弹性力学薄板基础理论
《弹性力学》第十二章薄板弯曲资料
与应力分量的关系，求得应力分量。
例1 试求边界固定的椭圆形薄
板在承受均布载荷q 后的最大
挠度和最大弯矩。
解：在图示坐标下，椭圆薄板 的边界方程为:
x2 a2
y2 b2
1
ao x
b
y
25
设挠度的表达式为:
w
C 1
x2 a2
y2 b2
2
其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界
每单位宽度之值如下：
dx
16
同理
t
M x
2 t
x
zdz
2
t
M xy
2 t
xy
zdz
2
t
Qx
2 t
xzdz
2
t
M y
2 t
y
zdz
2
t
M yx
2 t
yx
zdz
2
t
Qy
2 t
xzdz
2
17
将上节给出的应力分量与挠度 w 之间关系代入，并积分
则称为薄板。
我们把平分板厚度的平
面称为中面。
o
x
将坐标原点取于中
面内的一点，x 和y 轴
y
z
在中面内，z 垂直轴向
下，如图所示。
3
当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解 为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是 作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它 沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章 只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应 力、应变和位移。
第12章-薄板的小挠度弯曲问题
第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。
对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。
第1章 弹性力学基本理论
偏微分方程 困难 宽
5
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学是一门基础理论，把弹性力学理论直接用于工程
问题分析具有很大的困难，其主要原因主要是在于它的基本方
程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析
方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发
展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分
（1.11）
17
1.1.4 应变
因此，剪应变 xy 为
应变通常是一个很小的值，而且无量纲
xy
1
2
u y x
ux y
应变分量的矩阵型式
（1.12）
ε yxx
xy y
xz yz
zx yy z
（1.13）
除了上面的两种应变，还有一种体积应变(Volume Starin)。体 积应变表示弹性体体积的扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变 的大小等于三个线应变的和，即
x1 y1
cos sin
s in c os
0x 0 y
z1 0
0 1z
（a）
22
1.2.1 应力坐标变换
第二次旋转确定了x’y’z’坐标，它们与 x1y1z1 坐标的关系如下
x' 1
y
'
图 1-3 应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
ux x
相应地，y轴方向的正应变为：
y
弹性力学圆形薄板
xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
z d zx
Et 3 2 w 12 (1 ) x
t 2 t 2
x
Q
同样可得Qy,
记 可得
Et 2 D 12 (1 2 )
x z 0
0, 0
y z 0 xy z 0
0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成 弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形 状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。 薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基 本未知函数是薄板的挠度ω 。因此把其它 所有物理量都用ω 来表示，即可得弹性曲 面的微分方程。
z t 2
3、边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足， 一般只要求满足边界内力条件。 情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处 的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的 挠度和曲面的法向斜率等于零。即
x 0
0,
0 x x 0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度 和弯矩等于零。即：
y xz yx z x y
即
z Ez t2 2 z 4 w z 2(1 2 ) 4 Ez z3 4 t2 z z w F3 ( x, y ) 2 2(1 ) 4 3
积分得
根据薄板下面内的边界条件：
圆形薄板轴对称 弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定
二、弹性曲面的基本公式 三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解
第二章 弹性力学的基本理论
2
0 0 0
0 0 0
0
0
0
x （2－18）
y
0 0 0
0
0
z
yz
0 0
