数理逻辑期末复习题

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数理逻辑复习题

一、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。

3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧ 提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔ ⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→ (3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃10、下列推导错在⑶①)(y x y x >∃∀ P ②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z > ES ② ④)(x x x >∀UG ③⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ∀∃ P ②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀ UG ③ ⑤),(y x xF y ∀∃EG ④ ⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨ (3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨二、填充题1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n种。

篇数理逻辑复习题

篇数理逻辑复习题第一篇数理逻辑复习题第1章命题逻辑一、单项选择题1. 下列命题公式等值的是( )B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A (3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )．(A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )．(A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A (二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的真值是5. 命题公式P →?(P∧Q )的类型是．6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是式(重言式、矛盾式或可满足式)三、解答化简计算题1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型．3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值．(2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值．4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式.6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值．7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．8. 将命题公式)(P R Q P →?∧?∧?化为只含∨和?的尽可能简单的等值式．9. 求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．参考答案一、1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. B二、1. 1,0；1,1 2. )(Q P ∧?或Q P ?∨? 3. (P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )4. 05. 非永真式的可满足式6. 重言三、1. (1) 是命题，真值为1. (2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题. (5) 是命题.1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2. 命题公式的真值表原式为可满足式.3. (1) (P ∨?Q )→(P ∧Q )?(?P ∧Q )∨(P ∧Q )?(?P ∨P )∧Q ?Q可见(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值为(0,1)，(1,1)．(2) ))()(()(Q R Q P R P →?∨?→?∧?0))10()01(()10(?→∨→∧??4. ))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧P Q P Q P ∧?∧?∨∧?)()()()(P P Q P Q P ∧?∧?∨∧∧?0)(∨∧?Q PQ P ∧?5. ))()((Q P P Q P ∧?∧→→))()((Q P P Q P ∧?∧∨?∨??)())(Q P P Q P Q P ∧?∧∨∧?∧?∨??)00(∧∨??P)(Q Q P ?∧∨??)()(Q P Q P ?∨?∧∨??6. R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((R P R Q P P R Q ∨?∨∨∧∨∨??)()(R P Q Q R P ∨?∧?∨∨?)(1?7. )()()()(Q P Q P Q P Q P ?∨?∧?∧??→∧→?Q P ?∧?因为成真赋值是（1，0），故成假赋值为（0，0），（0，1），（1，1）8. ))()()(R P Q P P R Q P ∨∧∨??→?∧?∧?))()((R P Q P ∨?∨∨??不唯一．9.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(①?Q ∨R P②?R P③?Q T ①，②析取三段论④P →Q P⑤P ? T ③，④拒取式⑥P ∨?S P⑦?S ⑤，⑥析取三段论2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((.前提：Q P R S Q P ,)),((→→→结论：S R →证明：① R 附加前提② R →P 前提引入③ P ①，②假言推理④P →(Q →S ) 前提引入⑤ Q →S ③,④假言推理⑥ Q 前提引入⑦ S ⑤,⑥假言推理3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．证明:(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q ?(?P ∨(Q ∨?R ))∧?P ∧Q(?P ∧?P ∧Q )∨(Q ∧?P ∧Q )∨(?R ∧?P ∧Q )(?P ∧Q )∨(?P ∧Q )∨(?P ∧Q ∧?R )P ∧Q(P ∨?Q )4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．证明.方法1．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?∨∧??Q R P )(Q R P →∧)(因为两命题公式等值，由主合取范式的惟一性，可知两命题公式的主合取范式是相同．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．方法2．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?R Q P Q R P ?∨∨??∨?∨??R Q P Q R P Q R P ?∨∨??∨?∨??→∧)(因为它们的主合取范式相同，可知它们的主析取范式也相同．第2章谓词逻辑一、单项选择题1. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中量词?x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ?∨? (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ?∨ (D) )(x Q2. 谓词公式?xA (x )∧??xA (x )的类型是（）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A ),(B ),(C )任何类型3 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+??y x y x (B) )0(=+??y x x y(C))0(=+??y x y x (D) )0(=+y x y x4 设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( )(A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→?(C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧??5. 设个体域是整数集合，P 代表?x ?y ((x <="" )→(x="" -y=""(A) P 是真命题 (B) P 是逻辑公式，但不是命题(C) P 是假命题 (D) P 不是逻辑公式6. 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ?→?∧∨?中x ?的辖域是( ) (A) P (x ,y ) (B)R (x ,y ) (C)P (x ,y )∧R (x ,y ) (D) P (x ,y )∨Q (z )二、填空题1. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 .2. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ?→?消去量词化为3. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为4. 谓词公式?x (F (x )→G (x ))∧??y (F (y )→G (y ))的类型是．5. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则?x (P (x )∨Q (x ))的真值是三、解答化简计算题1. 判别谓词公式),(),(y x xF y y x yF x ??→??的类型.2. 指出谓词公式)())()),()(((x S x xR y x Q x P x ∧?∧→?中?x 和?x 的辖域，并指出该公式的约束变元和自由变元以及约束出现次数和自由出现次数．3. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→?的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．4.说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式(永真式)．5. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?6. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?的前束范式.四、证明题1. 试利用代换实例证明谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式(永真式)．2. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →→?．（提示：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∨?.)参考答案一、1. C ；2.. B ；3 A ；4. B ；5. A 6. D二、1. A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) 2. (G (a )→(H (a ,a )∨H(a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))3. ))()(())()((x N x Z x x Z x N x ?∧?∧→?4. 永假式5. 1三、1.设I 为任意一个解释，D 为I 的个体域. 若在解释I 下，该公式的前件为0，无论),(y x xF y ??如何取值，),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1；若在解释I 下，该公式的前件为1，则,0D x ∈?使得),(y x yF ?为1，它蕴含着),(,0y x F D y '∈'?为1),(y x xF '??为1，由y '的任意性，必有),(y x xF y ??为1，于是),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1.所以，),(),(y x xF y y x yF x ??→??是永真式．2. ?x 的辖域为：P (x )→Q (x ,y )∧?xR (x )x 的辖域为：R (x )x 既是约束变元，也是自由变元，约束出现3次，自由出现1次．y 是自由变元，自由出现1次．3. ))(())((a f R x Q P x ∧→? =))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=4. 已知1)()(?∨?∨??∨?∨??→→P Q P P Q P P Q P因为))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是)(P Q P →→的代换实例，可知))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式．或))(),(()(x xP y x yG x xP ?∨??∨??1)(),()(?∨??∨x P y x yG x xP5. ?→?))()((x Q x P x )()((x Q x P x ∨??))()(x xQ x P x ?∨)()(x xQ x xP ?∨)()(x xQ x xP ?→??6. ),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?∨),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧∨(或)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧→)四、1.谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→? 是命题公式)(P Q P →→ 的代换实例．因为命题公式∨?∨??→→P Q P P Q P )( 1 是永真式，故))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式．2.前提：)()(x xQ x xP ?→?．结论：)()(x xQ x xP ?→?．证① )()(x xQ x xP ?→? 前提引入② )()(x xQ x xP ?∨?? T ①,蕴含等值式③ )()(x xQ x P x ?∨?? T ②,量词否定④ ))()((x Q x P x ∨??⑤ ))()((x Q x P x →? T ④,蕴含等值式。

