第五节函数的微分74953
函数的微分与微分的应用
函数的微分与微分的应用在微积分中，函数的微分是一个重要的概念。
微分的应用则是将微分应用于实际问题的数学方法。
本文将围绕函数的微分及其应用展开详细讨论。
一、函数的微分函数的微分是函数在某一点上的变化率的近似。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处是可导的，那么x=a处的微分表示为df，定义如下：df = f'(a)dx其中，f'(a)是函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量x的增量。
函数的微分可通过导数乘以自变量的增量获得。
二、微分的应用微分的应用广泛存在于数学、物理、经济等领域。
以下列举几个常见的应用。
1. 切线与法线函数的微分可用于求解函数图像上某一点的切线和法线。
设函数f(x)在点x=a处可导，则切线的斜率为f'(a)，求解切线方程可根据点斜式或一般式进行。
法线的斜率为-1/f'(a)，同样可根据点斜式或一般式求解。
2. 极值点与拐点函数的微分也可用于确定函数的极值点和拐点。
设函数f(x)的导数为f'(x)，极值点的横坐标可通过解方程f'(x)=0求得。
通过判别式和导数的符号变化，可以判断极值点的类型（极大值或极小值）。
拐点则是函数图像由凸变凹或由凹变凸的点，可通过求解二阶导数f''(x)的零点来确定。
3. 近似计算微分的近似性质可应用于计算函数的近似值。
对于函数f(x)在某一点x=a附近，可以使用微分df作为函数f(x)的近似值。
当自变量的变化量较小时，误差较小，从而可以得到较为精确的计算结果。
4. 最优化问题微分可以应用于最优化问题的求解。
例如，求解函数f(x)在一定范围内的最大值或最小值。
根据函数的导数和临界点的性质，可以得到最优解。
5. 物理运动问题微分在物理学中有着广泛的应用。
例如，求解物体在某一时刻的速度、加速度等。
通过将位移函数或速度函数微分，可以得到物体在不同时刻的速度、加速度等物理量。
综上所述，函数的微分在数学和实际应用中扮演着重要的角色。
导数与微第五节函数的微分培训课件
Tuesday, July 28, 2020
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特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
常用近似公式: ( x 很小)
(1) (1x)1x
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2) sixnx
(3) e x 1x
第五节 函数的微分
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 *四、微分在估计误差中的应用
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一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
很小时, 有近似公式
ydy
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微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
当 x 很小时, ydy 当y x时，
记
yx dx 称x为自变量的微分,
y
T
M
yf(x)
N
P
o(x)
dy y
x
x2 x2
dx
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例2. 设 y sx i c nx o y ) s 0 , (求 d y .
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d (y sx i) n d(x c y )o )0 s(
sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0 dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
函数的微分学
函数的微分学函数的微分学是微积分中的一个重要分支，涉及到函数的变化率、导数以及微分等概念和性质。
在本文中，我们将探讨函数的微分学的基本概念、公式以及应用。
一、函数的变化率函数的变化率描述了函数在某一点附近的变化趋势。
对于函数$f(x)$来说，其在$x=a$处的变化率可以通过求取函数在该点的导数$f'(a)$来获得。
导数表示的是函数在该点的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
二、导数的定义与性质导数可以通过两种方法定义：极限定义和函数差商的极限。
根据导数的定义，我们可以得到一系列导数的性质，包括：1. 可微性：若函数在某一点处存在导数，则称该函数在该点处可微。
2. 导数的线性性质：$(cf(x))' = cf'(x)$，$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pmg'(x)$。
3. 乘法法则：$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$。
4. 除法法则：$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$，其中$g(x) \neq 0$。
5. 链式法则：$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$。
三、微分的定义和应用微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点附近的线性逼近。
