静矩和形心
惯性矩、静矩,形心坐标公式
§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。
静矩可用来确定截面得形心位置。
由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。
即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。
将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。
解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。
因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。
现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。
由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。
另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。
材料力学课件截面的静矩和形心位置
y 10
1 x1
C(y, x)
y1
2 y2
10
o x2
x
80
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
y 0
Ip Aρ2dA
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
dx dx x
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
ix
Ix A
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
Hale Waihona Puke 解：dA = b dy
Ix
A y2dA
h
2h
by2dy
2
bh3 12
Ix A y2dA
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
I xy I xcyc abA
a
C(a,b)
xc
ob
x
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
例 1-1 试确定图示截面心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2 两个矩形。
y 10
取 x 轴和 y 轴分别与截面
截面的静矩和形心位及惯性矩的计算
y
dA
x
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
20 140
zc
20
1
yc
ZC
2
y
100
I1yC
1 12
20 1403
20 140
(8046.7)2
I
2 yC
1 12
100
203
100
20
(46.7)2
zc
120 103 152 120 10
1 12
703
10
(25)2
70
10
100.4 104 mm 4
Iy 278.4 104 mm4
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
I xy 0 15 20 120 10 0 (25) (35) 70 10
x2
10
70 2
45mm
y2 5mm
y 10
1 x1
y1
第七章 静矩及其性质
A
A1 A2
C2
c(-20.3;34.7)
C1
z
80
351100 20.3(mm) 10110 8010
yc
Ai yci A1 yc1 A2 yc2
A
A1 A2
601100 10110 8010
34.7(mm1)2
y
10
解法三：负面积法
10
A1 9600 mm 2 , zc1 40mm, yc1 60mm A2 70 110 mm 2 , zc2 45mm, yc2 65mm
第七章 截面的几何性质
❖ 静矩和形心 ❖ 惯性矩、惯性积 ❖ 平行移轴公式 ❖ 转轴公式 ❖ 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩
1
§7-1 静矩和形心
一、简单图形的静矩（面积矩）
1、定义：
dA对z轴的微静矩:
y
dA对y轴的微静矩:
dSz ydA dS y zdA
z
dA
y
o
S z
ydA
A
z
S y
CP
S ae da Sabcd
AM L
9
4、排水体积和浮心坐标 可列表进行计算
L
Asi
xB
Asi xi Asi
zB
Asi zAi
Asi
10
例 试确定下图的形心。
解法1：1)、建立坐标如图示，分割图形
y 10
A1 700 mm 2 , zc1 45mm, yc1 5mm
四、组合图形的形心：
yc
Szi
Ai
Ai yci A
zc
Syi Ai
Ai zci A
利用基本图 形的结果，可使 组合图形的形心 计算简单
第26讲第五章 材料力学(九)
第五节截面图形的几何性质一、静矩与形心对图所示截面静矩的量纲为长度的三次方。
对于由几个简单图形组成的组合截面形心坐标显然，若z轴过形心，y c=0，则有S z=0，反之亦然：若y轴过形心，z c=0，则有S y=0，反之亦然。
【真题解析】5—30（2007年真题）图所示矩形截面，m-m线以上部分和以下部分对形心轴z的两个静矩( )。
(A)绝对值相等，正负号相同(B)绝对值相等，正负号不同(c)绝对值不等，正负号相同(D)绝对值不等，正负号不同解：根据静矩定义，图示矩形截面的静矩等于m-m线以上部分和以下部分静矩之和，即，又由于z轴是形心轴，Sz=0，故答案：(B)二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积对图所示截面，对z轴和y轴的惯性矩为惯性矩总是正值，其量纲为长度的四次方，也可写成i z、i y称为截面对z、y轴的惯性半径，其量纲为长度的一次方。
截面对0点的极惯性矩为因=y2+z2，故有I p=I z+I y，显然I p也恒为正值，其量纲为长度的四次方。
截面对y、z轴的惯性积为I yz可以为正值，也可以为负值，也可以是零，其量纲为长度的四次方。
若y、z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则其惯性积I yz恒等于零。
