逆命题、逆定理教案
2.4 逆命题和逆定理(解析版)
2.4 逆命题和逆定理（3）举出反例即可．【详解】（1）解：此命题的条件为：a=b，结论为：|a|=|b|；（2）此命题的逆命题为：如果|a|=|b|，那么a=b；（3）此命题的逆命题是假命题，当a,b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，如a=2,b=―2时，|2|=|―2|，而2≠―2．【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题．考查题型二互逆定理4．下列说法正确的是（）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．定理的逆命题一定是真命题【答案】A【分析】利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案．【详解】解：A.任何命题都有逆命题，故A说法正确，符合题意；B.任何定理不一定有逆定理，故B说法错误，不符合题意；C.真命题的逆命题不一定是真命题，故C说法错误，不符合题意；D. 定理的逆命题不一定是真命题，故D说法错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．5．下列定理中，没有逆定理的是（）A．同角的余角相等B．等腰三角形两个底角相等C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等D．两直线平行，同旁内角互补【答案】A【分析】没有逆定理就是逆命题不正确的选项，逐一写出各选项的逆命题，判定即可．【详解】解：A、逆命题是余角相等的两个角是同一个角，不是逆定理；B、逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是逆定理；C、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是逆定理；D、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是逆定理；故选A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解这些命题的逆命题，然后判断其真假．6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理．∠ABC，∴∠CBD=12∴∠CBD=∠BCE，在△BCE和△CBD∠CBE=∠BCDBC=CB∠BCE=∠CBD棍EF，GD组成，D是EF的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点O在GD上，同时保证T形分角仪的E，F两点正好落在所分角的两条边OA，OB上，此时OD就会平分∠AOB．为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，__________，__________．求证：__________．证明：【答案】见解析【分析】根据题意，写出已知、证明、求证，根据垂直平分线的性质得出OE=OF，进而根据等腰三角形的性质得出OD平分∠AOB．【详解】已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，DG⊥EF，DE=DF（或D是EF的中点），求证：OD平分∠AOB（或∠AOD=∠BOD）．证明：∵DG⊥EF，DE=DF，∴DG垂直平分EF．∴OE=OF．∵DG⊥EF，点O在DG上，∴OD平分∠EOF．即OD平分∠AOB．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．证明：如图所示，∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．12．作图：已知直线l1∥l2∥l3，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．(1)完成作图并写出已知，求证；(2)证明△ABC为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意作图即可；然后写出对应的已知和求证即可；（2）只需要证明△ACE ≌△ADB 得到AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，再证∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，即∠CAB ＝60°，即可证明△ABC 为等边三角形．【详解】（1）解：如图，△ABC 即为完成的图形；已知：如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，在l 1上取点A ，D ，在l 3上取点E ，作等边△ADE ，DE 交l 2于点B ；在l 3上点E 的左侧取点C ，使CE ＝BD ，连接AC ，BC ．求证：△ABC 为等边三角形．（2）证明：由（1）得：∵△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ，∠EAD ＝∠EDA ＝∠AED ＝60°，∵l 1∥l 2∥l 3，∴∠EAD ＝∠CEA ＝60°，∴∠AEC ＝∠EDA ，在△ACE 和△ADB 中，AD =AE ∠AEC =∠ADB BD =CE，∴△ACE ≌△ADB （SAS ），∴AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，∴∠CAB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了作等边三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，写出一个命题的已知和求证，正确理解题意画出图形是解题的关键．13．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题．逆命题：______．已知：______．求证：______．【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形；证明见解析．【分析】根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可．【详解】解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题．已知，如图所示：AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线，求证△ABC是等腰三角形．证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB=∠DAC，∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形．【点睛】本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键．14．如图所示，AB，CD相交于点E，连接AD，BC，①∠A=∠C，②AD=CB，③AE=CE．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；（2）请选择其中一个真命题加以证明．【答案】（1）2；（2）选择①②⇒③，见解析.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS ，ASA 即可判断；（2）选择①②⇒③，根据全等三角形的判定定理AAS ，得到ΔADE≌ΔCBE (AAS )，然后即可得到AE =CE .【详解】解：（1）①②⇒③，满足全等三角形判定定理AAS ，是真命题；①③⇒②，满足全等三角形判定定理ASA ，是真命题；②③⇒①，是SSA ，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；故答案为2；（2）选择①②⇒③．证明：在ΔADE 和ΔCBE 中，∠AED =∠CEB (对顶角相等)，∠A =∠C (已知)，AD =CB (已知)，∴ΔADE≌ΔCBE (AAS )．∴AE =CE （全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.。
高中数学逆命题教案设计
高中数学逆命题教案设计
教学目标：通过学习逆命题，在解题过程中提高学生逻辑思维能力，培养学生对数学问题的综合分析和解决能力。
教学内容：逆命题的概念及相关定理应用。
教学重点：掌握逆命题的基本概念；掌握逆命题的判断方法；能够运用逆命题解决实际问题。
