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数学建模部分定义概念

第一章

1.1实践.数学与数学模型

相关概念（

1 ?原型:客观存在的各种研究对象。既包括有形的对象,也包括无形的、思维中的对

象,还包括各种系统和过程等

2 ?模型:为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型

或其部分或其某一层面的替代物。

3 ?原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础,模型是原型的提炼与升华。原型有

各个方面和各个层次的特征,而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。

二什么是数学模型（Mathematical Model

对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特

有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结

构。

广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景,加以一级抽象或多级抽象的数学概念.数学式子、数学理论等都叫数学模型。

狭义上讲.数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。

（我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）

数学模型不是原型的复制品,而是为了一定的目的,对原型所作的一种

抽象模拟。它用数学算式.数学符号.程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关

系,是对现实世界的抽象.简化而有本质的描述,它源于现实又高于现实。

三.什么是数学建模

数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。包括:

(1)对实际问题的较详细的了解、分析和判断;

(2 )为解决问题所需相关数学方法的选择；

(3 )针对实际问题的数学描述，建立数学模型；

(4 )对数学模型的求解和必要的计算；

(5 )数学结果在实际问题中的验证；

(6 )将合理的数学结果应用于实际问题之中，从而解决问题。

数学建模流程图(参见教材上册P14 )

1实际问题2抽象.简化.假设,确定变量和参数3根据某种、、定律"或、、规律"建立变量和参数间的一个明确的数学关系,即在此简化阶段上构造数学模型

4解析地或近似地求解该数学模型5用实际问题的实测数据等来解释.验证该数学模型(若不通过,返回第2步)

6投入使用,从而可产生经济.社会效益

完美的图画““堇金分割

黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整

体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为

1:0.618或,即长段为全段的0.618o

所谓黄金分割■指的是把长为L的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比。

计算黄金分割最简单的方法:计算斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...从

二位起相邻两数之比,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13丿13/21严?的近似值。

1.2八步建模法

1?问题提出

2?量的分析

3.模型假设

4.模型建立

5.模型求解

6.模型分析

7.模型检验

&模型应用

数学建模采用的方法（详见教材PH）

1.机理分析法:在对研究对象内部机理分析的基础上,利用建模假设所给出的建模信息或前提条件及相关领域知识.相应的数学工具来构造模型。

2.系统识别建模法:对系统内部机理不清楚的情况下，利用建模假设或实际对系统的测试数据所给的系统的输入输出信息及数据丿用纯粹的数学方法确定模型形式f借助于概率论和数理统计来辨识参数构造模型。

3?仿真建模法:利用各种仿真方法建立数学模型。

4.相似类比建模法:借助于相似原理和事物之间的类比关系进行建模的方法, 是根据不同研究对象之间的某些相似性（数学相似.物理相似和其他相似）借用移植领域的数学模型老构造数学模型的方法。

1.3数学模型的分类(参见教材上册P15 )

1.按建模的数学方法划分：初等模型、数学规划模型.微分方程模型、

差分方程模型.概率统计模型、图论模型、模糊模型和灰色模型等；

2、按建模中变量特点划分：确定性模型与随机性模型.静态模型与动

态模型.线性模型与非线性模型.离散模型与连续模型；

3.按应用领域划分：人口模型、交通模型、环境模型、规划模型、生

态模型.资源模型等；

4.按建模的目的划分：描述模型、预测模型.优化模型.决策模型.

控制模型等；

5.按对问题的了解程度划分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等；

分类5的具体解释:

(1)白箱模型(White Box)

