高考数学导数解法知识分享

高考中数学导数的解法

1、导数的背景：

（1）切线的斜率；（2）瞬时速度.

如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）

2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0

lim x y

f x y x

∆→∆'='=∆()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-=∆，

导函数也简称为导数。

提醒：导数的另一种形式0

0x

x 0)()(lim )(0

x x x f x f x f y x x --='='→=

如（1）*⎩⎨

⎧>+≤==

1

1)(2

x b

ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b

解：⎩⎨

⎧>+≤==1

1)(2

x b

ax x x

x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1

=-→x f x

b a x f x +=+

→)(lim 1 1)1(=f

∴ 1=+b a

2lim 0

=∆∆-

→∆x

y x a x y x =∆∆+→∆0lim

∴ 2=a 1-=b

（2）*已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h

h a f h a f h 2)

()3(lim

--+→∆；

（2）h

a f h a f h )

()(lim 20-+→∆

分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）h

h a f h a f h 2)

()3(lim

--+→

h h a f a f a f h a f h 2)

()()()3(lim 0--+-+=→b a f a f h

a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('2

1

)('23)()(lim 213)()3(lim 232)

()(lim

2)()3(lim

0000=+=---+-+=--+-+=→→→→ （2）⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020

)()(lim )

()(lim

00)('lim )

()(lim 0220=⋅=⋅-+=→→a f h h a f h a f h h

说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。

可以证明：可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数

3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率

()()00f x x f x y x x

+∆-∆=∆V ；（3）取极限，得导数()00lim x y

f x x →∆'=∆V 。

也可（1）求)(x f '，（2）)(0x f '.

4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点

()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。 特别提醒：

（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点

在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x ')，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条切线，也未必和曲线只有一个交点； （2）求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。

如（1）P 在曲线3

2

3+

-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：),4

3[)2,0[ππ

πY ）；

（2）直线13+=x y 是曲线a x y -=3的一条切线,则实数a 的值为_______（答：－3或1）； （4）曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是______________（答：410x y --=）；

（5）已知函数x ax x x f 43

2)(23++-=，又导函数)('x f y =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->。①求a 的值；②求过点)0,0(的曲线)(x f y =的切线方程（答：①1；②4y x =或35

8

y x =

）。 5、导数的运算法则：

;

)(;)(;)(2

v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±

6.常见函数的导数公式:

（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()()1n n x nx n Q -'=∈，

与此有关的如下：(

)

11

22

11,x x x x '

'

-⎛⎫⎛⎫='=-'==

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭ cosx )(sinx =' ;e )(e -sinx ;)(cosx x x ='=' ;

log 1)(log ;x 1)(lnx lna;a )(a e a x

a x x x

='=

'= 7.（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'='

一般按以下三个步骤进行：

（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；

（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； （3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。

也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

如（1）已知函数n m mx x f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=n m _____（答：

1

4

）； （2）函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为__________（答：2321y x x '=+-）；

（3）若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f 是______（答：2)(4-=x x f ） 8、函数的单调性：

（1）函数的单调性与导数的关系

①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。可导函数y ＝f （x ）