例6图(a)、(b)所示的两截面，其惯性矩关系应为哪一种？A.(I y)1>(I y)2,(I z)1=(I z)2B. (I y)1=(I y)2, (I z)1>(I z)2C.(I y)1=(I y)2,(I z)1<(I z)2D. (I y)1<(I y)2,(I z)1=(I z)2解：两截面面积相同，但图 (a)截面分布离z轴较远，故I z较大。
对y轴惯性矩相同。
答案：B2016—63真题面积相同的两个如图所示，对各自水平形心轴 z 的惯性矩之间的关系为（）。
提示：图（ a ）与图（ b ）面积相同，面积分布的位置到 z 轴的距离也相同，故惯性矩I za=I zb而图（ c ）虽然面积与（ a ）、（ b ）相同，但是其面积分布的位置到 z 轴的距离小，所以惯性矩I zc也小。
静矩和形心
静矩和形心
S y AzC
S z AyC
1.若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必
过
形心； 2.若轴过形心，则截面对该轴的静矩等于零
。
静矩和形心
三、组合截面的静矩
由几个简单图形组成的截面称为组合截面 。
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和 ， 等于该截面对于同一轴的静矩。
静矩和形心
n
S y
zdA
A
Ai zCi
i 1
n
S z
ydA
A
A i yCi
i 1
其中 Ai —第 i个简单截面面积；
( yCi, zCi)—第 i个简单截面的形心坐标；
静矩和形心
静矩和形心
一、静矩(面积的一次矩)
设平面图形，取 yoz 为图形所在平面的坐标 系，在坐标为（y , z）处取面积元dA。 截面对 y , z 轴的静矩为 z
y
S y
zdA
A
dA
m3
z
S z
ydA
A
O
y
静矩和形心
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
1.静矩可正，可负，也可能等于零；
2.同一图形，对不同的坐标轴，静矩也不同。
静矩和形心
二、截面的形心(Centroid of an area)
n
Ai zCi
zC
i1 n
Ai
i1
z d
A
A
A
z
z zC
dA C
O yC
y
Sy A
y
静矩和形心
n
Ai
i1
A ydA
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
x
80
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
Ip Aρ2dA
y 0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
因为 ρ2 y2 z2
I p Aρ2 dA
所以 Ip = Ix + Iy
y
y
dA
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
dA = b dy
Ix
A y2dA
h
2h
by2dy
2
bh3 12
Ix A y2dA
静矩和形心
附录I 平面图形的几何性质§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴§I-1 静矩和形心1． 静矩定义：⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰AyA Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。
（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。
（3）量纲为长度的三次方。
2．形心坐标计算公式（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。
（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎭⎬⎫==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。
反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。
Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。
Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA nn==22·20210+=+====++⎰⎰⎰n abn z b a dzZ badz Z b a Z zdA S bn n A bon nn n b y②()11100+=+====+⎰⎰⎰n abn b ab dz Z b a ydz dA A n n bn n bA()21122++=++==n bn n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。
（1）组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。
⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑==ni i i y ni i i Z z A S y A S 11⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====ni i ni i i ni i ni ii A z A z A yA y 1111Example1 试求图形形心坐标z y ,Solution 以y 、z 为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故()()cmO A A Z A Z A z y 67.12040445200222212211=--⨯⨯-=++==ππExample2 求组合图形的形心坐标，z y ，Given [No.18a A 1=25.7cm 2 cm z cmy 988.111==[No.9 90×90×10A 2=17.2cm 2()59.21859.222-=-=z cmySolution ：以yz 作为参考坐标轴()cmA A Z A Z A z 57.112.177.255.2182.17957.2212211=+-⨯+⨯=++=()cmA A y A y A y 0874.02.177.2559.22.1788.157.2212211=+-+⨯=++=§I-2 惯性矩和惯性半径 1．定义⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z A y dA y I dA z I 22 （1）惯性矩恒为正值 （2）量纲为长度的四次方力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A 与某一长度二次方的乘积，即 ⎭⎬⎫==22··z z y y i A I i A I 2．惯性半径⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A I i A I i z z y y (1) i y 为图形对y 轴的惯性半径i z 为图形对z 轴的惯性关径 （2）量纲为长度。