教学难点：运用逆命题解决问题的思维方法。
教学准备：教材、教具、PPT课件。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过举例引出逆命题的概念，引起学生对逆命题的兴趣。
二、讲解（15分钟）
1.讲解逆命题的定义和相关定理。
2.举例说明逆命题的判断方法。
三、练习（20分钟）
1.操练逆命题相关的例题。
2.让学生自行解决一些实际问题，运用逆命题解决。
四、总结（5分钟）
教师和学生共同总结逆命题的要点和解题方法。
五、作业布置（5分钟）
布置逆命题相关的作业，巩固学生所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生对逆命题的理解更加深入，能够灵活运用逆命题解决问题，提高了数学解题的能力。
华师版数学八年级上册教案-第13章 全等三角形-13.5 逆命题与逆定理(3课时)
13.5逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理(第1课时)一、基本目标1．理解逆命题与逆定理的意义，会写出一个命题的逆命题．2．会判断定理的逆命题的真假．二、重难点目标【教学重点】会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假．【教学难点】写出一个命题的逆命题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P92～P93的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、互逆命题1．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等．2．命题“内错角相等，两直线平行”的条件是内错角相等，结论是两直线平行．3．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．二、互逆定理1．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是内错角相等，两直线平行．2．“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．3．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？怎样举反例？【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．是真命题．(2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线．是真命题．(3)逆命题：内错角相等．是假命题．反例：如图，∠1与∠2是内错角，但不相等．(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°.是真命题．【互动总结】(学生总结，老师点评)说明命题为假命题的反例即为符合该命题条件而不符合该命题结论的例子，如(3)小题中的例子．活动2巩固练习(学生独学)1．下列命题的逆命题是真命题的是(C)A．全等三角形的周长相等B．对顶角相等C．等边三角形的三个角都是60°D．全等三角形的对应角相等2．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形全等．3．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．解：逆命题：直角三角形的两锐角互余．已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2线段垂直平分线(第2课时)一、基本目标1．掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】线段垂直平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P94～P95的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？解：AA′、BB′、CC′与直线MN垂直平分．2．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB5．三角形的三条垂直平分线交于一点．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC 于点D.若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)已知AB、AC的长和△DBC的周长，要求BC的长，先求什么？再求什么？【解答】∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD.∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，∴BC＋AD＋CD＝35 cm.∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 (cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质定理，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .证明如下： ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ，∠AED ＝∠AFD ＝90°.在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段的垂直平分线可以用定义法，也可用线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．三角形中，到三个顶点距离相等的点是( D ) A ．三条高线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三边垂直平分线的交点2．如图，△ABC 的两边AC 和BC 的垂直平分线分别交AB 于D 、E 两点，若AB 边的长为10 cm ，则△CDE 的周长为( A )A ．10 cmB ．20 cmC ．5 cmD ．不能确定3．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A ＝5，则线段PB的长度为(B)A．6 B．5C．4 D．34．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而证得结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．【证明】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是线段垂直平分线与全等三角形的综合应用，证得△ADE≌△FCE是解题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！3角平分线(第3课时)一、基本目标1．掌握角平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．角平分线上的点到角两边的距离相等．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．3．三角形的三条角平分线交于一点，这个交点一定在三角形内部，它到三角形三边距离相等．4．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC ＝3 cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据“角平分线上的点到角两边距离相等”可得DE＝CE，从而可知AE 、AC 、DE 之间的数量关系．【解答】AE ＋DE ＝AC ＝3 cm.理由如下： ∵∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝CE ，由图可知，AC ＝AE ＋CE ， 所以AC ＝AE ＋DE ＝3 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，熟记性质是解题的关键．【例2】如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG .求证：OC 是∠AOB 的平分线．【互动探索】(引发学生思考)要证OC 是∠AOB 的平分线，需证PD ＝PE ，而通过证Rt △PFD ≌Rt △PGE 即可得PD ＝PE .