数学建模部分概念期末复习.docx
数学建模复习
数学建模复习
复习题
1．什么是数学模型和数学建模？数学建模的⽅法和步骤？数学模型的主要特点以及分类。
2．椅⼦放稳问题
3．核军备竞赛的模型及分析，如⼄安全线的性质及分析等，模型解释及应⽤
4．存贮模型相关内容和⽅法
5．植物基因的分布
6．指数增长模型和Logistic 模型，求解、性质及其应⽤
7．某企业⽣产两种混合配料A 和B ，每100千克的成本分别为100元和80元。
两种混合配料含三种营养成分，但它们的含量各不相同，在每100千克混合配料中各种营养成分的含量分别如下表:
少25千克，营养成分丙⾄少36千克，问满⾜这些要求的最低成本为多少？⽤LINDO 软件如何求解。
8. 钢管下料问题及其数学规划模型
9. 试述最⼩⼆乘法的基本原理，并求解如下线性最⼩⼆乘问题。
设通过观测或实验得到⼀列点(,), 1,2,,.i i x y i n 它们⼤体在⼀条直线上，即
⼤概来说可⽤直线⽅程来反映变量x 与y 之间的对应关系。
现在就要确定⼀条直线使得与这n 个点的偏差平⽅和最⼩（即最⼩⼆乘⽅），请给出该直线⽅程。
10. 差分⽅程，市场经济中的蛛⽹模型
11. 酒精残留模型
12. 层次分析法的建模步骤及应⽤
13. 最速降线问题的建模与分析
14. 易拉罐的最优设计问题
15. 消费者均衡问题。
数学建模专题复习讲义
数学建模专题复习讲义导言数学建模是应用数学的一种重要方法，通过数学模型对实际问题进行描述、分析和求解，旨在解决现实生活中的一系列问题。
为了帮助学生顺利复数学建模专题，本讲义提供了相关知识点的概述和复要点，帮助学生快速回顾和掌握数学建模的核心内容。
一、数学建模基础1. 模型的定义和特点：- 模型是对实际问题的简化和抽象，描述问题的关键要素和规律。
- 模型应具备准确性、简洁性、实用性和可验证性等特点。
2. 建模的步骤：- 问题的分析与理解- 模型的假设和建立- 模型的求解和分析- 模型的验证和评价二、数学建模方法1. 数理统计方法：- 样本的收集和统计分析- 参数的估计和假设检验- 相关性分析和回归分析2. 最优化方法：- 线性规划和整数规划- 非线性规划和动态规划- 多目标规划和随机规划3. 随机模型和概率模型：- 随机过程和马尔可夫链- 概率分布和随机变量- 随机模拟和蒙特卡罗方法三、数学建模实例1. 交通流量预测：- 数据的收集和处理- 建立交通流量模型- 预测未来的交通流量2. 股票价格预测：- 历史数据的分析和挖掘- 建立股票价格模型- 预测未来的股票价格3. 自然灾害预警：- 监测数据的采集和分析- 构建自然灾害模型- 预警和防灾措施的制定四、数学建模技巧1. 问题分析的深入：- 充分理解问题的背景和限制条件- 归纳和提炼问题的核心要素2. 模型建立的简化：- 简化模型中的复杂因素- 利用适当的假设和近似方法3. 模型求解的有效性：- 使用合适的数学方法和工具- 分析模型的解的意义和合理性结语数学建模是一门综合性强、应用广泛的学科，通过对数学建模的复习和学习，能够增强学生的问题分析和解决能力，培养科学思维和创新意识。
希望本讲义对学生复习数学建模专题有所帮助，祝愿大家学有所成！。
数学建模复习完整版
数学建模复习HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。
二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。
(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。
三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q -值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。
（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。
四 (15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r k r >,．在每个生产周期 T 内，开始的一段时间（00T t ≤≤）一边生产一边销售，后来的一段时间T t T ≤≤0(）只销售不生产．设每次生产开工费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，（a)求出存储量)(t q 的表示式并画出示意图。
（2）以总费用最小为准则确定最优周期T ，讨论r k >>的情况． 五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS 模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR 模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。
六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。
（2）在假设a b y x 9,00==条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。
