极点配置与状态观测器

观测器设计问题也是个 极点配置问题!
6.3 状态观测器
v
-
u
B
+
x
∫
x
y
C
A
+
E
+
K
B
+
~ x
∫ A
~ x
C
~ y
-
观测器
6.3 状态观测器 需要面临两个问题：
1. 状态反馈配置的极点是否受影响； 2. 观测器配置的极点是否受影响。
感谢大家对本人的支持！ 祝愿大家研究生期间 充实、快乐！
对于单入单出系统：
状态反馈 标量
u v Kx
x1 x xn
K k1 k n
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈后系统矩阵 v
-
u
B
+
x
∫ A
x
C
y
K
A BK x Bv 状态反馈后系统状态方程：x
A BK
6.1 状态反馈及其性质
6.3 状态观测器
v
-
u
B
+
x
∫
x
C
y
A
状态 观测器 ~ x
K
6.3 状态观测器
用~ x 代替 x 自然要求：
~ xx
t
渐近意义下：
~ lim x x 0
6.3 状态观测器
u
B
+
x
∫
x
y
C
A
+
E
+
B
+
~ x
∫ A
~ x
C
~ y
-
观测器
~ x
6.3 状态观测器
能观测。
6.2 极点配置
6.2 极点配置
极点的重要性：
1. 完全决定系统稳定性。 2. 对动态特性产生很大影响，如响应速度等。
6.2 极点配置
零输入响应：
At x t e x0
1 x 0 0
t 2 t
x1 t 2e e x t t 2t 2 2e 2e
状态反馈后系统极点 v
-
u
B
+
x
∫
A
x
C
y
K
系统矩阵： A BK 特征值（源自点）λ A BK 该矩阵的特征值决定，例如稳定性、状态响应等
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈 K v
-
u
B
+
x
∫ A
x
C
y
K
我们是否可以通过设计K， 来使系统达到某种期望特性？
6.1 状态反馈及其性质
6.2 极点配置
例6.2.1 给定系统的状态空间表达式为
0 0 0 1 1 1 0 x 0 u x 0 1 1 0
* 1 2 * 2, 3 1 j 3
y 0 1 1x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
s 平面
2
1
0
Re
响应快 响应慢
6.2 极点配置
在看一例：
Im
s 平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 3阶系统 1阶系统
6.2 极点配置
Im
s 平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统
1阶系统
3阶系统
6.2 极点配置
状态反馈后系统极点 v
-
u
B
+
x
∫
A
x
C
y
K
λ A λ A BK
状态反馈的几点性质：
1. 系统矩阵由 A 变为 A BK 2. 状态反馈后，系统特征值为 λ A BK
3. 状态反馈后，系统阶次不变 4. 状态反馈后，能控性不变，但不一定保持能观性
6.1 状态反馈及其性质
例 6.1.1 系统
1 2 0 x u ： x 3 1 1
v
-
u
B
+
x
∫
x
C
y
A
H K
当 K HC 时
输出反馈
银蛋！
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈前后，状态方程的变化：
线性时不变
y Cx
Ax Bu x
状态反馈
u v Kx
状态反馈后的系统：
A BK x Bv x
y Cx
6.1 状态反馈及其性质
6.2 极点配置
Im
s 平面
1
λ A
0
Re
6.2 极点配置
6.2 极点配置
1 3i
Im
s 平面
λ A BK
2 1
λ A
0
Re
1 3i
6.2 极点配置
sys=ss(A,B,C,D) [y,t,x]=step(sys,10); plot(t,y)
6.3 状态观测器
u
y
+
E
+
B
+
~ x
∫
~ x
C
~ y
-
A
观测器状态方程
观测器
~ ~ x A EC x Bu Ey
6.3 状态观测器
观测器状态方程
Ax Bu x
~ ~ x A EC x Bu Ey
两个方程相减：
~ ~ x x A EC x x
x1 t 2e e
t
2t
1 1, 2 2
6.2 极点配置
Im
s 平面
2
1
0
Re
6.2 极点配置
2
2e
t
1.5
1
x1 t
0.5
0
-0.5
e
2 t
-1
-1.5
-2 0 1 2 3 4 5 time(s) 6 7 8 9 10
6.2 极点配置
Im
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈
u v Kx
K 3 1
u v 3 1x
6.1 状态反馈及其性质
则闭环系统 的状态空间表达式为 K
1 2 0 K ： x x v 0 0 1
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再
本章目录
6.1 状态反馈及其性质
6.2 极点配置
6.3 状态观测器
6.1 状态反馈及其性质
v
-
u
B
+
x
∫ A
x
C
y
u v Kx
K
状态反馈
金蛋！
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈与输出反馈 当 K HC 时
u v Kx
u v HCx
u v Hy
输出反馈！
6.1 状态反馈及其性质
6.2 极点配置 是否可以利用状态反馈，达到极点的 任意配置？ Im
s 平面
0
Re
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
:
通过状态反馈
Ax Bu x y Cx Du
u v kx
任意配置极点的充
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理