一次函数与四边形综合题——轻舟数学
一次函数和四边形练习
学习内容一、一次函数基本概念巩固二、一次函数图像综合考查（数形结合基础）三、平行四边形的性质四、平行四边形的判别内容一：一次函数基本概念巩固讲解基础题，直接用基础知识来做答1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+32．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）163．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能确定4．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限5.已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．6.某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y的值随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________．7.已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________．8.若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是【】A.2B.-2C.1D. -1内容二：一次函数图像综合考查（数形结合基础）讲解1、要求画图来理解问题2、数形结合的初步应用参数与图像的关系 1、若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ）（A ）一象限 （B ）二象限 （C ）三象限 （D ）四象限2、设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）3、无论m 为何实数，直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4、在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5、若实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=ax+c 的图象可能是【 】A ．B ．C ．D ．图像的平移1、要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x （ ）．（A ）向左平移4个单位 （B ）向右平移4个单位 （C ）向上平移4个单位 （D ）向下平移4个单位2、y=x ，向上平移2个单位后函数变为__________;向左平移2个单位后函数变为__________3、y=2x ，向上平移2个单位后函数变为__________;向左平移2个单位后函数变为__________4、y=－3x ，向上平移2个单位后函数变为__________;向左平移2个单位后函数变为__________ 简单数形结合 1、若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）． （A ）k<13 （B ）13<k<1 （C ）k>1 （D ）k>1或k<132．过点P （-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（ ） （A ）4条 （B ）3条 （C ）2条 （D ）1条3．当-1≤x ≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a 的取值范围是（ ）（A ）-4<a<0 （B ）0<a<2（C）-4<a<2且a≠0 （D）-4<a<24．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为5、如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb= ．6．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________．7、过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．8、y=23x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限．内容三：平行四边形的性质平行四边形的性质1. 在以下平行四边形的性质中,错误的是( )A. 对边平行B. 对角相等C. 对边相等D. 对角线互相垂直2. 在平行四边形ABCD中,∠A=65°,则∠D的度数是( )A. 105°B. 115°C. 125°D. 65°3．四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°．则∠ABC、∠CAB的度数分别为（）A．28°，120°B．120°，28°C．32°，120°D．120°，32°4．如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．︒=∠+∠18021 B. ︒=∠+∠18032C. ︒=∠+∠18043 D. ︒=∠+∠18042BCDFEABCD EFOGA图1 图2 图35．如图2，在□ABCD 中，EF//AB ，GH//AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有 （ ）. A. 7 个 B. 8个 C. 9个 D. 11个6．若□ABCD 的周长为28，△ABC 的周长为17cm ，则AC 的长为 （ ）A. 11cmB. 5.5cmC. 4cmD. 3cm7．如图3 ,在□ABCD 中, ∠B=110°,延长AD 至F,延长CD 至E,连接EF,则∠E+∠F 的值为 ( ).A. 110°B. 30°C. 50°D. 70° 8．在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是 （ ）A. 1：2：3：4B. 3：4：4：3C. 3：3：4：4D. 3：4：3：4 9．平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<1610．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠ADC ＝60°，BE ＝2，CF ＝1. 求△DEC 的面积.11. 如图，已知E 为□ABCD 中DC 延长线上的一 点，且CE ＝DC ，连结AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于点O ，连结OF .求证：AB ＝2OF.12．在□ABCD 中, ∠ABC 的平分线将AD 分成4cm 和2cm 的两条线段，求□ABCD 的周长。
一次函数与四边形综合公开课——轻舟数学
一次函数与四边形综合运用鹏程中学周天应教学目标：1、掌握求点的坐标和构造全等三角形的方法2、在解题的过程中提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、在解决问题的过程中培养学生克服困难的勇气。
教学重点：求点的坐标教学难点：作辅助线构造全等三角形1、已知直线y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点，点P在第一象限的直线AB上，S△ABC=1,点C与点B关于X轴对称。
（1）如图1,求点P的坐标。
（2）如图2,N(6,0),NQ⊥NP交AC的延长线于点Q ，求证：NP=NQ。
（3）在（2）的条件下求NQ的解析式。
2、如图（1），直线y=﹣x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，以OA、OC为边作正方形OABC，E是边OC上一点，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D．（1）求A、C两点的坐标；（2）若直线AD的解析式为y=﹣x+3，求直线DE的解析式；（3）在x轴、y轴上分别找点M、N，使四边形BDMN的周长最小，求点M、N的坐标。
如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．。
最新八年级一次函数与四边形综合(1)
xyOABCPHM八年级一次函数与四边形综合2、四边形OABC 是等腰梯形，OA ∥BC ，在建立如图的平面直角坐标系中，A （10，0），B （8，6），直线x =4与直线AC 交于P 点，与x 轴交于H 点； （1）直接写出C 点的坐标，并求出直线AC 的解析式； （2）求出线段PH 的长度，并在直线AC 上找到Q 点，使得△PHQ 的面积为△AOC 面积的51，求出Q 点坐标； （3）M 点是直线AC 上除P 点以外的一个动点，问：在x 轴上是否存在N 点，使得△MHN 为等腰直角三角形？若有，请求出M 点及对应的N 点的坐标，若没有， 请说明理由．FEDC BAO第2题 第3题 第4题 3、如图，直线L ：221+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点 C （0，4）,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。
（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标。
4、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。
（1）当正方形ODEF 绕点O在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系？并证明你的结论；（2）若ODEF 绕点O 旋转，当点D 转到直线OA 上时，DCO ∠恰好是30°，试问：当点D 转到直线OA 或直线OC 上时，求AD 的长。
（本小题只写出结论，不必写出过程）5、如图，在平面直角坐标系中，直线L2:y=-1/2x+6与L1:y=1/2x 交于点A ，分别与x 轴、y 轴交于点B 、C 。
（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；（2）若D 是线段OA 上的点，且△COD 的面积为12，求直线CD 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P 是射线DC上的点，在平面内是否存在点Q，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
一次函数,反比例函数与四边形的综合题
一次函数与反比例函数的综合四边形1，如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点.（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ；（3）对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 2，看图说故事。
请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系式，要求：①指出x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量3，如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D 、E ，且tan ∠BOA=．（1）求边AB 的长；（2）求反比例函数的解析式和n 的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G ，求线段OG 的长．4．如图5，双曲线)0(>=k xky 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ．5，如图9，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)的位置随b 的不同取值而变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为2．当b = 时，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)经过圆心M ： 当b = 时，直线l ：y = －2x +b (b ≥0)与OM 相切：(2)若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A (2，0)、BC 6，O )、C (6，2). 设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，6，如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、B （0，1）、C （d ，2）。
(完整word版)一次函数与四边形综合题及答案
1。
如图所示，直线y=x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1,记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2,记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y=x+1相交于点A3,再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…,依此类推,则第n个正方形的边长为_____．2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x—与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA=3,OC=4，则△CEF的面积是（）A。
6B.3C。
12D。
4/33. 如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是(4，0），∠AOB=60°，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿OB向右移动，设t秒后，PQ交OC于点R．（1）设a=2，t为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的；(2)设a=2，OR=，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式;（3）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形与以O、B、C为顶点的三角形相似(只写答案，不必说理)．4。