七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x Nrx x ln = ，又单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x ．八（10分）假设商品价格k y 和供应量k x 满足差分方程求差分方程的平衡点，推导稳定条件参考答案与评分标准一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
(完整word版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
数学建模总复习
二、建模题 要求：只写分析及建立模型，不求解
线性规划、整数规划、最短路应用、微
1、初等模型建立（椅子是否放稳、公平席位分配）
2、网络最大流费用最小流
3、无约束优化
四、分析判断题
举例： 1、一杯咖啡与一杯牛奶 假设给你一杯咖啡和一杯牛奶，盛在杯子里的 牛奶和咖啡数量相等，先从牛奶杯里舀出一满匙牛 奶放在咖啡杯里搅匀，然后再从掺有牛奶的咖啡杯 里舀出一满匙的咖啡放入牛奶杯里搅匀，此时，两 个杯子里的液体在数量上又相等了。这样，咖啡杯 里的牛奶和牛奶杯里的咖啡相比，哪个多
数学建模总复习
考试时间：18周周三3、4节 考试地点：信051 教1－218 信052 教1－222
题
型
一、填空（每空1分共20分） 二、建模（共4题40分） 三、计算题（共3题28分）
四、分析判断题（共2题12分）
一、填空题 主要考查基本概念及Matlab软件的使用 1、基本概念 数学建模的基本方法、数学建模的步骤、 优化建模的三个要素 2、Matlab使用 linprog、bintprog、regress、最短路问题算法分 析
2、登山问题 某人自上午8点始从营地出发沿一山间小径登山，到达山 顶的时间是下午5点；第二天他从上午8点开始沿着同一条 路线下山，并于下午5点返回营地。试证在这条路线上存在 一点，使得他在第二天到达这点的时间与第一天到达该点 的时间相同。
(完整版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
数学建模期末知识点复习
1、图形通常是指用数学的方法所描述的几何形体；图像则是指人眼或仪器所纪录的观看景象。
2、计算机图形学主要研究的是用计算机技术来生成、显示和处理图形。
3、计算机图形学的应用：计算机辅助设计、用户接口、图示、计算机动画、科学可视化。
4、交互式计算机图形系统是（用户、计算机、图形设备、软件）组成的协调运行的系统。
5、图形软件通常分为两类：通用软件包和专用应用软件包。
6、图形输入设备：1.键盘和鼠标 2.光笔 3.数字化仪4.扫描仪5.数码相机6.三维输入设备：空间球、数据手套、数据衣等。
7、分辨率：是指屏幕在水平方向和垂直方向上能分辨的最大点数。
像素：每一个点就是一个像素。
帧：显示器屏幕上的一幅图像成为一帧，并且每一帧内容都是由“帧缓冲存储器”存储纪录。
8、点距：荧光屏上两个相同颜色荧光点之间的距离。
点距越小显示器显示图像的质量越高。
场频：又称“垂直扫描频率”，即通常所说的屏幕刷新频率，指每秒屏幕被刷新的次数，通常以赫兹（Hz）表示。
垂直扫描频率越高，图像的稳定性越好。
行频：电子枪每秒在荧光屏上扫描过的水平线数量，等于“行数* 场频”。
带宽：即视频带宽，指每秒电子枪扫描过的总像素数，等于“水平分辨率* 垂直分辨率*场频”。
9、生成直线的算法的要求：1.画的线段应是直的2.线的端点位置应正确3.线的浓度应均匀4.直线的生成速度要快10、判断任意一点（x，y），是否在多边形内，可以从该点向（负无穷，y）引直线，并计算该线与多边形交点的数n（自左向右算起）。
如果n为偶数，则点在多边形外；如果n为奇数，则点在多边形内；当直线与多边行的顶点相交时，约定如果交点处多边形的两条边位于所引直线的同一侧，交点数记为2；在两侧记为1。
11、所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。
12、齐次坐标的作用：1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。
2. 便于表示无穷远点。
3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。
安农大数学建模期末考试复习资料
1、设某种新产品要推向市场，t 时刻产品销售增长率与销售量x （t ）成正比，设市场容量为N ，试确定产品销售增长曲线。
设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率txd d 与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明txd d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有txd d =kx(N=x)， (1043)其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得x(t)=kNtC N-+e 1 (1044)方程(1043)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(1044)也称为逻辑斯谛曲线．由t x d d =()221kNt kNtC k CN --+e e 以及22t x d d =()3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-ee e ， 当x(t*)＜N 时，则有txd d ＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)2N 时，22tx d d 0;当x(t*)＞2N 时，22t x d d ＜0；当x(t*)＜2N 时，22txd d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．