离散数学期末测试卷I及答案
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离散数学期末测试卷 I 及答案
第一部分、考试形式和时间 答题时限： 120 分钟 考试形式：闭卷笔试 第二部分、考试题型和得分构成
大题号
一
二
三
四
总分
100
20
Hale Waihona Puke Baidu10
10
60
一、选择题：对每一道小题,从其 4 个备选答案中选择最适合的一项,每小题 2 分,共 10 道小题,20 分。
二、填空题：每空 1 分,共 5 道小题,10 个空白处待填,10 分。 三、判断题：每一道小题均以陈述语句描述,对的打√,错的打 х。每小题 1 分,共 10
A 答案： A ∧ 不成立。（不应同时否认一个命题（A）及其否定（非 A）） x（F（x）∨ F（x））对任何个体 x 而言,x 有性质 F 或没有性质 F。
5．什么是真命题？命题“如果雪是黑的,则 1+1=0”是真命题吗？ 答案：真值为真的命题为真命题。命题“如果雪是黑的,则 1+1=0”是真命题！ 解析：p:雪是黑的；q:1+1=0;如果雪是黑的,则 1+1=0:p→q。由于 p 为假,所以无论的真值 如何,“p→q”的真值都为真。 6. 下列哪个等价公式有错？
A． P, P Q Q ； B． P, P Q Q ； C． Q, P Q P 答案：B 14．设 G 为 4 阶有向图,度数列为（4,4,2,2）,若它的入度列为（2,2,1,1）, 则出度列为哪项？C
A．（2,1,1,2）； B．（1,2,1,2）； C．（2,2,1,1） 15．图论中的握手定理的内容是什么？
4 / 14
19．设 S(x) 表示 x 是学生。T (x) 表示 x 是老师, A(x, y) 表示 x 钦佩 y 。则命题“所有学 生都钦佩某些老师”符号化为后的表达式是什么？
答案： xy(S(x) T ( y) A(x, y))
20．谓词公式 x(P(x) yR(x, y)) Q(x) S(x) 中量词（ y ）辖域是
道小题,10 分。 四、综合题：每小题 10 分,共 6 道小题,60 分。
第三部分、考试复习范围
一、选择题 1．含 n 个元素的集合 A 的幂集的元素个数为多少？ 答案：2n 个。 2．数理逻辑的创始人是谁？
1 / 14
答案：莱布里茨。 3．设(R,+,)是环,它有哪些特性？ 答案：1.(R,+)是阿贝尔群。2.(R,•)是半群。3.•对+可分配。 4．排中律满足哪些性质？
A． P Q Q P ；B． P Q P Q ；C． P Q Q P ；
答案：A 7. 设 G 为 4 阶有向图,度数列为（3,4,2,3）,若它的入度列为（1,2,2,1）,
则出度列为哪项？
A．（1,2,1,2）； B．（2,2,0,2）；
C．（2,1,1,2）．
答案：B
解析：有向图中：度数=出度数+入度数。
答案：R(x,y) 21．图论的创始人是谁？
答案：瑞士数学家 L.Euler(欧拉) 22．两个图同构是指其中一个图近经过哪些变换可以变为另一个图？
答案：1.挪动点的位置； 2.伸缩边的长短。
23. 什么是孤立点和悬挂点？ 答案：孤立点：在任意图 G(V,E)中,度数为 0 的结点。
悬挂点：在任意图 G(V,E)中,度数为 1 的结点。 24.域和环相比增加了哪些要求？ 答案：域：设(F,+,•)是环,若(F-{0},•)是阿贝尔群,则称(F,+,•)是域。 25.阿贝尔群具有哪些特点？比普通群增加了什么？ 答案：阿贝尔群：设(G,•)是群,若其运算•是可交换的,则称(G,•)为阿贝尔群。 二、填空题 1．鸽笼原理是指什么？ 答：n+1 只或更多的鸽子飞进 n 个笼子时,一定有一个笼子里面至少有 2 只鸽子。 2．哪位挪威数学家和法国数学家先后为群的研究做出了杰出的贡献？
8. 设 S a,3,4,,则表示空元素属于 S 怎样写？
答案:Ø ∈S 9. 什么是前束范式？下面哪个是前束范式？
2 / 14
