数列知识点归纳及例题分析
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《数列》知识点归纳及例题分析
一、数列的概念：
1.归纳通项公式：注重经验的积累
例1.归纳下列数列的通项公式：
(1)0，-3,8，-15,24，.......
(2)21,211,2111,21111,......
(3)
2. 与 的关系：
注意：强调 分开，注意下标； 与 之间的互化（求通项）
例2：已知数列 的前 项和 ，求 .
（1）求 的通项公式； （2）求 ，并判断 是否成等差数列。
12. ( 2017年全国Ⅲ卷文)设数列 满足
（1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和；
13.(2017年天津卷文)已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等比数列，且公比大于 ， ．
（1）求 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ．
C． D．
五、数列应用题：
等差数列模型
1、一种设备的价格为450000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为。30年
2、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：
甲公司：第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；
二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）
6. (2017年北京卷理) 若等差数列 和等比数列 满足 ， =_______.
7.(2017年江苏卷)等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ，则 =_______________．
8.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 等差数列 的前 项和为 ， ， ，
（3）累乘法：形如 且 不为常数
（4）待定系数法：形如 ,其中 )型
（5）转换法：已知递推关系
解题思路：利用
变化（1）已知 ；（2）已知
（6）猜想归纳法（慎用）
练习：
考点三：数列的通项式
1、在数列 中，前n项和 ，则通项公式 _______________
3、已知数列的前n项和 ，则 _______________
解得d≤－2 或d≥2 .
方法二 ∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2 或d≥2 .
例6（前n项和及综合应用）(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；
（ 是常数 ，…）
（ 是常数，且 ， ，…）
通项公式
推广：
推广：
求和
公式
中项
公式
（ ）
（ ）
重要性质
1、等和性：
（ ）
2、（第二通项公式）
及
3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如： （下标成等差数列）
4、 成等差数列
5、 是等差数列
1、等积性：
（ ）
2、（第二通项公式）
及
3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．
解方法一 ∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋ d＝15×20＋ d，∴d＝－ .
∴an＝20＋(n－1)× ＝－ n＋ .
∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋ × ＝130.
2.等比中项：
是等比数列
3.通项公式： （ 且为常数） 是等比数列
4.前 项和： （ 且为常数） 是非常数列的等比数列
联系
真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。
例题：
例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝ (n∈N*)．
盏 盏 盏 盏
3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列 的首项为 ，公差不为 ．若 成等比数列，则 前 项的和为（ ）
4.(2017年浙江卷) 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件
5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 其中第一项是 ，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推.求满足如下条件的最小整数 且该数列的前 项和为 的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）
证明：当 时，
（1） ； （2） ； （3） .
（ ）
例13 △ABC的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_
三、数列求和：
（1）倒序相加法
如：已知函数 ，求 _________
（2）错位相减法： 其中{ }是等差数列， 是等比数列。
（3）裂项相消法：形如
（4）拆项分组法：形如 ，
如： ， ，
练习：
1、数列 ， ， ，···， 的前n项和为（ B ）
乙公司：第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.
设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：
（1）若该人打算连续工作 年，则在第 年的月工资收入分别是多少元
（2）若该人打算连续工作10年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家公司为什么(精确到1元)
解：（1）设在甲公司第 年的工资收入为 元，在乙公司第 年的工资收入为 元
A． B． C． D．
2、数列 前 项和 ．
3、数列 的通项公式为 ，则S100＝_________________。
4、设 ，且 ，则 ．6
5、设 ，关于 的函数 ，若 ，则数列 前 项的和 ________．答案： ．
解答： ，
，所以
．
四、求数列通项式
（1）公式法： ， ， 等
（2）累加法：形如 或 ，且 不为常数
14.(2017年山东卷文)已知 是各项均为正数的等比数列,且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2） 为各项非零等差数列,前 项和 ,已知 ,求数列 前 项和
15. (2017年天津卷理)已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等比数列，且公比大于 ， , ， .
（1）求 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 .
设函数f(x)＝1＋ ，
易知f(x)在区间 和 内为减函数．
∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.
例5（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1
(2)求d的取值范围．
如： （下标成等差数列）
4、 成等比数列。
（仅当公比 且 为偶数时，不成立）
等价条件
1.定义：an－an－1＝d(n≥2) 是等差数列
2.等差中项：2an＋1＝an＋an＋2 是等差数列
3.通项公式： （ 为常数） 是等差数列
4.前 项和： （ 为常数） 是等差数列
1.定义： (n≥2) 是等比数列
解(1)由题意知S6＝ ＝－3，a6＝S6－S5＝－8.
所以
解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)方法一 ∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a ＋9da1＋10d2＋1＝0.
因为关于a1的一元二次方程有解，所以
Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，
例8等差数列 的前n项和分别为 ，且 ,则使得 为正整数的正整数n的个数是3. （先求an/bn n=5,13,35）
例9已知数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 ，则数列 的通项公式为
例10在数列 中， ， ，则 .
例11 设 的等比中项，则a+3b的最大值为2.