2、一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A 元，银行的年利率为r ，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？ 解：（1）设月利率为r ，按月按复利进行计算， 第一个月存款所得的复利终值为1F =60)1(100r +; 第二个月存款所得的复利终值为2F =59)1(100r +； 第三个月存款所得的复利终值为3F =58)1(100r +；rn n n r n C p --⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212121rn n n rn C p --⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212122r n nr n r n n n r n C C p p p ----⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22221212121〃〃〃〃〃〃第五年的最后一个月存款所得的复利终值为60F =)1(100r +。
数学建模 复习资料
《数学建模》复习资料(一)一、解答题1. 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。
该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？(建立模型不计算)。
2. 记时刻t渔场鱼量为)(t x，在无捕捞时)(t x的增长服从Logistic规律，单位时间的捕捞量与渔场鱼量)x成正比，比例常数为E，试求满足什么条件时渔场鱼(t量稳定，怎样才能获得最大的持续产量？3. 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。
问三人合作时如何分配获利？（1）求出协商解、最小距离解与Raiffa解。
（2）如果甲乙丙三人单独经商时各获利1元，用Shapley合作对策对三人合作时的获利进行分配。
（3）试用以上数据说明合作对策中三类分配方法的特点。
4. 生产与存贮问题：一个生产项目，在一定时期内，增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量，就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。
因此,如何正确地制定生产计划，使得在一定时期内，生产的成本费与库存费之和最小，这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。
假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。
但由于生产条件的变化，该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。
今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示：月份( k)： 1 2 3 4 5 6月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4单位工时(ak)： 11 18 13 17 20 10设库存容量H = 9，开始时库存量为2，期终库存量为0。
(完整word版)数学建模方法期末考试试卷参考答案(2014年下半年)
2014-2015学年第一学期期末考试课程试卷参考答案课名称: 数学建模方法 课程号: SAM12I001 考核方式: 考查一、设计划生产生产A 、B 、C 、D 、E 五种产品分别为 单位, 则可建立线性规划问题数学模型： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++++≤+++≤+++++++=0,,,,2122222423102..2119132518max 54321543215431532154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x SMax=18*x1+25*x2+13*x3+19*x4+21*x5; X1+2*x2+x3+x5<10; X1+x3+3*x4+2*x5<24 ;X1+2*x2+2*x3+2*x4+2*x5<21 ;二、首先引进松弛变量 、 , 将线性规划问题化成标准型: ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++++=0,,,,3054345536..500300400S max 5432153214321321x x x x x x x x x x x x x t s x x x得最优解: 。
去掉松弛变量, 得到原线性规划问题的最优解: 。
三（1）问题的最优解为: 。
即：最有生产方案为生产A 型号产品400单位、C 型号产品70单位、D 型号产品10单位, B 型号产品不生产。
可使利润达到最大, 最大利润为4450元。
