经典正态分布.ppt

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知识点二 正态分布
如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b) ＝bφμ，σ(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布．
a
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ， σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．
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③曲线在 x＝μ 处达到峰值
1； 2πσ
④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而
沿 x 轴平移；
⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，
表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分
布越分散．
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对正态曲线特征的认识
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变式训练 2 设 X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)． (2)P(3＜X≤5)．
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解析：因为 N～N(1,22)，所以 μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因为 P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以 P(3＜X≤5) ＝12[P(－3＜X≤5)－P(1＜X≤3)] ＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积．
3．从正态曲线可以看出，对于固定的 μ 和 σ 而言，随机变量
在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着 σ 的减小而增大．这说明 σ 越小，
X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即 X 集中在 μ 周围的概
率越大．正态分布的 3σ 原则是进行质量控制的依据，要会应用给
定三个区间的概率解决实际问题优.选
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知识点三 3σ 原则 1.若 X～N(μ，σ2)，则对于任何实数 a＞0，P(μ－a＜X≤μ＋ a)＝μ＋aφμ，σ(x)dx.
μ－a
2．正态分布在三个特殊区间内取值的概率． P(μ－α＜X≤μ＋σ)＝0.682 6； P(μ－2α＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； P(μ－3α＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
对正态分布的理解
1．正态分布是自然界最常见的一种分布，例如：测量的误差；
人的身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长
度、宽度、高度……都近似地服从正态分布．
2．正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X 的取值区间在
(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．也就是
指随机变量 X 的取值区间在(a，b]上时的概率等于正态曲线与直线
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[点评] 1．本题利用正态分布曲线的图象和性质以特殊概率的值进行转 化求值．
2．解决正态分布曲线的概率计算问题，首先应理解曲线的对称 性，再者要熟练记住正态变量的取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ， μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布 确定所给区间属于上述区间的哪一个．
φμ，
σ(x)中便可求出相应的解析式．
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变式训练 1
如图，曲线 C1：f(x)＝
1 2πσ1e
(
x1 212
)2
(x∈R)，曲
线 C2：φ(x)＝
1
e
(
x2
2
2 2
)2
(x∈R)，则(
2πσ2
)
A．μ1＜μ2 B．曲线 C1 与 x 轴相交 C．σ1＞σ2 D．曲线 C1、C2 分别与 x 轴所夹的面积相等
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解析：由正态曲线的特点易知：μ1＞μ2，σ1＜σ2，曲线 C1，C2 分别与 x 轴所夹面积相等．
答案：D
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类型二 正态分布下的概率计算 【例 2】 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)，求 正态总体 X 在(－1,1)内取值的概率．
解析： 由题意得 μ＝1，σ＝2， 所以 P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于 x＝1 对称， 所以 P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3)＝0.341 3.
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类型三 正态分布的应用 【例 3】 据调查统计，某市高二学生中男生的身高 X(单位： cm)服从正态分布 N(174,9)．若该市共有高二男生 3 000 人，试估 计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．
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Hale Waihona Puke Baidu
解析：因为身高 X～N(174,9)， 所以 μ＝174，σ＝3， 所以 μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180， 所以身高在(168,180]范围内的概率为 0.954 4. 又因为 μ＝174. 所以身高在 (168,174]和 (174,180]范围内的概率相等，均为 0.477 2， 故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人)．
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类型一 正态曲线的图象的应用 【例 1】 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正 态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方 差．
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解析：
从正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x＝20 对称，最大值为
2
1 ，所以 π
μ＝20，
1＝ 2πσ 2
1π，∴σ＝
2.
于是
φμ，σ(x)＝2
特征
认识
特征 1
函数的值域为正实数集的子集，且以 x 轴为 渐近线
特征 2 曲线是对称的，关于直线 x＝μ 对称
特征 3 函数在 x＝μ 处取最大值
特征 4 随机变量在(－∞，＋∞)内取值的概率为 1
特征 5
当标准差一定时，μ 情况
变化时曲线的位置变化
特征 6
均值一定时，σ 散程度
变化时总体分布的集中、离
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1
知识点一 正态曲线
1.正态曲线的概念
若 φμ，σ(x)＝
1
e
(
x )2 2 2
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数
μ
和
σ(σ
2πσ
＞0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态 曲线．
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2．正态曲线的性质
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
1
( x20)2
π·e 4
，
x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是 μ＝20，
方差是 σ2＝( 2)2＝2.
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[点评]
1．本题直接根据正态分布曲线的性质解决 μ，σ.
2．正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：
(1)对称轴方程 x＝μ；
(2)最值σ
1 这两点把握好了，参数 2π
μ，σ
便确定了，代入