函数$f(x)$在$x=a$处的微分为$df = f'(a)dx$。
微分的几何意义是函数曲线在该点处的切线方程。
微分的应用有两个主要方面：1. 极大值和极小值的判断：通过求取函数的导数，可以判断函数在某一区间上的极值情况。
当导数为零或不存在时，函数可能取得极大值或极小值。
另外，利用导数的符号变化也可以确定函数在某一区间上的增减性。
2. 泰勒展开：泰勒展开是将一个具有连续导数的函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。
函数的微分课件
函数的微分课件函数的微分课件在数学领域中，微分是一个非常重要的概念。
它是微积分的基础，也是应用数学中的关键概念之一。
通过微分，我们可以研究函数的变化率、极值以及曲线的切线方程等问题。
在这篇文章中，我们将探讨函数的微分，并介绍一些与微分相关的基本概念和定理。
一、导数的定义在微分学中，导数是函数变化率的度量。
如果函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么我们可以用f'(x)来表示这个导数。
导数的定义如下：f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h这个定义可以解释为函数在x处的切线的斜率。
也就是说，当h趋近于0时，函数在x处的切线的斜率就是函数在x处的导数。
二、常见函数的导数对于一些常见的函数，我们可以通过一些基本的导数公式来求导。
下面是一些常见函数的导数：1. 常数函数：f(x) = c，其中c为常数，导数为0。
2. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x) = e^x，导数为f'(x) = e^x。
4. 对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x。
5. 三角函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
通过这些基本的导数公式，我们可以求出更复杂函数的导数。
例如，对于多项式函数、指数函数和三角函数的组合函数，我们可以使用链式法则来求导。
三、微分的应用微分在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些微分的应用。
1. 最值问题：通过求函数的导数，我们可以确定函数的极值点。
当导数等于零或不存在时，函数可能达到极值。
通过求解导数为零的方程，我们可以找到函数的极值点。
2. 切线与曲线的关系：函数的导数可以用来求解曲线的切线方程。
在某一点上，曲线的切线的斜率等于函数在该点的导数。
高等数学 第五节 函数的微分
提倡使用下面的方法计 算复合函数的微分 : dy = f ′(u)du= f ′(u)ϕ′(x)dx .
8
例 . y = ln cos arc tan sh x
1 dy = d (cos arc tan sh x ) cos arc tan sh x
可表示为
∆ y = A⋅ ∆ x +o(∆ x)
其中 A 是与 ∆ x 无关的常数 .
则称函数 y = f ( x ) 在点 x0 可微 ,
A⋅ ∆ x 为 y = f ( x ) 在点 x0 的微分 .
记作 :
dy
x=x0 = A∆ x
或
d f (x0) = A∆ x .
微分 d y 叫做函数增量 ∆ y 的线性主部 . 定理 . y = f ( x ) 在 x0 点可微 ⇐⇒ y = f ( x ) 在 x0 点可导 . 可 ←可 微→ 导
当 y = f ( x ) 在 x0 点可微时 , d y = f ′( x0 ) ∆ x .
当 y = f ( x ) 可微时 ,
∴
( f (x)可 ) 微
#
d y = f ′(x) ∆ x .
自变量 x 的微分 : d x = ( x )′∆ x = ∆ x .
d y = f ′(x) d x .
(1) 式表明 , ∆ y 由两部分构成 :
其 lim α =0. 中
0 ∆ x→
(1 )
f ′(x) ∆ x −−− ∆ x 的线性函数 ,
(∆ x的 数, 系 f ′(x) 与∆ x 无 .) 倍 数 关
函数的微分
微分与增量的关系
定理：当f ( x0 ) 0 时，微分是增量的线性 主部。
主部：设 ， 均为无穷小，若 o
则称 是 的主部，有 o 结论： 若 o ，则 ~ 。
。
证： 若 f ( x 0 ) 0 ，则 Δy f ( x 0 Δx ) f ( x 0 ) 0
得
当
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3 x d x 6 d y 0 1 由上式得 d y x 0 d x x 0 时 y 0, 2
返回
称为a 的相对误差
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 按公式 已知测量误差限为 计算 y 值时的误差
x ,
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为
y f ( x) x
y
f ( x) x y f ( x)
整理并移项即得： x (dy dx ) y (dy dx ) #
思考： 若 y＝e
sin x
dy ，怎样求 ？ d cos x
返回
三、 微分在近似计算中的应用
y f ( x0 )x o( x)
当
x
很小时,
得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
y 2 2 例 3 推证等式 arctan ＝ln x ＋y 满足 x 关系式 x dy－dx ＝ y dy＋dx .