在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2,…，按图所示的方式放置．点A1、A2、A3，…和点B1、B2、B3,…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知C1(1，-1），C2(，)，则点A3的坐标是_____．5。
如图，函数的图象交y轴于M,交x轴于N，点P是直线MN上任意一点,PQ⊥x轴，Q是垂足，设点Q的坐标为(t，0），△POQ的面积为S(当点P与M、N重合时，其面积记为0)．(1)试求S与t之间的函数关系式;(2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S=a(a＞0）的点P的个数．6. 如图,在平面坐标系中,直线y=—x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P(a，b）在第一象限内，由点P向x轴,y轴所作的垂线PM，PN(垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P(a，b）运动时,矩形PMON的面积为定值2．（1）求∠OAB的度数；（2)求证：△AOF∽△BEO；(3)当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值?若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．7。
一次函数应用题——轻舟数学
1、某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；（2）求注水多长时间，甲、乙两个蓄水池水的深度相同；（3）求注水多长时间，甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．2、宁波与台州两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从宁波开往台州．如图所示，OA是第一列动车组列车离开宁波的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的函数图象，BC是一列从台州开往宁波的普通快车距宁波的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的函数图象．请根据图中信息，解答下列问题：（1）点B横坐标0.5的意义是普通快车的发车时间比第一列动车组列车的发车时间晚h，点B的纵坐标300的意义是（2）若普通列车的速度为100km/h，①求BC的解析式；②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇．3、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间t（h），两车之间的距离为s（km），图中的折线表示s与t之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）试解释图中点B的实际意义；（2）①求线段BC所表示的s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多长时间？4、水利专家为了考察某河流的堤岸的抗洪能力，一组专家乘坐勘测船从甲码头顺流出发，往返于甲、乙码头；另一组专家从甲、乙两码头间的丙码头出发，乘一橡皮艇漂流而下，直至到达乙码头．若两组专家同时出发，船、艇离丙码头的距离y （km）与出发的时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）甲、乙两码头的距离为 km，勘测船顺流航行的速度为km/h，勘测船逆流航行的速度为km/h；（2）求艇从丙码头漂流到乙码头所用的时间；（3）船、艇在途中相遇了几次？相遇时，船、艇离丙码头有多远？5、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，匀速开往对方所在地，图（1）表示甲、乙两车离A地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，图（2）表示甲、乙两车间的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象．（1）A、B两地的距离为km，h的实际意义是（2）求甲、乙两车离B地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数关系式及x的取值范围，并画出图象（不用列表，图象画在备用图中）；（3）丙车在乙车出发10分钟时从B地出发，匀速行驶，且比乙车提前20分钟到达A地，那么，丙车追上乙车多长时间后与甲车相遇？6、（2011•牡丹江）甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向b地行驶，到达B地并在B地停留1小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：（1）求甲、乙两车的速度，并在图中（_______）内填上正确的数：（2）求乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式；（3）当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，甲、乙两车距B地的路程是多少？7、（2012•牡丹江）快车甲和慢车乙分别从A、B两站同时出发，相向而行．快车到达B站后，停留1小时，然后原路原速返回A站，慢车到达A站即停运休息．下图表示的是两车之问的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数图象．请结合图象信息．解答下列问题：（1）直接写出快、慢两车的速度及A、B两站间的距离；（2）求快车从B 返回 A站时，y与x之间的函数关系式；（3）出发几小时，两车相距200千米？请直接写出答案．8、（2011•连云港）因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值．为灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h，乙水库停止供水．甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q（万m3）与时间t（h）之间的函数关系．求：（1）线段BC的函数表达式；（2）乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度；（3）乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值？9、某工厂有一批4800个零件的加工任务，在零件加工过程中，机器温度会持续升高，为了保护机器，当温度达140℃时机器会自动停机降温，当温度达40℃时机器又自动开机加工，如此反复，18个小时后顺利完成任务．当天车间温度为20℃，机器温度变化如图所示．（1）求第一次降温过程中，机器温度T（℃）与运行时间t（h）的函数关系式；（2）求第一次停机后多少小时机器开始第二次加工；（3）经过技术革新，配置一套自动冷却系统，该机器可以不停机连续加工，加工速度提高20%．技术革新后完成这批零件的加工任务需多少小时？10、（2012•绥化）星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车20米3的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（1）8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了米3的天然气；（2）当x≥8.5时，求储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系式；（3）正在排队等候的20辆车加完气后，储气罐内还有天然气米3，这第20辆车在当天9：00之前能加完气吗？请说明理由．11、萧山素以“萝卜干之乡”著称．某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种不同包装的萝卜干42吨到外地销售．按规定每辆车只装同一种萝卜干，且必须装满，每种萝卜干不少于2车．（1）设有x辆车装运A种萝卜干，用y辆车装运B种萝卜干，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系，并求x的取值范围；（2）设此次外销活动的利润为W（百元），求W与x的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案．。
专题训练10： 一次函数与四边形
专题训练10：一次函数与四边形1.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从A出发沿A→B→C→D的路线移动，设点P移动的路线为x，△PAD的面积为y．（1）写出y与x之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4和x=18时的函数值．（3）当x取何值时，y=20，并说明此时点P在矩形的哪条边上．2.如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P在AB上运动时间为s，在CD上运动的速度为cm/s，△APD的面积S的最大值为 cm2；（2）求出点P在CD上运动时S与t的函数解析式；（3）当t为s时，△APD的面积为10cm2．3.在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A （-1，1），B （-1，-1），C （1，-1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。
图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分.（图①） （图②） （图③）（1）s 与t 之间的函数关系式是： ；（2）与图③相对应的P 点的运动路径是： ；P 点出发 秒首次到达点B ；（3）写出当3≤s ≤8时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.4.如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B →C →D →A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a 秒后变为每秒2个单位匀速运动，b 秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2所示．（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m 、a 、b 的值. ·P。
一次函数与平行四边形综合
一．解答题（共3小题）1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共3小题）1．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB ﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∴OA=8，OB=6，在直角△AOB中，AB===10；（2）∵BC平分∠ABO，∴OC=CD，设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD∽△AOB，∴，即，解得：x=3．即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y=x+6，设CD的解析式是y=﹣x+m，则4+m=0，则m=﹣4．则直线CE的解析式是y=﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y=2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12=（m+8）2+（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM12=m2+（2m+6﹣6）2=5m2，AB=10，根据AB2+AM12=BM12得100+5m2+40m+100=5m2，m=﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），BM1中点坐标为（﹣，1），BM1中点同时也是AP1中点，则有，解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=﹣4或m=0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），AB中点坐标为（﹣4，3），AB中点同时也是P2M2中点，则有，解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．2．（2015•黑龙江）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx，把E点坐标代入可求得m=，∴直线OE解析式为y=x，令﹣x+=x，解得x=，∴H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），∴OF=，∴S=××=；△OFH（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD，∴=，即=，解得OM=，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有△FOD∽△DOM，∴=，即=，解得OM=6，∴M（0，﹣6），且F（0，），∴MG=MF=，则OG=OM﹣MG=6﹣=，∴G（0，﹣），设N点坐标为（x，y），则=0，=﹣，解得x=﹣4，y=﹣，此时N（﹣4，﹣）；③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，∵四边形MFND为矩形，∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．