A． Q(x, z) (x)(y)R(x, y, z) ； B． (x)(y)Q(x, y) ． 答案：前束范式：如果量词均在全式的开头,它们的作用域延伸到整个公式的末端,则该 公式叫做前束范式。B。 解析：如果量词均在全式的开头,它们的作用域延伸到整个公式的末端,则该公式叫做前 束范式,显然 B 选项满足定义。 9. 无向图 G 中有 16 条边,且每个结点的度数均为 2,则结点数是多少？ 答案：16 解析：由于每个结点的度数为 2,所以可以排除 G 中存在孤立点（度数为 0）和悬挂点（度 数为 1）。由此可知,G 中的任何一个结点皆是使用一度与上一个结点相连再使用另一度 与下一个结点相连,从而每条边与两个结点关联（上一个结点与下一个结点）,但是每个 结点又与两条边相连,故结点数为：16×2÷2=16 个。 10. 含 n 个命题变元的命题公式的不同的真值指派有几种？ 答案：2n 种 11. 集合论的创始人是？ 答案：G.Cantor(康托尔) 13．以下推理错误的是？
3 / 14
答案：握手定理：在任何（n,m）图 G=（V,M）中,其所有结点度数之和等于边数 m 的 两倍,即：∑deg(v)=2m。 16．下面哪一种图不一定是树？
A．有 n 个结点 n 1条边；
B．无圈连通图； C．每对结点间有唯一的一条路的图 D．无圈但增加一条边,就得到一个且仅有一个圈． 答案：A 17．对于任意素数 p 和正整数 n,存在多少个元素的有限域？ 答案： Pn 18．下面所示的偏序集中,哪个是格？ 答案：B 【解析】要想对偏序格进行正确地判断,前提是一定要吃透概念和定义：设(L,≤)是偏 序集,若 L 中的任意两个元素组成的子集均存在上确界及下确界,则称(L,≤)为偏序格。 另外,加设∅≠S L。 上确界：子集 S 的最小上界：lub(S)或 sup(S) 下确界：子集 S 的最大下界：glb(S)或 inf(S) 注意：1.只有一条线上的两个元素可以比较大小。未在一条线上的两个元素没有偏序关 系（无法比较大小）2.若对于 a L,x S 均有 x a ,则 a 为 S 的上界,反之,为下界。 A 选项中{a,b}的下界元素有 c 和 0,但是由于 c 和 0 无偏序关系而无法比较大小,导致 {a,b}没有下确界。C 选项{a,b}没有上确界。D 选项{a,b}没有上、下确界,{c,d}没有上、 下确界。 B 选项中（{a,c}上确界:a,下确界:c;{a,b}上确界：1,下确界：c;{d,e}上确界：c,下 确界：0；.....）任意两个元素组成的子集都存在上确界和下确界,故 B 选项是偏序格！
第一部分、考试形式和时间 答题时限： 120 分钟 考试形式：闭卷笔试 第二部分、考试题型和得分构成
大题号
一
二
三
四
总分
100
20
Hale Waihona Puke Baidu10
10
60
一、选择题：对每一道小题,从其 4 个备选答案中选择最适合的一项,每小题 2 分,共 10 道小题,20 分。
二、填空题：每空 1 分,共 5 道小题,10 个空白处待填,10 分。 三、判断题：每一道小题均以陈述语句描述,对的打√,错的打 х。每小题 1 分,共 10
A 答案： A ∧ 不成立。（不应同时否认一个命题（A）及其否定（非 A）） x（F（x）∨ F（x））对任何个体 x 而言,x 有性质 F 或没有性质 F。
5．什么是真命题？命题“如果雪是黑的,则 1+1=0”是真命题吗？ 答案：真值为真的命题为真命题。命题“如果雪是黑的,则 1+1=0”是真命题！ 解析：p:雪是黑的；q:1+1=0;如果雪是黑的,则 1+1=0:p→q。由于 p 为假,所以无论的真值 如何,“p→q”的真值都为真。 6. 下列哪个等价公式有错？
A． P, P Q Q ； B． P, P Q Q ； C． Q, P Q P 答案：B 14．设 G 为 4 阶有向图,度数列为（4,4,2,2）,若它的入度列为（2,2,1,1）, 则出度列为哪项？C
A．（2,1,1,2）； B．（1,2,1,2）； C．（2,2,1,1） 15．图论中的握手定理的内容是什么？
4 / 14
19．设 S(x) 表示 x 是学生。T (x) 表示 x 是老师, A(x, y) 表示 x 钦佩 y 。则命题“所有学 生都钦佩某些老师”符号化为后的表达式是什么？
答案： xy(S(x) T ( y) A(x, y))
20．谓词公式 x(P(x) yR(x, y)) Q(x) S(x) 中量词（ y ）辖域是
道小题,10 分。 四、综合题：每小题 10 分,共 6 道小题,60 分。
第三部分、考试复习范围
一、选择题 1．含 n 个元素的集合 A 的幂集的元素个数为多少？ 答案：2n 个。 2．数理逻辑的创始人是谁？