【证明】∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDF ＝∠PEG ＝90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PG ，DF ＝EC ，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (H.L.)， ∴PD ＝PE .∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴OC 是∠AOB 的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)根据三角形全等得到PD ＝PE ，这样就把已知条件和角平分线的判定定理联系起来了．活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝9，则点D到AB的距离是(D)A．10 B．9C．8 D．72．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．一处B．二处C．三处D．四处3．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠DAB；(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．(1)证明：过点M 作ME ⊥AD 于点E . ∵DM 平分∠ADC ，∠C ＝90°，ME ⊥AD ， ∴MC ＝ME . ∵M 是BC 的中点， ∴BM ＝MC ＝ME .又∵∠B ＝90°，ME ⊥AD ， ∴AM 平分∠DAB .(2)解：AM ⊥DM .证明如下： ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴AB ∥DC ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵AM 平分∠DAB ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠MDA ＝12∠ADC ，∴∠MAD ＋∠MDA ＝90°， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥DM .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
逆命题与逆定理(基础)知识讲解
逆命题与逆定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题；3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题．【要点梳理】要点一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.要点诠释：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.【典型例题】类型一、互逆命题与互逆定理1、“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 .【答案】轴对称图形是等腰三角形【解析】根据轴对称图形的概念求解．逆命题是结果与条件互换一下的说法．【总结升华】掌握好逆命题，及轴对称的概念．举一反三：【变式】下列定理中，没有逆定理的是（）．A.全等三角形的对应角都相等B.全等三角形的对应边都相等C.等腰三角形的两底角相等D.等边三角形的三边都相等【答案】A类型二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理2、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．【答案与解析】解：∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，又∵BD=3cm，∴BC=6cm，又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，∴2AC=14，AC=7cm．【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）．A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】D3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．举一反三：【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）【答案】解：类型三、角平分线性质定理及其逆定理4、（2016•邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【答案与解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=20×3=30.【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．举一反三：【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）．①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A．①②B．①④C．③②D．③④【答案】C5、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF求证：AD平分∠BAC．【思路点拨】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE=DF，然后由角平分线性质的逆定理，即可证得AD平分∠BAC．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∴AD平分∠BAC．【总结升华】此题考察了角平分线性质的逆定理与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）．A. BC的中线上B. BC边的垂直平分线上C.BC边的高线上D.∠A的平分线所在的直线上【答案】D。
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题和逆定理》是浙教版数学八年级上册第2.5节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本知识的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们已经学习了命题与定理的基本知识，对于新的知识有一定的接受能力。
但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握逆命题和逆定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究逆命题和逆定理的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义。
2.难点：对于逆定理的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养团队合作意识。
3.问题驱动法：通过问题的设置和解决，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例和相关的理论知识。
2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学设备：准备白板和粉笔，用于板书和展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引导学生思考逆命题和逆定理的概念。
例如，假设有一个命题：“如果一个人是学生，那么他喜欢数学。
”那么这个命题的逆命题就是：“如果一个人喜欢数学，那么他是学生。
浙教版八年级上册2.5逆命题和逆定理课程教学设计
《逆命题和逆定理》教学设计【设计者】主备黄璐烨。
【内容出处】浙江教育出版社八年级数学下册第2章第5课。
【素养指向】“逻辑推理”之“归纳类比”。
【教学目标】1.经历逆命题的概念的发生过程。
2.了解逆命题、逆定理的概念。
3.会识别两个命题是不是互逆命题。
会在简单情况下写出一个命题的逆命题。
4.了解原命题的的成立，其逆命题不一定成立。
5.理解线段的垂直平分线性质定理和逆定理的证明。
【时间预设】课内1课时加课后10分钟。