0
0
66
zx xy
61
弹性力学简明教程
二、平面问题
平面问题｛ 平面应力问题 平面应变问题 1、平面应力问题:
z zx zy 0
xz yz 0
由（2－15）式知：
z
fy
0
(2-4)
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
x
0
0
0
y 0
0
0 z
0
z y
z
0
x
x
y x
0
36
y
z yz
zx xy
61
fx fy fz
31
0 31
H P 0
36
61
31
31
(2-6)
弹性力学简明教程
二、空间问题的平衡微分方程
弹性力学简明教程
§2 平衡微分方程
一、平面问题的平衡微分方程
y
y
y
dy
x
fy
yx
yx
y
dy
xy
xy
x
dx
y
xy
dy c dx
fx
yx
x
x
x
dx
o(z)
x y
平衡微分方程：
Fx 0 Fy 0
微元体：厚度为1
平面问题的特点：
一切现象都看作是在一个平面内发生的
Fx 0 Fy 0
Mc 0
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
薄板理论在工程中的应用研究
薄板理论在工程中的应用研究引言：薄板理论是一种广泛应用于工程领域的理论模型，它主要用于描述和分析薄板结构在受力情况下的变形和破坏行为。
在工程实践中，薄板结构广泛应用于航空航天、建筑、汽车等领域，因此对薄板理论的研究和应用具有重要的意义。
本文将探讨薄板理论在工程中的应用研究，并分析其在不同领域的具体应用案例。
一、薄板理论的基本原理薄板理论是基于弹性力学理论的基础上发展起来的，它假设薄板结构在受力作用下的变形主要发生在板的中面，而板的表面则保持平面状态。
根据这一假设，薄板理论可以通过边界条件和力平衡方程来描述薄板结构的变形和破坏行为。
二、薄板理论在航空航天领域的应用在航空航天领域，薄板结构广泛应用于飞机机翼、机身等部件中。
薄板理论可以用于分析飞机结构在飞行过程中受到的各种载荷情况下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化飞机结构设计，提高结构的强度和刚度，同时减少结构的重量，提高飞机的性能。
三、薄板理论在建筑领域的应用在建筑领域，薄板结构常用于大跨度屋盖、墙板等部件中。
薄板理论可以用于分析这些结构在风荷载、地震荷载等外力作用下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化结构设计，提高结构的稳定性和安全性，同时减少材料的使用量，降低建筑成本。
四、薄板理论在汽车工程中的应用在汽车工程中，薄板结构广泛应用于车身、车顶等部件中。
薄板理论可以用于分析汽车结构在碰撞、振动等工况下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以提高汽车的安全性和舒适性，同时降低车身重量，提高燃油经济性。
五、薄板理论在其他领域的应用除了航空航天、建筑和汽车工程领域，薄板理论还可以在其他工程领域中得到应用。
例如，薄板理论可以用于分析电子设备中的散热板、光学器件中的薄膜等结构的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化这些结构的设计，提高其性能和可靠性。
结论：薄板理论作为一种重要的理论模型，在工程领域中得到了广泛的应用。
通过对薄板结构的变形和破坏行为进行分析，可以优化结构设计，提高结构的性能和可靠性。
弹性力学第九章 薄板弯曲问题_OK
（9－12）
20弹21/7性/6 力学简明教程
28
§9－3
NORTHEASTERN
薄板横截面上的内力
UNIVERSITY
讨论： （1）内力是作用在薄板单位宽度上的内力，
§9－3
NORTHEASTERN
薄板横截面上的内力
UNIVERSITY
同理，在xz面上（y为常量） y , yx , yz 也分别合成弯矩、扭矩和横向剪力。
M y
2 2
z
y dz
12
E 3 1 2
2w y 2
2w x2
M yx
2 2
z yxdz
E 3
121
2w xy
M xy
UNIVERSITY
（2）应力分量 xz
应力分量 xz 只可能合成横向剪力，在单位宽度上
2
Fsx
2
xz
dz
将（9－5）的第一式代入，并对z积分
E
Fsx 2 1 2
x
2w
2 2
z
2
2
4
dz
E 3 2w
12 1 2 x
（c）
20弹21/7性/6 力学简明教程
23
2w y 2
2w x2
M xy
M yx
D 1
2w xy
FSx
D
x
2w,
FSy
D
y
2w
（9－10）
20弹21/7性/6 力学简明教程
25
§9－3
NORTHEASTERN
薄板横截面上的内力
UNIVERSITY
薄板内力正负方向的规定
My
0
Mx
弹性力学第八薄板弯曲剖析
§8-2 弹性曲面的基本公式
一、弹性曲面的微分方程
薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄 板的挠度w。因此把其它所有物理量都用w来表示，即可得弹 性曲面的微分方程。
由假设
zx 0 , yz 0
可得： u w 0 z x
w v 0 y z
即 u w v w z x z y
由几何方程可得 w 0, w w x, y
z
在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具 有相同的位移，其值等于挠度。与梁的弯曲相似，在梁的任 意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线 的挠度。
（2）应力分量 zx , zy 和 z 远小于其余三个应力
分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。但它 们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有：
z
xy
u y
v x
2
2w xy
z
