随机过程

s1 0
0 s1
∫ ∫
0 s2
(1 + t1t2 )σ 2 dt1dt2 ∫0
s2
0
0
σ dt1dt 2 + ∫
2
s1
0Βιβλιοθήκη Baidu
∫
s2
0
t1t 2σ 2 dt1dt 2
2 s12 s2 ss = σ 2 s1s2 + σ 2 = σ 2 s1s2 1 + 1 2 2 2 4
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随机积分
介绍内容
均方积分 维纳积分 伊藤积分
1 2 3
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均方积分
一、黎曼均方积分的概念
定义 设{ X (t ), t ∈ T }(其中T = [a, b])为二阶矩过程， f (t )(t ∈ T 为普通函数， ) 其中，用一组分点将T划分如下： 记 max{(ti − ti −1 )} = ∆ ，作和式
b b a a
∫ [c X (t ) + c Y (t )]dt = c ∫ X (t )dt + c ∫ Y (t )dt
b b b a 1 2 1 a 2 a
4、积分区间的可加性
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对∀c ∈ [a, b], 有∫ X (t )dt = ∫ X (t )dt + ∫ X (t )dt
b c b a a c
5、设 X (t ) 在[a,b]上均方连续，Y (t ) = 导，且 上均方连续，则
Y ′(t ) = X (t )
∫ X (t )dt，则 Y (t ) 在上[a,b]均方可
b a
6、（牛顿—莱布尼兹公式）设 X (t ) 在[a,b]上均方可导，且X ′(t ) 在[a,b]
b b a a
三、性质
存在，其中R(s, t ) 是 X (t ) 的自相关函数。
1、若 X (t ) 在[a,b]上均方连续，则必在[a,b]上均方可积。 2、均方积分的唯一性 若 3、线性性
Y1 = ∫ X (t )dt , Y2 = ∫ X (t )dt , 则Y1 = Y2 (以概率1成立)
s2 DY (s ) = BY (s1 , s2 ) s1 = s2 = s =σ s 1 + 4
2 2
维纳积分
设 W = {W (t ), t ∈ (− ∞, ∞ )} 是参数为 σ 2 的维纳过程，即
E[W (t )W (s )] = σ 2 min(t , s ) 。Brown运动不可微，即W(t)几乎处处不
Y (t ) = ∫ X (s )ds, a ≤ t ≤ b ，则Y (t ) 的自相关函数为 a
t
RY (t1 , t 2 ) = ∫
t1
a
∫
t2
a
R X (t , s )dtds
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（2）随机过程 X (t ) 和积分过程的互相关函数为
RXY (t1 , t 2 ) = ∫ RX (t1 , s )ds
∆ →0 k =1
n
存在，且与区间[a,b]的分法和 记为
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在区间[a,b]上的黎曼均方积分 黎曼均方积分，简称均方积分 均方积分。 黎曼均方积分 均方积分
uk
在子区间的取法无关。则称此极限为
∫ f (t )X (t )dt
b a
此时，称 f (t )X (t ) 在[a,b]上均方可积。 特别地，若 f (t ) = 1 ，有
2
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9、设 X (t ) 在[a,b]上均方连续，则
b a
∫ X (t )dt ≤ ∫ X (t ) dt
b a
2 10、 E b X (t )dt = b b R(s, t )dsdt ∫a ∫a ∫a
b X (t )dt = b b B(s, t )dsdt 11、 D ∫a ∫a ∫a 12、（1）若随机过程{ X (t ), t ∈ T } 在区域T=[a,b]上的均方积分，即
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当∆ = max {∆ti } → 0时，ξ i → ti , t1 → a,由f ′(t )的连续性知， f ′(ξ i ) → f ′(ti )