（2）对偶线性规划问题为:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+++≥+++≥+++≥++++++=0,,,84551185264289644..300020002400480min 432143214321432143214321y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t s y y y y w对偶问题的最优解为:4450min ;75.0,5.0;0,5.24321=====w y y y y 。
数学建模 复习资料
数学建模模拟复习资料一、单项选择题1、建模预测天气。
在影响天气的诸多因素及相互关系中，既有已知的又有许多未知的非确定的信息。
这类模型属于（ B ）。
A 、白箱模型B 、灰箱模型C 、黑箱模型 2、在城镇供水系统模型中，水箱的尺寸是（ C ）。
A 、常量B 、变量C 、参数 3、对黑箱系统一般采用的建模方法是 ( C ) 。
A 、机理分析法 B 、几何法 C 、系统辩识法D 、代数法4、在整理数据时，需处理和分析观测和实验数据中的误差，异常点来源于（ C ）。
A 、随机误差B 、系统误差C 、过失误差5、需对一类动物建立身长与体重关系的模型。
在对模型的参数进行估计时，如已有30组数据，且参数估计精度要求较高，应采用（ B ）估计参数。
A 、图解法B 、统计法C 、机理分析法6、在求解模型时，为了简化方程有时会舍弃高价小量（如一阶近似、二阶近似等），由此带来一定的误差，此误差是（ A ）。
A 、截断误差B 、假设误差C 、舍入误差 二、填空题 1、若,,x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是 k kx y ,=是比例常数 .2、在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 )()(2211t n p m t n p m +<+ .3、马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 增长率是常数还是人口的递减函数 。
4、在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 类比 的方法建立了模型.5、力学中把质量、长度、时间的量纲作为 基本量纲 。
6、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。
三、简答题1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
最新数学建模(数学模型)期末考试题(试卷)及答案详解(附答案)
数学建模（数学模型）期末考试卷及答案详解第一部分 基本理论和应用1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率.2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？6. （15分）设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2nS 为样本二阶中心矩，2S 为样本方差，问下列统计量：（1）22σnnS ，（2）1/--n S X n μ，（3）212)(σμ∑=-ni iX各服从什么分布？7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.9. （10分）某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内.10. （15分）设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.答案第一部分 基本理论和应用 1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 解：设同时开着的灯数为X ，(10000,0.7)Xb ……………2分(0,1)N （近似） ……………3分 {69007100}210.971P X ≤≤=Φ-= …………5分 2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测，得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间. 解： T =(1)X t n - 0.005{(1)}0.99P T t n <-= ………4分0.0050.005{(1)(1)}0.99P X n X X n -<<+-= ………………4分 所求为（1485.61，1514.39） …………2分3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 解：(0,1)X N ………………3分{1.4 5.4}21P X P <<=<=Φ- ……………4分解210.95Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 ……………3分4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.