数理逻辑复习题

数理逻辑复习题随着现代科学的发展，数理逻辑作为一门重要的学科被广泛应用于各个领域。

它不仅是数学、计算机科学和哲学的重要基础，也在日常生活中发挥着重要的作用。

为了帮助大家复习数理逻辑，以下是一些数理逻辑的复习题。

一、命题逻辑1. 下列命题属于复合命题的是：a) 数学是一门有趣的学科。

b) 如果我下周一有空，我们可以一起去看电影。

c) 2+2=4且1+1=2。

d) 今天天气晴朗。

2. 根据以下命题，判断哪些命题是真命题，哪些命题是假命题：a) 如果今天下雨，那么昨天是晴天。

b) 数学是一门艺术。

c) 2+2=4或1+1=3。

d) 所有的狗都有四条腿。

3. 假设P表示“今天下雨”，Q表示“明天下雨”，R表示“后天下雨”，用逻辑运算符表示以下命题：a) 后天不会下雨。

b) 如果今天下雨，那么明天也会下雨。

c) 明天下雨是必要条件，但不是充分条件。

d) 今天不下雨是充分条件，但不是必要条件。

二、谓词逻辑1. 根据下列谓词逻辑公式，判断每个公式是否为真：a) (∀x)(P(x) ∧ Q(x))b) (∃x)(P(x) ∨ Q(x))c) (∀x)(P(x) → Q(x))d) (∃x)(P(x) → Q(x))2. 给定谓词逻辑公式(∀x)(P(x) ∧ Q(x))，假设P(x)表示“x是奇数”，Q(x)表示“x是偶数”，判断公式的真假。

三、命题演算1. 使用命题演算的推理法则，证明以下结论：a) (P ∧ Q) → Pb) P → (P ∨ Q)c) (P → Q) ∧ P → Qd) (P ∨ Q) ∧ ¬P → Q2. 给定命题P表示“我学习数理逻辑”，Q表示“我能解决复杂问题”，将以下陈述转化为蕴含式（蕴含式形式为“If A, then B”）：a) 如果我学习数理逻辑，那么我能解决复杂问题。

b) 我不能解决复杂问题是一个充分条件，但不是必要条件。

四、命题等价1. 判断以下两个命题是否等价：a) P ∨ (Q ∧ R)b) (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)2. 利用逻辑运算法则，将命题(~P ∨ Q) ∧ (~Q ∨ P)进行化简。

数理逻辑复习题

离散数学期末复习题2012-6-161.“太阳系以外的星球上有生命。

”是命题。

（ T ）2．ρ（A⋃B）=ρ（A）⋃ρ（B）（ F ）ρ（A∩B）=ρ（A）∩ρ（B）（ T ）3．一个命题的合取范式不是唯一的。

（ T ）4．等价式⌝（∃x）A（x）⇔（∀x）⌝A（x）成立。

( T )5．（∀x）（P（x）∨Q（x））∧ R（x）是命题。

（ F ）8．对于一个谓词公式，指定不同的个体域，则其真值不一定相同.T9. 若命题公式A的主析取范式包含全部的极小项，则A为永真式T10．命题“他在教室看书或在宿舍看书。

”可以符号化为P∨ S。

F11．当个体域S=｛a,b,c｝消去公式(∀x) P(x)∨(∃x)Q(x)中量词为(P(a)∨Q(a)) ∧ (P(b)) ∨Q(b)) ∧ (P(c)∨Q(c)) F12. 设P、Q是两个命题，当且仅当P、Q的真值均相同时，P↔Q的值为T. T13. 命题公式(P∧(P→ Q)) → Q是永真式. T14．命题联结词集｛∨、∧｝是极小功能完备的联结词集. F15．(A ≠Φ) ∧ (B ≠Φ) ⇒ (A ⋂ B ≠Φ ) F16. （P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是矛盾式。

F17. ∃xA(x) ∨∃x B(x) ⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) T19. 若关系R不具有对称性则R一定具有反对称性 F22. 设A、B、C是任意集合，且C-B = C-A，则A=B 。

F23. 设A、B和C为任意集合，且A∪B=A∪C，则B=C. F24．若R和S是X上具有对称性的关系，则R º S也具有对称性。

F25．若R和S是X上的具有对称性的关系，则R ∩S具有对称性。

T26．∃xA(x)∨∃x B(x)⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) （F ）27．（P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是可满足式。

（ F）28．｛｝=｛φ｝（ F ）二、填空题1．已知B={ {a，b}，c}，则B的幂集ρ（B）= { B ,Φ,{{a，b}}，{c} }2．已知A={1，2，3，4，5，6，7}，B={2，4，6，8，10}，则A-B= {1,3,5,7,} ,A + B= {1,3,5,7, 8,10} 。

数理逻辑复习题

数理逻辑复习题⼀、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满⾜式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是⿊的，R ：2×4=8，S ：太阳从东⽅升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。

3、设P ：我听课，Q ：我看⼩说，则命题R “我不能⼀边听课，⼀边看⼩说”的符号化为⑵⑴ P Q →⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧提⽰：()R P Q P Q ??∧?→?4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨?⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ?∧⑵ P Q P ?∨⑶ ()Q P Q →⑷Q Q P →?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧⑵∨ (3)→⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是⼈，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的⼈喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是⽼师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些⽼师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧??8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶⑴⾃由变元⑵约束变元⑶既是⾃由变元⼜是约束变元⑷既不是⾃由变元⼜不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()xA xB x xA x xB x ?∨??∨? 10、下列推导错在⑶①)(y x y x >?? P②)(y z y >? US ①③)(z C z >ES ②④)(x x x >? UG ③⑴②⑵③⑶④⑷⽆ 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ?? P②),(y z yF ? US ①③),(c z F ES ②④),(c x xF ?UG ③⑤),(y x xF y ?? EG ④⑴①→②⑵②→③⑶③→④⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ??去掉量词后，可表⽰为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨(3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨提⽰：原式()()()()()()()() ,,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ??∧??∨∧∨⼆、填充题1、⼀个命题含有n 个原⼦命题，则对其所有可能赋值有2n 种。

