流体力学(流体静力学).

数或势函数。满足这样势函数的力就称为有势的力。如重力。
结论：不可压缩流体只有在有势的质量力作用下才能平衡。
二、等压面
在静止和平衡流体中，由压强相等的点组合成的面称为等压面。 静止流体或相对静止流体的自由表面就是等压面。
显然，在等压面上各点的压强相等，即：p=常数或dp=0。根据 式（4）可以得到等压面方程式为
p
1 2
p dx x
其中 p 为压力在x方向的变化率。由于微元体的面积取得足够小，
x
可以认为平面中点的静压强即为该面的平均静压强，于是作用在六
面体左右两端面上的表面力为
PM
( p 1 p dx)dydz 2 x
1 p PN ( p 2 x dx)dydz
2、质量力
因此，根据质量力的方向可以确定等压面的形状。
3、两种互不相混的流体当处于平衡时，它们的分界面必为等 压面。
简单证明：如果在分界面上任取两点A和B，这两点的静压差为 dp，势差为dU。因为它们属于两种液体，若其中一种液体的密度为 ρ1，另一种液体的密度为ρ2，则可分别写为
dp ＝ρ1dU dp ＝ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程 式才能成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
得：
。
同理可得：
p1 ＝ p2 p1 ＝ p3
这里的p1就是任意方向微元平面上的应力pn，它和该点坐标平 面方向的应力px，pz相等。三维流体的结论是相同的(P21)：
pn px py pz
结论：
●流体中各不同点处的静压强是不相同的，与该点所处的位置 有关，所以某点的静压强可以表示成位置的函数。即
dl {dx, dy, dz}
单位质量力 F {X ,Y , Z}
则单位质量力所作的功为
F dl Xdx Ydy Zdz 0
所以即，质质量量力力沿必等垂压直面于所等作压的面功。为再零F。与而d质l 量两力矢和量位互移相都垂不直为的零充，要
条件是 F dl 0
y
z
代入（2）式得：
dp ( Xdx Ydy Zdz) (4)
如果流体是不可压缩的，即ρ＝常数。因（4）式左边是压力
的全微分dp，那么，右边也可看作是某个函数U（x，y，z）的全微 分。即
dp dU (U dx U dy U dz) (5)
x
y
z
dp ( Xdx Ydy Zdz)
设作用于六面体的单位质量力在x、y、z轴方向的分量分别为X 、Y、Z，流体的密度为ρ，则六面体的质量为：
dm dxdydz
因此沿 x 轴方向的质量力
Fx Xdxdydz
据平衡条件，x 轴方向各作用力之和应等于零，∑Fx＝0，即
( p 1 p dx)dydz ( p 1 p dx)dydz Xdxdydz 0
即在静止流体中通过一点取1—1和 2—2两个面，则作用在1—1面上的静压 强 p1与作用在2—2面上的静压强 p2 的 大小相等。即
p1 p2
证明：从静止状态的流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
说明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表示任意方向微元表面。
分析 z 方向的力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元的体积：
§2—2 流体静压强及其特性
一、流体静压强
作用在受压面整个面积上的压力称
为总压力或压力，作用在单位面积上的
压力是压力强度，简称压强。
p 作用在面积ΔA上的平均静压强，可
以表示为：
p P A
当面积ΔA无限缩小到一点时，则得该点的静压强 p 为：
p lim P A0 A
压强的国际制单位是 N/m2 (Pa) 或 kN/m2；工程制单位是kgf/cm2
一、平衡微分方程式
在静止流体中，取一以任意点O′为中心的微小平行六面体。
1、表面力
作用在六面体上的 表面力只有周围流体对 它的压力。
中心 O′的压力为
p p(x, y, z) ，垂直于 x 轴
的左右两个平面中心 M 和 N 上的的静压强，按泰勒级数展开，泰wenku.baidu.com公式：
f (x)
f (x0 )
达式，也称流体静力学基本方程。
从式 p p0 h 可以得出结论：
(1)在重力作用下的液体内部压强随深度h按直线关系变化。 (2)在重力作用下的液体中深度相同的各点静压强亦相同。 (3)重力作用下的液体中任何一点的压强p由两部分组成。一是 作用在自由表面上的压强p0，二是流体自身重量引起的压强ρgh
分常数对应不同的平面。在自由表面上，x＝0，z＝0，则c＝0，自 由面方程式为
ax gz 0
即

)总是同一个常数。
图表示一封闭容器，其中盛有重度为γ的液体，自由液面上的
压力为p0。
在应用中，z——位置水头；
p ——压强水头或测压管高度；
g
z p ——测压管水头。 g
二、相对平衡液体的压力分布
1、容器作等速直线运动
如图所示，若一盛有流体的容器以速度 u 作等速直线运动时， 流体质点之间也不存在着相对运动。
二、质量力
质量力是作用在流体的每一质点上、且与作用的流体的质量成正 比的力。如重力、惯性力等。
质量力常用单位质量力来表示。若均质流体的质量为M，所受的 质量力为F，则单位质量力为F/M。
若F在直角坐标系x、y、z轴方向上的分量为Fx、Fy和Fz，则在x、 y、z轴方向上的单位质量力分量X、Y、Z为：
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)
2