解： 1101()(2E X dx θθθθ++==+⎰+1)x ……………3分 解12X θθ+=+，得θ的矩估计量为211X X -- ……………2分 1()1()ni i L x θθθ=+∏n＝（） 1ln ln 1ln nii L n x θθ==+∑（）+ ……………2分令1ln ln 01ni i d L nx d θθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为11ln nii nX=--∑ …………3分5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 解：（1）2EX θ=，令2X θ=，得θ的矩估计量1ˆ2X θ=； ……………5分 似然函数为：()12121,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其它其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212()ˆmax ,,,n n X X X X θ==。
数学建模期末知识总结
数学建模期末知识总结一、数学建模的基本概念和方法数学建模是一种通过数学方法来描述、分析和解决实际问题的过程。
它是将实际问题抽象为数学模型，并运用数学理论和技巧进行定量分析和解决的一种方法。
数学建模的基本方法有三种：经验建模、类比建模和理论建模。
1. 经验建模：这种建模方法基于经验和规律，根据已有的数据和知识来建立模型。
通过寻找观察到的规律和现象，进而通过数学公式或图表进行描述和预测。
这种方法适用于问题比较简单，没有复杂的内在机制和规律的情况。
2. 类比建模：这种建模方法是将一个相似的问题或系统作为模板，通过类比得出与实际问题相似的模型。
类比建模要求找到与实际问题相似的关系，并将相似的情况应用于实际问题的分析和解决。
这种方法适用于问题比较复杂，但与已知的问题相似的情况。
3. 理论建模：这种建模方法是根据理论原理和数学模型来描述和解决实际问题。
它要求将实际问题转化为数学问题，并运用数学理论和技巧进行分析和解决。
这种方法适用于具有明确的数学模型和理论依据的问题。
二、数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤包括问题的分析、建立数学模型、进行模型分析与计算、验证模型以及模型的优化。
1. 问题的分析：对于实际问题，首先要对问题进行充分的了解和分析。
要搞清楚问题的背景和条件，明确问题的要求和目标，并将问题抽象为数学问题。
对问题的分析是建立数学模型的前提。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学方法和工具，建立数学模型。
数学模型是实际问题的抽象描述，包括变量的定义和关系的建立。
数学模型的建立需要考虑问题的尺度、假设和约束条件等。
3. 进行模型分析与计算：建立好数学模型后，需要对模型进行分析与计算。
通过数学分析和计算，得出模型的解析解或数值解。
这一步需要根据实际情况选择合适的数学工具和计算方法。
4. 验证模型：对于得到的模型解，需要对模型进行验证。
这一步是检验模型的准确性和有效性的过程。
可以通过比较模型的预测结果与实际观测数据的符合程度来验证模型。
《数学建模》课程期末复习辅导
《数学建模》课程期末复习辅导考试说明数学建模课程是数学与应用数学专业的限选课，是一门教学生试着用数学方法去解决实际问题的应用性较强的课程。
因此，本课程的基本命题原则是按照课程教学大纲的要求，在考核说明所规定的范围内，既要注意考核知识点的覆盖面和突出重点，也要充分体现广播电视大学远程开放教育教学模式和培养师范类应用型人才的特点．因此，本课程的期末考试主要检查学生对数学建模基本理论的理解、基本方法的掌握，以及运用所学的基本理论和基本方法去分析问题、建立实际问题数学模型的能力．试题类型分为：填空题、分析判断题和计算题．填空题只要求直接填写结论，不必对结论进行解释；分析判断题要求给出合乎要求的判断结论，但需要进行简明扼要的解释；计算题要求写出运算过程与答案．四种题型分数的百分比大致为：填空题20%，判断题30%，计算题50%。
关于试题的难易情况的说明：期末试题按其难易程度分为三类，即容易题、中等题和较难题，这三类题在期末试卷中的比例大体为5：3：2．关于各章的复习要求与重点在本课程的考核说明和期末复习辅导文章中都有，请大家自己认真阅读.期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为60分，考试时间为90分钟。
考试可以携带计算器。
综合练习 一、填空题1．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那么人口增长问题的马尔萨斯模型应为 ．应该填写：rt x t x e )(02．在建立人口增长问题的罗捷斯蒂克模型时，假设人口增长率r 是人口数量)(t x 的递减函数，若最大人口数量记作,m x 为简化模型，采用的递减函数是 ．应该填写：)1()(mx x r x r -= 3．马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 ．应该填写：增长率是常数还是人口的递减函数4．设年利率为0.02，则8年后10万元的现值按照复利计算应为 ．（精确到元）应该填写：5349.851501088≈=Q （万元）5．若银行的年利率是x %，则需要时间 ，存入的钱才可翻番． 应该填写：%)1ln(/2ln x +6．若按照复利计算20万元10年后的终值是1092132.5779()20=万元，则年利率应为 ．