数理逻辑复习题

数理逻辑复习题复习要求：掌握命题、逻辑联结词的概念；公式与解释的概念，用基本等价式化简其他公式；会用真值表法和主范式判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法..一阶逻辑的基本概念，一阶逻辑公式及其解释，等值演算，推理理论；一阶逻辑公式的三种类型，即逻辑有效式（永真式），矛盾式和可满足式；用联结词产生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系..命题逻辑与一阶逻辑推理理论理理论. .一、命题逻辑部分1、填空题.⑴ 公式（p ÙØq ）Ú（Øp Ùq ）的成真赋值为）的成真赋值为 01，10 .⑵ 设p 、r 为真命题，q 、s 为假命题，则复合命题（p ®q ）«（Ør ®s ）的真值为）的真值为 0 . ⑶ 设p 、q 为命题，在为命题，在 p 、q 不能同时发生不能同时发生条件下，p 与q 的排斥或也可以写成p 与q 的相容或.⑷ 设A 为任意公式，B 为重言式，则A ÚB 的类型是的类型是重言式重言式⑸ 设A 是含命题变项p 、q 、r 的重言式，则公式A Ú（（p Ùq ）®r ）的类型为重言式.⑹ 设B 是含命题变项p 、q 、r 的矛盾式，则公式B Ù（（p «q ）®r ）的类型为矛盾式）的类型为矛盾式 . ⑺ 矛盾式的主析取范式是矛盾式的主析取范式是 0 .⑻ 重言式的主合取范式是重言式的主合取范式是 1 .⑼ 设公式A 含命题变项p 、q 、r 已知A 主合取范式是M 0ÙM 2ÙM 5ÙM 6，则A 的主析取范式是的主析取范式是 .⑽ 已知公式Ø（q ®p ）Ùp 是矛盾式，则公式Ø（q ®p ）Ùp ÙØr 的成真赋值是的成真赋值是成假赋值 .⑾已知公式（p ®（p Úq ））Ù（（p Ùq ）®p ）是重言式，公式p ®（p Úq ）及（p Ùq ）®p 类型是 .⑿已知公式（p Ùq ）®p 是重言式，则公式（（p Ùq ）®p ）Úr 的成真赋值是的成真赋值是成假赋值 .⒀（A ®B ）ÙØB Þ 为拒取式推理定律.⒁（A ÚØB ）ÙB Þ 为析取三段论推理定律.⒂（ØA ®B ）Ù（B ®ØC ）Þ 为假言三段论推理定律.⒃（ØA ®ØB ）ÙØA Þ 为假言推理定律.2、将下列命题或语句符号化. ⑴ 说7不是无理数是不对的. ØØp （p ）⑵ 小刘既不怕苦，又很钻研. Øp Ùq⑶ 只有不怕困难，才能战胜困难只有不怕困难，才能战胜困难 q ®Øp⑷ 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非问题解决了. Ør ®（p ®q ）；（Ør Ùp ）®q 或Øq ®（Øp Úr ） ⑸ 整数n 是偶数当且仅当n 能被2整除. p «q ⑹ 若地球上没有树木，则人类不能生存. q p Ø®Ø⑺ 若422=+，则地球是静止不动的. q p ®3、求下列复合命题真值. P ：2能整除5，q ：旧金山美国的首都，r ：一年有四季：一年有四季⑴（（p Úq ）®r ）Ù（r ®（p Ùq ）⑵（（Øq «p ）®（r Úp ））Ú（（Øp ÙØq ）ÚØr ）4、判断下面一段论述是否为真：“3是无理数.并且，如果3是无理数，则2也是无理数.另外，只有6能被22⑥ p ÙØq ®r 前提引入前提引入⑦ r ⑤ ⑥假言推理⑥假言推理二、一阶逻辑部分1.在一阶逻辑中将下列命题符号化.⑴ 所有的整数，不是负整数，就是正整数，或者是零. 解 F （x ）：x 是整数G （x ）：x 是正整数H （x ）：x 是负整数L （x ）：x 是0 "x （F （x ）® G （x ）ÚH （x ）ÚL （x ））或"x （F （x ）ÙØ G （x ）®H （x ）ÚL （x ）） ⑵ 有的实数是有理数有的实数是无理数. 解 F （x ）：x 是实数是实数 G （x ）：x 是有理数是有理数H （x ）：x 是无理数是无理数 $x （F （x ）ÙG （x ））Ù$y （F （y ）Ù H （y ）） ⑶ 不存在能表示成分数无理数. 解 F （x ）：x 能表示成分数能表示成分数 G （x ）：x 是无理数是无理数Ø$x （G （x ）Ù F （x ））Û"x （G （x ）®Ø F （x ）） ⑷ 若x 、y 都是实数，且x>y ，则x+2>y+2. 解 F （x ）：x 是实数是实数 H （x ，y ）：x>y "x "y （F （x ）ÙF （y ）Ù H （x ，y ）® H （x+2，y+2）） ⑸不存在最大的自然数. 解 F （x ）：x 是自然数是自然数 H （x ，y ）：x>y Ø$x （F （x ）Ù"y （F （y ）® H （x ，y ））⑹ 在北京卖菜的人不全是外地人. 解设)(x M ：x 是外地人. )(x F ：x 在北京卖菜. 则符号化为))()((x F x M x ÙØ$. ⑺ 设：)(x M ：x 是火车. )(x H ：x 是轮船. )(x F ：x 是汽车. ),(y x G ：x 比y 快. 则“火车都比轮船快.”符号化为)),()()((y x G y H x M y x ®Ù"". 则“有的火车比有的汽车快.”符号化为)),()()((y x G y F x M y x ÙÙ$$. 则“不存在比所有火车都快的汽车.”符号化为)))),()(()(((y x G y M y x F x ®"Ù$Ø. 4、指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现：指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现：（1）)),()((y x G x F x ®"解 x "的辖域：),()(y x G x F ®.x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. （2）),(),(y x yG y x xF $®"解 x "的辖域：),(y x F .x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. y $的辖域：),(y x G .y 是指导变元. x 是自由出现，y 是约束出现. 5、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）))),()(()((y x H y G y x F x Ù$®"证明1解释1I ：R D =，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x . ))),()(()((y x H y G y x F x Ù$®"指对任意正数x ，存在负数y ，使得0=+y x .在该解释下，命题为“真”. 2解释2I ：}3,2,1{-=D ，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x .则对1=x 时，不存在负数D y Î，使0=+y x ，故在该解释下，命题为“假”，所以（1）公式既不是永真式也不是矛盾式. （2）)),()()((y x H y G x F y x ®Ù""6、设个体域},,{c b a D =，消去下列各式的量词：，消去下列各式的量词：（1）))()((y G x F y x Ù$")))()(((y G a F y Ù$Û)))()(((y G b F y Ù$Ù)))()(((y G c F y Ù$ÙÚÙÛ))()(((a G a F ÚÙ))()((b G a F ÙÙ)))()((c G a F ÚÙ))()(((a G b F ÚÙ))()((b G b F ÙÙ)))()((c G b F ÚÙ))()(((a G c F ÚÙ))()((b G c F )))()((c G c F Ù（2）))()((y G x F y x Ú"")))()(((y G a F y Ú"Û)))()(((y G b F y Ú"Ù)))()(((y G c F y Ú"ÙÙÚÛ))()(((a G a F ÙÚ))()((b G a F ÙÚ)))()((c G a FÙÚ))()(((a G b F ÙÚ))()((b G b F ÙÚ)))()((c G b FÙÚ))()(((a G c F ÙÚ))()((b G c F )))()((c G c F Ú7、求前束范式⑴Ø$x "yF （x ，y ）（Û "x $y ØF （x ，y ））⑵（$xF （x ，y ）®"yG （x ，y ，z ））®$z H （z ）. （Û$x $y $z （F （x ，t ）®G （u ，y ，v ）®H （z ）））⑶Û"®"),()(y x yG x xF ),()(y z yG x xF "®")),()((y z G x F y x ®"$Û⑷ Û$®")),,(),((z y x yG y x F x Û$®")),,(),((z y x yG t x F x )),,(),((z y x G t x F y x ®$" ⑸ Û$«"),(),(y x xG y x xF ),(),(y z zG t x xF $«")),(),(()),(),((t x xF y z zG y z zG t x xF "®$Ù$®"Û)),(),(()),(),((h r rF g s sG y z G t x F z x "®$Ù®$$Û)),(),(()),(),((h r F g s G r s y z G t x F z x ®""Ù®$$Û))),(),(()),(),(((h r F g s G y z G t x F r s z x ®Ù®""$$Û8、在自然推理系统在自然推理系统N L 中构造下面推理的证明. ⑴前提：$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ）），$xR （x ）®$yG （y ）结论：$x （ F （x ）Ù R （x ））®$x H （x ）证明1 ⑴ $x （ F （x ）Ù R （x ））⑵ F （c ）Ù R （c ）⑶ F （c ）⑷ R （c ）⑸ $x F （x ）⑹$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ））⑺ "y （G （y ）®H （y ））⑻ G （c ）®H （c ）⑼R （c ）⑽$x R （x ）⑾$xR （x ）®$yG （y ）⑿$yG （y ）⒀G （c ）⒁H （c ）⒂$x H （x ）证明2： ⑴$x （ F （x ）Ù R （x ））⑵$x F （x ）Ù$x R （x ））⑶$x F （x ）⑷$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ））⑸"y （G （y ）®H （y ））⑹G （c ）®H （c ）⑺$xR （x ）®$yG （y ）⑻$x R （x ））⑼$yG （y ）⑽G （c ）⑾H （c ）⑿$x H （x ）⑵人都喜欢吃蔬菜.但说所有的人都喜欢吃鱼是不对的.所以存在只喜欢吃蔬所以存在只喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的人. F （x ）：x 是人是人G （x ）：喜欢吃蔬菜：喜欢吃蔬菜 H （x ）：喜欢吃鱼：喜欢吃鱼前提："x （F （x ）®G （x ）） Ø"x （F （x ）®H （x ））结论：$x （ F （x ）Ù G （x ）ÙØH （x ））证明：证明： ⑴⑴ Ø"x （F （x ）®H （x ）） ⑵$ x Ø（F （x ）®H （x ））⑶$ x （F （x ）ÙØH （x ））⑷F （c ）ÙØH （c ）⑸"x （F （x ）®G （x ））⑹F （c ）®G （c ）⑺ F （c ）⑻ G （c ）⑼F （c ）ÙØH （c ）Ù G （c ）⑽$x （ F （x ）Ù G （x ）ÙØH （x ））⑶任意三角形的内角和等于1800，ABC 三角形，则ABC 的内角和等于1800. 证明设F （x ）：x 是三角形是三角形 G （x ）：x 的内角和等于1800 a ：ABC 前提："x （F （x ）®G （x ）） F （a ）结论：结论： G （a ）证明：证明： ⑴"x （F （x ）® G （x ）） ⑵F （a ）® G （a ）⑶F （a ）⑷G （a ）（4）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车.每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车.有的人不喜欢乘汽车.所以有的人不喜欢步行.（个体域为人类集合）. 证明设F （x ）：x 喜欢步行喜欢步行 G （x ）：x 喜欢骑自行车喜欢骑自行车 H （x ）：x 喜欢乘车喜欢乘车｛"x （F （x ）®Ø G （x ）），"x （G （x ）Ú H （x ），$x ØH （x ））®$x ØF （x ）① $x ØH （x ）② ØH （c ）③ "x （G （x ）Ú H （x ））④ G （c ）Ú H （c ）⑤ G （c ）⑥ "x （F （x ）®Ø G （x ））⑦ F （c ）®Ø G （c ）⑧ Ø F （c ）⑨$x ØF（x）(5)每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而有聪明的人在他的事业中都将获得成功.王大海是科学工作者，并且是聪明的所以王大海在他的事业中将获得成功（个体域为人类集合）. 聪明喜欢钻研 H（x）：x聪明证明设F（x）：x是科学工作者是科学工作者 G（x）：x喜欢钻研W（x）：x事业成功：王大海事业成功 a：王大海｛"x（F（x）®G（x）），"x（G（x）ÙH（x）®W（x）），F（a），H（a）｝®W（a）①"x（F（x）®G（x））②F（a）®G（a））③"x （G（x）ÙH（x）®W（x））④G（a）ÙH（a）®W（a）⑤F（a）⑥G（a）⑦H（a）⑧G（a）ÙH（a）⑨W（a）。

