勾股定理整理

【答案】 a c 15 ，20 ，24 ，25 ，现将他们摆成两个直角三角形，其中 23. 五根小木棒，其长度分别为 7 ， 正确的是（ ）
【答案】C
24. 如图，已知 △ ABC 中， ABC 90 ，AB BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线
I1 ，I 2 ，I3 上，且 I1 ，I 2 之间的距离为 2 ， I 2 ，I 3 之间的距离为 3 ，则 AC 的长是
【答案】选 B，设 AC BC a 米，由勾股定理得 a 2 a 2 (a x)2 (a y )2 ， 化简得 2a( x y ) x 2 y 2 0 ，x y .
折叠模型&折叠模型（俗话说，折叠必出全等，折叠模型这里考察的知识点通常就 是雷劈模型的变形，同学们要注意理解哦！ ）
天行健，君子以自强不息！
园老师吐血刷题 200 道整理
8.
【答案】D 在 Rt△ ABC 中， C 90 ，周长为 60，斜边与一条直角边之比为 13 : 5 ，则这个三角
形三边长分别是（ ） A．5、4、3 B．13、12、5 C．10、8、6 D．26、24、10 【答案】D 9. 如果直角三角形的三边长为 10 、 6 、 x ，则最短边上的高为____________． 【答案】 8 或 10
C． 30cm
D． 40cm
天行健，君子以自强不息！
园老师吐血刷题 200 道整理
18. 如图，长方体的长为 15 ，宽为 10 ，高为 20 ，点 B 离点 的距离为 5 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 点 B ，需要爬行的最短距离是（ ）
B 5
C
C
爬到
20
A． 5 21 C． 10 5 5
AB 1
2
25
解得 AB 12 米 13. 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC 6cm ， BC 8cm ，现将直角边 AC 沿直 线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）
A． 2cm 【答案】B
B． 3cm
C． 4cm
D． 5cm
天行健，君子以自强不息！
园老师吐血刷题 200 道整理
直角三角形的性质： （1） 有一个角是直角； （2） 两锐角互余； （3）三边满足勾股定理； （4）斜边上的中线等于斜边的一半； （5） 30 所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，若直角边 为 a,b，斜边为 c，斜边上的高为 h，则 ab=ch。
B． 35
15
A 10
D． 25
【答案】D 19. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 6cm ，底面周长为 16cm ， 在杯内离杯底 2cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁 正好在杯外壁，离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则 蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________ cm ． 【答案】10
蚂蚁A 蜂蜜C
天行健，君子以自强不息！
园老师吐血刷题 200 道整理
14. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC 6cm ，BC 8cm ，现将直角边 AC 沿 CAB 的角平分线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求出 CD 的长．
【答案】 CD 3cm 15. 直角三角形纸片的两直角边长分别为 6 ， 8 ，现将 △ ABC 如图那样折叠，使点 A 与 B 重合，折痕为 DE ，则 CE : BE 的值为（ ）
C E B D A
A．
25 7
B．
7 3
C．
7 25
D．
1 3
【答案】C 16. 如图，在 Rt△ ABC 中， C 90 ， AC 3 ，
BC 1 ， D 在 AC 上，将 △ ADB 沿直线 BD 翻折
B
后，点 A 落在点 E 处，如果 AD ED ，那么 △ ABE 的面积是（ ）
+24﹣
=24，
梯子模型
11. 如图，梯子 AB 斜靠在墙面上， AC ⊥ BC ， AC BC ，当梯子的顶端 A 沿 AC 方向 下滑 x 米时，梯子 B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（ ） x y x x y y A. B. C. D.不确定
A
B C
园老师吐血刷题 200 道整理
这一节我们学习了勾股定理，俗话说，学好勾股，四个境界！哪四个境界呢，我 们一起来看一看。
第一层境界：知道勾股定理及逆定理，并且知道如何证明。 （勾股定理我们学了五 种证明方法：内弦图，外弦图，总统法，火柴盒法，欧几里得证法，至少要会两 种，逆定理证明过程，不会的赶紧翻书看一看哦！ ） 1. 勾股定理
天行健，君子以自强不息！
园老师吐血刷题 200 道整理
解：在直角△ ABC 中，∠ ∴ AB2=AC2+BC2， 根据正三角形面积计算 S3= S1= ∴ ，S2= S1+S2= ，
C=90°，
，
（BC2+AC2）=
AB2=S3，
故 S1+S2=S3． 答：S1，S2，S3 之间关系为 S1+S2=S3． 10. 如图，已知直角△ ABC 的两直角边分别为 6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中 阴影部分的面积．
2)
证明：∵ 在 Rt△ ABC 中，AC2+BC2=AB2， 又由正方形面积公式得 S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2， ∴ S3=S1+S2． 如图，以 Rt△ ABC 的三边为直径的 3 个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．
解：半圆 D 的面积等于半圆 E 的面积与半圆 F 的面积之和． 证明：在直角△ ABC 中，AC2=BC2+AB2，
2.
5.
6.
7.