由物理方程可得
x
Ez
1
2
2w x 2
2w y 2
y
Ez
1
2
2w y 2
2w x 2
xy
Ez
1
2w xy
另由平衡方程可得
zx x yx
z
x y
zx
z
Ez
1 2
3w x3
3w xy2
1
Ez
2
2w x
zy y xyx
( x
y)
y
1 E
(
y
x )
xy
1 G
xy
2(1
E
) xy
（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：
u z0 0,
z0
第三章 薄板理论
第三章 薄板理论1.研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。
所谓薄板是指板的厚度S 与板面最小尺寸b 之比相当小的平板，其定义范围一般为0.01< S/b<0.2，以区别薄板与厚板。
S/b ≥0.2时为厚板。
比薄板挠度更大的壳体称为薄膜（大挠度薄板）。
2.薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位移问题。
在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲变形。
薄板弯曲后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移w ，称为挠度。
3.如果挠度w 远小于板厚S ，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变化，弹性曲面内薄膜力远小于弯曲力，故忽略不计，这类弯曲问题可用薄板小挠度理论求解。
4.中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即板中面内各点只有垂直位移w ，无平行于中面的位移。
直线法假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直线段，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性曲面。
不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互相不挤压，即垂直于板面的应力分量z σ和应变分量z ξ略去不计。
5.受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和变形特点：（1）板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯曲应力max σ与2(/)R S 成正比。
（2）两种支撑板，最大挠度均在板中心处，若取μ=0.3，周边简支板的最大挠度约为固支板的4倍。
（3）周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。
若取μ=0.3，周边简支板的最大弯曲应力约为固支板的1.65倍。
由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边简支板为好。
6.试比较受横向均布载荷作用的圆板，在周边固支和周边简支情况下最大弯曲应力和最大挠度的大小与位置。
（1）在周边固支情况下最大弯曲应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即2max 223()4r Rr sz qR Sσσ====± 最大挠度发生在板中心r=0处，4max 0()64r qR Dωω===（2）在周边简支情况下最大弯曲应力发生在板中心处，即200max 2223()()(3)8r r r ssz z qR Sθσσσμ=======+ 最大挠度仍发生在板中心r=0处，4m a x 05()164r qR Dμωωμ=+==+ 7.提高受横向均布载荷作用的圆板承载能力的有效措施有哪些？（1）通常最大挠度和最大应力与圆板的材料、半径、厚度有关，因此，若构成板材料和载荷已确定，则减小半径和增大厚度，都可以减小挠度和降低最大正应力。
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算资料
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计指导教师：孙秦学院：航空学院姓名：程云鹤学号： 2011300092班级： 01011105薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结1、弹性力学中的基本假定（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。
（2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形 （3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。
（4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
（5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。
2、平衡微分方程在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z 坐标变量的函数。
对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。
然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
在物体内的任一点P ，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。
根据平衡条件即可建立方程。