【教学过程】一、先行学习1.什么叫命题？2.什么是真命题，什么是假命题？3.命题的结构二、交互学习〖小组合学〗小组内同学思考：写出下列命题的条件和结论：①两直线平行，同位角相等；②同位角B C 相等，两直线平行；③如果a＝b，那么a2＝b2；④如果a2＝b2，那么a＝b。
〖展示评析〗小组推荐代表展示交流，其他小组质疑与纠错，交流评析后获得结论：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
〖师生共学〗一个命题经证明是真命题，就可称为定理；如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。
〖即时练习〗1.说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：(1)两直线平行，内错角相等；(2)同位角相等；(3)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。
2.判断下列说法是否正确？请说明理由（1）假命题没有逆命题；（2）真命题没有逆命题；（3）每个命题都有逆命题；（4）真命题的逆命题是真命题。
3.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说出逆定理。
⑴线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等⑵两直线平行，同旁内角互补；⑶对顶角相等。
4.举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；（2）如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5。
人教版八年级数学下《17.2 勾股定理的逆定理 原(逆)命题、原(逆)定理》优质课教学设计_9
.17.2勾股定理的逆定理1.会理解并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.【重点】勾股定理的逆定理的应用.【难点】勾股定理的逆定理的证明.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、绳子.学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.[设计意图]介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活,同时明确了本节课研究的问题,既实行了数学史的教育,又锻炼了学生动手实践、观察探究的水平.导入二：你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.追问：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.追问：“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题.[设计意图]通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.1.勾股定理的逆定理思路一①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,观察三角形的形状.再换成4 cm,7.5 cm,8.5 cm试试看.③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作水平和寻求解决数学问题的一般方法.思路二下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17.①这三组数都满足a2+b2=c2吗?②分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?学生以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,得出结论：①这三组数都满足a2+b2=c2;②以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形.师生进一步通过实际操作,猜想结论：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]本活动通过让学生按已知数据作出三角形,并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的相关边的条件,猜想得出结论.学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念：两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.提问：请同学们举出一些互逆命题,并思考：原命题准确,它的逆命题是否也准确呢?举例说明.学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如：①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.追问：在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确：①任何一个命题都有逆命题.②原命题准确,逆命题不一定准确;原命题不准确,逆命题可能准确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.[设计意图]让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.这个三角形是直角三角形”吗?教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.已知：如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.求证：∠C=90°.追问：要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?教师引导,如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,能够先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的准确性.教师适时板书出规范的证明过程.证明：如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,由勾股定理得A'B'===c,∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,∴△ABC是直角三角形.教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是准确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.[设计意图]引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,协助学生突破难点.2.例题讲解(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师协助学生分析得到：要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方实行比较,只有相等时才是直角三角形.解：(1)因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,所以152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.(2)因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,所以132+142≠152,(1)3,4,;(2)6,8,;(3)7,24,;(4)5,12,;(5)9,12, .[设计意图]通过练习,学会使用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.[知识拓展]勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤：①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2<c2,则此三角形是钝角三角形;若a2+b2>c2,则此三角形是锐角三角形.(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?引导学生认真审题,弄清已知是什么,解决的问题是什么.学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出：已知两艘轮船的航速,它们的航行时间以及相距的路程,“远航”号的航向——东北方向;解决的问题是“海天”号的航向.