数理逻辑期末复习题

数理逻辑期末复习题

1. 符号化：我将去镇上，仅当我有时间。

答：设p：我将去镇上，q：我有时间。命题符号化为：p→q

2. 符号化：他13岁或14岁。

答：设p：他13岁，q：他14岁。命题符号化为：()()p q p q p q ∨

∧¬∨¬∧或3. 利用等值演算验证：

(())(())(())A B C D C A B D C A B D ∧∧→∧→∨∨⇔∧↔→

证明：

(())(())

(())(())

()(()[()()]

()[()()]

()[()()]

()[()()]

()()

[()][(A B C D C A B D A B C D C A B D A B C D C A B D C D A B A B C D A B B A C D A B B A C D B A A B C D A B C A B D

C ∧∧→∧→∨∨⇔¬∧∧∨∧¬∨∨∨⇔¬∨¬∨¬∨∧¬∨∨∨⇔¬∨∨¬∨¬∧∨⇔¬∨∨¬∧∨¬∧⇔¬∨∨¬∨¬∨¬∨¬⇔¬∨∨¬→∧→⇔¬∨∨¬↔⇔¬∨¬↔∨⇔¬∧)][()]A B D

C A B

D ↔∨⇔∧↔→)

p

4. 符号化下列命题并完成推理证明。

如果6是偶数，则7不被2整整除；或者5不是质数，或者7被2整除；但5是质数。所以，6是奇数。

解：设p:6是偶数；q：7被2整除；r:5是质数。

命题符号化为：

,,p q r q r →¬¬∨⇒¬证明：

（1）r P

（2） P

r q ¬∨（3）q T(1)(2)I

（4）p q →¬ P

（5）q T(4)E

p →¬（6）p ¬ T(4)(5)I

5. 推理证明：(),,A B C D C D A B ∧→¬¬∨⇒¬∨¬

证明：（1） P

C D ¬∨（2）C T(1)E

D →（3）D ¬ P

（4） T(2)(3)I

C ¬（5）()A B ∧→C ) P

（6）(A B ¬∧ T(4)(5)I

（7）A B ¬∨¬ T(6)E

6. 求下式的主析取范式与主合取范式：

（1）(

())(())P Q R P Q R →∧∧¬→¬∧¬（2）

(()P P Q P →∧→)解：

（1）

(())(())

(())(())

()()()()

[()()][()()]

[()()][()()]()()()()

(P Q R P Q R P Q R P Q R P Q P R P Q P R P Q R P Q R P R Q P R Q P Q R P Q R P R Q P R Q P Q R P Q R P Q R P Q R P →∧∧¬→¬∧¬⇔¬∨∧∧∨¬∧¬⇔¬∨∧¬∨∧∨¬∧∨¬⇔¬∨∨∧¬∨∨¬∧¬∨∨∧¬∨∨¬∧∨¬∨∧∨¬∨¬∧∨¬∨∧∨¬∨¬⇔¬∨∨∧¬∨∨¬∧¬∨¬∨∧∨¬∨∧∨¬100101110010011001

000111

)()

()()

Q R P Q R M M M M M M m m P Q R P Q R ∨¬∧∨∨¬⇔∧∧∧∧∧⇔∨⇔¬∧¬∧¬∨∧∧（主合取范式）（主析取范式）

（2） 00011011

(())

(())

()(())

11

1

()()()()P P Q P P P Q P P P P Q P m m m m P Q P Q P Q P Q →∧→⇔¬∨∧¬∨⇔¬∨∧¬∨¬∨⇔∧⇔⇔∨∨∨⇔¬∧¬∨¬∧∨∧¬∨∧（主合取范式）（主析取范式）

7. 一阶逻辑符号化。

（1）所有运动员都钦佩某些教练员。

（2）有些大学生不钦佩运动员。

解：设Y(x)：x 是运动员；J(x)：x 是教练员；A(x,y)：x 钦佩y；S(x)：x 是大学生。

（1）(()(()(,)))x Y x y J y A x y ∀→∃∧

（2）(()((,)()))x S x y A x y L y ∃∧∀→¬或(()(()(,)))x S x y L y A x y ∃∧∀→¬

8. 将下面的一阶逻辑式化为前束范式。

((,)(,))(,,)yA x y xB x z x zC x y z ∃→∀∨∃∀

解：

((,)(,))(,,)

((,)(,))(,,)((,)(,))(,,)

((,)(,))(,,)

yA x y xB x z x zC x y z yA x y uB u z s tC s w t s t y u A x y B u z C s w t y u s t A x y B u z C s w t ∃→∀∨∃∀⇔∃→∀∨∃∀⇔∃∀∀∀→∨⇔∀∀∃∀→∨ 9. 符号化并推理证明：任何人若喜欢不行，则不喜欢乘车；每个人或者喜欢乘车，或者喜欢骑自行车；有人不爱骑自行车。因此，有人不爱步行。（个体域为人的集合。）

解：设W(x)：x 喜欢步行；C(x)：x 喜欢乘车；B(x)：x 喜欢骑自行车。 符号化为：(()()),(()()),()()x W x C x x C x B x x B x x W x ∀→¬∀∨∃¬⇒∃¬ 证明：

（1）()x B x ∃¬ P

（2）()B a ¬ (1)∃−

（3）(()())x C x B x ∀∨ P

（4） ()()C a B a ∨(3)∀−

（5） T(2)(4)I

()C a （6）(()())x W x C x ∀→¬ P

（7） ()()W a C a →¬(6)∀−

（8） T(7)E

()()C a W a →¬（9） T(5)(8)I

()W a ¬（10）()x W x ∃¬ (9)∃+