(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程0=∑M ，可证明切应力的互等性：yx xy xz zx zy yz ττττττ===,,(2)分别以轴轴、轴、z y x 为投影轴，列出投影的平衡方程0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑z F ，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂000z yzxz z y xyzy y x zx yx x f y x z f x z y f z y x ττσττσττσ (1-1)3、物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量 ,,z y x ，σσσyx xy xz zx zy yz ττττττ===,,为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。
板壳理论 弹性薄板弯曲的基本理论(精编荟萃)
（3）注意计算中的错误。
精编荟萃
24
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
§1.5 四边简支矩形板的一般解
薄板横向弯曲的微分方程是
D 2 2 w
4w
D
(1.3.5)
精编荟萃
4
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的 后两个条件合并为一个。
图1.5 边精界编荟上萃的扭矩
5
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 在微段CD上：
内力Myxdx
在微段DE上：
解：（1）薄板的微分方程
D 2 2 w
（2）边界条件
4w
D
x
4
2
4w x 2y 2
4w
y 4
q
设四边简支矩形薄板在角点B处发生了相对于基准
面的沉陷，沉陷大小为x，则BC边和AB边的挠度是
x
x
w y, w x
xa b
yb a
(1.4.7)
在这两个边界上还有薄板弯矩的边界条件
M x xa M y yb 0
在OA边和OC边，边界条件是
(1.4.8)
w x0 0 , M x x0 0 w y0 0 , M精y 编y荟0萃 0
(1.4.9) 19
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（3）取满足边界条件挠度函数
取薄板的挠度曲线函数为
w x xy
弹性力学 (3)
之比相当小的平板，其定义范围一般为
此定义为薄板。 对于圆形薄板，其定义范围是指板的厚度与其直径D之比在上述 范围之内，即
作用在板上的载荷，总可以分解为两种作用形式，一种是平行于 中面的载荷、另一种是垂直于中面的载荷。对于平行于中面的载
荷，可以认为沿壁厚均匀分布，因而引起的应力、应变和位移， 可按平面应力问题处理；对于垂直中面的载荷(又称横向载荷)， 将使薄板发生弯曲，它所引起的应力、应变和位移，可按薄板弯 曲问题进行计算。
第二节
圆板轴对称问题
圆板的几何形状、载荷和支承条件均对称于圆板中心轴，圆 板的内力和变形也是轴对称的，这类问题为圆板的轴对称问题。
由于轴对称性，圆板中的内力、变形、位移分量均为r的函 数，与 无关。
一、圆板轴对称弯曲的基本方程
由于轴对称，在微元体各截面上只有弯矩 M r , M 和剪力Qr 作用，且与 无关，仅是坐标 r 的函数。 1.平衡方程
薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位
移问题。在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯 曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲 变形。薄板弯曲变形后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性 曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移 w ，称为挠度。如 果挠度w 远小于板厚S，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变
(3-23)
将式(3-21)代入式(3-4)，得周边简支实心圆板在任意半径 r处的应力表达式
(3-24)
在板中心 r 0 处
在板边缘 r R 处
可见，最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即
(3-25) (3-26)
由上分析可见，受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和 变形特点: ①板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应 力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯 2 R S 曲应力 max 与 成正比。 ②两种支承板，最大挠度均在板中心处，若取 0.3 ，周边 简支板的最大挠度约为固支板的4倍。 ③周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应 力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应 力。周边简支板的最大弯曲应力约为因支板的1.65倍。 由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边 简支板为好。
弹性力学圆形薄板
xz
Qx
2 t 2 t
xz dz
Qx
t Ez 2 2 2 t2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
Et3 2 w 12(1 ) x
同样可 2 )
2w 2w M x D x 2 y 2 2w 2w M y D y 2 x 2 2w M xy D (1 ) xy 2 Qx D w x Q y D 2 w y
