流体力学第2章

px=pn 同理，由∑Fy=0，及∑Fz=0，可得py=pn，pz=pn，由此 可得出 px=py=pz=pn
第三节 流体的平衡微分方程式
一、 流体平衡微分方程
研究对象：边长为dx、dy、 dz的微元六面体。 原 理：∑F＝0
质量力：Xρdxdydz,
Yρdxdydz, Zρdxdydz, 表面力:各表面的τ＝0
ay cos gz az sin c
等压面是一簇平行的斜面。
dz a cos dy g a sin
在自由液面上，因y=0，z=0，所以积分常数 c=0，故自由液面方程为 a cos ay cos gz az sin 0 z y g a sin a cos arctan 自由液面与y方向的倾角为： g a sin
dp xdx ydy gdz
2 2


1. 流体静压力分布规律
z
dp xdx ydy gdz
2 2


p0 o

2 x2 2 y2 2r 2 p gz c gz c 2 2 2
作用在流体上的力 流体的静压力及其特性 流体的平衡微分方程式 重力场中流体静力学基本方程 压力的单位和压力的测量方法 流体的相对平衡 静止流体作用力
第一节
作用在流体上的力
作用于流体上的力按作用方式可分为表面力和质量 力两类。 一、 表面力
表面力指作用在所研究的流体表面的力。它是由所研 究流体的表面与相接触的物体的相互作用而产生的。 单位是N/m2（Pa） 。 表面力按作用方向可分为:法向压力（流体压力p）－ －垂直于作用面；切向应力－－平行于作用面。
p B p a 油 h1 水 h2 4F d 2 5788 4 0.4 2
105 7840 0.5 9800 0.3 1.53 105 (N / m 2 )
第五节 压力的单位和压力的测量方法
一、 压力的单位 1. 应力单位－－ Pa(=N/m2)， MPa， kgf/cm2 2. 液柱高度 －－p=p0+γh， hp=p/γ=p0/γ+h。 常用的液柱高度单位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱 (mmHg)等。不同液柱高度的换算关系： p=γ1h1=γ2h2，h2=(ρ1/ρ2)h1。 3. 大气压单位
p2 pa g h1
p1 p h
p pa g h1 h
3. 差压计
pA=p1+γhA pB=p3+γhB p1=p2=p3+γgh1
p A pB g h1 hA hB g h1 h h1 g h1 h
lim
Fn A
A0
lim
A0
F A
二、 质量力
质量力是流体质点受某种力场的作用力，它的大小与流体的 质量成正比。单位牛顿（N）。 单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
Fy F Fx Fz f i j k Xi Y j Zk m m m m
z1 p1

z2
p2

c
能量意义： z=mgz/mg－单位重量流体的位置 势能 p/γ－－单位重量流体的压力能 z+p/γ－－单位重量流体的总势能 几何意义 z－－位置水头 p/γ －－压力水头 z+p/γ－－静水头
例2-2
如图 2-8 所示，在盛有油和水的圆柱形容器顶部加 荷重F=5788 N的活塞，已知h1=50 cm，h2=30 cm,大气压 力 pa=105N/m2 ，活塞直径 d=0.4m ， γ 油 =7840N/m3 ，求 B 点的压力。 解 按题意，活塞底面上的压力可按静力平衡条件 来确定
m
h z
zs y
利用边界条件，当x=y=z=0时，p=p0， 代入上式得：c=p0。反代回原式得
r p p0 2g z
2 2
o y
r
y
x
2y 2r
x
2x
2. 等压面方程
dp xdx ydy gdz
2 2


gz c
1.0332 1.0197 1
二、流体静压力的表示方法
流体静压力有两种表示方法：绝对压力p和相对压力pg。 p=pa+pg 或 pg=p-pa pv=pa-p
二、 静压力的测量
1. 测压管
2. U形管测压计
p pa g h1 h p p p h h v a g 1 pg p pa g h1 h
2 xdx 2 ydy gdz 0 2 x2 2 y2
2 2 gz c
上式说明等压面是绕z轴的旋转抛物 面。当r=0，z=0时，可得自由面上的 积分常数c=0，故自由面的方程式为：
h A1l A2
p pa g l sin
p pa g l sin
h l sin
第六节 液体的相对平衡
液体相对平衡，就是指液体质点之间没有相对运动， 但盛装液体的容器却对地面上的固定坐标系有相对运动 的平衡。 原理：达朗伯原理。 F Fa 0 基本方程： dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) 一、随容器作等加速直线运动液体的相对平衡 问题：求出流体静压力的 分布规律和等压面方程。
1L hLb c Hb 2 2
a g tan 9.807 2.5 24.518
(m/s2)
二、 随容器作等角速旋转运动的液体的相对平衡
问题：求出流体静压力的分布规律和等压面方程。
X 2 r sin 2 x 2 2 Y r cos y Z g dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
标准大 气压 帕(Pa) 巴(bar) 米水柱 毫米汞 柱 工程大 气压
atm
1 0.9869 0.9679
N/m2
101325 100000 98066.5
105N/m2
1.01325 1 0.9807
mH2O
10.332 10.197 10
mmHg
760 750.06 735.58
kgf/cm2
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
dp gdz dz
dz dp