f
(n) (x0 n!
)
(x

x0
)
n

按泰勒级数展开，把M、N点的静压强写成
p 1
1 p
pM

p
[(x dx) x] x 2
p 2
dx x
pN

p
p [(x x
1 dx) x] 2
X Fx Fx M V
Y Fy Fy
M V
Z Fz Fz
M V
单位质量力具有与加速度相同的量纲[LT-2]。
如果液体只受到重力的作用，取 z 轴铅直向上，xoy平面为水平
面，则单位质量力在轴上的分量为
X＝0 Y＝0 Z＝-Mg/M＝-g
§2－2 流体静压强及其特性
流体静压强 流体静压强的特性
第二章 流体静力学
1、作用在流体上的力 2、流体静压强及其特性 3、流体的平衡微分方程 4、流体静力学基本方程 5、压强的计算基准和量度单位 6、液柱式测压计 7、作用于壁面上流体的总压力
§2－1 作用在流体上的力
表面力 质量力
§2—1 作用在流体上的力
作用在流体上的力，按其物理性质分，有重力、惯性力、压力 、粘滞力、表面张力等。按其作用特点又可分为表面力和质量力两 大类。
积分得 p gz c
（7）
c—积分常数，在 z＝H 处，p＝p0
代入上式得 p0 gH c 则 c p0 gH
代入（7）式得
p p0 g(H z) p0 gh
故 p p0 gh
p p0 h (8)
式中p—— 液体内某点的压强，Pa p0——液面气体压强，Pa γ——液体的重度，N/m3 h—— 某点液面下的深度，m 上式就是在重力作用下，静止液体内部压强分布规律的数学表
§2－4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体的压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ的静止的均匀液体 ，液体所受的质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上的分量为
X＝0 Y＝0 Z＝－g
则 dp (Xdx Ydy Zdz) gdz
式中
X ＝－a
(b)
由于惯性力在 y 轴方向的分量均等于零，所以应取
Y＝0
(c)
Z 的大小应等于重力加速度g，方向与 z 轴相反，即
Z ＝－g
(d)
将式(b)(c)(d)代入(a)得
dp (adx gdz)
积分即得等压面方程式 ax gz c
显然， ax gz c 这是一个倾斜的平面族方程。不同的积
（4）
dp dU (U dx U dy U dz)
x
y
z
（5）式与（4）式对比可得
（5）
X U x
Y U y
Z U z
显然，函数U（x、y、z）在x、y、z轴方向的偏导数正好等于
该坐标轴方向的单位质量力。
U是一个决定流体质量力的函数。称函数U（x，y，x）为力函
p p(x, y, z)
●不论器壁的方向和和形状如何，流体的静压强总是垂直于器 壁
●根据流体静压强的第二个特性，当需要测量流体中某一点的 静压强时，可以不必选择方向，只要在该点确定的位置上进行测量 即可。
§2－3 流体的平衡微分方程
平衡微分方程式(P24) 等压面(P26)
§2—3 流体的平衡微分方程
上作用有与其交界的另一部分流体或其
他物体对它作用的表面力。
ΔA面上的表面力的表达形式为：
p P T
A
A
p 为面积ΔA上的平均压应力或平
均正压强； 为面积ΔA上的平均切应
力或平均摩擦力。
A点处的压强 p 和切应力τ，即：
p lim P lim T
A0 A
A0 A
z
dV 1 dxdz 2
质量力：
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz

1 2
Zdxdz
p2dx
根据平衡条件 ∑F＝0，有
p2dx

p1dx

1 2
Zdxdz

0
当dx、dy、dz趋于零，即四面体缩小到原点时，上式左端第三项的
质量力与前两项的表面力相比为高阶无穷小，可忽略不计，因而可
取一微小面积ΔA，在ΔA 的圆 柱体的重量ρghΔA 作用在面积ΔA 上，按照压力的定义，ρgh就是单 位面积上所受的力。
ghA gh
A
(4)将式 p gz c 改写为
p zc 或
g
pzc

（9）
上式表明：对于重力作用下的静止液体来说，静止液体中不
论哪一点的(
z p
。通常把流体静压强叫做流体静压力。
二、流体静压强的特性
1、流体静压强的方向与作用面相垂直且指向该作用面，即沿 着作用面的内法线方向。
证明要点： 因静止流体不能承受剪力，即τ＝0，故 p 垂直受压面；
p
因流体几乎不能承受拉力，故 p 指向受压面。
2、在静止流体内部任意点处的流体静压强在各个方向都是相 等的。
一、表面力
●表面力是作用在被研究流体表面上，且与作用的表面面积成 正比的力。
●表面力的表达形式是用单位面积上的切向分力(称为切应力 或摩擦应力)和单位面积上的法向分力(称为压应力或正压强)来表 示。
表面力按作用方向可分为： 压力： 垂直于作用面。 切力： 平行于作用面。
如在流体中取出一隔离体，其表面
将欧拉平衡方程式中各式分别乘以dx、dy、dz并相加，得
( Xdx Ydy Zdz) p dx p dy p dz（2）
x y z
因为 p p(x, y, z) ，所以(2)式右边为压力p的全微分：
dp p dx p dy p dz (3)
x
Xdx Ydy Zdz 0 (6)
★等压面三个重要性质
1、等压面是等势面 在等压面上，p=常数，则dp=0。由式（5）得
dU 0
由于 0 ，只有 dU 0 ，则得 U 常数 。
由此可见，等压面确实就是等势面。
2、质量力与等压面相互垂直

设想流体质点在等压面上移动一微小距离 dl
2 x
2 x
以 dxdydz 除上式各项，并化简得：
同理
X 1 p 0
x Y 1 p 0
y
（1）
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出 的，故又称欧拉平衡方程式。它表示流体在质量力和表面力作用下 的平衡条件。
流体内任一点的压力可用静力学基本方程式求得。
p p0 gh
2、容器作等加速直线运动(P27)
将坐标系统 x 轴和 y 轴放在容器中的液体自由表面上。坐标原 点放在液体自由表面中心，x 轴的方向与运动方向一致，z 轴向上 。如图所示。
★等压面的方程式
静力学平衡微分方程式为
dp ( Xdx Ydy Zdz) (a)