静矩和形心
附录I 平面图形的几何性质§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴§I-1 静矩和形心1． 静矩定义：⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰AyA Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。
（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。
（3）量纲为长度的三次方。
2．形心坐标计算公式（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。
（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎭⎬⎫==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。
反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。
Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。
Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA nn==22·20210+=+====++⎰⎰⎰n abn z b a dzZ badz Z b a Z zdA S bn n A bon nn n b y②()11100+=+====+⎰⎰⎰n abn b ab dz Z b a ydz dA A n n bn n bA()21122++=++==n bn n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。
（1）组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。
⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑==ni i i y ni i i Z z A S y A S 11⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====ni i ni i i ni i ni ii A z A z A yA y 1111Example1 试求图形形心坐标z y ,Solution 以y 、z 为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故()()cmO A A Z A Z A z y 67.12040445200222212211=--⨯⨯-=++==ππExample2 求组合图形的形心坐标，z y ，Given [No.18a A 1=25.7cm 2 cm z cmy 988.111==[No.9 90×90×10A 2=17.2cm 2()59.21859.222-=-=z cmySolution ：以yz 作为参考坐标轴()cmA A Z A Z A z 57.112.177.255.2182.17957.2212211=+-⨯+⨯=++=()cmA A y A y A y 0874.02.177.2559.22.1788.157.2212211=+-+⨯=++=§I-2 惯性矩和惯性半径 1．定义⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z A y dA y I dA z I 22 （1）惯性矩恒为正值 （2）量纲为长度的四次方力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A 与某一长度二次方的乘积，即 ⎭⎬⎫==22··z z y y i A I i A I 2．惯性半径⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A I i A I i z z y y (1) i y 为图形对y 轴的惯性半径i z 为图形对z 轴的惯性关径 （2）量纲为长度。
截面的静矩和形心位置
Iy
cos 2α
I xy
sin 2α
I y1
Ix
Iy 2
Ix
2
Iy
cos 2α
I xy
sin 2α
I x1 y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy
cos 2α
y y1
o
x1
x
上式称为转轴公式 显然
I x1 I y1 I x I y
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2α
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
yc
C(a,b)
xc
b
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
Ix
1 12
120 103 152 120 10
1 12
703
10
(25)2
70
10
100.4 104 mm 4
Iy 278.4 104 mm4
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
I xy 0 15 20 120 10 0 (25) (35) 70 10
截面对形心轴的静矩等于零。
1、静矩与形心2、惯性矩、极惯性矩和惯性积3、平行移轴公
1. 转轴公式
y
y
A dA
C E
D
O
x
B
新坐标系ox1y1 旧坐标系o x y
x1 x cos y sin y1 y cos x sin