引导学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.引导学生分析：图中的E,N分别表示东、北两个方向.要求出“海天”号的航行方向,只要求出∠RPQ的度数,而∠1=45°,利用角的和差得出∠2的度数.解：根据题意,由已知得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°,由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°,所以∠2=∠QPR-∠1=45°,即“海天”号沿西北方向航行.[设计意图]学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的理解以及实际应用的水平.师生共同回顾本节课所学主要内容：(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.(3)三个数满足勾股数的两个条件：①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中使用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.1.(2019·毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 ()A.,,B.1,,C.6,7,8D.2,3,4解析：A中,()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故错误;B中,12+()2=()2,能构成直角三角形,故准确;C中,62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;D中,22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误.故选B.2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是 ()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：根据题意可得a=b或a2+b2-c2=0,所以△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.3.下列说法中准确的有 ()(1)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;(2)命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;(3)勾股定理的逆定理是：如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;(4)△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：(1)准确,(2)错误,(3)错误,(4)准确,故有两个说法是准确的.故选B.4.如图(1)所示的是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AD⊥DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.解：如图(2)所示,连接AC.∵AD⊥DC,∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,∴AC===5(m).∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,∴△ABC为直角三角形,∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24(m2).17.2勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理(1)归纳猜想(2)原命题、逆命题(3)勾股定理的逆定理的证明2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材练习第33页第1,2,3题;教材第34页习题17.2第1,2,3,4题.【选做题】教材第34页习题17.2第7题.本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,水平目标基本实现,情感目标基本实现.在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方向,让学生去自主探究,注重了知识上的即时巩固,也侧重了学生各方面的素质的培养.在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯.。
高中数学逆命题教案模板
高中数学逆命题教案模板
一、教学目标
1.了解逆命题的概念和性质；
2.能够分析逆命题的证明过程；
3.能够应用逆命题解决实际问题。
二、教学重点和难点
重点：逆命题的定义和证明方式；
难点：逆命题的应用解决实际问题。
三、教学内容
1.逆命题的概念和表达方式；
2.逆命题的证明方法；
3.逆命题的应用案例。
四、教学过程
1.引入：通过一个简单的例子引入逆命题的概念；
2.讲解：介绍逆命题的定义和性质，讲解逆命题的证明方法；
3.练习：让学生做一些基础练习，巩固逆命题的概念和证明方法；
4.拓展：提供一些实际问题，让学生应用逆命题解决问题；
5.总结：总结逆命题的重点和难点，梳理学习内容。
五、教学资源
1.课件：包含逆命题的定义和证明方法；
2.练习题：包含逆命题的练习题和实际问题。
六、教学评价
1.课堂问答：随堂进行适时提问，检验学生对逆命题的理解；
2.作业布置：布置适量的练习题，检验学生对逆命题的掌握情况；
3.课后反馈：提供及时反馈，帮助学生及时纠正错误。
七、教学反思
1.针对学生的学习情况，及时调整教学内容和方法；
2.激发学生的学习兴趣，增强学生对逆命题的掌握和应用能力。
初二年级数学上册 2.5《逆命题和逆定理》教案 (新版)浙教版
《逆命题和逆定理》教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分.2、了解逆命题、逆定理的概念.教学重点、难点重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是 ，结论是 .命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 条件是 ， 结论是 .以上两个命题有什么不同？请你说一说.归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.填表并思考命题条件 结论 命题真假⑴两直线平行，同位角相等⑵同位角相等，两直线平行⑶如果a b =，那么22a b =⑷如果22a b =，那么a b = 问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？二、例题教学例1、说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.注意：①注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.②引导学生运用分类考虑的必要性.练习：⑴作业题4三、小结：这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念.②能写出一个命题的逆命题.四、作业作业：1．课后作业题.。
19.3逆命题和逆定理(教学课件)-八年级数学上册
• 命题的分类：
定理
假命题 举反例
• 定理的含义：从公理或其他真命题出发， 用推理方法证明为正确的，
并进一步作为判断其他命题真假的 依据
说出下列命题的题设与结论
命题
（1）两直线平行，内错角相等 （2）内错角相等，两直线平行
（3）如果a=b，那么a2=b2。 （4）如果a2=b2，那么a=b。
题设
两直线平行 内错角相等
假练命习题的2 逆请命判题断可这能些是假原命命题题也与逆命题 （的1真）可假能如是果真一命个题数是素数，那么这个数一定 逆是命奇题数：如. 果一个数是奇数，那么这个数一定是素
数。
（2）一个三每角个形命题中都如有果逆有命两题个角是锐角， 那么另一个角一定是钝角.
逆命题：一个三角形中如果有一个角是钝角，那么 另外两个角一定是锐角。 （3）全等三角形对应边相等. 逆命题：边都对应相等的两个三角形是全等三角形。
3.下列定理有没有逆定理?为什么? (1)对顶角相等. (2)全等三角形的对应边相等.