数学逻辑期末试题及答案

数学逻辑期末试题及答案1. 题目：逻辑推理试题：Jack，Tom和John是三位朋友，他们分别住在红、蓝、绿三座房子中，其中一座房子是红色的、一座是蓝色的、一座是绿色的。

另外，他们每人都有一辆汽车，其中一台是红色的、一台是蓝色的、一台是绿色的。

已知以下条件：1) Tom住在红色房子里。

2) Jack的汽车是蓝色的。

3) 绿色房子和红色房子之间有一座空房子。

根据以上条件，请回答以下问题：a) Jack住在哪座房子里？b) John的汽车是什么颜色？解答：a) 根据条件2，Jack的汽车是蓝色的，而根据条件3，绿色房子和红色房子之间有一座空房子。

由于题目中已经确定Tom住在红色房子里，所以Jack只能住在蓝色房子里。

b) 根据条件1，Tom住在红色房子里，根据条件3，绿色房子和红色房子之间有一座空房子。

由于每人都有一辆汽车且其中一台是绿色的，所以John的汽车是绿色的。

2. 题目：数学运算试题：解方程：2x + 5 = 15计算：20 ÷ 4 × 5解答：解方程：2x + 5 = 15首先，将方程中的常数项5移到等号右边，则得到2x = 15 - 5，即2x = 10。

然后，将等号两边的系数2除以2，得到x = 10 ÷ 2，即x = 5。

因此，方程的解为x = 5。

计算：20 ÷ 4 × 5首先，按照数学运算的优先级，先进行除法运算，得到20 ÷ 4 = 5。

然后，将得到的结果5与乘法运算的另一操作数5相乘，即5 × 5 = 25。

因此，20 ÷ 4 × 5的计算结果为25。

3. 题目：概率问题试题：一面硬币投掷三次，求出现至少一次正面的概率。

解答：一面硬币投掷三次，总共有2^3 = 8种可能的结果，即正面和反面各出现0次、1次、2次和3次的情况。

要求出现至少一次正面的概率，即求出现1次、2次或3次正面的概率之和。

数理逻辑复习题

数理逻辑练习题1. 下列表达式正确的有( )A. (P Q) QB. P QPC.(P Q) (P Q) PD. P (P Q) T2. 下列推理步骤错在( )① x(F(x) G(x)) P② F(y) G(y) USD③xF(x) P④ F(y) ES③⑤ G(y) T②④I⑥xG(x) E(⑤A.②B.④C.⑤D.⑥3. 设P: 2X2=5, Q:雪是黑的，R: 2X4=8, S:太阳从东方升起, 下列( )命题的真值为真。

A. P Q RB. R P SC. S Q RD. (P R) (Q S)4. 下列公式中哪些是永真式？( )A. ( n P Q)T(Q- R)B.P-(Q-Q)C.(P Q)—PD.P- (P Q)5. 下列等价关系正确的是( )A. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)B. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)C. x(P(x) Q) xP(x) Q6.7.8.9. D. x(P(x) Q) xP(x) Q列推导错在( )①x y(x y)P②y(z y)USD③ z z ES②④x(x x)U(③A. ②B. ④C. ③若公式(P Q) ( P R)的主合取范式为( )A. m001 m011 m110 m111C. M 001 M 011 M 110 M 111D.无的主析取范式为B. M 000D. m000m001M 010m010m011M 100m100m110M101m101 。

在下述公式中不是重言式为A．(P Q) (P Q) B．(P Q) ((PC．(P Q) QD．P (P Q)下列各式中哪个不成立( )A. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)B. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)C. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)D. x(P(x) Q) xP(x) QQ) (Q P))10. 命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”的符号化(m111则它P(x) ：x是聪明的，M(x) ：x 是人)( )A. x(M (x) P(x)) ( x(M (x) P(x)))B. x(M(x) P(x)) ( x(M (x) P(x)))C. x(M(x) P(x)) ( x(M(x) P(x)))B. 约束变元C. 既是自由变元又是约束变元D. 既不是自由变元又不是约束变元12. 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为 ( )设D:全总个体域，F (x ): x 是花，M(x) : x 是人，H(x,y) : x 喜欢 y A.x(M (x)y(F(y) H(x,y))) B. x(M (x) y(F(y) H(x,y))) C. x(M (x)y(F(y) H (x, y))) D. x(M(x)y(F(y)H(x,y)))13. 下列等价式成立的有 ( ) A. P Q P Q B. P (P R) R C. P (P Q) Q D. P (Q R) (P Q) R14. 给定公式xP(x) xP(x)，当D={a,b}时，解释()使该公式真值为 0。

数理逻辑考试题及答案

数理逻辑考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项不是命题逻辑中的联结词？A. 与B. 或C. 非D. 存在答案：D2. 在布尔代数中，以下哪个表达式是正确的？A. ¬(A∧B) = ¬A∨¬ BB. A∧¬ A = AC. A∨¬ A = 1D. A∧(A∨B) = A答案：C3. 以下哪个命题是真命题？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二。