对系统相当了解,利用系统的机理方程建立起来的数

学模型,通常采用机理建模。

(2 )黑箱(Black Box)模型

对系统并不了解,利用实验得到的输入输出数据来构建系统的等价模型,通常采用统计建模。

(3 )灰箱(Gray Box)模型

介于白箱模型和黑箱模型之间的模型。

1-4数学模型特点与建模能力培养

学模型的特点

1.逼真性和可行性:模型越逼真就越复杂，应用起来费用越高，常与取得的效益不成正比。所以需要对逼真性与可行性进行折衷。

2.渐进性:数学模型通常不会是一次就成功的，往往需要反复修正，逐渐主善。

3. 强健性:对于已建好的数学模型,当观测数据有微小的改变或者模型结构及 参数发生微小变化

时，模型求解的结果也随之发生微小的变化。

事物有共性。常常好多领域不同事物却共有几乎相同数学模型。

5. 非预制性：大干世界变化莫测，干姿百态,不能要求把所有的模型做成预制品 供我们使用。建

滾时遇到的问题往往事先没有答案，因此必须创新，产生新方法■ 新概念。

&条理性:从建模角度岀发，人们对现实对象分析应该全面.深入, 更具有条理性。即使建模失败■对解决研究实际问题也是有利的

7.技艺性:建模与其说使_门技术，不如说是一种技艺很强的技巧

艺术。期间经验.想象力■洞察力■判断力以及直觉灵感起的作用 往往比数学知识更大。人的知识是有限的，想象力是无限的。

&局限性：由于建模时往往会把现实对象简化、近似、假设，因此当模型应用到 实际时就必须考虑被忽略的简化因素。于是结论往往是相对的.近似的。另外, 由于人类认识能力受科学技术以及数学本身发展水平的限制,至今还有不少实 际问题没有建立出有价值的实用的数学模型,如中医诊断等。

二 数学建模能力的培养(教材上册P16 )

(1)数学知识的积累；

(2) 学好数学模型课,多看.多学数学建模案例； (3) 留心各样事物f 培养观察能力和用数学解决问题的思想； (4) 需要丰富的想象力与敏锐.深刻的洞察力； (5) 兴趣是学习的动力,努力培养建模兴趣； (6) 与计算机的紧密关联,学会使用相关软件； (7) 虚心学习,注重团队意识和团结协作；

4.可转移(移植)性:

学模型是现实对象抽象化产物,它可能与其它领域其它 Utx.

(8)学会类比■做到〃由此及彼和由彼及此",培养发散思维能力；

(9)培养自学能力.能快速获取新知识■并能学以致用；

(10 )学会从杂乱无章的各种信息中快速挑选收集有用信息f利用

图书馆. 网络查找相关资料。

第二章初等数学模型

2.1比例分析法建模

比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构。数学上表示两个比值相等的式子叫做比例。在一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。求比例的未知项的过程■叫做解比例。

两种相关联的量■一种量变化■另一种量也随着变化■如果两种量中相对应的两个数的比值(商)一定，两种量就叫做曲例的量f他们的关系叫做正比例的关系。如果两种量中,相对应的

两个数的积一定,这两种量就叫做反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。

比例在曰常生活中的重要应用】

比例是最基本.最初等的数学概念之一，日常生活中的许多实际问题所指向的对象都蕴含着比例关系,运用比例关系可以建立数学模型,对实际问题进行描述与求解。

例如：若两个物体的特征长度之比为1：A ,则其表面积的比例为1：A2?

其体积的比例是1： A3O这反映了一些实际对象中包含的变量之间满足的内

在规律。（详见教材上册P18）

本节研究"商品包装成本的确定问题"的数学建模问题。

2.6图论方法在数学模型中的运用

一.图论的起源

壘是组合数学的一个分支，起源于1736年欧拉的第一篇关于图论的论文，这篇论文解决了著名的哥昼斯堡土橈问题,从而使欧拉成为图论的创始人。

在图中,用点代表登个範,用边代表各个事物之间的二童垂。因此图是研究集合上二元关系的工具,图论给含有二元关系的系统提供了数学模

型，是建立数学模型的重要手段。由于＜+算机的迅速发展，有力推动了图论的发展，使得图论成为数学领域里发展最快的分支之一。

二

.相关的图论知识

定义(图)图是一个有序二元组G = ＜V(G),E(G)＞Z其中V(G) = { kJ为

顶点集,E(G) = {eJ为边BV = V(G)中的元素齢称为顶点疋二E(G)中的

元素6叫做边。顶点总数记为| V(G) | z边的总数记为| E(G) |。

若|V(G)|=n测称G为n阶图若| V(G) |与| E(G) |均为有限数,测称G为有限图

定义(有向图)WG = {V(G), E(G)，0G}为一个有向图，其中V(G)工①是顶点集合，V(G)的元素称为顶点，E(G)是边的集合，E(G)的元素称为边，且

V(G)nE(G)=O, 0G：E(G)T V(G)X V(G)称为关联函数，当0G(e) = Z"时, 称边€与顶点“与U相关联，又称顶点"与U相邻,"是纟的尾,卩是幺的头，此时称G为有向图(Digraph),即有向图G中的每条边都是有方向的。

J数学模型、

在有向图中，一条有向边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示。有向边也称为弧(Arc),边的始点称为弧尾(Tail),终点称为弧头(Head)。

例如＜片"表示一条有向边」是边的始点(起点)，卩j是边的终点。因此＜叫,片＞和＜仔片＞是两条不同的有向边。

例1?有向图示例(见右图)