应该填写：0.057．一个学生的学习成绩s 与其知识基础雄厚度x 、周边环境的恶劣度y 、努力程度z 三者的关系可以用模型来表达.应该填写：x zs ky⋅= 8．假设,,21x C Y Y C S ∝∝则S 与x 的数学关系式为 ，其中21,C C 是常数． 应该填写：kx x C C k k S ==2121，其中2121C C k k k =9．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出100件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 ．应该填写：**20,2000T Q ≈=10．设某种物资有两个产地21,A A ，其产量分别为10、20，两个销地21,B B 的销量相等均为15．如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为,a 则最优运输方案与运价具有 两个特点．应该填写：最优运输方案不惟一；总运费均相等 11．一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 ．应该填写：奇数顶点个数是0或212．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 ． 应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析 二、分析判断题1．我们时常看到教学楼内、食堂和宿舍楼内的长流水现象，这自然是极大的浪费. 为了建设节约型学校，需要你对节水问题给予解决. 那么你将考虑哪些相关因素？试至少给出5个．解 （1）更换自来水龙头及其费用、节约下来的水费两个因素，两者的比较可用于确定建模目标；（2）数据调查：学校平均每个月的用水量，食堂的用水量、卫生间用水量、宿舍用水限量、定时定量供水的可行性调查，临时申请用水问题等因素．2．有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。
数学建模期末考试重点
数学建模：一、选择题(5*3'15':1. Matlab基本知识；2•数组点乘、点除：设：a=[a1,a2,…,an], c=标量则：a.*c=[a1*c,a2*c,…,an*c](点乘)a./c= [a1/c,a2/c,…,an/c](右除) a.\c= [c/a1,c/a2,…,c/an](左除)3.重积分：(P9)在Matlab中可以使用int()函数求解积分问题，其调用的具体格式为int(fun,x,a,b) 其中x为积分变量，a,b分别是积分下限和积分上限•当a,b去取成或inf时，可以计算无穷限非正常积分•对多元函数的重积分，可先经过数学处理将重积分转化为多次积分，每次积分针对积分变量调用int ()函数处理。
矩阵的鞍点：(P80)二、填空题(15'：1•第一章中Matlab基本知识；2. 产生5阶随机矩阵：R=rand (m,n) 产生6阶单位阵：E=eye( m,n)3. 多项式的根：(P58)当f(x)为多项式时可用：r=roots(c)输入多项式系数c (按降幕排列)，输出r为f(x)=0的全部根；c=poly(r)输入f(x)=0的全部根r,输出c为多项式系数(按降幕排列)；df=polyder(c)输入多项式系数c (按降幕排列)，输出df为多项式的微分系数例求解x3-x+1=0例求解x2-ax+b=0解输入s= ‘ x A2-a*x+b' ;x=solve(s,' x' )可得x=[1/2*a+1/2*(aA2-4*b)A(1 /2)][1/2*a-1/2*(a A2-4*b)A(1 /2)]..例求非线形方程组」X=asin(x)+bcos(y)Y=ccos(x)+ds in(y) 先建立m 文件myfun .mfun cti on q=myfu n( p,a,b,c,d) x=p(1);y=p(2);q(1)=-x+a*si n(x)+b*cos(y); q(2)=-y+c*cos(x)+d*si n(y);然后输入a=0.6;b=0.3;c=0.6;d=-0.3;xO二[0.5,0.5]' ; %初始值[x,fv]=fsolve(@myfu n,x0,[],a,b,c,d) 或opt=optimset( ‘ Maxlter ' ,2);[x,fv,ef,out,jac]二fsolve(@ myfun, x0,opt,a,b,c,d)4. 差分方程的解：（P157）一阶常系数线性差分方程Y n 1 一ay. = f (n) (a = 0) (8.3) y n ay“ = 0迭代法：设Y O已知，将n =0,1,23依次代入y n1=ay n中，得Y I= ay°,y2 二ay厂a2y o, ay^ a3y°,lll般地，y n = a n y°(n = 0,1,2,3 …)容易验证：y n=a y。
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数学建模部分定义概念第一章1.1实践.数学与数学模型相关概念（1 •原型:客观存在的各种研究对象。
既包括有形的对象,也包括无形的、思维中的对象,还包括各种系统和过程等2 •模型:为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型或其部分或其某一层面的替代物。
3 •原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础,模型是原型的提炼与升华。