B. 所有的鸟都会飞。

C. 所有的人都是哲学家。

D. 2+2=5答案：A4. 在命题逻辑中，以下哪个命题的否定是正确的？A. 如果A，则B。

B. A且B。

C. A或B。

D. A当且仅当B。

答案：A5. 以下哪个选项是谓词逻辑中的量词？A. 与B. 或C. 存在D. 非答案：C6. 在谓词逻辑中，以下哪个表达式表示“存在一个x，使得x是学生”？A. ∀x (x 是学生)B. ∃x (x 是学生)C. ¬∃x (x 是学生)D. ¬∀x (x 是学生)答案：B7. 以下哪个选项是模态逻辑中的模态词？A. 与B. 或C. 可能D. 非答案：C8. 在模态逻辑中，以下哪个命题表示“必然P”？A. PB. ¬PC. ◊PD. □P答案：D9. 以下哪个命题是逻辑等价的？A. A∧BB. A∨BC. ¬A∧¬ BD. ¬(A∧¬B)答案：C10. 在逻辑推理中，以下哪个选项是演绎推理？A. 归纳推理B. 演绎推理C. 溯因推理D. 类比推理答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪些选项是命题逻辑中的有效推理形式？A. 从A∧B，可以推出A。

B. 从A∨B，可以推出A。

C. 从A，可以推出A∨B。

D. 从A∧B，可以推出B。

答案：A, C, D2. 在布尔代数中，以下哪些表达式是等价的？A. A∧(B∨¬A)B. A∨(B∧¬A)C. A∧¬ BD. A∨¬ B答案：A, C3. 以下哪些命题是真命题？A. 如果A则B，且A为真，那么B也为真。

数理逻辑期末考试题及答案

数理逻辑期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个命题与“所有猫都怕水”是等价的？A. 没有猫不怕水B. 所有不怕水的都不是猫C. 有些猫不怕水D. 有些猫怕水2. 如果命题P：x > 0，命题Q：x^2 > 0，那么P是Q的什么条件？A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 逻辑运算符“与”（AND）的真值表中，当两个输入都为真时，输出是什么？A. 假B. 真C. 随机D. 无定义4. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二B. 如果今天是星期一，那么明天是星期三C. 如果今天是星期一，那么明天是星期五D. 如果今天是星期一，那么今天是星期二5. 以下哪个命题是真命题？A. 2 + 2 = 5B. 2 + 2 = 4C. 2 + 2 > 4D. 2 + 2 < 46. 以下哪个命题与“如果今天是星期五，那么明天是星期六”是逆命题？A. 如果明天是星期六，那么今天是星期五B. 如果明天不是星期六，那么今天不是星期五C. 如果今天是星期五，那么明天是星期六D. 如果明天是星期六，那么今天是星期六7. 以下哪个命题与“所有的狗都是哺乳动物”是矛盾命题？A. 有些狗不是哺乳动物B. 所有的狗都是哺乳动物C. 所有的哺乳动物都是狗D. 有些哺乳动物不是狗8. 以下哪个命题是假命题？A. 0是自然数B. 1是最小的正整数C. 0是最小的自然数D. 1是最小的正整数且0是最小的自然数9. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的偶数都是整数B. 所有的整数都是偶数C. 所有的奇数都是整数D. 所有的整数都是奇数10. 以下哪个命题与“如果今天是星期三，那么明天是星期四”是同一律命题？A. 如果今天是星期三，那么明天是星期四B. 如果明天是星期四，那么今天是星期三C. 如果今天是星期四，那么明天是星期三D. 如果明天不是星期四，那么今天不是星期三答案：1. A2. B3. B4. A5. B6. A7. A8. D9. A10. A二、填空题（每空2分，共20分）1. 命题逻辑中的“或”运算符可以表示为________。

数理逻辑-复习题及参考答案

从一份模拟试题中抽取出来的《数理逻辑》复习题及参考答案一、单选题（每小题2分，共20分）1 以下语句是命题的是（）。

A ． y 等于x 。

B ．每个自然数都是奇数。

C ．请爱护环境。

D ．你今天有空吗？2 设α是一赋值，α(p)= α(q)=1，α(r)=0，下列公式的值为假的是（）。

A ．p ∧(q ∨r)B ．(p ✂r) ↔ (¬r ✂q)C ．(r ✂q) ∧(q ✂p)D ．(r ✂q)3 以下联结词的集合（）不是完备集。

A ．{¬,∧,∨, ✂,↔}B ．{¬,∧,∨}C ．{¬, ✂}D ．{∧,∨}4 公式A 的对偶式为A*，下列结果成立的是（）。

A ．A ↔A*B ．¬A ↔A*C ．A|=|A*D ．¬A|=|A*5 假设论域是正整数集合，下列自然语言的符号化表示中，（）的值是真的。

A ．∀x ∃yG(x,y)，其中G(x,y)表示xy=yB ．∀x ∀yF(x,y)，其中F(x,y)表示x+y=yC ．∃x ∀yH(x,y)，其中H(x,y)表示x+y=xD ．∀x ∀yM(x,y)，其中M(x,y)表示xy=x6．以下式子错误的是（）。

A ．∀x ¬A(x) |=| ¬∃xA(x)B ．∀x(A(x)∧B(x)) |=| ∀xA(x)∧∀x B(x)C ．∃x(A(x)∨B(x)) |=| ∃xA(x)∨∃x B(x)D ．∀x(A(x)∨B(x)) |=| ∀xA(x)∨∀x B(x)7. 下列式子（）不正确。

A ．{x}∈{{x}}B ．{x}∈{{x},x}C ．{x}⊆{{x}}D ．{x}⊆{{x},x}二、填空题（每小题2分，共20分）1．句子“只有小王爱唱歌，他才会弹钢琴。

”中，把“小王爱唱歌”形式化为命题符p ，“小王会弹钢琴”形式化为命题符q ，则句子形式化为公式。

数理逻辑复习题

3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧ 提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔ 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃ 10、下列推导错在⑶①)(y x y x >∃∀ P②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z >ES ②④)(x x x >∀ UG ③ ⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ∀∃ P②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀UG ③⑤),(y x xF y ∀∃ EG ④⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨ (3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨二、填充题1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种。

数理逻辑考试题目及答案

数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 命题逻辑中的“与”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：B2. 如果命题P为真，命题Q为假，则命题P∨Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：A3. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. P → Q, ¬Q → ¬P, 因此P → ¬QB. P → Q, ¬P → Q, 因此QC. P → Q, Q → R, 因此P → RD. P ∧ Q, ¬P, 因此¬Q答案：C4. 命题逻辑中的“非”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：D5. 如果命题P为假，命题Q为真，则命题P∧Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：B6. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. ∧D. ¬答案：A7. 在谓词逻辑中，全称量词“∀”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：B8. 在谓词逻辑中，存在量词“∃”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：A9. 以下哪个是谓词逻辑中的等价关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：D10. 以下哪个是谓词逻辑中的偏序关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是命题逻辑中的联结词？A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：ABCD12. 以下哪些是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. →D. ¬答案：AB13. 以下哪些是谓词逻辑中的等价关系的性质？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 非对称性答案：ABC14. 以下哪些是谓词逻辑中的偏序关系的性质？A. 自反性B. 反对称性C. 传递性D. 对称性答案：ABC15. 以下哪些是谓词逻辑中的逻辑推理规则？A. 普遍实例化B. 存在概括C. 模态逻辑D. 条件证明答案：ABD三、填空题（每题2分，共20分）16. 命题逻辑中的“或”运算符用符号________表示。