给定有向图G={V,E},其中

顶点集为V={?, b t c,d}f

边集为E= {e/t e2, e3f % e5f e6f e7}

二、相关的论知识

定义(无向图)若G 的每条边头尾不分，即^G (e) = uv = vu ，称G 为无向图。

图的每条边都是有没有方向的，贝IJ 称G 为无向图(Undigraph)。 无向图中的条称为无向边，均是顶点的无序对，无序对通常用圆

括号表示。例：如果5,片)表示一条无向边，则(V ；, Vj) = (vp Vj) o

例2?无向图示例(见右图)

给定无向图G={V,E},其中 顶点集为：

V={v 1,v 2, v 3,v 4}, 边集为：E= {e l9 e 2, e 3, e 4f e 5, e 6, e 7) 或者

定义4(环)若沪切则昭(时j)称为环，或回

路。

例如 下图1中卫二a, e Y = {a,a)是环；下图2中小二畑勺=(巾,为)是环。

图G 的顶点数n 和边数e 的关系：

(1) 若G 是无向图，则0

(Undirected Complete Graph)o

(2) 若G 是有向图，贝ij0

(Directed Complete Graph)。

三. 最短轨道问题

给定连接若干个城市的铁路网，寻找从指定的某城市到其余城市的最短路。解决该问 题的数学模型如下

设IV ： E(G)-R, ”何叫做图G 中的边e 的权。对任意的AGV(G),寻找轨道

P(A 0, A),使得 M KP(A 0, A))=min{M

,

E={(v p v 1), (v p v 2), (v 2,v 3), (v 3,v 2), (v 2,v 5), (v n v 5),(V 4,V 5) }

图1有向图

图2无向图

%A）是轨道A上各边权之和。

求解该最短路问题的迪克斯

设d(A)表示A到Ao的距离。

(1)令d(A o)=O, d(A)=+oo z A0*A ; S0={A0>, i=0 ；

(2)对每个A S” 用min{d(A) z d(Aj)+ M

最小值的中的顶点（是Si的补集），令S i+1=Sj U { ki+1};

（3）若i=a-l,停止;若i

冬数学模型芒

三如何将原问题转化为对偶问题

数学模型尸原问题对偶问题

maxZ = q 兀］+ c2x2+ …+ c fJ x H 4“1+如兀2+??? + %￡ <勺

a2i x^a22x2+-^a2ftXll

S.tA .......

爲“1+入2兀2+…+ %兀Sb”

X. >0(/= 1,2,???,/?)min W =勺必+爲旳+…+b m y m

a l2y^a22y2+-- + a m2y m>c2 s.t.< ......

x >o(z = l,2,---,m)

或者max Z = ex min W = yb

Ax < b S，t\ x>0yA>c y>0

例：写出下列LP问题的对偶问题

max S = 2兀| + 4x2一

3x3

x, -x2 + x3 <10

x} > 0, x2 < 0min Z = 10y -5旳+8%

?一旳+ 3旳丫2 ,一必+4力+ 2儿<4 2开_3旳_5丿3 = 一3

> 0, y3 < 0

非对称形式的对偶线性规划的对偶原则

(1)如果在原规划问题中,第k个约束条件为等式，则在其对偶问题中第k个对偶变量无非负限制；反之，如果原规划问题的第k个决策变量无非负限制■则其对偶问题的第k个约束条件应该为等式。

(2)如果原规划问题是求最大值，且第k个约束条件为、、形式.则在

其对偶问题中■第k个对偶变量y k<0 ;如果原规划问题是求最大值,且第k个决策变量

x k S0 ,则其对偶问题中.第k个约束条件为叱"形式

(3 )如果原规划问题是求最小值,且第k个约束条件为、形式,则在

其对偶问题中,第k个对偶变量y k<0 ;如果原规划问题是求最小值,且第k个决策变量

x k<0 .则其对偶问题中,第k个约束条件为W形式。

4.8动态规划模型

动态规划是求解决策过程的一种最优化的数学方法。20世纪50年代初,美国数学家

R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程的优化问题时f提出了著名的最佳原理把多阶段决策求解问题转化为逐个求解一系列单阶段决策问题,这种求解最优化问题的方法叫动态规划方法

动态规划方法主要用于求解以时间划分阶段的动态决策过程的优化问题。

但是对于某些与时间无关的静态规划问题,如果可以人为地引入时间因素,把

它视为多阶段决策过程的问题,则也可以用动态规划方法方便地求解。

二.动态规划方法的基本原理---最佳原理

B｛圭原理

一个最优策略有这样的特性,不论初始状态和初始决策如何,相对于第一个决策所形成的状态来说,余下的决策必定构成一个最优策略。即：每个最佳策略只能由最佳子策略组成三、动态规划方法的重要性质无后效性原