p
0
p p0
对于不可压缩流体，γ=常数。
z
z1 p1

c
p2
z

c＝z0


z2

c
p p0 z0 z
p p0 h
流体静力学基 本方程式
流体静力学基本方程的意义
为了确定积分常数c，引进边界条件：y=0，z=0时，p=p0， 代入上式可得积分常数c=p0。于是
p p0 ay cos gz az sin
2. 等压面方程
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
X 0
Y a cos
Z g a sin
dp ay cosdy gdz a sindz ＝0
二、等压面
特性二 当两种互不相混的液体处于平衡时，它们 的分界面必为等压面。
dp 1 Xdx Ydy Zdz dp 2 Xdx Ydy Zdz
确定等压面的原则：在静止、同种、连续的流体中 水平面是等压面。
第四节 重力场中流体静力学基本方程
在重力场中：X=0, Y=0, Z=-g
OAC ABC
1 p y d zd x 2 pn An
质 X 1 dxdydz 6 量 1 力 Z dxdydz
6
1 Y dxdydz 6
对于x轴，∑Fx=0，则
1 1 p x dydz p n An cos( n, x) X dxdydz 0 2 6
2 y 2 y 1 p Y 0 y
一、 流体平衡微分方程
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
Xdx Ydy Zdz
流体静平衡方 程式（欧拉）
p p p dx dy dz x y z
例2-3
一个长L=1m，高H=0.5m的油箱，其内盛油的深度 h=0.2m，油可经底部中心流出，如图2-17所示。问油箱 作匀加速直线运动的加速度a为多大时将中断供油？油 的重度γ=6800 N/m3。 1L V c Hb 解 2 2
2 Lh 0.25H c H 2 1 0.2 0.25 0.5 0.3 0 .5 H 0.5 tan 2.5 0.5L c 0.5 1 0.3
第二章 流体静力学
研究内容：流体静力学研究流体在静止和相对静止状态 下的基本规律。
力学模型：静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯 性系或非惯性系静止的情况，流体质点之间肯定没有相 对运动，这意味着粘性将不起作用，所以流体静力学的 讨论不须区分流体是实际流体或理想流体。
第二章
流体静力学
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
第二节 流体的静压力及其特性
px 1 1 dydz p n An cos( n, x) X dxdydz 0 2 6
Ancos(n，x)=1/2dydz
p x p n 1 dydz X 1 dxdydz 0
2 6
1 p x p n X dx 0 6
设作用在流体上的质量 力只有重力，则：
X=0, Y=0， Z=-mg/m=-g o
第二节 流体的静压力及其特性
当流体处于静止或相对静止时，流体的表面力称为 流体的静压力。 特性一 流体静压力的作用方向总是沿其作用面的 内法线方向
•
静止流体的应力只有内法向分量 — 静压强
静止流体的应力只有法向分量（流体质
p A pB hA hB g h1
4. 微压计
p pa g Δ h h
பைடு நூலகம்
p pa g h h
A1 p pa g sin A l 2
当A2＞＞A1，可以认为 A1/A2≈0，则
A1l A2 h
Y a cos Z g a sin X 0
1. 流体静压力分布规律
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
X 0
Y a cos
Z g a sin
dp ay cosdy gdz a sin dz
p ay cos gz az sin c
1 p 1 p 左面Y： p 2 y dy dxdz右面Y： p 2 y dy dxdz 1 p 1 p dy dy p dxdz p dxdz Ydxdydz 0
点之间没有相对运动不存在切应力）。
法向应力沿内法线方向，即受压的方向
（流体不能受拉）。这个法向应力称为静 压强，记作 pn(x,y,z)。
第二节 流体的静压力及其特性
特性二 在静止流体中任意一点压力的大小与作用 的方位无关，其值均相等。
表 OBC 面 力 OAB
1 p x dydz 2 1 p z dxdy 2
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) 流体静平衡方程 式，也称压力差 公式
二、等压面
在平衡流体中，压力相等的各点所组成的面称为等 压面。 在等压面上dp=0。因流体密度ρ≠0，可得等压面微分 方程： Xdx+Ydy+Zdz=0 (2-4) 等压面具有以下两个重要特性： 特性一 在平衡的流体中，通过任意一点的等压面，必 与该点所受的质量力互相垂直。 f· dl=Xdx+Ydy+Zdz=0