数理逻辑期末试题及答案

数理逻辑期末试题及答案1. 选择题1.1. 下列哪个符号表示逻辑“与”关系？a) ∨b) ⊕c) ¬d) ∧答案: d) ∧1.2. 如果命题p为真，命题q为假，那么命题“p→q”为：a) 真b) 假c) 不确定d) 无法确定答案: a) 真1.3. 下列哪个逻辑符号表示“或”关系？a) ∨b) ∧c) ¬d) ⊕答案: a) ∨1.4. 命题“¬(p∨q)”的否定形式是：a) p∧qb) ¬p∧¬qc) p∨qd) ¬p∨¬q答案: c) p∨q1.5. 命题“p∨q→r”与下列哪个命题等价？a) (p→r)∧(q→r)b) (p∧q)→rc) p∨(q→r)d) p∧(q∨r)答案: a) (p→r)∧(q→r)2. 填空题2.1. 命题“¬(¬p∧q)”的双重否定形式是________。

答案: p∨¬q2.2. 命题“p∧(¬r∨q)”的否定形式是________。

答案: ¬p∨(r∧¬q)2.3. 命题“p∧¬q∧r”的析取范式是________。

答案: (p∨q∨r)∧(p∨q∨¬r)∧(p∨¬q∨r)2.4. 命题“p→(q→r)”的否定形式是________。

答案: p∧q∧¬r2.5. 下列命题中，为可满足的命题是________。

a) ¬(p∧q)b) p∨(¬q∧r)c) ¬(p∧¬p)d) (p→q)∨(q→p)答案: b) p∨(¬q∧r)3. 简答题3.1. 什么是数理逻辑？答案: 数理逻辑是研究形式逻辑和符号逻辑的数学分支学科。

它通过使用符号和规则来研究命题和推理的规律性质，并利用数学方法来分析和解决逻辑问题。

3.2. 解释命题逻辑中的蕴含关系。

答案: 在命题逻辑中，蕴含关系表示一个命题是否能从另一个或一组命题中推导出来。

12-13高等数理逻辑期末试卷(附答案).docx

2012-2013第一季度期末考试试题一、填空题(30分，每空3分)1 •判断下列命题公式的类型(1)-i(p T q)人q为—矛盾式一(2)((〃T g)人〃)T g为重言式(3)(p T q)八q为___ 可满足式(4)V%(F(x) v G(X)) t (VxF(x) v VxG(x))为一可满足式一(5) (VxF(^) v VxG(x)) T Vx(F(^) v G(X))为重言式2.设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A 上等价关系。

如果R是「自反的、反对称的和传递的—,则称R为A上的偏序关系，简称偏序。

记做S3.凡是形式推演性所反映的前提和结论之间的关系，在非形式的推理中都是成立的。

因此形式可推演性并不超出非形式推理的范围。

这称为一可靠炸一定理。

4.公式A中，原子公式出现的数目为n；zm 出现的总数是m,那么n和m的关系是m二ml _______ 。

5，h，A,v}, {-"和{「,T}是联结符号完备集，这样看来，好像在联结符号的完备集中不能缺少否定符号，实际上并非如此。

在我们讨论过的8个常用联结符号中，有2 个联结符号单独具有完备性。

6.在第1题的5个公式中，有4 个公式是协调的。

二、计算证明题(70分)1.构造下面推理的证明。

(10分)刖提：—1(/2 A —1^) , —\C{ v r ,—if结论：-ip2•证明厶"的公式的长度不能是2,3,或6,但其他的长度都是可能的。

(10分) 3•写出公式(A㈠B)㈠t C) t (B t C)］的合取范式。

(10分)4.证明以下两道题目。

(10分)(1) (A^B)<-^C㈠C) (5 分)(2) (A T C)V(B T C)(A V B)^C (5 分)5 •证明：设工是极大协调集。

那么，对于任何A, Z A当且仅当A G Z O (10分)6.设三w Fonn(L p)。

数理逻辑期末试题

数理逻辑考题1. 简答题（20）(1).给出一组逻辑联结词完备集。

{∧,∨,⌝},{∧,⌝},{∨,⌝}{⌝,→}(2).在自然数论域，Q(x)表示x 是自然数，在整数论域，Q(x)，表示x 是整数。

在自然数论域和整数论域上分别求下列命题的逻辑真值。

∀x(Q(x) →0≤x) (自然数论域：1，整数论域：0) ∃x (Q(x)∧∀y(Q(y)→ x ≤y)) (自然数论域：1，整数论域：0 ) ∀x ∀y(Q(x)∧Q(y)→x+y=y+x) (自然数论域：1 ，整数论域：1 ) ∀x ∀y(Q(x)∧Q(y)→ x+y ≤y) (自然数论域：0，整数论域：0)(3). 定义：对于任意ε>0，存在N>0，对于任何n ，当n>N 时，都有|x n -b|<ε，则称序列{x n }的极限是b ，记为用谓词合式公式表示定义（谓词符号，运算符：| |和-） ∀ε(ε>0→∃N (N>0∧∀n (n>N →|x n -b|<ε)))(4).给出可靠性和完备性定理可靠性定理：若Γ├ Q ，则Γ ╞ Q 。

完备性定理：若Γ╞Q ，则Γ├ Q 。

(5).在自然数理论中，仅保持等谓词（=），后继函数和数学归纳法，是否是完备的？是2.论述题（20）(A).命题逻辑合式公式(1).符号0和1是合式公式； (2).原子公式是合式公式；(3).若Q,R 是合式公式，则(⌝Q)、(Q ∧R) 、(Q ∨R) 、(Q →R) 、(Q ↔R) 、(Q ⊕R)是合式公式；(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。

(B).谓词逻辑合式公式合式公式是按如下规则构成的有穷长符号串。

(1).若是t 1,…,t n 项，Q i n 是n 元谓词，则Q i n (t 1,…,t n )是合式公式。

(2).若Q 是合式公式，则(⌝Q)是合式公式；(3).若Q 和R 是合式公式，则(Q ∧R)、(Q ∨R)、(Q →R) 、(Q ↔R)及(Q ⊕R)是合式公式；(4).若Q 是合式公式，x 是变元，则(∀xQ)及(∃xQ)是合式公式。