所谓无后效性原则：指的是这样一种性质:某阶段的状态

一旦确定,则在这个阶段以后过程的发展与演变不再受此前各

状态及决策的影响。即"未来与过去无关"。这个性质称为无后效性■又称为马尔科夫性。

具体地说:如果一个问题被划分为若干个阶段,那么阶段

中的状态只能通过阶段$中的状态经由状态转移方程得到, 与其他状态没有关系■特别是与尚未发生的状态没有关系。

四.动态规划问题的研究内容

1.最短路径问题

2.资源分配问题

3.投资决策问题

4.生产计划与库存问题

5.排序问题

6.货物装载问题

7?生产过程中的最优控制问题

五.动态规划模型的种

按照决策过程的演变是确定的还是随机的,动态规划模型分为以

1.确定性动态规划

厶随机性动态规划

按照决策变量的取值是连续的还是离散的，动态规划模型分为以下两种类型：

1.连续性动态规划

2、离散性动态规划

六.动态规划模型的基本概念

1.多阶段决策问题

多阶段决策问题,是指这样的一类特殊的活动过程，它们可以按照时间和空间依次划分为若干个相互联系的阶段,在每一个阶段中, 都需要做出一定的决策(备选方案)，全部过程的决策集形成一个决策序列,这种考虑整个决策过程中各个阶段决策的全体又称为一个策略，这类问题就是多阶段决策问题。

2.动态规划问题的基本概念(1)阶段(2)状态(3)决策(4)策略(5)状态转移方程(6)指标函数

七、动态规划的求解的两种方法

(1)逆序递推法

(2)顺序递推法

第五章对策模型对策的分类：对策从不同的角度可分以下几种类型

(1)按局中人的数量多少：二人对策.多人对策。

(2 )按策略的数目：有限对策、无限对策。

(3 )按赢得函数的特点：零和对策、菲零和对策。

(4 )按局中人是否结盟:结盟对策、不结盟对策。

决策的分类

1.确定型决策：当状态只有一种时的决策问题是确定型决策。

入风险型决策：当未来情况和条件不完全确定，但这些状态出现的概率已知，这种条件下所作的决策具有一定的风险性,所以此类决策称为风险型决策。

3、不确定型决策：在未来情况和条件不完全清楚.又无法估计其出现的概率,在此情况下所进行的决策为不确定型决策。

一般的决策问题具备的基本要素

1.自然状态：决策问题中不受决策者主观影响的客观情况,称为自然状态

或客观条件,简称状态,记作k jo

2.状态概率：指各自然状态出现的概率,记作Pi=p(kj)o 3、策略：可供决策者进行决策的各

个行动方案称为策略或方案,记作Aj

/ ???,rn)o

4.益损值:每个行动方案A：在各自的状态k下的经济收益或损失值称为益损值,—般用Sjj表示。

5.益损矩阵：将益损值按原有次序构成的矩阵称为益损矩阵,记作M。

6.益损函数：决策的目标要能够度量判断,度量决策目标值的函数称为

益损函数S。它是决策变量Aj与概率分布kj的函数。

人决策模型:在决策理论中广泛应用的模型。通常表示为

S =尸(4,匕 \ (z = 1,2,…昇n; j =1,2,…,n)

风险型决策具备的条件

(1)有且只有一个决策目标(如收益较大或损失较小)

(2)存在两个或两个以上的行动方案

(3)存在两个或两个以上的自然状态

(4)决策者通过计算.预测或分析估计等方法,可以确定各种自然状态未来

出现的概率。

(5)每种行动方案在不同的自然状态下的益损值可以计算出来。

风险型决策的三种解决方法

1?最大可能准则决策方法

2?决策表法

3.决策树法

不确定型决策的特点:

只知道有几种可能自然状态发生，但各种自然状态发生

的概率未知。所以不能用期望准则方法解决不确定型决策。

1 .乐观决策方法（max max原则）

2?悲观决策方法（max min原则）

3?乐观系数法（Hurwitz法）

4 ?平均值决策法（Laplace方法）

5?遗憾准则法（min max遗憾准则法）

书中横卧着整个过去的灵魂一一卡菜尔

人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远一一普希金

人离开了书,如同离开空气一样不能生活__科洛廖夫

书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉一一库法耶夫

书籍把我们引入最美好的社会，使我彳门认识各个时代的伟大智者 ----- 史美尔斯

书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的