证：
利用微分的形式不变性 对等式两边求微分 1 xdy ydx 1 1 2 (2 xdx 2 ydy ) 2 2 2 2 x y x y 1 x
高数二章课件05函数的微分
导数与极值的关系：导数为0 的点可能是极值点
极值的判定：利用导数判断函 数的单调性，从而确定极值
极值的求解：利用导数求解函 数的极值
极值的应用：在工程、经济等 领域中，利用极值求解最优解
利用导数研究曲线的凹凸性
导数是函数在某一点的切线斜率
导数小于0，曲线在该点为凹
导数的正负决定了曲线在该点的凹凸性 导数大于0，曲线在该点为凸
隐函数求导：通过 隐函数方程，求解 出隐函数的导数
隐函数微分应用：在 物理、工程等领域广 泛应用，如求解运动 方程、优化问题等
微分的应用
利用微分近似计算函数值
微分近似计算函 数值的原理
微分近似计算函 数值的步骤
微分近似计算函 数值的应用实例
微分近似计算函 数值的优缺点
利用微分解决实际问题
微分在工程学中的应用：如 流体力学、热力学等
微分在经济学中的应用：如 边际分析、弹性分析等
微分在物理学中的应用：如牛 顿第二定律、能量守恒定律等
微分在生物学中的应用：如种 群增长模型、生态平衡模型等
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微分是函数在某一点的切线斜率
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微分是函数在某一点的切线斜率
微分是函数在某一点的切线斜率
微分的物理意义
微分是函数在某一点的瞬时速度
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微分是函数在某一点的变化率
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微分是函数在某一点的加速度
微分的计算
微分的基本公式
微分基本公式：dy/dx = f'(x) 导数的定义：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)]/h 导数的性质：f'(x) = f'(x+h) - f'(x) 导数的计算方法：直接代入法、求导公式法、导数表法等
第五节----函数的微分
当r 10厘米、r 0.05厘米时，
A dA 2πr r 2 10 0.05 (厘米2 ). 答：面积增大了约π 平方厘米。
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2. 求 f ( x) 在点 x x0 附近的近似值:
果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中 A 与 x 无关)，则称 y f ( x) 在 x0可微，并称 A x 为 y f ( x) 在 x0 ( 相应于x )的微分，记作 dy x x0 或 df ( x) x x0 .
注：(1) 绝对误差 | y - A x | o(x) ;
__________.
2、若 y=f(x) 是可微函数，则当 x0 时，y-dy 是关于x
的________无穷小.
3、 d
=sec23xdx.
4、 d(arctan e2x ) 2
de x
dx. .
二、 求下列函数的微分： 1、 y arcsin 1 x 2 ; 2、 y e3x cos 3x ，求 dy x .
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx
d(cot x) csc2 xdx
d(secx) secx tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d(loga
x)
1 dx x lna
eaxd(ax) sinbx eax cos bx d(bx) eax (adx) sinbx eax cos bx (bd x) eax (bcos bx asinbx)dx.
函数的微分
属于该邻域. 若
Δy f ( x0 Δx) f ( x0 ) A Δx o(Δx),
其中A与Δx 无关，而o(Δx)是关于 Δx 的高阶无穷小， 则称y f ( x)在x0处可微，而 A x 称为y=f (x)在点 x0 处
（2）求导
相应方法及相应法则、公式 1、四则运算法则
2、复合函数求导法则
3、求导的基本公式 4、利用隐函数求导法 5、利用取对数求导法 6、参变量函数的导数
二、求高阶导数的方法
利用类似于求一阶导数的方法对函数逐阶求导
第五节 函数的微分
第五节 函数的微分
函数的导数表示函数关于自变量变化的快慢
程度(变化率)． 但在许多情况下，需要考察或者 估算函数改变量△y的大小，特别是当自变量发生
函数改变量对于研究函数的局部特征, 函数在此 点周围的性态具有重要意义. 微积分的许多重要概念 都与其密切相关.
连续概念
lim y 0
x0
导数概念
f ( x) lim Δy Δx0 Δx
对于函数改变量的研究, 不仅要考虑其极限特征 , 还要考虑其结构特征. 微分概念就是由此提出的.
例 s 1 gt 2
2
概 函数
括 y f (x)
函数改变量
主要部分
ΔS 2x0Δx (Δx)2 ΔS 2x0Δx
Δs
gt0Δt
1 2
g(Δt
)2
Δs gt0Δt
Δy AΔx o(Δx) Δy AΔx
由此引出微分概念.