将上述关系代入平 面图形对x1轴的惯性矩：
x
I x1 A y12 d A
Ix1
cos2
y2 d A sin2
（4）由转轴公式得
80 aⅡ 20 10
40 C
bⅠ Ⅰ
aⅠ
xC
tan 20
2I xc yc I xc I yc
1.093
=113°.8
yc0
bⅡ
20 227 .6 0 113 .8
10 Ⅱ
I xc0
Imax
I xc
I yc 2
1 2
I xc
目录
§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
1.极惯性矩（或截面二次极矩）
y
I p
2d A
A
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
y
I y
x2 d A
A
I x
y2d A
A
O
由于 2 y2 x2
dA
x
x
所以
Ip
2 d A
A
(y2
A
x2)
dA IxIy
（B） Ixy<０ （D） Ix=Iy
（思考题I—2）A
y
bO
（思考题I—3）
x
a
y a
x
Ba
D
思考题I—3：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点的
力学#形心与静矩
截面的形心和静矩Centroid and static moment of section在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练地掌握其计算方法。
1. 形心与静矩图图示任一截面，选任一参考坐标系yoz，设截面形心C的坐标为yc和zc，取微截面积dA，由合力矩定理可知，均质厚度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz坐标系中的坐标为，（）式中:，，分别定义为截面对z 轴和y轴的静矩。
由公式（）可知，当y轴和z轴通过截面形心时（即yc=zc=0），则Sz=Sy=0；反之，当静矩Sz=0时，说明z轴通过截面形心；而当静矩Sy=0时，说明y轴通过截面形心。
此概念在确定梁的中性轴时十分有用。
2. 组合截面的形心与静矩图在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图）。
当确定它们的形心时，可将其分割成n个部分，形心坐标为，（）式中Ai为分割后的各面积，yi和zi为Ai的形心在参考系中的坐标。
式中；，称为组合截面的静矩。
极惯性矩Polar momet of inertia 1. 定义图任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义截面对原点O的极惯性矩为（）极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。
2. 圆截面的极惯性矩图图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即（图），读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图）的极惯性矩分别为：（）（）（）式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R—薄壁圆平均半径。
图轴惯性矩Second Axial moment of area and Parallel Axis Theory 1. 定义图任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在坐标为（y，z）处取一微面积dA ，定义截面对z和y轴的惯性矩为，（）其量纲为长度的四次方（mm4），恒为正。
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算课件
数值模拟与优化
利用数值模拟技术，如有限元方法、边界元方法等，可以更精确地计算 截面的静矩和形心位置及惯性矩，并在此基础上进行结构优化设计。
03
多学科交叉
未来研究可以结合多个学科领域，如物理学、化学、生物学等，以更全
面地理解截面的静矩和形心位置及惯性矩的本质和规律，推动相关领域
的发展。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
对于任意形状截面，其静矩可以通过对截面进行微分， 然后计算每个微元面积与微元重心到截面边缘的距离乘 积，最后对所有微元的静矩进行积分得到。形心位置可 以通过对截面进行微分，然后计算每个微元的面积与微 元重心坐标的平均值得到。惯性矩可以通过对截面进行 微分，然后计算每个微元的面积、微元重心到截面边缘 的距离以及微元的转动惯量，最后对所有微元的转动惯 量进行积分得到。
矩值。
通过公式计算其半径和 圆周率，得出惯性矩值。
通过公式计算其长轴、 短轴和圆周率，得出惯
性矩值。
不规则截面
需采用数值分析方法进 行近似计算或通过实验
测量得出。
03
截面几何特性的应用
结构强度分析
静矩
静矩是截面内力的一个重要参数，用于计算截面在受力时的稳定性。静矩的计算公式为 ∫(y*dA)，其中y为截面各点到截面中心的距离，dA为面积微元。
形心位置
形心是截面的几何中心，其位置决定了截面的质量分布和转动惯量。形心位置可以通过积分 计算得到，公式为∫dA/A∫dxdy，其中A为截面面积。
惯性矩
惯性矩是衡量截面抗弯能力的重要参数，其计算公式为∫y^2dA，其中y为截面各点到形心距 离，dA为面积微元。
结构稳定性分析
结构失稳
当结构受到的外部载荷超 过其承载能力时，结构会 发生失稳，导致结构变形 甚至破坏。
材料力学的静矩和形心计算
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材料力学的静矩和形心计算
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第一部分 第二部分 第三部分 第四部分 第五部分
静矩的定义 形心的计算 静矩和形心的关系 静矩和形心在工程中的应用 材料力学中的静矩和形心计算
1
静矩的定义
静矩的定义
这个概念主要在分析物体的稳 定性和强度时使用
在材料力学中，静矩是指一个 物体在受到外力作用时，所产 生的力矩与其对应的位移之商 静矩的计算公式为：S=∫(r × F) dV，其中S为静矩，r为物体 上任意点的位置向量，F为作用 在该点的外力，dV为微小体积
2
形心的计算