2 2
Εz 2 xy 1 xy
三、圆形薄板弯曲问题
1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较 方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标ρ 和φ的函数。即： ω=ω(ρ, φ)，q=q(ρ, φ) 进行坐标变换可得： φ ρ
sin cos x ρ ρ cos sin y ρ ρ
M xy z xy dz
t 2 t 2
M xy
xy
可得
t Ez w 2 2 M xy z dz t 1 xy 2 2
Et3 2w 12(1 ) xy
截面上的内力：剪力 由
Ez 2 t 2 2 zx z w 2 2(1 ) 4 x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M
M
M yx dx x
yx A
yx A
M yx 边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 dx x M yx 边界上的总的分布剪力为 Vy Q y dx x
弹性薄板 丛书
五、弹性薄板和平板壳单元 分析初步及程序
弹性薄板基本知识 弹性薄板矩形（R12）单元
薄板分析程序的使用 矩形平板壳体单元 平板壳体程序的使用 计算结构力学基础的结束语
5.1 弹性薄板基本知识
5.1.1 弹性薄板基本概念
所谓薄板是指板厚h比板最 小尺寸b在如下范围的平板
ENDDO ENDIF
约束信息: READ(8,*) (MC(I),I=1,ND)
5.5 平板壳体程序的使用
对称边
简支边
1/4圆柱壳
自由边
6,4,30,42,35,20,3,0,0,200.,0.0,8.,0.698,800 4,5,139.6,150. 0.00004 1,2,4,5,8,10,14,16,20,22,26,28,31,35,61 65,91,95,121,125,151,153,155,157,159,161 163,165,167,169,171,173,175,177,179
Q1 1
Mx1
My1
4 x
由于单元自由度为12，因此可 2 有12个广义坐标，位移模式可 设为如下不完全四次多项式
w3 yz 3
x3 y3
？
利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形
函数，显然十分麻烦。龙驭球提出利用对称性较直接 广义坐标法要容易一些，也还有很大工作量。
为此介绍试凑法, 首先引入自然坐标 =x/a， =y/b。
E = 杨氏弹性模量 UM=泊桑比
T =厚度
CAHS=圆心角
R =半径
5.5 平板壳体程序的使用
结点坐标 IF (NH==0) THEN
READ(8,*) MX,MY,XL,YL ELSE
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
科技信息
高校理科研究
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
乐山职业技术学院机电系 杨丽媛
［摘 要］薄板振动属于弹性体振动，本文主要介绍弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程，介绍薄板小挠度理论，给出弹性薄板 横向振动的振动方程和不同边界条件的数学模型。 ［关键词］弹性薄板 横向振动 基本理论 振动方程
远小于平面上另两个尺寸的薄板来说，可以采用一系列反映薄板力学
特性的简化，是原始三维问题简化为二维问题来分析，这些假设是：
（ａ）变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面
垂直。
（ｂ）忽略沿中面垂直方向的法向应力。
（ｃ）只记入质量的移动惯性力，而略去其转动惯性力矩。
（ｄ）无沿中面内方向的变形。
式中：Ｄ ＝ Eh １２（１－μ２）
— ５０８ —
其中：Ｅ 为材料的弹性模量，ρ 为材料密度，μ 为材料泊松比。
式（１）是关于挠曲面函数 ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）的四阶偏微分方程，薄板小挠度自
由振动的基本问题归结为在给定初始条件下定解方程（１）。
２、边界条件
薄板振动所应满足的边界条件和薄板静力问题一样，一般有固支、
ｙ＝ｙ０
鄣３ｗ 鄣ｙ３
＋（２－μ）鄣鄣ｘ３２ｗ鄣ｙ
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｃ）
（４）弹性支承 若平板边界铰接支承在可用垂直线弹簧（弹簧常数）
表示的结构或地基上，其边缘上各点弯矩保持为零，而合剪力由弹簧支
承力产生，即：
鄣 鄣 鄣 鄣 鄣２ｗ 鄣ｙ２
＋μ
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第九章 薄板基础理论
第一节 基本概念
X
Z
1、 薄板：
δ— 板厚度 B — 短边长 当δ满足
b b )8
151()1001801(-≤≤-δ 时为薄板
左侧为厚板， 右侧为薄膜
中面 所弯曲的曲面称薄板弯曲曲面
2、 薄板假设
1、直法线假设
X
OA 是垂直于中面的一点，A （X ，Y ，Z ），即OA=Z 弯曲后A 好在中面上， 且 O / A / = OA = Z ， 即 XZ 还是直角，
0,0=∂∂+∂∂=z u x w xz γ 同 0,0=∂∂+∂∂=z u x w xz γ 垂直于中面方向的线应变不计 即0=z ε 即
,0=∂∂z w ),(y x w w =
2、计z σ引起的变形即平面应力问题
3、 薄板内各点没有平行与中面的位移 ()00==z u ()00==z v
所以 ()00==z x ε ()00==z y ε ()00==z xy γ 这就是说：中面虽然弯曲成一个曲面，但其上各点的X 、Y 坐标保持不便，即中面在XY 面上的投影保持不便。