3．（2015•龙沙区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，∴点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），∵点C为线段AB的中点，∴点C的坐标是（4，4），解得x=5，∴CD=5，设点D的坐标是（m，0）（m＞0），则，解得m=1或m=7，∴点D的坐标是（1，0）或（7，0）．（2）①当点D的坐标是（1，0）时，设直线CD的解析式是y=ax+b，则解得∴直线CD的解析式是y=x﹣．②当点D的坐标是（7，0）时，设直线CD的解析式是y=cx+d，则解得∴直线CD的解析式是y=﹣x．（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形．①当直线CD的解析式是y=x﹣时，设AF所在的直线的解析式是y=+m，∵点A的坐标是（8，0），解得m=﹣，∴AF所在的直线的解析式是y=﹣．Ⅰ、如图1，，设点F的坐标是（p，），则DF的中点E的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），∴AC的中点E的坐标是（6，2），∴=6，解得p=11，∴点F的坐标是（11，4）．Ⅱ、如图2，，设点F的坐标是（p，），则CF的中点G的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（1，0），∴AD的中点G的坐标是（4.5，0），∴，解得p=5，∴点F的坐标是（5，﹣4）．Ⅲ、如图3，当CF∥AD时，，设点F的坐标是（p，4），则AF的中点E的坐标是（，2），∵点D的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，4），∴CD的中点E的坐标是（2.5，2），∴=2.5，解得p=﹣3，∴点F的坐标是（﹣3，4）．②当直线CD的解析式是y=﹣x+时，设AF所在的直线的解析式是y=﹣+n，∵点A的坐标是（8，0），∴，解得n=，∴AF所在的直线的解析式是y=﹣+．Ⅰ、如图4，，设点F的坐标是（p，﹣），则DF的中点M的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），∴AC的中点M的坐标是（6，2），∴=6，解得p=5，∴点F的坐标是（5，4）．Ⅱ、如图5，，设点F的坐标是（p，﹣），则CF的中点N的坐标是（，），∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（7，0），∴AD的中点N的坐标是（7.5，0），∴，解得p=11，∴点F的坐标是（11，﹣4）．Ⅲ、如图6，当CF∥AD时，，设点F的坐标是（p，4），则AF的中点E的坐标是（，2），∵点D的坐标是（7，0），点C的坐标是（4，4），∴CD的中点E的坐标是（5.5，2），∴=5.5，解得p=3，∴点F的坐标是（3，4）．综上，可得点F的坐标是（11，4），（5，﹣4），（﹣3，4），（5，4），（11，﹣4）或（3，4）．。
一次函数与四边形面积问题例题
一次函数与四边形面积问题例题摘要：I.引言- 介绍一次函数和四边形面积问题- 提出本文的目标和结构II.一次函数的基本概念- 定义一次函数- 一次函数的图像和性质III.四边形面积问题的背景- 四边形面积问题的提出- 四边形面积问题的解决方法IV.一次函数与四边形面积问题的联系- 一次函数与四边形面积问题的关系- 一次函数在解决四边形面积问题中的应用V.例题解析- 例题1：使用一次函数解决四边形面积问题- 例题2：一次函数与四边形面积问题的综合应用VI.结论- 总结一次函数和四边形面积问题的关系- 提出未来研究方向和展望正文：I.引言一次函数是数学中的基础概念之一，它广泛应用于各种实际问题中。
四边形面积问题是几何中的常见问题，它涉及到四边形的面积计算。
本文将介绍一次函数和四边形面积问题的基本概念，探讨它们之间的联系，并通过例题解析来阐述一次函数在解决四边形面积问题中的应用。
II.一次函数的基本概念一次函数是形如y = kx + b 的函数，其中k 和b 是常数，x 是自变量。
一次函数的图像是一条直线，它具有以下性质：1.一次函数的图像是一条直线，其斜率等于k，截距等于b。
2.一次函数的值随着自变量x 的增大而增大或减小，具体取决于k 的正负性。
3.一次函数的图像可以通过平移来改变，平移量等于b 的绝对值。
III.四边形面积问题的背景在几何中，四边形面积问题是常见的问题之一。
给定一个四边形，如何计算它的面积？解决这个问题需要先确定四边形的边界，然后计算其面积。
四边形面积问题的解决方法有多种，如分割成三角形、使用向量等。
IV.一次函数与四边形面积问题的联系一次函数与四边形面积问题之间存在密切的联系。
在解决四边形面积问题时，我们可以通过一次函数来计算四边形的面积。
具体来说，我们可以将四边形分割成多个小三角形，然后计算这些小三角形的面积。
由于一次函数的性质，我们可以通过计算一次函数与四边形边界的交点来确定这些小三角形的面积。
一次函数与四边形面积问题例题
一次函数与四边形面积问题例题在日常的数学学习中，一次函数与四边形面积问题时常出现在各类试题中。
那么，这两者之间究竟存在怎样的联系呢？接下来，我们将揭示这一奥秘。
首先，我们需要了解一次函数与四边形面积的关系。
一次函数一般形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
而四边形面积可以表示为两个相邻边的长度之积与夹角的正弦值的乘积的一半。
由此可见，一次函数与四边形面积之间并无直接关系。
但是，在特定条件下，一次函数可以用来求解四边形面积问题。
接下来，我们来探讨一次函数图像的性质。
一次函数的图像是一条直线，其斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
了解了这些性质，我们可以更好地解决四边形面积问题。
那么，如何求解一次函数与四边形面积问题呢？以下是一般步骤：1.根据题意，确定一次函数的表达式。
2.求出四边形的两个相邻边的长度。
3.计算夹角的正弦值。
4.使用一次函数求解四边形面积。
为了让大家更直观地了解求解过程，我们来看一个实例。
题目：已知一次函数y=2x+1，求解与x轴、y轴围成的矩形的面积。
解：1.根据题意，已知一次函数表达式为y=2x+1。
2.求出与x轴、y轴的交点坐标：当y=0时，x=-1/2；当x=0时，y=1。
3.计算两个相邻边的长度：|-1/2|=1/2，|1|=1。
4.计算夹角的正弦值：sinθ=1/2。
5.计算矩形面积：面积=1/2 × 1 × 1/2 = 1/4。
通过以上步骤，我们成功地求解了一次函数与四边形面积问题。
总之，掌握一次函数与四边形面积的关系及求解方法，能够帮助我们更好地解决实际问题。
四边形、一次函数综合训练(含答案)
第1页，共6页………○………装……………○……………○………装……………○……学______姓名：__________四边形、一次函数综合训练（含答案）一、选择题（共 4 小题 ，每小题 3 分 ，共 12 分 ）1.一个寻宝游戏的寻宝通道由正方形 的边组成，如图 所示．为记录寻宝者的行进路线，在 的中点 处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为 ，寻宝者与定位仪器之间的距离为 ，若寻宝者匀速行进，且表示 与 的函数关系的图象大致如图 所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）A. B. C. D.2.下表是某校合唱团成员的年龄分布： A. ， B. ， C. ， D. ，3.如图，点 是矩形 的边 上的一动点， ， ，则点 到矩形的两条对角线 和 的距离之和是（ ）A. B. C. D.4.如图，正方形 的面积为 ，则以相邻两边中点连线 为边正方形 的周长为（ ）A. B. C. D.二、填空题（共 2 小题 ，每小题 3 分 ，共 6 分 ）5.如图 中， ， 为 的中点， 在边 上， ， ，当，则 ________．6.如图，边长为 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 ， ，则 的值为________．三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）7.在菱形 中， ， ，动点 以每秒 个单位的速度从点 出发运动到点 ，点 以相同的速度从点 出发运动到点 ，两点同时出发，过点 作 交直线 于点 ，连接 、 ，设运动时间为 秒．当 时， ________度；求 为何值时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形；当 为直角三角形时，求此时 的值．8.如图，平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，点 在 轴负半轴上，且 ．求 ， 两点的坐标．若点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 运动，连接 ，设 的面积为 ，点 的运动时间为 ，求出 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．点 是 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接第2页，共6页…外…………○……○…………订…线…………※※装※※订※※线※※内※…内…………○……○…………订…线…………写出 点的坐标；若不存在，说明理由．9.如图，在矩形 中， ， 的平分线 与 ， 分别交于点 ， ，点 是 的中点，直线 ，交 于点 ，交 于点 ．求证： ；探究线段 、 、 三者之间的关系，并证明你的结论；若 ， ，求 的长度．10.如图，已知四边形 为正方形， ，点 为对角线 上一动点，连接 ，过点 作 ，交射线 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．求证：矩形 是正方形；探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；设 ，四边形 的面积为 ，求出 与 的函数关系式．11.如图 ，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点，且 ． 求证： ；在图 中，若 在 上，且 ，则 成立吗？为什么？根据你所学的知识，运用 、 解答中积累的经验，完成下列各题：①如图 ，在直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点，且 ，求 的长；②如图 ，在 中， ， ， ， ，则 的面积为________（直接写出结果，不需要写出计算过程）．12.已知 是坐标原点，点 的坐标是 ，点 是 轴正半轴上一动点，以 、 为边作矩形 ，点 、 分别在边 和边 上，将 沿着 对折，使点 落在 上的 点处，将 沿着 对折，使点 落在 上的 点处．如图 ，求证：四边形 是平行四边形；如图 ，当点 运动到使得点 、 重合时，求点 的坐标，并判断四边形 是什么四边形？说明理由；当点 运动到使得点 ， 将对角线 三等分时，如图 ，如图 ，分别求点 的坐标．答案 1.A 2.B 3.A 4.B5.[ " 或 " ]6.[ " " ]7.[ " " ] 若点 在线段 上时，过 作 于 ，在菱形 中， ， ，第3页，共6页…○…………订……○…………订…___班级：___________考号：∴， ，∴ ，要使四边形 为平行四边形，则 ∴ 得 ．若点 在线段 延长线上时，四边形 不是平行四边形． 若点 在线段 上时，不存在 ， ∴只有当 在线段 延长线上时，才存在 ，如图 中，当 时，则 、 、 在同一直线上， ∴ ， ∴，即， 解得， ．如图 中，当 时，易知 ， ，，，∵ ，∴ ， ∴，解得 ，不合题意，综上所述，时， 是直角三角形． 8.解： 当 时， ；当 时， ．∴点 坐标为 ，点 坐标为 ， 在 中， ， ， ∴ ．∴ ．∴点 坐标为 ．如图 所示：∵ ， ， ， ∴ ，同理： ， ， ∴ ， ∴ ，分两种情况考虑：若 在线段 上时， ， ，可得 ， 此时； 若 在 延长线上时， ， ，可得 ， 此时；综上所述，； 是 轴上的点，在坐标平面内存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形， 如 图所示，当 在 轴正半轴上，四边形 为菱形，①可得 ，且 与 的横坐标相同， 此时 坐标为 ，②， 与 的横坐标相同，此时 坐标为， 当 在 轴负半轴上，四边形 为菱形，①可得 ，且 与 横坐标相同， 此时 坐标为 ，② 垂直平分 ，此时 坐标为 ， 综上，满足题意 坐标为 、 、、 ． 9.解： ∵在矩形 中， ， ∴ ， ． ∵点 是 的中点； ∴ ．在 和 中，∴ ． ；证明如下： ∵四边形 是矩形；∴ ， ． 又∵ 平分 ，∴ ．第4页，共6页………○………线………※※请※※………○………线………∴ ．∵ ， ，∴四边形 是平行四边形．∴ ． ∵ ；∴ ．∵四边形 是平行四边形． ∴ ，又∵ ，且 ， ∴ ．设 ，则 ．∴ ， ． ∴ ． 解得 ．∴ ．10.解： 如图，作 ，∴ ，∵点 是正方形 对角线上的点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中，， ∴ ， ∴ ，∵四边形 是矩形，∴矩形 是正方形； 的值是定值，定值为 ， ∵正方形 和正方形 ， ∴ ， ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．∴ ， 如图，∵正方形 中， ， ∴ ，过点 作 ， ∴ ， ∵ ，∴，在 中， ，，根据勾股定理得，，∵四边形 为正方形，∴ 正方形．11. 证明：在正方形 中 ， ， ∴ ． 在 和 中，，∴ ． ∴ ．解： 成立．理由如下： ∵ ， ， ∴ ． ∵ （已证）， ∴ ．∴ ． ∴ ．第5页，共6页在 和 中，，∴ ． ∴ ．∵ ，∴ ．[ " 解：①如图 ，过点 作 交 的延长线于点 ， 由 和题设知： ，设 ，则 ， ， 在 中，由勾股定理，得：∴ 解得 ．∴ ；②将 沿着 边折叠，使 与 重合， 沿着 边折叠，使 与 重合， 可得 ， ， ∴ ， ， ， ，∴四边形 为正方形， 设正方形的边长为 ，可得 ， ， 在 中， 根据勾股定理得： ，即 ， 解得： 或 （舍去）， ∴ ，则 ．\"go 题库\" " ]12. 证明：如图 ，∵四边形 为矩形， ∴ ， ， ∴ ，又∵ 沿着 对折，使点 落在 上的 点处； 沿着 对折，使点 落在 上的 点处， ∴ ， ， ∴，∴ ， 又∵ ，∴四边形 是平行四边形； 解：点 的坐标是；四边形 是菱形．理由如下：如图 ，∵ 沿着 对折，使点 落在 上的 点处； 沿着 对折，使点 落在 上的 点处， ∴ ， ， ∵点 ， 重合， ∴ ，又∵四边形 是平行四边形， ∴平行四边形 是菱形， ∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ， 又∵点 的坐标是 ， ∴ ， ∴ ，在 中，，第6页，共6页∴点 的坐标是； 解：①当点 在点 ， 之间时，如图 ，∵ 沿着 对折，使点 落在 上的 点处； 沿着 对折，使点 落在 上的 点处， ∴ ， ， 而 ， ∴ ，∵点 ， 将对角线 三等分， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ，解得，∴， ∴点 的坐标是； ②当点 在 ， 之间时，如图 ，同理可得 ，设 ，则 ， 在 中， ， ∵ ，∴ ，解得 ， ∴ ，∴点 的坐标是 ．。