原型有各个方面和各个层次的特征,而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。
二什么是数学模型（Mathematical Model对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景,加以一级抽象或多级抽象的数学概念.数学式子、数学理论等都叫数学模型。
狭义上讲.数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。
（我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）数学模型不是原型的复制品,而是为了一定的目的,对原型所作的一种抽象模拟。
它用数学算式.数学符号.程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关系,是对现实世界的抽象.简化而有本质的描述,它源于现实又高于现实。
三.什么是数学建模数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。
包括:(1)对实际问题的较详细的了解、分析和判断;(2 )为解决问题所需相关数学方法的选择；(3 )针对实际问题的数学描述，建立数学模型；(4 )对数学模型的求解和必要的计算；(5 )数学结果在实际问题中的验证；(6 )将合理的数学结果应用于实际问题之中，从而解决问题。
数学建模流程图(参见教材上册P14 )1实际问题2抽象.简化.假设,确定变量和参数3根据某种、、定律"或、、规律"建立变量和参数间的一个明确的数学关系,即在此简化阶段上构造数学模型4解析地或近似地求解该数学模型5用实际问题的实测数据等来解释.验证该数学模型(若不通过,返回第2步)6投入使用,从而可产生经济.社会效益完美的图画““堇金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为1:0.618或,即长段为全段的0.618o所谓黄金分割■指的是把长为L的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比。
计算黄金分割最简单的方法:计算斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...从二位起相邻两数之比,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13丿13/21严•的近似值。
1.2八步建模法1•问题提出2•量的分析3.模型假设4.模型建立5.模型求解6.模型分析7.模型检验&模型应用数学建模采用的方法（详见教材PH）1.机理分析法:在对研究对象内部机理分析的基础上,利用建模假设所给出的建模信息或前提条件及相关领域知识.相应的数学工具来构造模型。
2.系统识别建模法:对系统内部机理不清楚的情况下，利用建模假设或实际对系统的测试数据所给的系统的输入输出信息及数据丿用纯粹的数学方法确定模型形式f借助于概率论和数理统计来辨识参数构造模型。
3•仿真建模法:利用各种仿真方法建立数学模型。
4.相似类比建模法:借助于相似原理和事物之间的类比关系进行建模的方法, 是根据不同研究对象之间的某些相似性（数学相似.物理相似和其他相似）借用移植领域的数学模型老构造数学模型的方法。
1.3数学模型的分类(参见教材上册P15 )1.按建模的数学方法划分：初等模型、数学规划模型.微分方程模型、差分方程模型.概率统计模型、图论模型、模糊模型和灰色模型等；2、按建模中变量特点划分：确定性模型与随机性模型.静态模型与动态模型.线性模型与非线性模型.离散模型与连续模型；3.按应用领域划分：人口模型、交通模型、环境模型、规划模型、生态模型.资源模型等；4.按建模的目的划分：描述模型、预测模型.优化模型.决策模型.控制模型等；5.按对问题的了解程度划分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等；分类5的具体解释:(1)白箱模型(White Box)对系统相当了解,利用系统的机理方程建立起来的数学模型,通常采用机理建模。
(2 )黑箱(Black Box)模型对系统并不了解,利用实验得到的输入输出数据来构建系统的等价模型,通常采用统计建模。
(3 )灰箱(Gray Box)模型介于白箱模型和黑箱模型之间的模型。
1-4数学模型特点与建模能力培养学模型的特点1.逼真性和可行性:模型越逼真就越复杂，应用起来费用越高，常与取得的效益不成正比。
所以需要对逼真性与可行性进行折衷。
2.渐进性:数学模型通常不会是一次就成功的，往往需要反复修正，逐渐主善。
3. 强健性:对于已建好的数学模型,当观测数据有微小的改变或者模型结构及 参数发生微小变化时，模型求解的结果也随之发生微小的变化。
事物有共性。
常常好多领域不同事物却共有几乎相同数学模型。
5. 非预制性：大干世界变化莫测，干姿百态,不能要求把所有的模型做成预制品 供我们使用。
建滾时遇到的问题往往事先没有答案，因此必须创新，产生新方法■ 新概念。
&条理性:从建模角度岀发，人们对现实对象分析应该全面.深入, 更具有条理性。
即使建模失败■对解决研究实际问题也是有利的7.技艺性:建模与其说使_门技术，不如说是一种技艺很强的技巧艺术。
期间经验.想象力■洞察力■判断力以及直觉灵感起的作用 往往比数学知识更大。