第五节 函数的微分
二、微分的概念 (differential)
第五节 函数的微分
第五节 函数的微分㈠本课的基本要求理解微分的概念，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用㈡本课的重点、难点微分的运算是本课的重点，微分在近似计算中的应用是本课的难点㈢教学内容[一．线性逼近和微分我们已经研究了函数的变化率──导数。
所谓函数)(x f y =在0x 处的导数)(0x f '，就是函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆与自变量增量x ∆之比xy ∆∆，当0→∆x 时的极限，即在点0x 处函数y 相对自变量x 的变化而变化的快慢程度。
然而在实际中，还经常要考察或估算当自变量有一个增量x ∆时，函数的相应增量y ∆等于多少。
计算函数的增量，原则上讲，就是将自变量的两个值0x 及x x ∆+0代入函数表达式中算出函数值，然后相减。
这样计算常常比较复杂。
现在我们来寻求一种简便的估算方法。
在研究曲线的斜率时，发现曲线与其切线在切点处有相同的斜率（即在该点的导数），在切点附近切线与曲线非常靠近，所以我们可以考虑用切线代替曲线，即对应于自变量增量x ∆，用切线上的增量代替曲线上（即函数）的增量。
这样估算有两条好处：第一，因为在点0x 邻近，切线与曲线非常贴近，所以只要x ∆足够小，估算的误差就会很小；第二，因为切线是直线，所以计算切线上的增量是很简单的。
为此在直角坐标系中，描出可导函数)(x f y =的图像，以及在点))(,(a f a M 的切线MT ，我们来考察，对点a 及其邻近的一点x ，切线与曲线上的相应增量。
切线方程为))(()(a x a f a f y -'+=对同一x ，曲线上点的坐标为))(,(x f x N ，切线上点的坐标为)))(()(,(a x a f a f x P -'+，如图所示。
由图易知，当a x x -=∆时，函数的增量)()(a f x f QN y -==∆，切线上的增量x a f a x a f QP ∆'=-'=)())((。
05 第五节 函数的微分
第五节 函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量)()(x f x x f y -∆+=∆.这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值)()(x f x x f -∆+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是：我们设法将y ∆表示成x ∆的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.分布图示★ 引言 ★ 问题的提出 ★ 微分的定义 ★ 可微的条件 ★ 例1-2 ★ 基本微分公式 ★ 微分四则运算法则 ★ 例3 ★ 例4 ★ 复合函数的微分法 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9 ★ 例10★ 微分的几何意义★ 函数的线性化 ★ 例11★ 例12 ★ 例13 ★ 例14★ 例15 ★ 例16 ★ 误差计算 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 5 ★ 返回内容要点一、微分的定义定义1 设函数)(x f y =在某区间内有定义, 0x 及x x ∆+0在这区间内, 如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆ (5.1)其中A 是与x ∆无关的常数, 则称函数)(x f y =在点0x 可微, 并且称x A ∆⋅为函数)(x f y =在点0x 处相应于自变量改变量x ∆的微分, 记作dy , 即x A dy ∆⋅= (5.2) 二、函数可微的条件dx x f dy )('= (5.8))(x f dxdy'= (5.9) 即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”.三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 四、微分的几何意义 五、函数的线性化定义２ 如果)x (f 在点0x 处可微，那么近似函数))(()()(000x x x f x f x L -'+=就称为)x (f 在点0x 处线性化. 近似式)x (L )x (f ≈称为)x (f 在点0x 处标准线性近似，点0x 称为该近似的中心.一些常用函数在0=x 处的标准线性近似公式：x nx n111+≈+；为弧度）x x x (sin ≈；为弧度）x x x (tan ≈；x e x +≈1；x x ≈+)1ln(． 六、误差计算：绝对误差；相对误差；百分比误差．例题选讲微分的定义例1 (E01) 求函数2x y =当x 由1改变到1.01的微分.解 因为,2xdx dy =由题设条件知 ,1=x 01.0101.1=-=∆=x dx 所以 .02.001.012=⨯⨯=dy例2 (E02) 求函数3x y =在2=x 处的微分. 解 函数3x y =在2=x 处的微分为 dx x dy x 2'3)(==.12dx =基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用例3 (E03) 求函数x e x y 23=的微分. 解 因为'23')(x e x y =x x e x e x 232223+=)23(22x e x x +=所以 dx x e x dx y dy x )23(22'+== 或利用微分形式不变性)()(2332x x e d x x d e dy +=dx e x dx x e x x 232223⋅+⋅=.)23(22dx x e x x +=例4 (E04) 求函数xxy sin =的微分. 