化归思想在数学解题中的应用概况

摘要化归的思想方法是数学中最重要、最基本的思想方法之一，它着眼于揭示联系实现转化，在迁移转化中达到问题的规范化，其覆盖面之广不仅使之成为一种基本的数学解题策略，更是我们在日常生活中的一种重要的思维方法．在化归思想方法指导下，我们常常将不熟悉和难解决的问题转化为熟知的易知的易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题得以解决．关键词：化归思想；化归方法；应用AbstractTransforming way of thinking is the most important in mathematics, one of the most basic way of thinking, it aims to reveal the contact which conversion, achieve the standardization of the problems in the migration, its wide coverage has become not only a kind of basic mathematics problem-solving strategies, but also we are in a kind of important thinking methods in everyday life. In under the guidance of thinking methods, we often will not be familiar with and hard to solve the problem is converted into known as easily know the solution or have problem; The abstract problems into specific intuitive; The complex problems into simple; General problem can be converted to intuitive specific problems; The practical problems into math problems, to solve the problemKey words: Transforming ideas; Reduction method; Application目录摘要 (I)Abstract (II)前言...............................................................................错误！未定义书签。

第1章应用化归思想解题应遵循的原则 .. (2)第1节化归思想的含义 (2)第2节应用化归思想解题所遵循的原则 (2)第2章化归思想在解题中的应用 (4)第1节熟悉化原则在解题中的应用 (4)第2节简单化原则在解题中的应用 (5)第3节具体化原则在解题中的应用 (6)第4节特殊化原则在解题中的应用 (8)第5节一般化原则在解题中的应用 (9)第6节和谐化原则在解题中的应用 (10)结论 (12)参考文献 (13)致谢 (14)前言在数学问题的求解过程中，有一类问题是无法直接进行求解的．一般，总是想方设法将所要求解的问题进行化归，从而将难解的问题通过变换化归为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换化归为已解决的问题．这便是化归思想．所谓化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时通过某种变换使之化归，进而达到解决问题的一种方法．其特点在于其高度的灵活性和多样性．它可以在宏观上进行化归，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言翻译为数学语言；也可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换．还可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变换．消去法、换元法、数形结合等方法就是最常见的几种化归方法．在使用化归思想解决数学问题时，一般遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化等原则．按照这些原则进行数学操作，省时省力，可以快速提高解题的水平和能力．第1章应用化归思想解题所遵循的原则化归思想是高中数学的基本核心思想，它在培养学生数学素养和解题能力方面都起到了很重要的作用，化归思想是数学的灵魂．在中学数学中化归不仅是一种重要的解题思想，也是最基本的一种思维策略．第1节化归思想含义所谓化归思想方法，就是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．一般总是通过将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题[1]．总之，化归在数学解题中无处不在.化归的基本功能是：生疏化为熟悉，复杂化为简单，抽象化为直观，含糊化为明朗．命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向地次的转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现．说到底，化归的实质就是用运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决．数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等．第2节应用化归思想解题所遵循的原则为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则．1.1熟悉化原则熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决．这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”．学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程．奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容．在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁，这样有利于学生解决问题．1.2简单化原则简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定解决方案的问题，从而使问题获解．中学数学受多年应试教育的影响，有些问题被复杂化了，而学生对于这类问题却又相当头疼，所以通过化归，将问题变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路，往往更容易让学生接受．