专题一次函数与四边形的综合应用(原卷版)
八年级下册数学《第十九章 一次函数》 专题 一次函数与四边形的综合应用问题【例题1】（2022春•临渭区期末）如图，平面直角坐标系中，直线y =−43x +4与x 、y 轴分别相交于点A 、B ．点C 的坐标为（0，﹣2），经过A 、C 作直线． （1）求直线AC 的解析式；（2）若点P 是直线AB 上的动点，点Q 是直线AC 上的动点，当以点O ，A 、P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标．【变式11】（2022•梅江区校级开学）已知：直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）求直线AB的表达式．（2）求AC的长．（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标．【变式12】（2022春•龙江县期末）综合与探究如图，直线l1：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝4，AB＝5，点D（t，0）是x轴上一点，过D点作直线l2⊥x轴．（1）求直线l1的解析式；（2）当t＝1时，点P在直线l2上，当P A+PB的值最小时，求点P坐标；（3）当t＝时，△ABD的面积为4；（4）当t＝2时，在坐标平面内是否存在点Q，使以点A、B、D、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式13】（2022春•广水市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=−34x+3交x轴于点C，交y轴于点A，点B在x轴的负半轴，且BC=25 4．（1）求直线AB的解析式；（2）试判断△ABC的形状；（3）若点E在直线AB上，E点坐标是(−32，1)，F点坐标是（﹣1，0），点M、N分别是直线AB、AC上的动点，若以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M、N的坐标．【变式14】（2022春•渝北区期末）如图1，菱形OABC的顶点O在原点，顶点C在x轴上，OA＝2，∠AOC＝60°．（1）求边AO所在直线的解析式；（2）如图1，D，E分别是边BC，OC上的点（包含端点），且∠EAD＝60°，连接AE，AD，ED，求△AED周长的最小值及此时点E的坐标；（3）在（2）的结论下，若M为平面内一点，当以点E，C，A，M为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【变式15】（2023春•江都区月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【变式16】（2022春•抚顺期末）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C（3，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）如图，M为线段BC上一点，当S△AMB＝S△AOB时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【例题2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与直线y＝2x平行，且直线l与x、y轴分别交于点A（﹣1，0）、点B，点C（1，a）在直线l上．（1）求直线l的表达式以及点C的坐标；（2）点P在y轴正半轴上，点Q是坐标平面内一点，如果四边形P AQC为矩形，求点P、Q的坐标．【变式21】（2022秋•莲湖区校级期中）（1）【问题发现】Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，斜边BC上的高AD＝；（2）【问题探究】如图①，将Rt△AOB置于平面直角坐标系中，直角顶点O与原点重合，点A落在x 轴上，点B落在y轴上，已知A（4，0），B（0，3），C是x轴上一点，将Rt△AOB沿BC折叠，使点O 落在AB边上的点D处，求出点C的坐标；（3）【问题解决】如图②，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（12，5），E是OA上一点，将长方形OABC沿CE折叠，点O恰好落在对角线AC上的点F处，求OF所在直线的函数表达式．【变式22】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴正半轴上，点E在边OA上，点F在边OC上，且AE＝EF，已知B（6，8），F（0，2√3）．（1）求点E的坐标；（2）点E关于点A的对称点为点D，点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，设P 点的运动时间为t秒，△PBD的面积为S，用含t的代数式表示S；（3）在（2）的条件下，点M为平面内一点，点P在线段BC上运动时，作∠PDO的平分线交y轴于点N，t为何值时，四边形DPNM为矩形？并求此时点M的坐标．【变式23】（2022春•平南县期末）如图，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，△ODE 是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，点B 的坐标为（﹣2，4）．（1）求直线BD的表达式；（2）求△DEH的面积；（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例题3】（2022秋•奉贤区月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=√3x+b经过菱形OABC的顶点A（2，0）和顶点B．（1）求b的值以及顶点C的坐标；（2）将该菱形向下平移，其中顶点C的对应点是C1．①当点C1恰好落在对角线OB上时，求该菱形平移的距离；②当点C1在x轴上时，原菱形边OC上一点P平移后的对应点是Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．【变式31】（2022春•宛城区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=−43x+4分别交x轴、y 轴于点A、B，若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以AB为边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；否则，说明理由．【变式32】（2023春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x+4分别与x轴，y轴交于点B，C．直线l2：y=13x．（1）直接写出点B，C的坐标：B，C．（2）若D是直线l2上的点，且△COD的面积为6，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q．使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接求点Q的坐标．【变式33】（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=−1x+3与2直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．（1）求直线CD的解析表达式；（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．【变式34】（2021春•江北区期末）如图所示，直线l：y=−12x+2√3与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4√3）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例题4】（2021春•横县期末）已知边长为2√3的正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF与GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．（1）求GH的长．（2）当AG＝1时，求直线GH的解析式；（3）如图2，其他条件不变，若O是正方形对角线的交点时，求CH的长．【变式41】（2022春•凤山县期末）如图矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝a，OC＝b，且a，b满足√a−5+|b﹣7|＝0，一次函数y=−13x+5的图象与边OC，AB分别交于D，E两点．（1）求点B的坐标；（2）直线OB与一次函数y=−13x+5交于点M，求点M的坐标；（3）点G在线段DE上运动，过点G作GF⊥BC，GH⊥AB垂足分别为点F，H．是否存在这样的点G，使以F，G，H，B为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【变式42】（2021春•柳南区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，B、D分别在y轴负半轴、x轴正半轴上，点E是x轴的一个动点，连接CE，以CE为边，在直线CE的右侧作正方形CEFG．（1）如图1，当点E与点O重合时，请直接写出点F的坐标为，点G的坐标为．（2）如图2，若点E在线段OD上，且OE＝1，求正方形CEFG的面积．（3）当点E在x轴上移动时，点F是否在某条直线上运动？如果是，请求出相应直线的表达式；如果不是，请说明理由．【变式43】（2022•南京模拟）矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB，将△ABC沿AB折叠得△ABE，AE交y轴于点D，线段OD＝3，OA＝4．（1）点P为直线AB上一点，连接PO、PD，当△POD的周长最小时，求点P的坐标；（2）点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否存在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】（2021春•吉林期末）如图，已知直线AB的函数解析式为y=43x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B．点P为线段AB上的一个动点（点P不与A，B重合），连接OP，以PB，PO为邻边作☐OPBC．设点P的横坐标为m，☐OPBC的面积为S．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）①当☐OPBC为菱形时，S＝；②求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）BC边的最小值为．【变式51】（2022春•温州期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y=−43x+4与坐标轴交于A，B 两点，点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造☐CPDQ，设点P运动的时间为t秒．（1）直接写出点C的坐标为．（2）如图2，过点D作DG⊥y轴于G，过点C作CH⊥x轴于H．证明：△PDG≌△CQH．（3）如图3，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．【变式52】（2022•西山区一模）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，y轴交于点B，线段CD平行于x轴，交直线y=34x于点D，连接OC，AD．（1）求证：四边形OADC是平行四边形；（2）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．当点P，Q运动至四边形CP AQ矩形时，请求此时t的值．【变式53】（2022春•上蔡县期末）如图，已知一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．过点C作CE⊥x轴于点E，点G（m，0）是线段OB上的动点，过点G作GF⊥x轴分别交AB、AD于点F、H，连接CF．（1）求点C的坐标．（2）当OG＝GB时，判断四边形CEGF的形状，并说明理由．（3）当FG＝FH时，请直接写出点H的坐标．【变式54】（2022春•曾都区期末）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，2），过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P（点P不与点B，C重合），以点P为顶点在直线BC的下方作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D．（1）求证：△APD为等腰三角形；（2）若△APD为等腰直角三角形．①求直线AP的函数解析式；②若点M是直线AP上的一个动点，试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以点O，A，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，简要说明理由．【变式55】（2022春•崇阳县期末）如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x，y轴的正半轴上，且OA ＝8，OC＝4．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，将矩形OABC沿某条直线折叠，使点A与点C重合，折痕交CB于点D，交OA于点E，求直线DE的解析式；（3）在（2）的条件下，点P在直线DE上，在直线AC上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【变式56】（2022春•海口期末）如图，直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴交于点C（3，0），P是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点P作直线PQ∥x轴，交直线BC 于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F．（1）求直线BC的函数表达式；（2）设动点P的横坐标为t．①当t＝﹣2时，求四边形PEFQ的周长；②当t为何值时，四边形PEFQ是正方形；③在x轴上存在点M，使得四边形PMQB是平行四边形，请直接写出此时点M的坐标．。