例12 若数列1, 2cosθ, 22cos2θ,23cos3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为
16. (2017年北京卷理) 设 和 是两个等差数列，记
，
其中 表示 这 个数中最大的数．
（1）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，使得 是等差数列．
17.(2017年江苏卷)对于给定的正整数 ，若数列 满足：
对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”．
令
由①得n<6 ；由②得n≥5 ，所以n＝6. 即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，
而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.
设{|an|}的前n项和为Tn，则
Tn＝
＝
例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3
4、已知数列 ， ， ，则
5、在数列 中， （ ），则 ＝.
6、如果数列 满足 ，则 ________________
7、 满足 ， ，则 =_______
8、已知数列 的首项 ，且 ，则通项公式
9、若数列 满足 ，则通项公式
10、如果数列 的前n项和 ，那么这个数列的通项公式是（ D ）
A． B．
则 ．
9.(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列 满足 ，则 __．
三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
10.( 2017年新课标Ⅱ文)已知等差数列 前 项和为 ，等比数列 前 项和为 （1）若 ，求 的通项公式； （2）若 ，求 .
11.(2017年新课标Ⅰ文) 记 为等比数列 的前 项和，已知
3.数列的函数性质：
（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法
（2）最大（小）项问题：单调性法；图像法
（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）
例3：已知数列 满足 ， ，求 .
二、等差数列与等比数列
1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）
等差数列
等比数列
定义
1.(2017年新课标Ⅰ) 记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为（ ）
2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍，则塔的顶层共有灯（ ）
（1）设 年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元，写出 、 的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入（精确到整数）
参考解答：
（1）
（2）解不等式 ，得 ，至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
六、2017年高考题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝ .
∴n≥2时，bn－bn－1＝ －
＝ －
＝ － ＝1.
∴数列{bn}是以－ 为首项，1为公差的等差数列．
(2)解由(1)知，bn＝n－ ，则an＝1＋ ＝1＋ ，
则 ， （2）设工作10年在甲公司的总收入为 ，在甲公司的总收入为
由于 ，所以该人应该选择甲公司.
等比数列模型
例 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据计划，本年度投入 万元，以后每年投入将比上一年度减少 ，本年度当地旅游业收入估计为 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 。
（1）证明：等差数列 是“ 数列”；
（2）若数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，证明： 是等差数列．
18.（本小题满分12分）
已知 是各项均为正数的等比数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 中，依次连接点
得到wenku.baidu.com线 ，
求由该折线与直线 所围成的区域的面积 .
19.(2017年浙江卷)已知数列 满足：
方法二 同方法一求得d＝－ .
∴Sn＝20n＋ · ＝－ n2＋ n＝－ 2＋ .
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，
∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．
一、数列的概念：
1.归纳通项公式：注重经验的积累
例1.归纳下列数列的通项公式：
(1)0，-3,8，-15,24，.......
(2)21,211,2111,21111,......
(3)
2. 与 的关系：
注意：强调 分开，注意下标； 与 之间的互化（求通项）
例2：已知数列 的前 项和 ，求 .
（1）求 的通项公式； （2）求 ，并判断 是否成等差数列。
12. ( 2017年全国Ⅲ卷文)设数列 满足
（1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和；
13.(2017年天津卷文)已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等比数列，且公比大于 ， ．
（1）求 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ．
C． D．
五、数列应用题：
等差数列模型
1、一种设备的价格为450000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为。30年
2、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：
甲公司：第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；
二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）
6. (2017年北京卷理) 若等差数列 和等比数列 满足 ， =_______.
7.(2017年江苏卷)等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ，则 =_______________．
8.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 等差数列 的前 项和为 ， ， ，
（3）累乘法：形如 且 不为常数
（4）待定系数法：形如 ,其中 )型
（5）转换法：已知递推关系
解题思路：利用
变化（1）已知 ；（2）已知
（6）猜想归纳法（慎用）
练习：
考点三：数列的通项式
1、在数列 中，前n项和 ，则通项公式 _______________
3、已知数列的前n项和 ，则 _______________
解得d≤－2 或d≥2 .
方法二 ∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2 或d≥2 .
例6（前n项和及综合应用）(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；
（ 是常数 ，…）
（ 是常数，且 ， ，…）
通项公式
推广：
推广：
求和
公式
中项
公式
（ ）
（ ）
重要性质
1、等和性：
（ ）
2、（第二通项公式）
及
3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如： （下标成等差数列）
4、 成等差数列
5、 是等差数列
1、等积性：
（ ）
2、（第二通项公式）
及
3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．
解方法一 ∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋ d＝15×20＋ d，∴d＝－ .
∴an＝20＋(n－1)× ＝－ n＋ .
∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋ × ＝130.
2.等比中项：
是等比数列
3.通项公式： （ 且为常数） 是等比数列
4.前 项和： （ 且为常数） 是非常数列的等比数列
联系
真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。
例题：
例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝ (n∈N*)．
盏 盏 盏 盏
3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列 的首项为 ，公差不为 ．若 成等比数列，则 前 项的和为（ ）
4.(2017年浙江卷) 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件
5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 其中第一项是 ，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推.求满足如下条件的最小整数 且该数列的前 项和为 的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）
证明：当 时，
（1） ； （2） ； （3） .