解 因为''sin ⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 2sin cos x x x x -=所以 dx y dy '=.sin cos 2dx x x x x -=复合函数的微分法例5 (E05) 设),12sin(+=x y 求dy . 解 设,sin u y =,12+=x u 则)(sin u d dy =udu cos =)12()12cos(++=x d x dx x 2)12cos(⋅+=.)12cos(2dx x +=注: 与复合函数求导类似, 求复合函数的微分也可不写出中间变量, 这样更加直接和方便.例6 设),1ln(2x e y += 求.dy 解 )1ln(2x e d dy +=)1(1122x xe d e++=)(11222x d e ex x+=xdx ee x x2122+=.1222dx exe x x +=例7 (E06) 设),1ln(2++=x x y 求.dy 解 )1ln(2++=x x d dy )1(1122++++=x x d x x dx x xx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=111122 .112dx x +=例8 (E07) 已知,22xe y x= 求dy .解 222222)()()(x x d e e d x dy x x -=422222x xdx e dx e x x x ⋅-⋅=.)1(232dx x x e x -=例9 (E08) 在下列等式tdt d ωcos )(=的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) dt d ωcos )(=; (2) ).()()(sin 2x d x d =解 (1) ,cos )(sin tdt t d ωωω= ∴)(sin 1cos t d tdt ωωω=);sin 1(t d ωω=一般地，有.cos sin 1tdt C t d ωωω=⎪⎭⎫⎝⎛+(2) ,cos 421cos 2)()(sin 222x x x dx xdxx x x d x d ==).()cos 4()(sin 22x d x x x x d =∴例10(E09) 求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分dy 解 对方程两边求微分, 得 ),2()(3y x d e d xy +=),()2()(3y d x d xy d e xy += ,32)(2dy y dx xdy ydx e xy +=+ 于是 .322dx yxe ye dy xyxy--=函数的线性化例11(E10) 求x )x (f +=1在0=x 与3=x 处的线性化.解 首先不难求得xx f +='121)( ，则413(21)0(23(1)0(='='==），，），f f f f ，于是，根据上面线性化定义知)(x f 在0=x 处的线性化121)0)(0()0()(+=-'+=x x f f x L ， 在3=x 处的线性化为4541)3)(3()3()(+=-'+=x x f f x L))(()()(000x x x f x f x L -'+=示意图见右,故x x 2111+≈+（在x=0处）， 45411+≈+x x （在x=3处）．例12(E11) 求)x ln()x (f +=1在0=x 的线性化．解 首先求得)(x f 'x+=11，得1)0(='f ，又0)0(=f ，于是)(x f 在x=0处的线性化x x f f x L =-'+=)0)(0()0()(例13(E12) 半径10厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少?解 设,2r A π=10=r (厘米), 05.0=∆r (厘米).∴dA A ≈∆r r ∆⋅=π205.0102⨯⨯=ππ=（厘米2）.例14 (E13) 计算'3060cos 的近似值.解 设x x f cos )(=⇒,sin )('x x f -=x (为弧度),取,30π=x 360π=∆x⇒,21)3(=πf .23)3('-=πf 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3603cos 3060cos 'ππ3603sin 3cos πππ⋅-=3602321π⋅-=.4924.0≈例15(E14) 计算下列各数的近似值:(1);5.9983(2) .03.0-e解 (1)335.110005.998-=310005.111000⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30015.0110-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=0015.031110.995.9=(2) 03.0103.0-≈-e .97.0=例16(E15) 最后我们来看一个线性近似在质能转换关系中的应用. 我们知道，牛顿的第二运动定律αm F =（α为加速度）中的质量m 是被假定为常数的，但严格说来这是不对的，因为物体的质量随其速度的增长而增长. 在爱因斯坦修正后的公式中，质量为2201c /v m m -=,当v 和c 相比很小时，22c /v 接近于零，从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈-=22002202201212111c v m m c v m c /v m m 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈2200121c v m m m , 注意到上式中K v m =2021是物体的动能，整理得)K (m v m v m c )m m (∆=-=≈-202020200212121,或 )K (c )m (∆∆≈2. （1）换言之，物体从速度0到速度v 的动能的变化)K (∆近似等于2c )m (∆.