一次函数与四边形存在性问题
一次函数与四边形综合专题1.如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1, 0）,C （0, 1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（I）若点P的坐标为（1,5），求点M的坐标；（口）若点P的坐标为（1, t）①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（田）当点P在边AB上移动时，N QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小.并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由.2.如图，^OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6, 8）, OA=OB,点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ,过点Q作x轴的平行线分别交OA, AB于点E, F.(1)求直线AB的解析式；(2)若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标；(3)是否存在点P，使^PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别A (-2・年，0)、B (-2 /3, 2),N CAO=30°.(1)求对角线AC所在的直线的函数表达式；(2)把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；(3)在平面内是否存在点P,使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4.如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，N BAO=45°,点A坐标为(8, 0).动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度. （1）求直线AB的函数关系式；（2）若点A、B、O与平面内点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标；（3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标.5.在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A （0, 2）、C （6, 0）作矩形OABC, N AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒■.用个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.（1）当点P移动到点D时，t=—秒；（2）连接点A, C,求直线AC的解析式；（3）若点M是直线AC上第一象限内一点，是否存在某一时刻，使得四边形OPMQ 为平行四边形？若存在，请直接写出t的值及点M的坐标；若不存在，请说明6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线产卷3/4交y轴于点A,交x轴于点B,以线段AB为边作菱形ABCD （点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9. (1)求点A、点B的坐标；(2)求直线DC的解析式；(3)除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P,使点A、B、D、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3, AD=2, 经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F.(1)求：①点D的坐标；②经过点D,且与直线FC平行的直线的函数表达式；(2)直线y=x-2上是否存在点P,使得4PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)在平面直角坐标系内确定点M,使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是8.已知：如图1,图2,在平面直角坐标系xOy中，A (0, 4), B (0, 2),点C 在x 轴的正半轴上，点D为OC的中点.(1)求证：BD〃AC；(2)如果OE1AC于点E, OE=2时，求点C的坐标；(3)如果OE L AC于点E,当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析9.如图，已知直线l：y=-/x+b与x轴、y轴分别交于点A, B,直线11：y—x+1与y轴交于点C,设直线1与直线11的交点为E(1)如图1,若点E的横坐标为2,求点A的坐标;(2)在(1)的前提下，D (a, 0)为x轴上的一点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线11于点M、N,若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求a的值； (3)如图2,设直线1与直线12：y=- | x-3的交点为F,问是否存在点B,使BE=BF,若存在，求出直线1的解析式，若不存在，请说明理由.10.已知，如图，平面直角坐标系xOy中，线段AB〃y轴，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，AB=10.点P是线段AB上的一动点，当点P在线段AB上从点A向点B开始运动时，点B同时在x轴上从点C(4, 0)向点O运动，点P、点B运动的速度都是每秒1个单位，设运动的时间为t （0<t<4）.（1）用含有t的式子表示点P的坐标；（2）当点P恰好在直线y=3x上时，求线段AP的长；（3）在（2）的条件下，直角坐标平面内是否存在点D，使以0、P、A、D为顶点的四边形是等腰梯形.如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请简单说明理由.11.在直角坐标系中，点A的坐标是（3, 0）,点P在第一象限内的直线y= - x+4 上.设点P的坐标为（x, y）.（1）求4P0A的面积S与自变量x的函数关系式及x的取值范围；S=1时，求点P 的位置；(3)在(2)的条件下，若以P 、0、A 、Q 为顶点构成平行四边形，请直接写出12 .已知函数y=kx +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (12, 0)、点B ,与函数 y=x 的图象交于点E ,点E 的横坐标为3,求：(1)直线AB 的解析式；(2)在x 轴有一点F (a , 0).过点F 作x 轴的垂线，分别交函数y=kx +b 和函数 y=x 于点C 、D ,若以点B 、0、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求a 的值.13 .如图1,在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-4, 4),点B 的坐标为(0, 2).(1)求直线AB 的解析式；(2)以点A 为直角顶点作N CAD=90°,射线AC 交x 轴的负半轴于点C ,射线AD 交y 轴的负半轴于点D .当N CAD 绕着点A 旋转时,OC - OD 的值是否发生变化？ 若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；(3)如图2,点M (-4, 0)是x 轴上的一个点，点P 是坐标平面内一点.若A 、B 、M 、P 四点能构成平行四边形，请写出满足条件的所有点 P 的坐标。
一次函数与四边形综合题——轻舟数学
一次函数与四边形综合题——轻舟数学一．选择题（共1小题）1．（2011•杭州自主招生）如图，直线PA是一次函数y=x+n（n＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+m（m＞n）的图象．若PA与y轴交于点Q，且S四边形PQOB=，AB=2，则m，n 的值分别是（）A．3，2 B．2，1 C．D．1，二．解答题（共16小题）2．（2009春•静安区期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求直线BD的表达式．3．（2010秋•常州期末）如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是．4．（2012•绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2014•温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S．①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．6．（2012•鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．7．（2011•牡丹江）如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E 在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD=．若线段OA的长是一元二次方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，又2AB=30A．请解答下列问题：（1）求点B、F的坐标；（2）求直线ED的解析式：（3）在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：①BC的长为；②DE的长为；③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长，请找出它们的数量关系？（2）如图2，当直角∠BAC绕着其顶点A顺时针旋转时，角的两边分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点C1和B1，连接B1C1交OA于P．B1D平分∠OB1C1，交OA于点D，过点D作DE⊥B1C1，垂足为E，请猜想线段OB、B1C1、DE三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当B1E=6，C1E=4时，求直线B1D的解析式．9．（2013•会泽县校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．10．（2013•大连二模）如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°．（1）请直接写出线段PG与PC的位置关系及的值．（2）若将图1中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图2．那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化，直接写出结论，若有变化，写出变化的结果．（3）在图1中，若∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请直接写出的值（用含α的式子表示）．11．（2013•重庆模拟）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4厘米，OC=3厘米，线段OA上一动点D，以1厘米/s的速度从O点出发向终点A运动，线段AB上一动点E也以1厘米/s的速度从A点出发向终点B运动．当E点到达终点B后，D点继续运动直至到达终点A．（1）试写出多边形ODEBC的面积S（平方厘米）与运动时间t（s）之间的函数关系式．（2）在（1）的条件下，当多边形ODEBC的面积最小时，在坐标轴上是否存在点P，使△PDE 为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在某一时刻将△BED沿着BD翻折，使点E恰好落在BC边的点F上．求出此时时间t 的值．若此时在x轴上存在一点M，在y轴上存在一点N，使四边形MNFE的周长最小，试求出此时点M、N的坐标．12．（2012•青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠AEB=90°又∵∠EAM+∠AEB=90°∴∠EAM=∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM=EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME=135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF=135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E 是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．13．（2012•葫芦岛一模）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．14．（2010•乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O．过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3．（1）如图1所示，当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）．求证：h2+h3=2h1；（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直．①如图2所示，当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；②如图3所示，当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系．（只需写出关系，不要求说明理由）15．（2009•哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．16．（2014春•武汉月考）在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+（n﹣2）2=0．（1）求点A、C的坐标；（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．17．（2014春•青山区期末）如图（1），直线y=﹣x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，以OA、OC为边作正方形OABC，E是边OC上一点，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D．（1）求A、C两点的坐标；（2）若直线AD的解析式为y=﹣x+3，求直线DE的解析式；（3）如图（2），若∠OAE=30°，过点E作EF⊥AC于点H，交AD于点F，求的值．。