（ ）
例13 △ABC的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_
三、数列求和：
（1）倒序相加法
如：已知函数 ，求 _________
（2）错位相减法： 其中{ }是等差数列， 是等比数列。
（3）裂项相消法：形如
（4）拆项分组法：形如 ，
如： ， ，
练习：
1、数列 ， ， ，···， 的前n项和为（ B ）
乙公司：第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.
设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：
（1）若该人打算连续工作 年，则在第 年的月工资收入分别是多少元
（2）若该人打算连续工作10年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家公司为什么(精确到1元)
解：（1）设在甲公司第 年的工资收入为 元，在乙公司第 年的工资收入为 元
A． B． C． D．
2、数列 前 项和 ．
3、数列 的通项公式为 ，则S100＝_________________。
4、设 ，且 ，则 ．6
5、设 ，关于 的函数 ，若 ，则数列 前 项的和 ________．答案： ．
解答： ，
，所以
．
四、求数列通项式
（1）公式法： ， ， 等
（2）累加法：形如 或 ，且 不为常数
14.(2017年山东卷文)已知 是各项均为正数的等比数列,且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2） 为各项非零等差数列,前 项和 ,已知 ,求数列 前 项和
15. (2017年天津卷理)已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等比数列，且公比大于 ， , ， .
（1）求 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 .
设函数f(x)＝1＋ ，
易知f(x)在区间 和 内为减函数．
∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.
例5（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1
(2)求d的取值范围．
如： （下标成等差数列）
4、 成等比数列。
（仅当公比 且 为偶数时，不成立）
等价条件
1.定义：an－an－1＝d(n≥2) 是等差数列
2.等差中项：2an＋1＝an＋an＋2 是等差数列
3.通项公式： （ 为常数） 是等差数列
4.前 项和： （ 为常数） 是等差数列
1.定义： (n≥2) 是等比数列
解(1)由题意知S6＝ ＝－3，a6＝S6－S5＝－8.
所以
解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)方法一 ∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a ＋9da1＋10d2＋1＝0.
因为关于a1的一元二次方程有解，所以
Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，
例8等差数列 的前n项和分别为 ，且 ,则使得 为正整数的正整数n的个数是3. （先求an/bn n=5,13,35）
例9已知数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 ，则数列 的通项公式为
例10在数列 中， ， ，则 .
例11 设 的等比中项，则a+3b的最大值为2.
例12 若数列1, 2cosθ, 22cos2θ,23cos3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为
16. (2017年北京卷理) 设 和 是两个等差数列，记
，
其中 表示 这 个数中最大的数．
（1）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，使得 是等差数列．
17.(2017年江苏卷)对于给定的正整数 ，若数列 满足：
对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”．
令
由①得n<6 ；由②得n≥5 ，所以n＝6. 即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，
而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.
设{|an|}的前n项和为Tn，则
Tn＝
＝
例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3
4、已知数列 ， ， ，则
5、在数列 中， （ ），则 ＝.
6、如果数列 满足 ，则 ________________
7、 满足 ， ，则 =_______
8、已知数列 的首项 ，且 ，则通项公式
9、若数列 满足 ，则通项公式
10、如果数列 的前n项和 ，那么这个数列的通项公式是（ D ）
A． B．
则 ．
9.(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列 满足 ，则 __．
三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
10.( 2017年新课标Ⅱ文)已知等差数列 前 项和为 ，等比数列 前 项和为 （1）若 ，求 的通项公式； （2）若 ，求 .
11.(2017年新课标Ⅰ文) 记 为等比数列 的前 项和，已知
3.数列的函数性质：
（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法
（2）最大（小）项问题：单调性法；图像法
（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）
例3：已知数列 满足 ， ，求 .
二、等差数列与等比数列
1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）
等差数列
等比数列
定义
1.(2017年新课标Ⅰ) 记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为（ ）
2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍，则塔的顶层共有灯（ ）
（1）设 年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元，写出 、 的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入（精确到整数）
参考解答：
（1）
（2）解不等式 ，得 ，至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
六、2017年高考题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝ .
∴n≥2时，bn－bn－1＝ －
＝ －
＝ － ＝1.
∴数列{bn}是以－ 为首项，1为公差的等差数列．
(2)解由(1)知，bn＝n－ ，则an＝1＋ ＝1＋ ，
则 ， （2）设工作10年在甲公司的总收入为 ，在甲公司的总收入为
由于 ，所以该人应该选择甲公司.
等比数列模型
例 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据计划，本年度投入 万元，以后每年投入将比上一年度减少 ，本年度当地旅游业收入估计为 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 。
（1）证明：等差数列 是“ 数列”；
（2）若数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，证明： 是等差数列．
18.（本小题满分12分）
已知 是各项均为正数的等比数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 中，依次连接点
得到wenku.baidu.com线 ，
求由该折线与直线 所围成的区域的面积 .
19.(2017年浙江卷)已知数列 满足：
方法二 同方法一求得d＝－ .
∴Sn＝20n＋ · ＝－ n2＋ n＝－ 2＋ .
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，
∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．