→
⎪ ⎪
-- ⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭
3
1
011001120000010
0000a =-⎛⎫
⎪
⎪
−−→ ⎪ ⎪
⎝⎭
所以（1）3a =时该向量组的秩等于3;
（2）125, , ααα为向量组的一个极大无关组; （3）312412, 2αααααα=-+=+.
五、解：因为 2111
1(2)(1)11
a
a
a a a
--=--=-+--A 所以（1）当2a ≠且1a ≠-时，此方程组有唯一解；
（2）当2a =时，()2()3R R =<=A A β，此方程组无解；
（3）当1a =-时，11111111()1111000011110000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
A β
()()13R R ==<βA A ，此方程组有无穷多解；
1212111010,(,001k k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
X 为任意常数).
六、解：1．f 的矩阵为 31
2132220⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
A .
2．（1）23
12
1
3
2(4)(2)2
2
λλλλλλ
----=--=-+-E A .
知A 特征值为4,4,2-.
（2）对4=λ，解(4)-=0E A X . 得A 的属于特征值4的特征向量为
12111,101⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪==- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ξξ
，标准正交化得：12,⎛⎫
⎪
⎪ == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
P P . 对2λ=-，解(2)--=0E A X . 得A 的属于特征值2-的特征向量为
3112-⎛⎫
⎪= ⎪
⎝⎭
ξ
，标准正交化得：3⎛
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
P . （3）令 (
)123⎪
==⎪⎪
⎪
⎪
⎝
⎭
P P P P 为正交阵. 则正交变换X =PY 使二次型f 化为标准形222
111442=+-f x y z .
3．方程(,,)1f x y z =，即 222
1114421x y z +-=,
表示空间直角坐标系中的旋转单叶双曲面. 七、 证：因为T 1
T T 10E
A X A X X A
E X X A X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
00
又因为A 正定，所以1-A 也正定，则
T 1T
00
A X A X A X X
-=-≠-
故秩T 10A X X ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
n . 八、证法1：设(1~)i i n λ=是矩阵B 的特征值，则
1
()||()n
i i f λλλλ==-=∏-E B
1()()n
i i f λ==∏-A A E
1
|()|||n
i i f λ==∏-A A E
所以
()f A 可逆|()|0||0,1~i i f i n λλ⇔≠⇔-≠⇔=A E A 都不是A 的特征值.
证法2：必要性
设(1~)i i n =λ是方阵B 的特征值, 设(1~)i i n =μ是方阵A 的特征值. 反证法 如果存在一个B 的特征值也是A 的特征值, 不妨设11=μλ. 而 ()(1~)i f i n =μ又是()f A 的特征值.则
121111|()|()()().
n n n f f f f μμμμμμλμμ==---=---A E B E B E B
E B E B
E B
所以
()f A 可逆110n λμμ⇒---≠E B E B E B ,而与10λ-=E B 矛盾.
故()f A 可逆一定有B 的特征值都不是A 的特征值.
充分性
反证法 如果()f A 不可逆,则由
1211|()|()()()n n f f f f μμμμμμ==---A E B E B E B ,
知, 右端至少存在一个行列式等于零, 不妨设为
10μ-=E B .
即说明方阵A 的特征值中至少有一个也是B 的特征值.
所以, 如果方阵B 的特征值都不是A 的特征值.则矩阵()f A 可逆.。