因为8103⨯=c 米/秒，代入式（1）中，得≈)K (∆90 000 000 000 000 000m ∆焦耳,由此可知，小的质量变化可以创造出大的能量变化．例如，1克质量转换成的能量就相当于爆炸一颗2万吨级的原子弹释放的能量．例17 (E16) 正方形边长为005.041.2±米，求出它的面积，并估计绝对误差与相对误差.解 设正方形的边长为x ,面积为y ,则.2x y = 当41.2=x 时, ).(8081.5)41.2(22m y == .82.4241.241.2'====x x x y边长的绝对误差为,005.0=x δ ∴面积的绝对误差为 ).(0241.0005.082.42m x =⨯=δ∴面积的相对误差为%.4.08081.50241.0≈=yyδ课堂练习1. 求函数x x y -=的微分dy .2. 因为一元函数)(x f y =在0x 的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”,判断这种说法对吗?3. 设,0>A 且,||n A B <<证明1-+≈+n nn nABA B A (B A ,为常数) 并计算101000的近似值.。
第五节 函数的微分
第五节 函数的微分一、微分的定义边长为x 的正方形面积S 2x =，S 是x 的函数.若边长由0x 变到0x x +∆，相应地正方形面积的增量为()()2220002.S x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆从上式可以看出，S ∆分成两部分，第一部分02x x ∆是x ∆的线性函数（图中阴影部分）；当0x ∆→时，第二部分()2x ∆是x ∆的高阶无穷小量.由此可见，当x ∆很小时，面积的增量S ∆可以近似用第一部分来代替.定义 设函数()y f x =在点0x 的某邻域()0U x 内有定义，()00x x U x +∆∈，如果增量()()00y f x x f x ∆=+∆-可表为 ()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 仅与0x 有关而与x ∆无关，则称函数()f x 在点0x 可微，并称()f x x ∆为()f x 在点0x 的微分，记为|dy ，即.dy A x =∆设函数()y f x =在点0x 可微，则 ()y A x o x ∆=∆+∆，(),o x yA x x∆∆=+∆∆()00limlim ,x x o x yA x x ∆→∆→⎛⎫∆∆=+ ⎪ ⎪∆∆⎝⎭ ()()00lim lim,x x o x f x A x∆→∆→∆'=+∆()0.f x A '=因此函数()f x 在点0x 可导，且()0.f x A '=反之，设函数()y f x =在点0x 可导，则()00limx yf x x∆→∆'=∆．根据极限与无穷小的关系，由上式得()0,yf x xα∆'=+∆ 其中()00x α→∆→．故()()()00.y f x x x f x o x α''∆=∆+∆=+∆ 故()f x 在点0x 可微．函数()f x 在点0x 可微的充分必要条件是函数()f x 在点0x 可导，且当()f x 在点0x 可微时，且微分为()0.dy f x x '=∆例1 求函数2y x =在1x =和3x =处的微分． 解 函数2y x =在点1x =处的微分为 ()21|2,x dy x x x ='=⋅∆=∆在3x =处的微分为()23|6.x dy x x x ='=⋅∆=∆函数()y f x =在任意点x 处的微分，称为函数的微分，记作dy 或()df x ，即()dy f x x '=∆． 函数cos y x =的微分为 ()cos sin dy x x xdx '=∆=-．例2 求函数3y x =当2x =，0.02x ∆=时的微分．解 函数在任意点处的微分为 ()323.dy x x x x '=∆=∆函数在2,0.02x x =∆=时的微分为220.02320.020.24.x x dy=∆==⋅⋅=把自变量x 的增量x ∆称为自变量的微分，记作dx ，即.dx x =∆于是，函数()y f x =的微分为().dy f x dx '= 于是，(),dyf x dx'= 即函数()y f x =的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于函数的导数．因此，导数也叫“微商”．二、微分的几何意义若函数()y f x =在点0x 可微，则微分()0dy f x x '=∆是曲线()y f x =在点()()0,x f x 处切线上点的纵坐标的改变量.三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则1.基本初等函数的微分公式()1d x x dx μμμ-=，()sin cos d x xdx =， ()cos sin d x xdx =-， ()2tan sec d x xdx =，()2cot csc d x xdx =-， ()sec sec tan d x x xdx =， ()csc csc cot d x x xdx =-，()ln x x d a a adx =， ()x x d e e dx =，()1log ln a d x dx x a=()01a a >≠且， ()1ln d x dx x=，()arcsin d x =，()arccos d x =，()21arctan 1d x dx x =+， ()21arccot .1d x dx x=-+ 2.函数和、差、积、商的微分法则 ()d u v du dv ±=±， (),d Cu Cdu = ()d uv vdu udv =+， ()20u vdu udv d v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭．3.