2023年中考数学高频考点突破-一次函数与四边形综合(含答案)
2023年中考数学高频考点突破——一次函数与四边形综合1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴正半轴，y轴的正半轴上，C（0，4）且△ACO面积为16．（1）求点A的坐标．（2）将矩形OABC沿某条直线折叠，使点A与C重合，折痕交CB于点D，交OA 于E，求直线DE的解析式．（3）在（2）的条件下，当P点在直线DE上，在直线AC上是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．2．对于直线y＝kx+b（k≠0），新定义：点M（k+b，k﹣b）为直线y＝kx+b（k≠0）的“专属点”．而直线y＝kx+b（k≠0）称为关于点M的“专属直线”．如：直线y＝2x+1的“专属点”为（3，1），关于点（5，3）的“专属直线”的解析式为y＝4x+1．（1）直线l1：y＝﹣x+2的专属点是 ；（2）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD∥x轴，∠BAD＝120°，BC＝3，AB＝2，点B的坐标为，求关于点D的“专属直线”直线l2的解析式；（3）若关于点N（2，2﹣a）的“专属直线”l3经过点（﹣1，4），求点N的坐标．3．如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A．（1）求A点坐标；（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标，写出解题过程；（3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．（1）求直线BD的解析式；（2）求点E的坐标；（3）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标，并根据图象，直接写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．（3）动点P在y轴上运动，动点Q在x轴上运动，是否存在以P、Q、A、C为顶点，且以AC为边的平行四边形，若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，3），P是线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，点C的坐标为（﹣1，0），连接PC．（1）求直线AB所对应的函数关系式；（2）设动点P的横坐标为t，△PAC的面积为S．①当t为何值时，∠PCA＝45°；②写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；③求使得四边形BEDP是平行四边形时的点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点A（0，﹣2），与直线CD交于点B（m，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）点P沿A→B→C的折线运动，当△APC的面积等于△ABC面积的时，求点P的坐标；（3）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）且a，b满足（a﹣2）2+＝0．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点C为直线y＝mx上在第一象限的一点，且△ABC是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点N的个数，并直接写出其中两个点N的坐标：若不存在，请说明理由．9．如图，经过点A（﹣6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C，点C的横坐标为﹣2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线，分别交直线y＝﹣x和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t．（1）求直线AB所对应的函数表达式；（2）当DP＝6时，求t的值；（3）如图，作PF∥x轴，交直线y＝﹣x于点F．在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线CD：y＝x+3交于D点，直线CD分别交x轴、y轴于C、E两点．（1）分别求出点A，B，C，D，E的坐标．（2）求四边形AOED的面积．（3）点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），在平面内是否存在点N，使O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；如不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+8的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的解析式．（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，请求出点P的坐标．（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．12．四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，求B′点的坐标．（2）求折痕CM所在直线的解析式．（3）在折痕CM上是否存在一点P、使PO+PB′最小？若存在，直接写出PO+PB′的最小值，若不存在，请说明理由．13．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝15，OC＝12，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求出CE的长为 ，OD的长为 ；（2）求直线DE的表达式；（3）直线y＝kx+b与AE所在的直线垂直，当它与矩形OABC有公共点时，求出b 的取值范围．14．在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x 轴上，已知OA＝2，OB＝4，点D在边AC上，且AD＝1．解答下列问题．（1）点C的坐标为 ．（2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式．（3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．15．如图，直线l1：y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝2x﹣6交于点C，且OA＝8．（1）求直线l1的解析式；（2）若l2与y轴交于点D，求△BCD的面积；（3）在线段BC上是否存在一点E，过点E作EF∥y轴交l2于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．16．综合与探究．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+1与坐标轴交于A、B两点，与直线与＝x+a交于点D，点B绕点A顺时针旋转90°的对应点C恰好落在直线y＝x+a上．（1）求直线CD的表达式；（2）若点E在y轴上，且△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）点F是坐标平面上的点，若以B，O，C，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F的坐标．17．如图，直线AB分别交x轴，y轴于点A，B（点A在x轴负半轴上），直线y＝﹣2x+4经过点B，交x轴于点C，且S△ABC＝6．（1）求直线AB的解析式；（2）平面内是否存在一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若E（1，0），过点E的直线y＝mx+n分别交直线AB，BC于M、N两点，是否存在这样的实数m，n，使得线段MN被点E平分？若存在，请求出m，n的值，若不存在，请说明理由．18．如图，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b经过点A（2，0），D（0，1），点B是第一象限的点且，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，CB＝1．（1）直线y＝kx+b的解析式；（2）求点B坐标；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上存在另一个点N，且以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为15．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；（2）若M为线段BC上一点，且△ABM的面积等于△AOB的面积，求M的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0），（12，6），直线y＝﹣x+b（b＞0）与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．（1）若直线y＝﹣x+b（b＞0）平分矩形OABC的面积，求b的值；（2）在（1）的条件下，过点P的直线，与直线BC和x轴分别交于点N、M．问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长，若不存在，请说明理由．（3）将（1）中的直线沿y轴向下平移a个单位得到新直线l，矩形OABC沿平移后的直线折叠，若点O落在边BC上的F处，CF＝9，求出a的值．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）∵C（0，4），∴OC＝4，∵△ACO面积为16，∴＝16，∴OA＝8，∴点A坐标是（8，0）；（2）连接CE，设DE与AC的交点为F，如图所示，根据折叠可得AE＝CE，设OE＝t，则AE＝CE＝8﹣t，在Rt△OEC中，根据勾股定理，得t2+42＝（8﹣t）2，解得t＝3，∴OE＝3，AE＝5，∴E点坐标为（3，0），根据折叠可知DE垂直平分线段CA，∴∠CFD＝∠AFE＝90°，CF＝AF，在矩形OABC中，OA∥BC，∴∠DCF＝∠EAF，∴△DCF≌△EAF（ASA），∴CD＝AE＝5，∴点D坐标为（5，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点D（5，4）和点E（3，0），得，解得，∴直线DE的解析式为y＝2x﹣6；（3）设直线AC的解析式为y＝k′x+b′（k′≠0），代入点A（8，0），点C（0，4），得，解得，∴直线AC的解析式为，存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，设点P坐标为（m，2m﹣6），点Q坐标为（n，），∵A（8，0），B（8，4），①以AB，PQ为对角线，则有，解得，∴点Q坐标为（，）；②以AP，BQ为对角线，则有，解得，∴点Q坐标为（，）；③以AQ，BP为对角线，则有，解得，∴点Q坐标为（，），综上所述，满足条件的点Q坐标为（，）或（，）或（，）．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+2中，k＝﹣1，b＝2，∴k+b＝1，k﹣b＝﹣3，∴y＝﹣x+2的专属点是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）；（2）如图，过C作CH⊥AD于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，AB∥CD，BC∥AD∥x轴，∵∠BAD＝120°，∴∠D＝60°，∴DH＝CD＝1，∴CH＝＝＝，∵点B的坐标为，∴C（4，1），∴D（5，1），∴关于点D的“专属直线”直线l2的解析式为y＝3x+2；（3）设直线l3的解析式为y＝mx+n，∵点N（2，2﹣a）是直线l3的“专属点”，∴m+n＝2，m﹣n＝2﹣a，解得，m＝2﹣a，n＝a，∴直线l3的解析式为y＝（2﹣a）x+a，∵关于点N（2，2﹣a）的“专属直线”l3经过点（﹣1，4），∴4＝﹣（2﹣a）+a，∴a＝6，∴点N的坐标为（2，﹣4）．