【解析】（1）定理“对顶角相等”的逆命题是：相等的两个角是对 顶角。这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理。
（2）定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是：三边对应角相等 的两个三角形是全等三角形，这是一个真命题。所以“全等三角形的 对应边相等”有逆定理。
P
B
E C
证明：
连结PA，PB，PC.
∵ PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，
A
∴ PA=PB，PA=PC
（线段垂直平分线 上的点到线段
D
两端的距离相等） .
E
∴ PB=PC（等量代换），
P
∴点P在BC的垂直平分线上
B
《逆命题与逆定理》精品教案
逆命题与逆定理【教学目标】1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。
2、了解逆命题、逆定理的概念。
【教学重点、难点】重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明． 【教学过程】一、 回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”列句子是命题的是（ ）A.画∠AOB=45°B. 小于直角的角是锐角吗C.连结CDD. 鸟是动物观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系命题⑶与命题⑷呢归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
命题条件结论命题真假⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a b =，那么22a b =⑷如果22a b =，那么a b =填表并思考请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。
思考：每个命题都有逆命题吗一个命题的逆命题是真命题还是假命题请举例说明一个原命题是真命题，逆命题也是真命题的例子；有没有原命题是真命题，而逆命题是假命题的例子一个命题经证明是真命题，就可称为定理；如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上二、例题教学1.说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：(1)两直线平行，同位角相等.(2)同位角相等(3)长方形有两条对称轴。
2019-2020学年华师大版八年级上册数学教案设计：13.5 逆命题与逆定理
课题 1.互逆命题与互逆定理课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)理解互逆命题的相关概念,能够写出已知命题的逆命题,并会判断命题的真假.(2)理解互逆定理的概念.2.过程与方法(1)通过互逆命题的研究,培养学生的分析能力和语言表达能力.(2)在对命题进行真假分析的过程中感受数学的严谨性,培养学生的逻辑推理能力.3.情感、态度与价值观(1)通过对命题的真假分析,养成认真严谨的学习习惯.(2)在自主探究和解决问题的过程中体会成功的快乐,增加学好数学的信心.教学重难点重点:理解互逆命题和互逆定理的相关概念,能准确写出已知命题的逆命题.难点:准确写出已知命题的逆命题,并分析其真假.教学活动设计二次设计课堂导入1.什么是命题?把下列命题写成如果……那么……的形式.a.对顶角相等.b.两直线平行,同位角相等.c.同旁内角互补,两直线平行.指出哪些是真命题,哪些是假命题.2.若把以上命题的条件和结论交换位置,得到的语句还是命题吗?探索新知合作探究自学指导1.怎样确定一个命题的条件和结论?你会判断命题的真假吗?2.命题“两直线平行,内错角相等”与命题“内错角相等,两直线平行”的条件和结论分别是.对比两个命题的有何区别与联系.分析学习互逆命题是如何定义的: .3.“两直线平行,内错角相等”的条件是,结论是: .交换它的条件和结论写出新的命题: .于是“两直线平行,内错角相等”的逆命题是.4.真命题的逆命题一定是真命题吗?假命题的逆命题一定是假命题吗?举例说明.5.互逆定理是如何定义的?一个定理一定有逆定理吗?6.自学课本P92~93,列表分别说明互逆命题、互逆定理的关系.学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真、紧张的自学,鼓励学生质疑问难.合作探究1.讨论小组讨论自学指导中出现疑问的地方.2.组织学生学习互逆命题的相关定义.续表探索新知合作探究3.组织学生探究逆命题的确定方法和注意问题.4.组织学生学习互逆定理的相关定义,探究逆定理的存在问题.教师指导1.易错点:(1)在写命题的逆命题时,没有补充适当的语言文字以至语句不通顺;(2)误以为真命题的逆命题也是真命题,误以为定理都有逆定理.2.归纳小结:(1)逆命题:一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题.在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.(2)逆定理:如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.3.方法规律:(1)写命题的逆命题:交换命题的条件和结论即可;对于命题的条件和结论不十分明显,可将它写成“如果……那么……”的形式.(2)证明命题:假命题举反例;真命题须推理.当堂训练1.下列说法中,正确是( )(A)任何命题都有逆命题(B)任何定理都有逆定理(C)真命题的逆命题一定是真命题(D)定理的逆命题一定是真命题2.“如果x2=y2,那么x=y”的逆命题是,该逆命题是命题.(填“真”或“假”)3.如图,下面四个条件:①AE=AD,②AB=AC,③OB=OC,④∠B=∠C,(1)请你写出满足两个作为已知条件,第三个为结论的命题,并判断其真假?(2)写出(1)中命题的逆命题,判断其真假.板书设计互逆命题与互逆定理1.互逆命题:原命题,逆命题2.互逆定理:两个命题都是定理续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:(1)运用垂直平分线的性质定理和逆定理进行证明时,条件不充分.(2)混淆运用垂直平分线的性质定理和逆定理.2.归纳小结:(1)垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.(2)垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.3.