离散数学数理逻辑部分期末复习题

离散数学数理逻辑部分综合练习辅导一、单项选择题1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A ．P Q →B ．Q P →C ．Q P ↔D ．Q P ⌝∨⌝因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，所以选项B 是正确的．正确答案：B一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→．问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，会符号化吗？2．设命题公式G ：)(R Q P ∧→⌝，则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( )．A ．0, 0, 0B ．0, 0, 1C ．0, 1, 0D ．1, 0, 0 个人收集整理勿做商业用途当P 为真值为1时，P ⌝的真值为0，无论()Q R ∧的真值是1还是0，命题公式G 的真值为1．所以选项D 是正确的．正确答案：D3．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )．A ．P ∧QB ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．P ∨QD ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）复习合取范式的定义：定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A 1∧A 2∧…∧A n ，（n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式．由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的．正确答案：C4．命题公式)(Q P →⌝的析取范式是( )．A ．Q P ⌝∧B Q P ∧⌝C ．Q P ∨⌝D ．Q P ⌝∨复习析取范式的定义：定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A 1∨A 2∨…∨A n ，（n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式．公式)(Q P →⌝与Q P ⌝∧是等价的，Q P ⌝∧满足析取范式的定义，所以，选项A是正确的．正确答案：A5．下列公式成立的为( )．A．⌝P∧⌝Q ⇔P∨Q B．P→⌝Q⇔⌝P→QC．Q→P⇒ P D．⌝P∧(P∨Q)⇒Q因为：⌝P∧(P∨Q)⇒Q所以，选项D是正确的．正确答案：D6．下列公式( )为重言式．A．⌝P∧⌝Q↔P∨Q B．(Q→(P∨Q)) ↔(⌝Q∧(P∨Q))C．(P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q)) D．(⌝P∨(P∧Q)) ↔Q(P→(⌝Q→P)) ⇔⌝P∨(Q∨ P)，(⌝P→(P→Q)) ⇔ P∨(⌝P∨Q) 所以，C是重言式，也就是永真式．正确答案：C说明：如果题目改为“下列公式( )为永真式”，应该是一样的．7．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．⌝(∃x)(A(x)∧B(x))C．⌝(∀x)(A(x)→B(x))D．⌝(∃x)(A(x)∧⌝B(x))由题设知道，A(x)→B(x)表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即⌝∀x，得到公式C．个人收集整理勿做商业用途正确答案：C8．设C(x)：x是国家级运动员，G(x)：x是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为( )．个人收集整理勿做商业用途A．))G(xx)(⌝∀(→x⌝C((x()Gx∧x⌝C⌝∀B．)) C．))G(x()(x∧x⌝C⌝∃x⌝∃D．)))((x(Gx⌝→C由题设知道，C(x)∧⌝ G(x)表示国家级运动员不是健壮的，而“没有一个”就是“不存在一个”，因此用存在量词的否定，即⌝∃x，得到公式D．个人收集整理勿做商业用途正确答案：D9．表达式))RyQzyxP∧∨∃→x∀∀中x(x(,)())(zQ((zy,)∀的辖域是( )．A．P(x, y) B．P(x, y)∨Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)∧R(x, y)个人收集整理勿做商业用途所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域”．那么看题中紧接于量词∀x之后最小的子公式是什么呢？显然是P(x, y)∨Q(z)，因此，选项B是正确的．个人收集整理勿做商业用途正确答案：B10．在谓词公式(∀x )(A (x )→B (x )∨C (x ，y ))中，（）．A ．x ，y 都是约束变元B ．x ，y 都是自由变元C ．x 是约束变元，y 都是自由变元D ．x 是自由变元，y 都是约束变元约束变元就是受相应的量词约束的变元．而自由变元就是不受任何量词约束的变元．所以选项C 是正确的．正确答案：C注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握．二、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是．因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨P )⇔1，所以应该填写：1．应该填写：1问：命题公式Q Q →、Q Q ⌝∨的真值是什么？2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．个人收集整理勿做商业用途一般地，当语句是由“如果……，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词→．应该填写：(P ∨Q )→R3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是．复习主析取范式的定义：定义6.6.5 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．个人收集整理勿做商业用途而小项的定义是：定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．个人收集整理勿做商业用途由小项的定义知道，命题公式P ∧Q 中缺少命题变项R 与它的否定，因此，应该补上，即P ∧Q ⇔P ∧Q ∧ (R ∨⌝R ) ⇔(P ∧Q ∧ R ) ∨(P ∧Q ∧⌝R )得到命题公式P ∧Q 的主析取范式．应该填写：(P ∧Q ∧R )∨ (P ∧Q ∧⌝R )4．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为．因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则所以，应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))如果个体域是D ＝{1, 2}，D ={a , b , c }, 或谓词公式变为(()())x A x B x ∃∨，怎么做?5．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为．因为(∃x)A(x)⇔A(1)∨A(2)∨A(3)⇔1∨1∨0⇔1应该填写：16．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为．因为自由变元就是不受任何量词约束的变元，在公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中，y是不受全称量词∀约束的变元．所以应该填写：y．个人收集整理勿做商业用途应该填写：y问: 公式中的约束变元是什么?三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴；则命题公式为：P．问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P∧Q．注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P→Q．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．命题公式P P⌝∧的真值是1．解错误．因为P P⌝∧是永假式（教材167页的否定律）．2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．解：正确因为，由真值表P Q ⌝P ⌝Q P→⌝Q⌝P∧(P→⌝Q)∨P0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 110 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1可知，该命题公式为永真式．注：如果题目改为该命题公式为永假式，如何判断并说明理由？3．下面的推理是否正确，请给予说明．(1) (∀x )A (x ) ∧ B (x ) 前提引入(2) A (y ) ∧B (y ) US (1)解：错第2步应为：A (y )∧B (x )因为A (x )中的x 是约束变元，而B (x )中的x 是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆．五．计算题1．求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．解 P →Q ∨R ⇔⌝P ∨Q ∨R （析取范式、合取范式、主合取范式）⇔(⌝P ∧(Q ∨⌝Q )∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧Q ∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧(Q ∨⌝Q )∧R )个人收集整理勿做商业用途（补齐命题变项）⇔(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R ) （∧对∨的分配律）个人收集整理勿做商业用途⇔(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）个人收集整理勿做商业用途注：如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家一定不要再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解（1）量词x ∃的辖域为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀，z ∀的辖域为(,,)Q y x z ，y ∀的辖域为(,)R y z ．（2）自由变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的y ，(,)R y z 中的z ．约束变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的x ，(,,)Q y x z 中的z ，(,)R y z 中的y ．3．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式．解：∀y ∃xP (x , y )⇔(∃xP (x , a 1))∧(∃xP (x , a 2))⇔(P (a 1, a 1)∨P (a 2, a 1))∧(P (a 1, a 2)∨P (a 2, a 2))六、证明题1．试证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等价．证：(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔((⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P)∧Q⇔⌝P∧Q（吸收律）⇔⌝(P∨⌝Q) （摩根律）2．试证明(∃x)(P(x)∧R(x))⇒(∃x)P(x)∧(∃x)R(x)．分析：前提：(∃x)(P(x)∧R(x))，结论：(∃x)P(x)∧(∃x)R(x) ．证明(1) (∃x)(P(x)∧R(x)) P(2) P(a)∧R(a) ES(1) (存在指定规则)(3) P(a) T(2) （化简）(4) (∃x)P(x) EG(3) (存在推广规则)(5)R(a) T(2) （化简）(6) (∃x)R(x) EG(5) (存在推广规则)(7) (∃x)P(x)∧(∃x)R(x) T(4)(6) （合取引入）。

《数理逻辑》期末考试试题

《数理逻辑》期末考试试题(A卷)(请将所有答案写在答题纸上，不用抄题，但注意写清题号)《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：”考试作弊不授予学士学位。

”年级：2008级班级：A,B,C,E班专业：计科、信息安全任课教师：刘咏梅、周晓聪一、填空题(共20分，每空2分)1.设A是含命题变量p,q,r的矛盾式，则公式A∧((p↔q)→r)的类型是矛盾式。

2.设公式A含变量p,q,r，且其主合取范式是M0∧M2∧M3∧M5，则其主析取范式是m1∨m4∨m6∨m7。

3.设F(x)表示“x是实数”，G(x)表示“x是有理数”，则命题“实数不都是有理数”符号化为¬∀x(F(x)→G(x))。

4.公式∀xF(x)→∀yG(x,y)的前束范式是∃x∀y(F(x)→G(z,y))。

5.公式(p∧q)∨r的主析取范式是m1∨m3∨m5∨m6∨m7。

6.设F(x)表示“x是无理数”，G(x)表示“x能表示成分数”，则命题“不存在能表示成分数的无理数”符号化为¬∃x(F(x)∧G(x))。

7.设p,r为真命题，q,s为假命题，则复合命题(p→q)↔(¬r→s)的真值为0。

8.求与公式F=∀x(A(x)→B(x,y))→(∀y¬C(y)∨∃zD(y,z))等值的一个前束范式是：∃x∀t∃z((A(x)→B(x,y))→(¬C(t)∨D(y,z))。

9.令L(x)表示x是人，E(x)表示x是食物，F(x,y)表示x对y过敏，则句子“某些人对某些食物过敏”可符号化为∃x∃y(L(x)∧E(y)∧F(x,y))。