形心是物体形受到 的合力为零，那么这个物体 就是处于静力平衡状态。这 时，物体的重心位置就是其 形心。形心的计算方法有多 种，其中一种是利用物体的 质量分布和形状来确定。如 果一个物体具有均匀的密度 分布，那么其形心就是其质
量分布的几何中心
形心的计算
在计算形心时，通常需要将 物体分割成若干个小的体积 元素，并计算每个元素的质 心位置。然后将所有元素的 质心位置进行平均，得到整 个物体的形心位置。如果物 体具有旋转对称性，那么其 形心就是其旋转轴的交点
3
静矩和形心的关系
静矩和形心的关系
1 静矩和形心之间存在一定的关系。对于一个 物体，如果其受到的合力为零，那么其静矩 也为零。这是因为静矩是外力与位移的商， 而当物体处于静力平衡状态时，其位移为零。 因此，静矩也为零
此外，在建筑设计中，也需要计算建筑结构的静矩和形心位置，以确 保建筑结构的强度和稳定性。在机械设计中，需要计算零件的静矩和 形心位置，以确保零件的强度和稳定性
图形A对Z轴的静矩Sz
8—1、静矩一、静矩、形心图形A 对Z 轴的静矩：S z =A yd =⎰图形A 对y 轴的静矩： S y =A zd ⎰ 据合力矩定理形心： y c =S z /A=i i A y A A yd ∑⎰=/Z c =S y /A=i i Az A A zd∑⎰=//S z，S y 的用途： 1求形心。
2校核弯曲构件的剪应力强度S z ，SS z =解；A 1A 2A 1， S z = =30y c =S z ⨯+⨯⨯mm =105mm 故： Z c =0 y c =105注； 坐标轴的选择不影响形心的位置一、惯性矩定义： y 2d A z 2d A d y ⎰2 d z⎰2二、计算（1） 矩形： a 解：d A =bd yI z =A Ad y ⎰2=h h y ⎰-2/2/2I y =A A d z ⎰2=z b b ⎰-2/2/2B 截面对z ，y 轴的解：d A =bd yI z =A Ad y ⎰2=hy ⎰02I y =A Ad z ⎰2=hdz z b⎰02= h[z /3]0=hb /3（2）圆形截面： I z ，I y 解：I z =I y=dA y d d ⎰-2/2/2==y d d d y d y 222/2/2)2/(2-⋅⋅⎰-d A =d y ⋅⋅222)2/(y d -性质：1、惯性矩恒为正2 圆形；I z =I y =64/4d π环形：I z =I y =64/)1(44απ-d （D d /=α）对其形心的惯性矩 ，其它图形查附录（3）组合图形 I z =∑zi I ； I y =∑yi I三、极惯性矩。
定义： I ρ=A Ad ⎰2ρ其中：2ρ=y 2+z2ρ=A Ad ⎰2ρ=A Ad z y ⎰+)(22=A Ad y ⎰2+A Ad z ⎰2=I z +I y圆截面： I ρ=32/4D π环截面： I ρ=32/)/1(444D d D -π 四、惯性半径在压杆稳定计算中，将惯性矩表示成：I z =（i z ）2·A 或 I z =A I z / 1、矩形截面的： I z =A I z /=bh bh 12/3=h/（12）i y =A I y /=bh bh 12/3=b/（12）2、圆形截面： i=A I /=D/4五、惯性积=A Ac d y ⎰2+2a A Ac d y ⎰+a 2A Ad ⎰其中 ： A Ac d y ⎰=S zc =0 A Ac d y ⎰2=I zc8—31、主惯性轴：如y 、z 轴旋转到某个0αα=z 0，y 02、主惯性矩：截面对z 0 、y 0称主惯性矩。
静矩和形心
z
y dA
z
2 dA
O
y
I p
2 dA
A
定义为图形对O点的极惯性矩
§6-1 静矩和形心
z
y dA
z
O
y
Sz
ydA
A
,
Sy
zdA
A
形心坐标： z
yC C
zC
O
y
y dA
zdA
yC
A
A
A
, z A C
CL6TU3
静矩和形心坐标之间的关系：
z
yC C
zC
yC
Sz A
zC
Sy A
解： Iy
z2 dA
h/2
z2bdz
bh 3
A
h/2
12
dz
z
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
d4
I p 32 Iy Iz Ip
Iy Iz
CL6TU8
三、惯性积
z
y dA
z
O
y
I yz
yzdA
A
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴 的惯性积必等于零。
6.81
作业 （P84-86）
❖1（C） ❖2 ❖3 ❖5（b） ❖9
zC
Sy A
10 120 60 70 10 5 39.7mm 1200 700
例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。 CL6TU6
解：
Sy
b
h 2
a a
h 4
a 2
b h2
2 4
a
2
§6-2 惯性矩、极惯性矩和惯性积
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静矩和形心
设平面图形，取 yoz 为图形所在平面的坐标系，在坐标为（y , z ）处取面积元dA 。
O y
z dA y z 截面对 y , z 轴的静矩为
m 3
一、静矩(面积的一次矩)
y S =d z A y A S =⎰d A z A ⎰
1.静矩可正，可负，也可能等于零；
d y A z A S =⎰d z A y A
S =⎰2.同一图形，对不同的坐标轴，静矩也不同。
z O d A y z
二、截面的形心(Centroid of an area) C
1
1n i
Ci i C n i i A z z A
===∑∑C
y C z y d A z A
A =⎰y S A
=
11n i
Ci i C n i i y A y A
===∑∑d A y A
A =⎰z S A
=z
O d A y z C
C
y C z y
y C Az S =z C
Ay S =2.若轴过形心，则截面对该轴的静矩等于零。
1.若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过
形心；
三、组合截面的静矩
由几个简单图形组成的截面称为组合截面。
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩。
其中 A i —第 i 个简单截面面积；
1d n i Ci
y A i z A S A z ===∑⎰1
d n i z Ci
A i y A y S A ===∑⎰—第 i 个简单截面的形心坐标； (),Ci Ci y z。