复合函数的微分法则设()y f u =及()u g x =都可导，则复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的微分为()().xdy y dx f u g x dx '''== 由于()g x dx du '=，所以复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的微分为 ()d y f u d u '=或.udy y du '= 由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分()dy f u du '=保持不变．这一性质称为微分形式不变性．例3 ()sin 21y x =+，求.dy解 设21u x =+，则()()()sin cos cos 2121dy d u udu x d x ===++ ()()c o s 2122c o s 21.x d x x d x =+⋅=+ 例4 ()2ln 1xy e =+，求.dy解 ()()()()22222211ln 1111xx x xxdy d e d e e d x e e=+=+=⋅++222222.11xx x x e xe xdx dx ee=⋅=++例5 13cos x y e x -=求.dy 解()()()131313cos cos cos x x x dy d e x xd e e d x ---==+()()()1313c o s 13s i n x x x e d x e x dx --=-+-()()1313c o s 3s i n x x x e dxe xdx --=-- ()133cos sin .x e x x dx -=-+例6 在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立． （1）d （ ）xdx =； 解 因为()22d x xdx =，所以()221,22x xdx d x d ⎛⎫== ⎪⎝⎭于是，2.2x d xdx ⎛⎫= ⎪⎝⎭一般地，22x d C xdx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）．（2）d （ ）()cos 0.tdt ωω=≠ 解 因为()sin cos ,d t tdt ωωω=所以()11cos sin sin ,tdt d t d t ωωωωω⎛⎫== ⎪⎝⎭ 于是，1sin cos .d t t ωωω⎛⎫= ⎪⎝⎭ 一般地， 1sin cos d t C tdt ωωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）． 习题2-51.已知3y x x =-，计算在2x =处当x ∆分别等于1,0.1,0.01时的y ∆及.dy 解 ()()()23y x x x x x x ∆=+∆-+∆--()()23233,x x x x x x =∆+∆+∆-∆()231.dy x x =-∆于是，22321|3213211118,x x y =∆=∆=⨯⨯+⨯⨯+-=()221|321111x x dy =∆==⨯-⨯=；22320.1|320.1320.10.10.1 1.161,x x x =∆=∆=⨯⨯+⨯⨯+-=()220.1|3210.1 1.1x x dy =∆==⨯-⨯=；22320.01|320.01320.010.010.110601,x x x =∆=∆=⨯⨯+⨯⨯-=()220.01|3210.010.11.x x dy =∆==⨯-⨯=2.设函数()y f x =的图形如图所示，试（a ）、（b ）、（c ）、（d ）中分别标出在点0x 的dy 、y ∆及y dy ∆-，并说明其正负．解 （a ）0,0,0.y dy y dy ∆>>∆-> （b ）0,0,0.y dy y dy ∆>>∆-< （c ）0,0,0.y dy y dy ∆<<∆-< （d ）0,0,0.y dy y dy ∆<>∆-> 3.求下列函数的微分： （1）1y x=+ 解21.dy y dx dx x⎛'==- ⎝（3）y =解()322.1dxdy y dx x'===+（5）2x x y e e =；解 ()()22222221.x x x dy y dx xe x e dx x x e dx '==+⋅=+（7）y = 解x dy y dx dx x ⎡⎤⎢⎥'===-⎦10,01.x x -<<=⎪<<⎪⎩（9）21arctan 1x y x-=+；解 ()()()()22222211211111x x x xdy y dx dx x x x -+--⋅'==⋅⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭42.1xdx x =-+ 4.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）d （ ）2dx =； 解 ()22d x C dx +=． （3）d （ ）cos xdx =； 解 ()sin cos .d x C xdx += （5）d （ ）11dx x=+； 解 ()()1ln 11d x C dx x ++=+． （7）d （）=； 解().d C =。
第五节 函数的微分
f
x0
③
0的
经济数学---微积分教案
第五节 函数的微分
教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近 似计算
教学重点：微分的计算
教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算
教学时数：2 一、微分的定义
计算函数增量 y f x0 x f x0 是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计
当 f x0 0 时，有
y lim x0 dy
lim x0
y
f x0 x
f
1
x0
lim
x0
dy f x0 x 。
y
x
1
1
山东女子学院
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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1 2xex2 x ex2
dx .