把直角三角形的两直角边同时扩大到原来 4 倍，则其斜边扩大到原来的（ ）倍，所 得的三角形仍为直角三角形 A． 2 B． 4 C． 8 D． 16 【答案】B 在 Rt△ ABC 中， C 90 ，周长为 60，斜边与一条直角边之比为 13 : 5 ，则这个三角 形三边长分别是（ ） A．5、4、3 B．13、12、5 C．10、8、6 D．26、24、10
类似的题目还有很多，你们一定要耐心整理哦！ 接下来是我们的重头戏，也是最最最重要的部分了！
第四层境界：总结题型 毕氏树模型
1) 如图，以 Rt△ ABC 的三边分别向外作三个正方形 ACDE、BCNM、ABGH，其面积分 别为 S1，S2，S3，设 Rt△ ABC 的两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，请证明： S3=S1+S2．
常用勾股数： （3、4、5） ， （5、12、13） ， （7、24、25） ， （8、15、17） ， （6、8、10） ， （9、40、41） 直角三角形中边角关系： 特殊直角三角形（ 30 , 60 ,90 ） ，他们之间边对应的比例关系是： 1：3 : 2 特殊直角三角形（ 45, 45,90 ） ，他们之间对应边的比例关系是： 1:1 ：2 记住几句话： （1）直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 （2）直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半 知识点：
20. 为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱 子的底面周长为 2m，高为 6m．如果要求彩带从柱子底端的 A 处绕柱子 4 圈后到达柱子顶端的 B 处，那么至少应购买彩带 米．
解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长 方形并排后的长方形的对角线长， ∵ 圆柱高 6m，底面周长 2m， x2=（2×4）2+62=64+36=100， 所以，彩带长至少是 10m． 故答案为：10．
解：∵ S△ ABE，S△ BCF 和 S△ ACH 分别是以 Rt△ ABC 的斜边 AB 及直角边 BC 和 AC 为斜边向外作的等腰直角三角形的面积， ∴ S△
ABE=
AB2，S△
BCF=
BC2，S△
ACH=
AC2，
4)
∵ AC2+BC2=AB2， ∴ S△ ABE=S△ BCF+S△ ACH． 在直角△ ABC 中，∠ C=90°．如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形（如 图） ，那么面积 S1，S2，S3 之间有什么关系？
第二层境界：会使用勾股定理解决实际问题。 （不就是做题嘛，俗话说熟能生巧， 同学们赶紧刷起来！ ）
第三层境界：错题整理，总结出易错点。 （园老师曰：题不二错，必成学霸！ ）
1. 一直角三角形的两边长是 3 和 5 ，则第三边边长的平方是______． 【答案】 34 或 16 已知直角三角形的两边长 x 、 y 满足 x2 4 y 2 5 y 6 0 ，则第三边长为______ 【答案】 2 2 或 13 或 5 3. 已知直角三角形的两边长 x 、 y 满足 x2 4 y 2 5 y 6 0 ，则第三边长为______ 【答案】 2 2 或 13 或 5 4. 下列说法正确的是（ ） A．若 a 、 b 、 c 是 △ ABC 的三边，则 a 2 b 2 c 2 B．若 a 、 b 、 c 是 Rt△ ABC 的三边，则 a 2 b 2 c 2 C．若 a 、 b 、 c 是 Rt△ ABC 的三边， C 90 ，则 a 2 b 2 c 2 D．若 a 、 b 、 c 是 Rt△ ABC 的三边， A 90 ，则 a 2 b 2 c 2 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 【答案】B ） D．等腰三角形
2 2 2 如果直接三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边为 c，那么 a b c
2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长为 a,b,c 满足 a 2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角形。 有兴趣的同学不防看看以下图形怎么证明勾股定理呢？第一个是欧几里得证法， 第二个是邹元治证法，第三个是赵爽证法。当然还有其他证法，有兴趣的同学可 以去研究一下。
数形结合（这里往往是和将军饮马结合在一起考察。 ）
21. 如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c ，若 a，c 的面积分别为 3 和 4，则 b 的面积为 ________
【答案】7
天行健，君子以自强不息！
园老师吐血刷题 200 道整理
22. 如图，在平面上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积从左到右依次 是 a ， b ， c ，则正放置的四个正方形的面积之和为________（可用 a ， b ， c 表示） ．
解：∵ 直角△ ABC 的两直角边分别为 6，8， ∴ AB= =10，
∵ 以 BC 为直径的半圆的面积是
π
=8π，
以 AC 为直径的半圆的面积是
π
=
，
以 AB 为直径的面积是 △ ABC 的面积是
×π
=
，
AC•BC=24，
天行健，君子以自强不息！
园老师吐血刷题 200 道整理
∴ 阴影部分的面积是 8π+
天行健，君子以自强不息！
园老师吐血刷题 200 道整理
∵ 半圆 D 的面积为 π•
，半圆 E 的面积为 π•
，半圆 F 的面积
为 π•
，
∴ 半圆 E 与半圆 F 面积之和为 π•
+ π•
= π•
=半圆
D 的面积 故半圆 D 的面积等于半圆 E 的面积与半圆 F 的面积之和．
3)
如图，以 Rt△ ABC 的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰 直角三角形的面积之间的关系．
12. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m ，当它把绳子的下 端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ） A．8m B．10m C．12m D．14m 解：由题意得， AB 为旗杆的高， AC AB 1 ， BC 5 米．
已知 AB BC ，根据勾股定理得 AB AC 2 BC 2
3 2
C
D F
A
A．1
3 3 3 【答案】A
B． D．
E
C．
1 2 3 4
最短距离
17. 如图， A 是高为 10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从 A 点出 发，沿 30 角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面 爬行的最短距离是（ ）
10
B
A
Hale Waihona Puke Baidu
30°
A． 10cm 【答案】B
B． 20cm