方法规律:(1)垂直平分线的性质定理:见垂直找平分出相等;(2)作图选址:到两点距离相等,画两点所成线段的垂直平分线.当堂训练1.如图所示,△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( )(A)8(B)9(C)10(D)112.如图所示,AB是CD的垂直平分线,则下列结论一定成立的是.①AC=AD ②∠ACD=∠BCD ③AC=BC④AO=BO3.如图所示,在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC,求证:E点在线段AC的垂直平分线上.板书设计线段垂直平分线1.线段的垂直平分线的性质定理:证明:题).4.组织学生探究角平分线的性质定理的逆定理.5.组织学生探究角平分线的性质定理的逆定理在证明中的运用.续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:(1)运用角平分线的性质定理和逆定理进行证明时,条件不充分.(2)混淆运用角平分线的性质定理和逆定理.2.归纳小结:(1)角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.(2)角平分线的性质定理的逆定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.3.方法规律:(1)角平分线的性质定理:见平分找垂直出相等.(2)作图选址:到两直线距离相等,画两直线所成夹角的平分线.当堂训练1.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,连结AB.下列结论中不一定成立的是( )(A)PA=PB(B)PO平分∠APB(C)OA=OB(D)AB平分OP2.如图所示,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有处.3.如图所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.板书设计角平分线1.角平分线的性质定理:证明:2.角平分线的性质定理的逆定理证明:3.例题解析教学反思。
逆命题和逆定理
逆命题和逆定理一、本节学习指导这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，不能是问句，也不能是省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。
2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
因此命题可以写成“如果222222，那么222222”的形式。
3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。
4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
Array二、知识要点1、命题、定理、证明⑴理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）⑶公理：的真命题叫公理。
⑷定理：的依据，这样的命题叫定理。
⑸⑹证明的一般步骤①根据题意，画出图形。
②③2、常用数学口诀.平方差公式: 22()()-=+-a b a b a b口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方差公式: 222a b a ab b-=-+()2完全平方和公式：222+=++()2a b a ab b口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
证明知识点一证明的含义从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。
注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理，得出结论。
（2）证明的过程必须做到步步有据。
知识点二命题的证明证明几何命题的表述格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。
《逆命题、逆定理》word教案 (公开课获奖)2022北师大版
有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
2、通过实例，探究出有理数除法法则。
会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化归思想。
重点：有理数除法法则的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0不能作除数以及0没有倒数的理解。
教学过程：一、创设情景，导入新课1、有理数乘法法则两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
有一个因数是0，积就为0. 2、有理数乘法运算律：a ×b = b ×a (a ×b )×c = a ×(b ×c ). a ×(b+c )=a × b + a ×c 3、计算（分组练习，然后交流）（见ppt ） 二、合作交流，解读探究 1、（1）6个同样大小的苹果平均分给3个小孩，每个小孩分到几个苹果？（2）怎样计算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3） （－6）÷（－3） 学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。
教师：引导学生回顾小学知识，根据除法是乘法的逆运算完成上例，要求6÷3即要求3×？＝6，由3×2＝6可知6÷3＝2。
同理（－6）÷3＝－2，6÷（－3）＝－2，（－6）÷（－3）＝2。
根据以上运算，你能发现什么规律？对于两个有理数a,b ，其中b ≠0，如果有一个有理数c 使得c ×b=a ，那么我们规定a ÷b=c ，称c 叫做a 除以b 的商。
2、从有理数的除法是通过乘法来规定，引导学生对比乘法法则，自己总结有理数除法法则，经讨论后，板书有理数除法法则。
同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除。
5.7 逆命题和逆定理(2)
5.7 逆命题和逆定理（2）主备人：张广记审核人：八年级数学组【教学目标】1、理解勾股定理的逆定理的证明2、理解“在直角坐标系中，点〔x,y〕与点〔-x,-y〕关于原点对称”及其逆命题的证明。