1.3具体化原则具体化就是把比较抽象的问题转化为比较具体、直观的问题，以便形象地把握问题所涉及的各个对象之间的关系，使问题易于求解．新课程标准提出：数学教学要紧密联系生活实际，注重探索和合作，由具体到抽象．但绝不是只要让学生直观感受,满足于具体的现象而忽视问题的本质．对于抽象的关系,可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳,逐步提高他们的思维的能力．1.4特殊化原则特殊化原则就是运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的特性，从而获得解决问题的思路．这也是我们常说的从一般到特殊再到一般．相对于一般来说，特殊问题的解决是比较容易和简单的．特殊化就是把数学问题中包含的数量、形状、位置关系等加以简单化、具体化、单一化、边缘化．也就是说，当数学问题的一般性不十分明显时，我们由问题的特殊性质推出一般性质，从中找到解题方法或构成解题起点．1.5一般化原则与特殊化的途径相反，在对一般形式问题比较熟悉的情况下，将特殊形式的问题转化为一般形式的问题，这就是一般化法[2]．这种方法是通过找出特殊问题的一般原理，把特殊问题从原有范围扩展到包含该问题的更大范围来进行考察，从而使得我们能够在更一般、更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径．1.6和谐化原则所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称．和谐化原则就是在对问题进行化归时，要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式与形内部固有的和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法．第2章 化归思想在解题中的应用在中学数学中，化归方法的应用无处不在，在本文中，将通过实例来谈谈化归思想在解题中的应用．第1节 熟悉化原则在解题中的应用数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化．例1 对任意函数D x x f ∈),(可按图示构造一个数列发生器，如图1-1，其工作原理如下：①输入数据D x ∈0，经数列发生器输出)(01x f x =；②若D x ∉1，则数列发生器结束工作；若D x ∈1则将1x 反馈回输入端，再输出)(12x f x =，并依此规律继续下去，现定义124)(+-=x x x f ． （1）若输入65490=x ，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出{}n x 的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x ，满足对任意正整数n 均有1+<n n x x ，求0x 的取值范围．分析 此题富有新意，综合性、抽象性较强，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言．解 （1）因为 )(x f 的定义域),1()1,(+∞---∞= D ，所以 数列{}n x 只有三项，19111=x ，512=x ，13-=x （2）因为 即0232=+-x x ，所以 n n n n x x x x x x x =+-====+12421,2110时，或即或 图1-1故 当当时，,110==n x x 20=x 时，）（+∈=N n x n 2 （3）解不等式124+-<x x x ，得1-<x 或21<<x ，要使21x x <，则11-<x 或211<<x ， 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f ，若11-<x 则,4)(12>=x f x 223)(x x f x <=； 若211<<x 则112)(x x f x >=且212<<x依此类推可得数列{}n x 的所有项均满足)(1++∈>N n x x n n综上所述，）（2,11∈x 由)(01x f x =，得)2,1(0∈x ． 第2节 简单化原则在解题中的应用在数学解题时，遇“繁”而“简”是一条重要的数学思维策略．复杂问题简单化是数学解题中运用最普遍的思考方法，一个难以直接解决的问题通过对问题深入观察和研究，转化成简单的问题迅速求解，有些数学问题结构复杂，若用常规手法过程繁琐，对这个问题，可以从其结构入手，将结构进行转化，另辟解题途径[3] ．例2 已知012=-+x x ,求2009223++x x 的值．分析 此题通过“化零散为整体”或利用降次来转化，可使问题得以解决． 解法一 因为 012=-+x x所以 x x -=12所以 2009)1(2)1(2009223+-+-=++x x x x x=20112+--x x =2010)1(2+-+-x x 2010=解法二 原式=20091)1()1(22++-++-+x x x x x= 2010第3节 具体化原则在解题中的应用3.1数形结合思想数与形是数学中的两种表现形式，数是形的深刻描述，而形是数的直观表现． 两者之间相互印证，不可分割．因此，在特定的条件下，数与形可以相互转换，互相渗透．“数”的问题可以化归为“形”的问题进行研究，“形”的问题也可以化归为“数”的问题进行探讨．例3 已知0a >,0b >，a b ≠．试比较222b a +和a b+的大小． 分析 考虑将“数”的问题向“形”的问题转化．由题设可得如下等价图3-1. 解 图中a 、b 分别表示AC BC 、的长度．因为a b ≠，不妨设a b >，以a ，b 为直角边，做直角三角形ABC ∆，斜边AB =设CM 、CD 分别是ABC ∆的BC 边上的中线和角平分线，则2CM = 由三角形的面积公式有111sin 45sin 45222aCD bCD ab ︒+︒= 所以CD a b=+. 显然 a b ≠ 时，CM CD >，所以> 例4 求函数f (x )=113632424+--+--x x x x x 的最大值．分析 将函数式变形，得222222)0()1()3()2()(-+---+-=x x x x x f上式可看作“在抛物线2x y =上的点),(2x x P 到点A (3,2)，B (0,1)的距离之差”C B MD A 图3-1如图3-2 由||||||AB PB PA ≤-知，当在AB 的延长线上的0P 处时，)(x f 取到最大值B A所以)(max x f =)12()03(22=-+- 3.2向量转化思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维和抽象思维的有机结合．不光在平面向量中体现出来的“数形结合”的思想方法，而且对优化学生的思维品质，培养和发展思维能力，发挥了巨大的作用[4]．例5 求函数()32f x x =++分析 观察其结构特征，由3x + 令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．