3．【解答】解：（1）联立方程组得：，解得，∴A点坐标是（2，3）；（2）设P点坐标是（0，y），∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，∴OP＝PA，∴22+（3﹣y）2＝y2，解得y＝，∴P点坐标是（0，）；（3）存在；理由：如图1，∵直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，∴C（，0），∵A点坐标是（2，3），∴M（1.5，﹣3），如图2，∵四边形ACOM是平行四边形，∴AM∥OC＝，AM＝OC，∴M（﹣1.5，3），如图3，∵四边形ACOM是平行四边形，∴AM∥OC＝，AM＝OC，∴M（5.5，3），综上所述，点M是坐标是（5.5，3）或（﹣1.5，3）或（1.5，﹣3）．4．【解答】解：（1）由图可知在Rt△BCO中，BC＝8，CO＝6，∴OB＝＝＝10；∵矩形ABCO中，点B的坐标是（6，8），∴AB＝6，OA＝8，∴BE＝AB＝6，OE＝10﹣6＝4．设D（0，a），则OD＝a，AD＝DE＝8﹣a，在Rt△EOD中，DE2+OE2＝OD2，∴（8﹣a）2+42＝a2，解得：a＝5，∴D（0，5），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，∴，∴直线BD的解析式为y＝x+5；（2）AD＝DE＝3，如图1，过E作EH⊥AO于H，∴S△ODE＝OD•EH＝DE•OE，∴×5×EH＝×3×4，∴EH＝，∴OH＝＝；∴E（，）；（3）存在，理由如下：①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4，∴M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；②当OE为菱形的边，OM为菱形的对角线时，如图2，设直线OB解析式为：y＝kx，由点（6，8）在图象上可知：8＝6k，∴k＝，∴直线OB解析式为y＝x，设点E（x，x），在Rt△EOG中，OG2+GE2＝OE2，即：x2+（x）2＝16，解得：x＝．∴点M（，0），如图3，当OE为菱形的对角线时，过E作EG⊥OM于G，∵E（，）；∴OG＝，EG＝，∵四边形OMEN是菱形，∴EM＝OM，设EM＝OM＝x，∴GM＝x﹣，∵EM2＝GM2+EG2，∴x2＝（x﹣）2+（）2，∴x＝，∴OM＝，∴M（，0），综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点且以OE为边的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或或．5．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴5k+b＝0，k+b＝4，解得k＝﹣1，b＝5，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；（2）∵若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，∴y＝﹣x+5，y＝2x﹣4，联立方程组，解得x＝3，y＝2，∴点C（3，2）；根据图象可得x＞3；（3）如图1，当点P在y轴正半轴上时，∵四边形ACPQ是平行四边形，∴PC∥OA，∵点C（3，2），∴P（0，2），如图2，当点P在y轴的坐标轴上时，过C作CH⊥x轴于H，∴∠AHC＝∠POQ，∵四边形ACQP是平行四边形，∴PQ＝AC，PQ∥AC，∴∠OQP＝∠CAH，∴△POQ≌△CHA（AAS），∴CH＝OP＝2，∴P（0，﹣2），综上所述，P（0，2）或P（0，﹣2）．6．【解答】解：（1）设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，∵直线AB经过点A（4，0）、B（0，3），∴，解得．∴直线AB所对应的函数关系式为．（2）①∵点P在直线上，∴点P的坐标为，∵PD⊥x轴于点D，∴．∵∠PCA＝45°，∴PD＝CD，∴．解得．∴当时，∠PCA＝45°．②．即．③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∠EOD＝90°，∴四边形EODP是矩形，∴EO＝PD．∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴要使四边形BEDP是平行四边形，必须BE＝PD，∴BE＝EO＝PD，即BO＝2PD，∴．解得t＝2．∴．∴使得四边形BEDP是平行四边形时的点P的坐标为．7．【解答】解：（1）∵点B在直线y＝﹣x+4上，∴﹣m+4＝1 解得m＝3，∴点B的坐标为（3，1）．设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（0，﹣2），B（3，1）代入解析式得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣2．（2）由题意得：点C的坐标为（0，﹣4），∴AC＝OC+OA＝4+2＝6，∴S△ABC＝×3×6＝9，∴．设点P的横坐标为a，∴a＝1．①当点P在线段BC上时，﹣a+4＝3，∴点P的坐标为（1，3）；②当点P在线段AB上时，a﹣2＝﹣1，∴点P的坐标为（1，﹣1）；综上：点P的坐标为（1，3）或（1，﹣1）．（3）设E的横坐标为x，∴E（x，﹣x+4），F（x，x﹣2），∴EF＝|（﹣x+4）﹣（x﹣2）|＝|﹣2x+6|，∵以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，∴CO＝EF，∴|﹣2x+6|＝4，解得x＝1或x＝5．∴点E的坐标为（1，3）或（5，﹣1）．8．【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+＝0，∴a﹣2＝0，b﹣4＝0，∴a＝2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4）；（2）过C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥CD于E，如图：∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∵△ABC是以AB为底的等腰直角三角形，∴∠BCE＝90°﹣∠ACD＝∠CAD，BC＝AC，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD，设AD＝CE＝x，则BE＝OD＝x+OA＝x+2，∴CD＝BE＝x+2，∵OB＝DE＝4，∴CD+CE＝4，即x+2+x＝4，解得x＝1，∴OD＝x+2＝3，CD＝BE＝OD＝3，∴C（3，3），将C（3，3）代入y＝mx得：3＝3m，解得m＝1，答：m的值是1；（3）存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，这样的点N有8种情况，设N（m'，n），而A（2，0），B（0，4），当M在y轴上时，设M（0，t），①若AM、BN为对角线，则AM、BN的中点重合，BM＝BA，∴，解得或，∴N（2，﹣2）或（2，2）；②若AN、BM为对角线，则AN、BM的中点重合，AM＝BA，∴，解得（此时N、A、B共线，舍去）或，∴N（﹣2，0）；③若AB、MN为对角线，则AB、MN的中点重合，MA＝MB，∴，解得，∴N（2，）；当M在x轴上时，设M（t'，0），④若AM、BN为对角线，∴，解得（与A、B共线，舍去）或，∴N（0，﹣4）；⑤若AN、BM为对角线，∴，解得或，∴N（2，4）或（﹣2，4）；⑥若AB、MN为对角线，∴，解得，∴N（5，4），综上所述，满足条件的N有8个，分别是（2，﹣2）或（2，2）或（﹣2，0）或（2，）或（0，﹣4）或（2，4）或（﹣2，4）或（5，4）．9．【解答】解：（1）把点C的横坐标为﹣2代入y＝﹣x得：y＝2，∴C（﹣2，2），设直线AB函数表达式为y＝kx+b，将A（﹣6，0），C（﹣2，2）代入得：，解得，∴直线AB函数表达式为y＝x+3；（2）∵P的横坐标为t，∴P（t，t+3），D（t，﹣t），∵DP＝6，∴|t+3﹣（﹣t）|＝6，解得t＝2或t＝﹣6，答：t的值为2或﹣6；（3）存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形，理由如下：根据题意知：P（t，t+3），E（t，0），F（﹣t﹣3，t+3），A（﹣6，0），①若AP、EF为对角线，则AP、EF的中点重合，∴，解得t＝6，∴P（6，6）；②若AE、PF为对角线，则AE、PF的中点重合，∴，方程组无解，这种情况不存在；③若AF 、PE 为对角线，则AF 、PE 的中点重合，∴，解得t ＝﹣，∴P （﹣，）；综上所述，P 的坐标为（6，6）或（﹣，）．10．【解答】解：（1）当＝0时，x ＝3，∴A （3，0），当x ＝0时，＝4，∴B （0，4），当y ＝x +3＝0时，x ＝﹣3，∴C （﹣3，0），当x ＝0时，y ＝x +3＝3，∴E （0，3），联立与y ＝x +3，解得x ＝，y ＝，∴D 点坐标为（，）；（2）由（1）可得BE ＝1，OB ＝4，OA ＝3，∴＝6，＝，∴四边形AOED的面积＝S△AOB﹣S△BED＝；（3）存在点N，使O，E，M，N为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：∵点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），设点M（m，m+3），其中﹣3＜m＜0，∵E（0，3），∴MO＝，ME＝，OE＝3，①MO＝ME时，即＝，解得m＝，∴M（，），∴N（，）；②OM＝OE时，＝3，解得m＝0（舍）或m＝﹣3（舍），此种情况不存在符合题意的点N；③ME＝OE时，＝3，解得m ＝（舍）或m ＝﹣，∴M （﹣，﹣+3），∴N （﹣，﹣），综上，满足条件的点N 坐标为（，）或（﹣，﹣）．11．【解答】解：（1）∵y ＝﹣2x +8交x 轴于A ，∴﹣2x +8＝0，∴x ＝4，∴A （4，0），∵y ＝﹣2x +8交y 轴于B ，∴y ＝﹣2×0+8＝8，∴B （0，8），∵M 为OB 中点，∴M （0，4），设直线AM 的解析式为y ＝kx +b ，∴，解得：，∴直线AM 的解析式为y ＝﹣x +4；（2）如图1，过O 作直线l 1∥AB ，P 1为l 1与AM 交点，此时S△AOB＝S△ABP，∴l1：y＝﹣2x，令﹣2x＝﹣x+4，解得：x＝﹣4，∴y＝﹣2×4＝8，∴P1（﹣4，8）；作l2：y＝﹣2x+16交AM于P2，此时S△ABP＝S△AOB，令﹣2x+16＝﹣x+4，解得：x＝12，∴y＝﹣2x+16＝﹣2×12+16＝﹣8，∴P2（12，﹣8）；综上所述，点P的坐标为（﹣4，8）或（12，﹣8）；（3）①如图2，当AM∥BH，则∠MAH＝∠H＝90°，∴y BH＝﹣x+8，设H（m，﹣m+8），∵AH⊥BH，∴BH2+AH2＝AB2，∴m2+（8+m﹣8）2+（4﹣m2）+（0+m﹣8）2＝82+42，解得m＝6或m＝0（不合题意，舍去），∴H（6，2）；②如图3，当AH∥BM，则∠MBH＝∠H＝90°，∵A（4，0），B（0，8），∴H（4，8），③如图4，AB∥MH，当∠H1＝∠HAB＝90°时，∴y＝﹣2x+4，设H1（n，﹣2n+4），∵A（4，0），M（0，4），∴AH+MH＝AM2，∴（4﹣n）2+（2n﹣4）2+（0﹣n）2+（4+2n﹣4）2＝42+42，解得n＝或n＝0（舍去），∴H1（，），当∠H2＝∠ABH2＝90°时，四边形AH1H2B为矩形，∴H2（﹣，），综上所述，点H的坐标为（6，2）或（4，8）或（，﹣）或（﹣，）．12．【解答】解：（1）∵长方形OABC，∴BC＝OA，∵OA＝10，∴BC＝10，∵△CBM沿CM翻折，∴B′C＝BC＝10，在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6，∴B′O＝＝＝8，∴B′（8，0），（2）设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x，∵OA＝10，B′O＝8，∴B′A＝2，∵△CBM沿CM翻折，∴B′M＝BM＝6﹣x，在Rt△AB′M中，B′A2+AM2＝B′M2，∴22+x2＝（6﹣x）2，解得x＝，∴M（10，），设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10，）代入得：，解得，∴CM所在直线的解析式为y＝﹣x+6；（3）折痕CM上存在一点P，使PO+PB′最小，连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB'，如图：∵△CBM沿CM翻折后，点B落在B′点，∴PB＝PB'，∴PO+PB′＝PO+PB＝OB，此时O、P、B共线，故PO+PB′最小，而OB＝＝＝2，∴PO+PB′的最小值为2．13．【解答】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，在Rt△ABE中，AE＝AO＝15，AB＝OC＝12，BE＝＝＝9，∴CE＝15﹣9＝6，在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，又∵DE＝OD，∴（12﹣OD）2+62＝OD2，∴OD＝．故答案为：6，；（2）∵CE＝6，∴E（6，12）．∵OD＝，∴D（0，），设直线DE的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+；（3）∵直线y＝kx+b与AE所在的直线垂直，DE⊥AE，∴直线y＝kx+b与DE平行，∴直线为y＝x+b，∴当直线经过A点时，0＝×15+b，则b＝﹣，当直线经过C点时，则b＝12，∴当直线y＝kx+b与矩形OABC有公共点时，﹣≤b≤12．14．【解答】解：如图1，（2）延长CB至F，使BF＝BC，连接DF交OB于E，则△CDE的周长最小，∵BE∥AC，∴△FBE∽△FCD，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴OE＝OB﹣BE＝，∴E（，0），设直线CE的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣；（3）如图2，过C点作DE的平行线，交x轴于P1，过点D作CE的平行线，交x轴于P2，CP1与DP2交于P3，∵D（1，1），E（，0），C（4，2），∴EP1＝CD＝3，∴P1（+3，0），即P1（，0），同理P2（﹣3，0），∴P2（﹣，0），∵DP3＝CE，∴E平移到C可以看成向右平移4﹣＝个单位，再向上平移2个单位，∴P3（1+，2+2），即P3（，4）．