汽车振动分析试题1

2008年振动力学期末考试试题

第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解：

系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。

AB 转角：L y /=ϕ 系统动能：

m 1动能：2

1121y m T = m 2动能：2222222

22

222)3

1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====ϕ

ω m 3动能：2322

323

33)2

1(21))(21(212

1y

m R y R m J T ===

ω 系统势能：

2

21)21(21)21(

y k y g m gy m V +

+-=

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：

E y k gy m gy m y

m m m V T =+

+-++=

+2

212

321)

2

1(2

12

1)2

13

1(2

1

上式求导，得系统的微分方程为：

E y m m m k y

'=+

+

+)

2

131(4321 固有频率和周期为：

)

2

131(43210m m m k

+

+

=

ω

2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。

物体B 动能：2

212

1x

m T =

轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x

v c 2

1=

，角速度为x

R

21=ω，转过的角度为x R

21=

θ。轮子动能： )83(21)41)(21(21)4

1(

2

12

1212

122

21212

2

12x m x R

R m x

m J v m T c =+=

+

=

ω

系统势能：

x

2

2

2

2

8

)21(

2

1)(2

12

1x k xR R

k R k kx V c =

=

=

=

θ

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：

E x k

x

m m V T =++=

+22218)83(21

上式求导得系统的运动微分方程：

08322

1=++x m m k x

固有频率为：

2

10832m m k

+=

ω

第二题（20分）

1、在图示振动系统中，重物质量为m ，外壳质量为2m ，每个弹簧的刚度系数均为k 。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x 1和x 2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解：

系统为二自由度系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k ，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k ，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：

⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡--k k

k k

4222 系统质量矩阵为：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡m m 20

0 系统动力学方程为：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00422220

02121x x k k

k k x x m m

频率方程为：

024222)(Δ2

2

=----=

ω

ωωm k k

k m k

解出系统2个固有频率：

m

k )

22(2

1-

=ω，m

k )

22(2

2+

=ω

2、在图示振动系统中，物体A 、B 的质量均为m ，弹簧的刚度系数均为k ，刚杆AD 的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x 1和x 2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。 解：

系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A 和B 在铅垂方向的位移x 1和x 2为系统的广义坐标。

当x1＝1，x2＝0时，AD 转角为L 3/1=θ

，两个弹簧处的弹性力分别为L k θ和L k θ2。对D 点取力矩平衡，有：

D

kL 3

2

kL 3

1

1⨯k

11k

x 1 x 2