例6 求实数x ，y ，z 使得它们同时满足方程：22249215382x y z x y z ++-++=和2313x y z ++=．分析 将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1+(z+2)1=18a b x y →→⋅=⋅++⋅⋅又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解， 即 当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． 第4节 特殊化原则在解题中的应用在解决数学问题中除了上述的化归方向外，还有一类化归方向是：先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决，这也是解决新问题获得新知识的一种重要的化归方向[5] ．例7 如圆周角定理的证明，就是先证明圆心在圆周角一条边上的这种特殊情况，对于圆心在圆周角内部和外部的一般情况都是转化成圆心在圆周角一条边上的特殊情况来证明的．我们就以此为例来看看如何实现从一般情况向特殊情况的化归．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：在圆O 中，弧BC 所对的圆周角是BAC ∠，圆心角是BOC ∠（如图4-1），求证：12BAC BOC ∠=∠分析 圆周角∠BAC 与圆心O 的位置关系有三种：（1）圆心O 在BAC ∠的一条边AB （或AC ）上（如图4-2）；（2）圆心O 在BAC ∠的内部（如图4-3）；（3）圆心O 在BAC ∠的外部（如图4-4）．在第一种位置关系中，圆心角BOC ∠恰为△AOC 的外角，这时很容易得到结论；在第二、三两种位置关系中，我们均可作出过点A的直径，将问题转1-4图化为第一种情况，同样可以证得结论．第5节 一般化原则在解题中的应用在数学解题时，人们思考的习惯大多是正面的、顺向的，可是，有些数学问题如果正面、顺向进行，则难以解决，这时就应转化为反向的、逆向思考[6]．这就是正难则反策略．例8 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为 ．分析 至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解．解 他四次射击未中1次的概率P 1=44C 0.14=0.14所以 他至少射击击中目标1次的概率为1－P 1=1－0.14=0.9999． 例9 已知三条抛物线：3442+-+=a ax x y ，22)1(a x a x y +-==，a ax x y 222-+=中至少有一条与x 轴相交，求实数a 的取值范围．分析 三条抛物线至少有一条与x 轴相交的情况比较多，而反面为：三条抛物线与x 轴都不相交，只有一种情况，因而可利用“正难则反”解决．本题若从正面入手则需分类讨论求解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与x 轴相交”着手，求出a 的取值范围，再求其补集，则问题简单得多．一般地，一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反面考虑，这种方法多使用于“至多”“至少”这种情形．解 设三条抛物线与x 轴都不相交，令0=yBDBD3-4图2-4图4-4图由 a a 412)4(21--=∆＜0 2224)1(a a --=∆＜0a a 8223+=∆）（＜0解得23-＜a ＜1，∴满足题意的a 的取值范围是{a |a ≤23-或,a ≥1}．第6节 和谐化原则在解题中的应用例10 某轮船从甲地开往乙地，逆流而上用了5小时．已知轮船航行这段路程，在静水中所用时间比在顺水中多用45分钟，问轮船返航时，顺流而下需要多少时间？分析 这是一个关于匀速运动的问题，基本数量关系是t v S ⋅=，解答本题的困难在于没有给出甲乙两地的距离、船在静水中的航速、水的流速等三个量中的某两个．为此，可以适当增加辅助条件，把有关数学对象联系起来．解 设轮船顺流而下需要x 小时，轮船在静水中航行的速度为每小时a 千米，水流的速度为每小时b 千米．那么轮船的顺水速度为每小时)b a +（千米，逆水速度）（b a -千米．依题设条件，有⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+)(5)6045()(5)(b a a x b a b a x 得b a b a x +=)-(5或43)(5--=a b a x （1） 上式去分母整理后得02017322=+-b ab a 即0)53)(4(=--b a b a所以 b a 4=或b a 35= （2）把（2）带入（1）式，即得 31=x ，452=x答 轮船顺水返航需要3小时或411小时．结论本篇论文通过阐述数学解题中常见的几种化归思想，并辅以一些例子，说明了化归思想如何在数学解题中灵活应用．数学问题的求解都是运用已知条件对问题进行一连串恰当转化归结，进而达到解题目的一个探索过程，熟练、恰当的转化可以迅速、准确地解决问题．熟悉数学化归思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，不仅有利于强化在解决数学问题中的应变能力，而且能提高解决数学问题的思维能力．参考文献[1]于占武，划归思想在解题中的应用[J]，赤峰：赤峰学院学报（自然科学版），2007，(12)：25-26[2]王文君，解数学题的思想与方法[J]，新西部(下半月)，2007(12)：25-26[3] 于艳梅，转化与划归思想在解题中应用[J]，北京：考试，2012，(3)：68-73[4] 黄英，浅谈划归思想在解题中的应用[J]，北京：考试，2011，13(4)：11-12[5] 李锡横，划归思想在数学解题中的应用[J]，广州：广东教育（综合版），2009，(2):102-104[6] 陈勇，划归思想在解题中的应用[J]，武汉：中学数学，2011，(5)：35-38致谢本篇毕业论文是在我的指导老师田阿芳老师的亲切关怀与耐心指导下完成的．田老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导．在此谨向田阿芳老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！虽然本文的完成有些曲折，但是我在写作中不断学习，自己的知识水平得到了锤炼本论文的顺利完成，离不开同学们的帮助，以及朋友们平时生活的关心，这都为我论文的写作提供了优秀的写作条件与环境．我还要感谢教过我的所有老师们，你们严谨细致、一丝不苟的作风、你们的谆谆教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，是我工作、学习的榜样．时光荏苒，毕业在即．心中万分不舍培养自己的老师，朝夕相处的同学，谨希望最后通过这篇论文向母校交一份满意的答卷．最后，再次对给予我关心和帮助的所有人致以由衷的感谢!。