且由均方积分的定义知， l.i.m ∑ f ′(ξ i )W (ti )∆ti = l.i.m ∑ f ′(ti )W (ti )∆ti = ∫ f ′(t )W (t )dt
(
)
所以∫ X (s )ds = ∫ 2 A2 sds = A2t 2
t t 0 0
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二、均方可积准则
定理1 定理 X (t ) 在[a,b]上均方可积的充分必要条件是
∫ ∫ 证明：根据洛易夫准则， 证明
a
n k =1 k
b
b
a
RX (s, t ) dsdt < ∞
− t k −1 )均方收敛
b ∆ →0 i =1 ∆ →0 i =1 a n −1 n −1
0≤ i ≤ n −1
于是
∫ f (t )dW (t ) = f (b)W (b ) − f (a )W (a ) − ∫ f ′(t )W (t )dt
b b a a
注：类似于普通积分
∫ f (t )dW (t ) = f (t )W (t )
n
a = t0 < t1 < t 2 < L < t n = b
S n = ∑ f (u k )X (u k )(t k − t k −1 )
其中 u k ∈ [t k −1 , t k ], k = 1,2, L, n 若均方极限
k =1
l.i.m ∑ f (uk )X (uk )(t k − t k −1 )
∫
b
a
X ′(t )dt = X (b ) − X (a )
b b
7、设 X (t ) 在[a,b]上均方可积，则有
E[ ∫ X (t )dt ] = ∫ EX (t )dt
a a
8、设 X (t ) 在[a,b]上均方连续，则
b a
2 其中 M = max EX (t ) a ≤ t ≤b
E[ ∫ X (t )dt ]2 ≤ M (b − a )
b b
，对应的噪声称为有参数 σ2
的白噪
dW (t )
，若以h表示t的增量，则 hσ 2 的正态随机变量。
f (t ) ≡ 1时，均值为0，方差为 f ′(t ) = 0, 此时
a t a
∫
dW (t ) = ∫ W ′(t )dt = W (b ) − W (a )
t 0
∫ dW (s ) = ∫ W ′(s )ds = W (t ) − W (0) = W (t )
∆ = max{ti − ti −1} ，定义
1≤ i ≤ n
n i =1 n i i
a = t0 < t1 < t 2 < L < t n = b
∑ f (t )[W (t ) − W (t )]
i −1
= ∑ f (ti )W (ti ) − ∑ f (ti )W (ti −1 )
i =1 i =1
b a
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b a
− ∫ f ′(t )W (t )dt
b a
若记 dW (t ) = W ′(t )dt ，则称 W ′(t ) 为维纳过程的“导数”，也称“白 噪声”。若维纳过程有方差 σ2 声。 注：白噪声不是真正的导数，它是一类泛函，只有在关于维纳过程的积 分中才有意义。 W ′(t )dt 表示维纳过程的增量 dW (t ) = W (t ) − W (t − h ) 特别地，当
lim
∑ ∑ R(t
l =1
n
m
k
, sl )∆t k ∆sl 存在
c
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∫ ∫ R (t , s )dtds存在
b b a a
定理2 定理 （均方可积准则） 设是 {X (t ), t ∈ [a, b]} 二阶矩过程， (t ) 在[a,b]上均方可积的充要条件是 X 二重积分
∫ ∫ R(t , s )dtds
n
= f (t n )W (t n ) − f (t1 )W (t0 ) − ∑ [ f (ti +1 ) − f (t1 )]W (ti )
i =1
n −1
= f (b )W (b ) − f (t1 )W (a ) − ∑ f ′(ξ i )W (ti )∆ti
i =1
n −1
其中ξ i ∈ [ti , ti +1 ), ∆ti = ti +1 − ti
2
4
] < ∞ 。试求 ∫ X (s )ds
t 0
解：
由R(s, t ) = E[ X (s )X (t )] = E[4 A4ts ] = 4 E[ A4 ]st连续 故∫ X (s )ds存在
t 0
运用定义，取u k =
