直线与椭圆的位置关系Word版

《直线与椭圆的位置关系》的教学设计

濮阳市第一高级中学任素巧

【教学目标】

（一）知识目标

1、能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题

2、学会判断直线与椭圆公共点的方法

3、在计算直线与椭圆相交弦长或弦中点等有关问题时能够运用一元二次方程根与系数的

关系简化运算

（二）能力目标

1、培养学生数形结合思想与逻辑推理能力，运算能力

2、培养学生将直线与椭圆问题化归为方程问题来解决的能力

（三）德育目标

1、体会事物之间既有联系又有区别的辨证观点

2、学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法

【教学重点】直线与椭圆的位置关系、弦长问题、弦的中点问题

【教学难点】学生解题综合能力的培养

【教学过程】

一、复习引入

回忆初中学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？

法一：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系判断，即当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d

法二：判别式法，即将已知直线方程与圆方程联立，消去（x或y）得一元二次方程，再利用∆判断解的个数，即为直线与圆的交点个数。若∆>0,方程有两个不同的解，即直线与圆有两个不同交点，故直线与圆相交；若∆=0,方程有两个相同的解，直线与圆有两个相同交点，故直线与圆相切；若∆<0,方程无解，直线与圆无交点，故直线与圆相离；

小结：两种方法充分体现了数学中的等价转化思想和数形结合思想。

二、新课讲解

提问：回顾了直线与圆的位置关系的判断方法以后，那么对于直线与椭圆的位置关系如何判断呢？直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢？刚才两种方法都可以吗？

一、公共点问题

问题1：判断直线03=+-y kx 与椭圆14

162

2=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14163

2

2y x kx y 可得02024)14(2

2=+++kx x k 0142>+k ，)516(162-=∆∴k

（1）当4

5

450)516(162

-<>

>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14

162

2=+y x 相交 （2）当4

5

450)516(162

-==

=-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14

162

2=+y x 相切 （3）当4

5

450)516(162

<<-

<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆14

162

2=+y x 相离 小结：法1不能推广应用到直线与椭圆的位置关系中，因为椭圆不具备圆特有的性质，椭圆的中心到椭圆上各点的距离不都相等.

变式一：直线01=+-y kx 与椭圆14

162

2=+y x 的位置关系呢？ 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14161

2

2y x kx y 可得0128)14(2

2=-++kx x k 0142>+k ，0

)316(162>+=∆∴k

∴直线01=+-y kx 与椭圆14

162

2=+y x 总相交 为什么上述直线与椭圆总相交呢？与问题1的区别在哪

里？你能来解释一下吗？ 因为该直线恒过点（0，1），该点在椭圆的内部，故由图形可知，该直线与椭圆总相交。

上例又提供给了我们一种判断直线与椭圆的位置关系的方法，即对于一些特殊的直线和椭圆，可以采用数形结合来判断其位置关系。

[评述] 直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系.由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，故将直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。

或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如变式2中法一是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在

椭圆内部这一特征：点),(o o y x M 在椭圆内部或在椭圆上则122

22≤+b

y

a x o o

二、弦长问题

问题2：已知AB 是过椭圆14

52

2=+y x 的左焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为

3

π

，求弦AB 的长. 分析：只需求出AB 的直线方程，与椭圆方程联立得一元二次方程，求出A ，B 的坐标，再利用两点间距离公式求出AB 的长.

不需求出A ，B 的坐标，直接利用韦达定理求解即可.

解法一：

解：4,52

2

==b a ，12

22=-=b a c ，F ∴坐

标为（-1,0）,又AB 倾斜角为

3

π

，所以AB 方程为)1(30+=-x y ，即)1(3+=x y

由⎪⎩⎪⎨⎧=++=145

)1(32

2y x x y 可得0530192=-+x x

设A(x 1y 1),B(x 2,y 2)，则⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

-

=-=+>-⨯⨯-=∆19519300)5(1943021212x x x x

∴AB ==-+-221221)()(y y x x 221221)]1(3)1(3[)(+-++-x x x x

=2

212

)]()3(1[x x -+=]4)[(221221x x x x -+=

519

32

（特殊到一般归纳）：直线y=kx+m 与椭圆方程联立得一元二次方程ax 2+bx+c=0,则弦长公式为：a

k x x k AB ∆

+=-+=2

212

11 提问：该题有没有其他解法？ 解法二：

解：因为该弦过左焦点，所以可以用焦点弦公式来求弦长.

BF AF AB +==)()(21ex a ex a +++=)(221x x e a ++=25+

)1930(55-⨯=519

32 [评述]

1、直线y=kx+b 与曲线C 交于A ，B 两点，则

2121x x k AB -+=a

k ∆

+=2

121211y y k -+=

特别地，过焦点的弦的弦长可利用焦半径公式简化运算. 2、用弦长公式212

212

1

11y y k x x k

AB -+

=-+=（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212111x x e a ex a ex a BF AF AB ++=+++=+=时，应结合韦达定理解决问题。 三、中点问题

问题3：点M(3,2)是椭圆

116

362

2=+y x 内一点，过此点的弦被这点平分，求此弦所在直线方程

分析：要求直线方程，只需求出直线的斜率即可，若设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由已知条件：弦被该点平分，