13
例4 设 y sin(2x 1), 求dy.
x)
dx x lna
d(ex ) ex dx d( x ) 1 dx 2x
d(ln x) 1 dx x
d(sin x) cos x dx d(cos x) sin x dx
d(tan x) sec2 x dx d(cot x) csc2 x dx
d(secx) secx tan x dx d(cscx) csc x cot x dx
dy f ( x)dx
dy f ( x). dx
所以导数也称为“微商”.
6
二、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y A x o(x)
y dy y x
T
当y是 曲 线 的 纵
坐 标 增 量 时, dy 就是切线纵坐标 对 应 的 增 量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
解 dy ( x3 ) dx 3 x2 dx ,
d y x2 3x2 x x2 0.24 .
x 0.02
x 0.02
8
三、基本微分公式 dy f ( x) dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
11
d( ) x
x2
dx
d(a x ) a x ln a dx
1
d(loga
u v du udv
d(uv) v du udv d( ) v
v2
例如，从函数的商的求导法则
( u) v
vu uv v2
以及 du u dx 和在 dv v dx ，即有
d( u) v
( u) dx v
vu dx uv dx v2
vdu udv v2
.
11
2、复合函数的微分法则
设 y f (x) 可导，则dy f (x)dx 。
9
三、基本微分公式 dy f ( x) dx
1
d(arcsin x)
dx
1 x2
1
d(arccos x)
dx
1 x2
1 d(t
x)
1
1 x2
dx
10
四、微分法则
1、函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(Cu) C du
若又有 x g(t ) ,g 可导，则复合函数y f [ g(t )] 的微分为 dy f ( x)g(t)dt
而 dx g(t)dt , 因此又有 dy f ( x)dx , 结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x) 的微分形式总是
dy f ( x)dx
此性质称为一阶微分的形式不变性.
12
例3 设 y ln(x ex2 ) , 求dy .
分析 dy f ( x) dx
微分的计算：计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
解法1
y
1 2xex2 x ex2
,
1 2xex2 dy x ex2 dx .
也可利用复合函数的微分法则。
解法2
dy
1 x ex2
d( x ex2 )
函数的改变量都有? 它是什么? 如何求?
2
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及
x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 )
当 x 0时可表示为
y A x o(x)
其中A是仅依赖于x0而与x无关的常数, o(x)是
比x高阶的无穷小量，则称函数 y f ( x) 在点x0 可微， 并称 Ax 为 f ( x) 在点x0 相应于自变量x 的微分,
1
再如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的改变量y .
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有
y A o(x) , 则 lim y A lim o(x) A.
x
x
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 设 函数f ( x)在点x0可导,
y lim x0 x
f ( x0 )
lim y f ( x0 )x 0 .
x 0
x
于是 y f (x)x o(x) , 即 y Ax o(x) ,
函数 f ( x)在点 x0可微 .
5
可微 可导
y A x o(x) f ( x0 ) A
函数 y f ( x)的微分为dy f ( x)x .
当 f (x) x 时，f ( x) 1，
所以 dy dx 1 x x .
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
以直代曲
7
例1 求函数 y sin x 在点 x 0 和 x 的微分.
2
解 dy (sinx) dx cos x dx , 所以
d y (cos0)dx dx , x0
dy
x 2
(cos
)dx 2
0.
例2 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
记作dy
x x0 或 d f
,即
x0
dy x x0 A x
3
y f (x0 x) f (x0 ) A x o(x)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时,dy与y是等价无穷小;
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy
A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关; (5) 当 x 很 小 时, y dy (线 性 主 部).
4
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充分必要条件是
f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ). 证 (1) 必要性
设f ( x)在点x0可微, 即 y A x o(x),
第六节 函数的微分
一、微分概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x (x)2
正方形面积 A x02,
x0x
x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.