1 (tk + tk −1 ) 2 n n 2 1 ∑ X (uk )(tk − tk −1 ) = ∑ [2 A 2 (tk + tk −1 )(tk − tk −1 )] k =1 k =1 n →∞ 2 1 2 = 2A t n − 0 → A2t 2 2
可导。 设f（t）是连续可微的确定性函数。 由于W(t)的不可导性，所以在常义下无法定义积分 若把上式看作
W (t + ∆t ) − W (t ), 当∆t → 0时的极限，则可定义
∫ f (t )dW (t )，并把 dW (t ) 视为
b a
∫ f (t )W ′(t )dt
b a
。
∫ f (t )dW (t )为∑ f (t )[W (t ) − W (t )]的均方极限。
∫ X (t )dt = l.i.m ∑ X (u )(t
b a ∆ →0 k =1 k
n
k
− t k −1 )
称随机过程 { X (t ), t ∈ T } 在T= [a,b]上的均方积分，此时，称随机过程
{ X (t ), t ∈ T }在T= [a,b]上均方可积。
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例1 X (t ) = 2 A t ， A为随机变量， [ A E
b a
∫ f (t )dW (t )][∫ g (t )dW (t )]} = σ ∫ f (t )g (t )dt
BX (t1 , t 2 ) = (1 + t1t 2 )σ 2
∫
s
0
= E{[ ∫ [ X (t1 ) − EX (t1 )]dt1 ][ ∫ [ X (t 2 ) − EX (t 2 )]dt 2 ]}
s1 s2 0 0
=∫ =∫ =∫
s1
0 s1
∫
s2
0 s2
E[ X (t1 ) − EX (t1 )][ X (t 2 ) − EX (t 2 )]dt1dt 2 BX (t1 , t 2 )dt1dt 2 = ∫
∑ X (u )(t
n m
k
c
∆1 → 0 ∆ 2 →0
lim E[∑ X (t k )∆t k ∑ X (sl )∆sl ] = lim
k =1 l =1
∆1 → 0 ∆ 2 → 0 k =1
∑ ∑ E[ X (t )X ( s )]∆t ∆s 存在
l =1 k l k l
n
m
c
∆1 → 0 ∆ 2 → 0 k =1
0
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如果g(t)也是[a,b]上具有连续导数的确定性函数，则 以下性质。 (1)零均值性 E[ (2) E{[
b a
∫ f (t )dW (t ) 具有
b a
∫ f (t )dW (t )] = 0
b a
特别地，f (t ) = g (t ) D[ ∫ f (t )dW (t )] = σ
s 0
s
0
(
s3 t 2 + 1 dt = + s 3
)
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例3 设随机过程{ X (t ), t ∈ T } 的协方差函数为 试求Y (s ) =
X (t )dt 的协方差函数与方差函数。 BY (s1 , s2 ) = E{[Y (s1 ) − EY (s1 )][Y (s2 ) − EY (s2 )]}
U (t ) = ∫ f (t )dW (t ) = lim S n
a n →∞
= l.i.m∑ f (ti )[W (ti ) − W (ti −1 )]
i =1
n
= f (b )W (b ) − f (a )W (a ) − ∫ f ′(t )W (t )dt
b a
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证明：将[a，b]划分如下
b a i =1 i i i −1
n
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定义 设 W = {W (t ), t ∈ (− ∞, ∞ )} 是参数为 σ 2 的维纳过程， f (t ) 是连续可微的确定性函数，且满足
∫
b
b
a
f (t ) dt < ∞
2
在[a,b]上取分点a = t0 < t1 < L < t n = b ，则称
t2 a
例2 设随机过程 { X (t ), t ∈ T } 的均值函数为
RYX (t1 , t 2 ) = ∫ RX (s, t 2 )ds
t1 a
m X (t ) = t 2 + 1
试求Y (s ) =
∫
s
0
X (t )dt 的均值函数。
解：由性质7得：
EY (s ) = ∫ EX (t )dt = ∫