综上所述，P点坐标有3个，分别是：（，0）、（﹣，0）及（，4）．15．【解答】解：（1）∵OA＝8，∴A（8，0），将A（8，0）代入y＝﹣x+b得：0＝﹣4+b，∴b＝4，∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4；（2）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，∴B（0，4），在y＝2x﹣6中，令x＝0得y＝﹣6，∴D（0，﹣6），∴BD＝10，由得，∴C （4，2），∴S △BCD ＝BD •|x C |＝×10×4＝20；（3）存在，理由如下：如图：设E （m ，﹣m +4），0≤m ≤4，则F （m ，2m ﹣6），∴EF ＝|（﹣m +4）﹣（2m ﹣6）|＝|﹣m +10|，∵四边形OBEF 是平行四边形，且OB ∥EF ，∴只需OB ＝EF ，即|﹣m +10|＝4，解得m ＝或m ＝（大于4，舍去），∴E （，）．16．【解答】解：（1）如图，连接AC ，作CE ⊥x 轴于E ．∵直线y＝﹣2x+1与坐标轴交于A、B两点，∴A（，0），B（0，1），∵∠BAC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠CAE＝90°，∴∠ABO＝∠CAE，∵AB＝AC，∠AOB＝∠CEA＝90°，∴△ABO≌△CAE（AAS），∴CE＝OA＝，AE＝OB＝1，∴C（，），把C（，）代入y＝x+a，得：＝+a，解得：a＝﹣1，∴直线CD的解析式为y＝x﹣1；（2）如图，作D关于y轴的对称点D′，连接CD′交y轴于E，此时△CDE的周长最小．由解得，∴D（，﹣），D′（﹣，﹣），∴直线CD′的解析式为y＝x﹣，∴E（0，﹣）；（3）如图，①当BC为平行四边形对角线时．∵四边形BOCF3是平行四边形，∴CF3＝OB，CF3∥OB，∵B（0，1），C（，），∴F3（，）；②当BC为平行四边形的边，四边形BOF1C是平行四边形时，∴CF1＝OB，CF1∥OB，∵B（0，1），C（，），∴F1（，﹣）；③当BC为平行四边形的边，四边形BCOF2是平行四边形时，∴F1、F2关于原点O对称，∵F1（，﹣）；∴F2（﹣，）．综上所述，点F的坐标为（，）或（，﹣）或（﹣，）．17．【解答】解：（1）由题意得，B（0，4），C（2，0），∴OB＝4，OC＝2，∵S△ABC＝6，∴，∴AC＝3，∴A（﹣1，0），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∵函数图象经过点（﹣1，0），（0，4）∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝4x+4；（2）存在点D，以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，∵A（﹣1，0），B（0，4），C（2，0），设D（m，n），当AB为对角线时，∴，解得，∴D（﹣3，4）；当AC为对角线时，∴，解得，∴D（1，﹣4）；当AD为对角线时，∴，解得，∴D（3，4）．综上：存在点D，此时D（﹣3，4），D（3，4），D（1，﹣4）；（3）存在，使得线段MN被点E平分，由（1）得直线AB的解析式为y＝4x+4，∵直线y＝mx+n分别交直线AB，BC于M，N两点，设M（a，4a+4），N（b，﹣2b+4），由题可知，线段MN被点E平分，∴，解得，∴，，将，代入y＝mx+n得，解得，∴，．18．【解答】解：（1）∵A（2，0），D（0，1），将点A、D的坐标代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线y＝kx+b的解析式：y＝﹣x+1；（2）∵BC＝1，BC⊥y轴，∴设B（1，m），∵AB＝，∴1+m2＝5，解得m＝2（负值舍去），∴B（1，2）；（3）①ON为平行四边形的一边．∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴BM∥x轴，且BM＝ON，根据（1），点B的坐标为（1，2），∴﹣x+1＝2，解得x＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，2），∴BM＝1﹣（﹣2）＝1+2＝3，Ⅰ点N在点O的左边，四边形MNOB是平行四边形时，ON＝BM＝3，∴点N的坐标为（﹣3，0），Ⅱ点N在点O的右边，四边形MONB是平行四边形时，ON＝BM＝3，∴点N的坐标为（3，0），②ON为平行四边形的对角线，作BG⊥x轴于G，作MH⊥x轴于H，∵点N在x轴上，四边形BOMN是平行四边形，∴BO＝MN，BO∥MN，∴∠BOG＝∠MNH，∵∠BGO＝∠MHN＝90°，∴△BOG≌△MNH（AAS），∴BG＝MH，OG＝HN，∵点B的坐标为（1，2），∴HN＝OG＝1，MH＝2，即点M的纵坐标为﹣2，∴﹣x+1＝﹣2，解得x＝6，∴点M的坐标为（6，﹣2），∴ON＝1+6＝7，∴点N的坐标是（7，0），综上所述，点N的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（7，0）．19．【解答】解：（1）直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣2，0），B（0，5），即OA＝2，OB＝5，∵△ABC面积为15，∴（OA+OC）•OB＝15，∴OC＝4，∴C（4，0），设直线BC的表达式为y＝kx+b，将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+5；（2）∵S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝S△ABC﹣S△ABO＝15﹣×2×5＝10，∴S△ACM＝×6×y m＝10，解得：y m＝，解得：x m＝，∴M（，）；（3）∵A（﹣2，0），M（，），设直线AM的表达式为y＝k′x+b′，将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，∴直线AM的表达式为：y＝x+2．①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图：∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，∴点E的纵坐标是5，∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．∴x+2＝5，解得：x＝3，∴E（3，5），∴BE＝CD＝3，∵C（4，0），∴D（7，0）；②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴于F，∵四边形BDEC为平行四边形，。
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一次函数与四边形综合题——轻舟数学一．选择题（共1小题）1．（2011•杭州自主招生）如图，直线PA是一次函数y=x+n（n＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+m（m＞n）的图象．若PA与y轴交于点Q，且S四边形PQOB=，AB=2，则m，n的值分别是（）A．3，2 B．2，1 C．D．1，二．解答题（共16小题）2．（2009春•静安区期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求直线BD的表达式．3．（2010秋•常州期末）如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是．4．（2012•绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2014•温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N 分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S．①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围．6．（2012•鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．7．（2011•牡丹江）如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E 在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD=．若线段OA的长是一元二次方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，又2AB=30A．请解答下列问题：（1）求点B、F的坐标；（2）求直线ED的解析式：（3）在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：①BC的长为；②DE的长为；③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长，请找出它们的数量关系？（2）如图2，当直角∠BAC绕着其顶点A顺时针旋转时，角的两边分别与x轴正半轴、y 轴正半轴交于点C1和B1，连接B1C1交OA于P．B1D平分∠OB1C1，交OA于点D，过点D作DE⊥B1C1，垂足为E，请猜想线段OB、B1C1、DE三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当B1E=6，C1E=4时，求直线B1D的解析式．9．（2013•会泽县校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．10．（2013•大连二模）如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°．（1）请直接写出线段PG与PC的位置关系及的值．（2）若将图1中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图2．那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化，直接写出结论，若有变化，写出变化的结果．（3）在图1中，若∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请直接写出的值（用含α的式子表示）．11．（2013•重庆模拟）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4厘米，OC=3厘米，线段OA上一动点D，以1厘米/s的速度从O点出发向终点A运动，线段AB上一动点E也以1厘米/s的速度从A点出发向终点B运动．当E点到达终点B后，D点继续运动直至到达终点A．（1）试写出多边形ODEBC的面积S（平方厘米）与运动时间t（s）之间的函数关系式．（2）在（1）的条件下，当多边形ODEBC的面积最小时，在坐标轴上是否存在点P，使△PDE 为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在某一时刻将△BED沿着BD翻折，使点E恰好落在BC边的点F上．求出此时时间t的值．若此时在x轴上存在一点M，在y轴上存在一点N，使四边形MNFE的周长最小，试求出此时点M、N的坐标．12．（2012•青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠AEB=90°又∵∠EAM+∠AEB=90°∴∠EAM=∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM=EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME=135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF=135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．13．（2012•葫芦岛一模）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．14．（2010•乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O．过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3．（1）如图1所示，当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）．求证：h2+h3=2h1；（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直．①如图2所示，当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；②如图3所示，当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系．（只需写出关系，不要求说明理由）15．（2009•哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．16．（2014春•武汉月考）在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y 轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+（n﹣2）2=0．（1）求点A、C的坐标；（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．17．（2014春•青山区期末）如图（1），直线y=﹣x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，以OA、OC为边作正方形OABC，E是边OC上一点，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D．（1）求A、C两点的坐标；（2）若直线AD的解析式为y=﹣x+3，求直线DE的解析式；（3）如图（2），若∠OAE=30°，过点E作EF⊥AC于点H，交AD于点F，求的值．。