人的知识是有限的，想象力是无限的。
&局限性：由于建模时往往会把现实对象简化、近似、假设，因此当模型应用到 实际时就必须考虑被忽略的简化因素。
于是结论往往是相对的.近似的。
另外, 由于人类认识能力受科学技术以及数学本身发展水平的限制,至今还有不少实 际问题没有建立出有价值的实用的数学模型,如中医诊断等。
二 数学建模能力的培养(教材上册P16 )(1)数学知识的积累；(2) 学好数学模型课,多看.多学数学建模案例；(3) 留心各样事物f 培养观察能力和用数学解决问题的思想；(4) 需要丰富的想象力与敏锐.深刻的洞察力；(5) 兴趣是学习的动力,努力培养建模兴趣；(6) 与计算机的紧密关联,学会使用相关软件；(7) 虚心学习,注重团队意识和团结协作；4.可转移(移植)性: 学模型是现实对象抽象化产物,它可能与其它领域其它Utx.(8)学会类比■做到〃由此及彼和由彼及此",培养发散思维能力；(9)培养自学能力.能快速获取新知识■并能学以致用；(10 )学会从杂乱无章的各种信息中快速挑选收集有用信息f利用图书馆. 网络查找相关资料。
第二章初等数学模型2.1比例分析法建模比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构。
数学上表示两个比值相等的式子叫做比例。
在一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。
求比例的未知项的过程■叫做解比例。
两种相关联的量■一种量变化■另一种量也随着变化■如果两种量中相对应的两个数的比值(商)一定，两种量就叫做曲例的量f他们的关系叫做正比例的关系。
如果两种量中,相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
比例在曰常生活中的重要应用】比例是最基本.最初等的数学概念之一，日常生活中的许多实际问题所指向的对象都蕴含着比例关系,运用比例关系可以建立数学模型,对实际问题进行描述与求解。
例如：若两个物体的特征长度之比为1：A ,则其表面积的比例为1：A2•其体积的比例是1： A3O这反映了一些实际对象中包含的变量之间满足的内在规律。
（详见教材上册P18）本节研究"商品包装成本的确定问题"的数学建模问题。
2.6图论方法在数学模型中的运用一.图论的起源壘是组合数学的一个分支，起源于1736年欧拉的第一篇关于图论的论文，这篇论文解决了著名的哥昼斯堡土橈问题,从而使欧拉成为图论的创始人。
在图中,用点代表登个範,用边代表各个事物之间的二童垂。
因此图是研究集合上二元关系的工具,图论给含有二元关系的系统提供了数学模型，是建立数学模型的重要手段。
由于＜+算机的迅速发展，有力推动了图论的发展，使得图论成为数学领域里发展最快的分支之一。
二.相关的图论知识定义(图)图是一个有序二元组G = ＜V(G),E(G)＞Z其中V(G) = { kJ为顶点集,E(G) = {eJ为边BV = V(G)中的元素齢称为顶点疋二E(G)中的元素6叫做边。
顶点总数记为| V(G) | z边的总数记为| E(G) |。
若|V(G)|=n测称G为n阶图若| V(G) |与| E(G) |均为有限数,测称G为有限图定义(有向图)WG = {V(G), E(G)，0G}为一个有向图，其中V(G)工①是顶点集合，V(G)的元素称为顶点，E(G)是边的集合，E(G)的元素称为边，且V(G)nE(G)=O, 0G：E(G)T V(G)X V(G)称为关联函数，当0G(e) = Z"时, 称边€与顶点“与U相关联，又称顶点"与U相邻,"是纟的尾,卩是幺的头，此时称G为有向图(Digraph),即有向图G中的每条边都是有方向的。
J数学模型、在有向图中，一条有向边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示。
有向边也称为弧(Arc),边的始点称为弧尾(Tail),终点称为弧头(Head)。
例如＜片"表示一条有向边」是边的始点(起点)，卩j是边的终点。
因此＜叫,片＞和＜仔片＞是两条不同的有向边。
例1•有向图示例(见右图)给定有向图G={V,E},其中顶点集为V={«, b t c,d}f边集为E= {e/t e2, e3f % e5f e6f e7}二、相关的论知识定义(无向图)若G 的每条边头尾不分，即^G (e) = uv = vu ，称G 为无向图。
图的每条边都是有没有方向的，贝IJ 称G 为无向图(Undigraph)。
无向图中的条称为无向边，均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。
例：如果5,片)表示一条无向边，则(V ；, Vj) = (vp Vj) o例2•无向图示例(见右图)给定无向图G={V,E},其中 顶点集为：V={v 1,v 2, v 3,v 4}, 边集为：E= {e l9 e 2,e 3, e 4f e 5, e 6, e 7) 或者定义4(环)若沪切则昭(时j)称为环，或回路。
例如 下图1中卫二a, e Y = {a,a)是环；下图2中小二畑勺=(巾,为)是环。
图G 的顶点数n 和边数e 的关系：(1) 若G 是无向图，则0<e<n(n-1)/2o 称恰有n(n-1)/2条边的无向图 称为无向完全图(Undirected Complete Graph)o(2) 若G 是有向图，贝ij0<e<n(n-1)o 称恰有n(n-1)条边的有向图称为 有向完全图(Directed Complete Graph)。