3、进一步认识逆命题和逆定理及其在数学研究和解决实际问题中的作用【教学重点、难点】重点：进一步认识逆命题和逆定理、难点：勾股定理的逆定理的证明思路和课中活动想一想【教学过程】一、课前活动：1、知识回顾(1)、命题“平行四边形是中心对称图形”的逆命题是_________________________；这个逆命题是_______命题〔真或假〕；假设是假命题，举一反例：________________________————————————；〔2〕、写出定理“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆定理：________________________________________________________________________。
(3)、定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是___________________________________________________，这个逆命题是____命题〔真或假〕；假设是真命题，它叫做所给定理的______________________________________________。
２、自主学习：〔１〕、勾股定理的内容：______________________________________________________；它的逆命题是________________________________________________________________-,是________命题〔真或假〕。
(2)、尝试证明这个命题：：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2求证：△ABC是直角三角形提示：在未证明本定理的情况下，要证明一个三角形是直角三角形，只能根据什么？〔构造出一个直角三角形，然后证明所求证图形和所构造图形全等。
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4.逆命题、逆定理
我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题•例如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题.
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题.
命题“两直线平行，内错角相等”的题设为________________________________
结论为__________________________________________________________________ 它的逆命题为____________________________________________________ —
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，
便可得到原命题的逆命题.但是原命题正确，它的逆命题未必正确.例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是一个假命题.
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理.
在第19章中，我们已经学过勾股定理，即
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
我们可以证明，勾股定理的逆命题也是正确的.
勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方
和，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图27.2.9,在厶ABC 中，AB = c, BC = a,CA= b,且a2+ b2= c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
分析首先构造一个直角三角形A' B' C'，使得/ C'= 90°, B'C'= a，C' A' =b,然后可以证明△ ABC^A A' B' C'，从而可知△ ABC是直角三角形.
做一做
设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形.如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角.
(1) 7，24，25; (2) 12，35，37;
(3) 35，91，84.
1.指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
(3)全等三角形的对应角相等.
(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
(5)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
2.举例说明下列命题的逆命题是假命题：
(1)如果一个整数的个位数字是5,那么这个整数能被5整除.
(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
3.在你所学过的知识中，有没有原命题与逆命题都正确的例子(即互逆定理)？试举出2对.
4.三角形ABC三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形.如果是，那么哪一条边所对的角是直角？
(1) a= 8, b= 15, c= 17; (2) a = 2、41 , b= 10, c= 8;
(3)a= 6, b = 8, c= 10; (4) a= 1, b= 2, c= .一3 .
5.给定一个三角形的两边长分别为5、12,当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？习题27.21.
1.如图，在△ ABC 中，AB= AC，DB= DC.求证：(1)Z 1 = Z 2; ( 2) AD丄BC.
EF// BC .求证：EF = BE+ CF .
3.如图，E是/ AOB的平分线上一点，EC丄AO, ED丄BO,垂足分别是C、D .求证：/
EDC = / ECD .
2.如图，在△ ABC中，/ D，且
4.如图，在△ ABC 中，/ A= 30°,/ C= 90°, BD 是/ABC 的平分线，交AC 于
D .求证：点D在AB的垂直平分线上.
5.如图，△ ABD、△ ACE都是等边三角形.求证：CD = BE.(提示：找出分别以CD、
BE为边的两个全等三角形)
6.写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.
(1)如果x= y，那么x2= y2;
(2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角.
（第4。