1 / 14
答案：莱布里茨。 3．设(R,+,)是环,它有哪些特性？ 答案：1.(R,+)是阿贝尔群。2.(R,•)是半群。3.•对+可分配。 4．排中律满足哪些性质？
A． P Q Q P ；B． P Q P Q ；C． P Q Q P ；
答案：A 7. 设 G 为 4 阶有向图,度数列为（3,4,2,3）,若它的入度列为（1,2,2,1）,
则出度列为哪项？
A．（1,2,1,2）； B．（2,2,0,2）；
C．（2,1,1,2）．
答案：B
解析：有向图中：度数=出度数+入度数。
答案：R(x,y) 21．图论的创始人是谁？
答案：瑞士数学家 L.Euler(欧拉) 22．两个图同构是指其中一个图近经过哪些变换可以变为另一个图？
答案：1.挪动点的位置； 2.伸缩边的长短。
23. 什么是孤立点和悬挂点？ 答案：孤立点：在任意图 G(V,E)中,度数为 0 的结点。
悬挂点：在任意图 G(V,E)中,度数为 1 的结点。 24.域和环相比增加了哪些要求？ 答案：域：设(F,+,•)是环,若(F-{0},•)是阿贝尔群,则称(F,+,•)是域。 25.阿贝尔群具有哪些特点？比普通群增加了什么？ 答案：阿贝尔群：设(G,•)是群,若其运算•是可交换的,则称(G,•)为阿贝尔群。 二、填空题 1．鸽笼原理是指什么？ 答：n+1 只或更多的鸽子飞进 n 个笼子时,一定有一个笼子里面至少有 2 只鸽子。 2．哪位挪威数学家和法国数学家先后为群的研究做出了杰出的贡献？
8. 设 S a,3,4,,则表示空元素属于 S 怎样写？
答案:Ø ∈S 9. 什么是前束范式？下面哪个是前束范式？
2 / 14
A． Q(x, z) (x)(y)R(x, y, z) ； B． (x)(y)Q(x, y) ． 答案：前束范式：如果量词均在全式的开头,它们的作用域延伸到整个公式的末端,则该 公式叫做前束范式。B。 解析：如果量词均在全式的开头,它们的作用域延伸到整个公式的末端,则该公式叫做前 束范式,显然 B 选项满足定义。 9. 无向图 G 中有 16 条边,且每个结点的度数均为 2,则结点数是多少？ 答案：16 解析：由于每个结点的度数为 2,所以可以排除 G 中存在孤立点（度数为 0）和悬挂点（度 数为 1）。由此可知,G 中的任何一个结点皆是使用一度与上一个结点相连再使用另一度 与下一个结点相连,从而每条边与两个结点关联（上一个结点与下一个结点）,但是每个 结点又与两条边相连,故结点数为：16×2÷2=16 个。 10. 含 n 个命题变元的命题公式的不同的真值指派有几种？ 答案：2n 种 11. 集合论的创始人是？ 答案：G.Cantor(康托尔) 13．以下推理错误的是？
3 / 14
答案：握手定理：在任何（n,m）图 G=（V,M）中,其所有结点度数之和等于边数 m 的 两倍,即：∑deg(v)=2m。 16．下面哪一种图不一定是树？
A．有 n 个结点 n 1条边；
B．无圈连通图； C．每对结点间有唯一的一条路的图 D．无圈但增加一条边,就得到一个且仅有一个圈． 答案：A 17．对于任意素数 p 和正整数 n,存在多少个元素的有限域？ 答案： Pn 18．下面所示的偏序集中,哪个是格？ 答案：B 【解析】要想对偏序格进行正确地判断,前提是一定要吃透概念和定义：设(L,≤)是偏 序集,若 L 中的任意两个元素组成的子集均存在上确界及下确界,则称(L,≤)为偏序格。 另外,加设∅≠S L。 上确界：子集 S 的最小上界：lub(S)或 sup(S) 下确界：子集 S 的最大下界：glb(S)或 inf(S) 注意：1.只有一条线上的两个元素可以比较大小。未在一条线上的两个元素没有偏序关 系（无法比较大小）2.若对于 a L,x S 均有 x a ,则 a 为 S 的上界,反之,为下界。 A 选项中{a,b}的下界元素有 c 和 0,但是由于 c 和 0 无偏序关系而无法比较大小,导致 {a,b}没有下确界。C 选项{a,b}没有上确界。D 选项{a,b}没有上、下确界,{c,d}没有上、 下确界。 B 选项中（{a,c}上确界:a,下确界:c;{a,b}上确界：1,下确界：c;{d,e}上确界：c,下 确界：0；.....）任意两个元素组成的子集都存在上确界和下确界,故 B 选项是偏序格！