10.公式((∀y¬G(x)∧∀xF(x))∧∃yG(y))→∀xF(x)的类型是永真式。

二、求解下面有关一阶逻辑公式语法的题目。

(8分)(1)请指出公式∀x(P(x)→∃xQ(x))∨(∀xH(x)→G(x))中各量词的辖域；解答：第一个量词∀x的辖域是(P(x)→(∃x)Q(x))，量词∃x的辖域是Q(x)，第二个量词∀x的辖域是P(x)。

数学逻辑期末考试试卷

数学逻辑期末考试试卷一、选择题1. 下列哪个命题为真？A) 2 + 2 = 5B) 3 x 4 = 12C) -4 < -2D) 5 - 3 > 102. 哪个命题为假？A) 2 x 3 = 6B) 10 ÷ 2 = 5C) -3 < -5D) 7 - 4 = 33. 已知命题p为真，q为假，那么p∨q的真值为：A) 真B) 假C) 不确定D) 此命题无解4. 若p为真，则¬p的真值为：A) 真B) 假C) 不确定D) 此命题无解5. 以下哪个集合是空集∅？A) 正整数集B) 自然数集C) 偶数集D) 负整数集二、填空题1. 请列举任意一个10进制数转化为2进制数的过程。

2. 设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B=______。

3. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∪B=______。

4. 若a是真命题，b是假命题，则命题“a∧b”为______。

5. 补全命题：“如果一个数是正数，那么它大于______。

”三、简答题1. 请解释集合的并集与交集的概念，并给出一个示例说明。

2. 解释蕴含关系的定义及其在逻辑推理中的应用。

3. 语句“如果今天下雨，那么明天我会带伞”是一个复合命题，请拆解它的前提和结论，并判断其真值。

四、计算题1. 计算以下命题的真值：¬(p∧q)∨(p∨q)，其中已知p为假，q为真。

2. 设集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，计算A∩B和A∪B的结果。

五、应用题1. 王明、李华和张三是一所学校的学生。

王明说：“如果我考试及格，那么张三也考试及格。

”李华说：“张三没有考试及格。

”请判断王明和李华是否在撒谎，并给出相应的解释。

2. 请设计一个数学逻辑游戏，要求考验玩家的逻辑思维能力。

六、附加题以下两个命题是否等价？请给出解释。

命题A: 如果一个人是中国人，则他会说中文。

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数理逻辑期末复习题
1. 符号化：我将去镇上，仅当我有时间。

答：设p：我将去镇上，q：我有时间。

命题符号化为：p→q
2. 符号化：他13岁或14岁。

答：设p：他13岁，q：他14岁。

命题符号化为：()()p q p q p q ∨
∧¬∨¬∧或3. 利用等值演算验证：
(())(())(())A B C D C A B D C A B D ∧∧→∧→∨∨⇔∧↔→
证明：
(())(())
(())(())
()(()[()()]
()[()()]
()[()()]
()[()()]
()()
[()][(A B C D C A B D A B C D C A B D A B C D C A B D C D A B A B C D A B B A C D A B B A C D B A A B C D A B C A B D
C ∧∧→∧→∨∨⇔¬∧∧∨∧¬∨∨∨⇔¬∨¬∨¬∨∧¬∨∨∨⇔¬∨∨¬∨¬∧∨⇔¬∨∨¬∧∨¬∧⇔¬∨∨¬∨¬∨¬∨¬⇔¬∨∨¬→∧→⇔¬∨∨¬↔⇔¬∨¬↔∨⇔¬∧)][()]A B D
C A B
D ↔∨⇔∧↔→)
p
4. 符号化下列命题并完成推理证明。

如果6是偶数，则7不被2整整除；或者5不是质数，或者7被2整除；但5是质数。

所以，6是奇数。

解：设p:6是偶数；q：7被2整除；r:5是质数。

命题符号化为：
,,p q r q r →¬¬∨⇒¬证明：
（1）r P
（2） P
r q ¬∨（3）q T(1)(2)I
（4）p q →¬ P
（5）q T(4)E
p →¬（6）p ¬ T(4)(5)I
5. 推理证明：(),,A B C D C D A B ∧→¬¬∨⇒¬∨¬
证明：（1） P
C D ¬∨（2）C T(1)E
D →（3）D ¬ P
（4） T(2)(3)I
C ¬（5）()A B ∧→C ) P
（6）(A B ¬∧ T(4)(5)I
（7）A B ¬∨¬ T(6)E
6. 求下式的主析取范式与主合取范式：
（1）(
())(())P Q R P Q R →∧∧¬→¬∧¬（2）
(()P P Q P →∧→)解：
（1）
(())(())
(())(())
()()()()
[()()][()()]
[()()][()()]()()()()
(P Q R P Q R P Q R P Q R P Q P R P Q P R P Q R P Q R P R Q P R Q P Q R P Q R P R Q P R Q P Q R P Q R P Q R P Q R P →∧∧¬→¬∧¬⇔¬∨∧∧∨¬∧¬⇔¬∨∧¬∨∧∨¬∧∨¬⇔¬∨∨∧¬∨∨¬∧¬∨∨∧¬∨∨¬∧∨¬∨∧∨¬∨¬∧∨¬∨∧∨¬∨¬⇔¬∨∨∧¬∨∨¬∧¬∨¬∨∧∨¬∨∧∨¬100101110010011001
000111
)()
()()
Q R P Q R M M M M M M m m P Q R P Q R ∨¬∧∨∨¬⇔∧∧∧∧∧⇔∨⇔¬∧¬∧¬∨∧∧（主合取范式）（主析取范式）
（2） 00011011
(())
(())
()(())
11
1
()()()()P P Q P P P Q P P P P Q P m m m m P Q P Q P Q P Q →∧→⇔¬∨∧¬∨⇔¬∨∧¬∨¬∨⇔∧⇔⇔∨∨∨⇔¬∧¬∨¬∧∨∧¬∨∧（主合取范式）（主析取范式）
7. 一阶逻辑符号化。

（1）所有运动员都钦佩某些教练员。

（2）有些大学生不钦佩运动员。

解：设Y(x)：x 是运动员；J(x)：x 是教练员；A(x,y)：x 钦佩y；S(x)：x 是大学生。

（1）(()(()(,)))x Y x y J y A x y ∀→∃∧
（2）(()((,)()))x S x y A x y L y ∃∧∀→¬或(()(()(,)))x S x y L y A x y ∃∧∀→¬
8. 将下面的一阶逻辑式化为前束范式。

((,)(,))(,,)yA x y xB x z x zC x y z ∃→∀∨∃∀
解：
((,)(,))(,,)
((,)(,))(,,)((,)(,))(,,)
((,)(,))(,,)
yA x y xB x z x zC x y z yA x y uB u z s tC s w t s t y u A x y B u z C s w t y u s t A x y B u z C s w t ∃→∀∨∃∀⇔∃→∀∨∃∀⇔∃∀∀∀→∨⇔∀∀∃∀→∨ 9. 符号化并推理证明：任何人若喜欢不行，则不喜欢乘车；每个人或者喜欢乘车，或者喜欢骑自行车；有人不爱骑自行车。

因此，有人不爱步行。

（个体域为人的集合。

）
解：设W(x)：x 喜欢步行；C(x)：x 喜欢乘车；B(x)：x 喜欢骑自行车。

符号化为：(()()),(()()),()()x W x C x x C x B x x B x x W x ∀→¬∀∨∃¬⇒∃¬ 证明：
（1）()x B x ∃¬ P
（2）()B a ¬ (1)∃−
（3）(()())x C x B x ∀∨ P
（4） ()()C a B a ∨(3)∀−
（5） T(2)(4)I
()C a （6）(()())x W x C x ∀→¬ P
（7） ()()W a C a →¬(6)∀−
（8） T(7)E
()()C a W a →¬（9） T(5)(8)I
()W a ¬（10）()x W x ∃¬ (9)∃+。