条件收敛与绝对收敛
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第四节 条件收敛与绝对收敛
对于任意项级数∑∞
=1n n a ，我们已经给出了其收敛的一些判
别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 — 条件收敛与绝对收敛。
定义10.5 对于级数∑∞
=1
n n a ，如果级数∑∞
=1
||n n a 是收敛的，我们
称级数∑∞
=1
n n a 绝对收敛。
如果∑∞=1
||n n a 发散，但∑∞=1
n n a 是收敛的, 我们称级数∑∞
=1
n n a 条件收
敛。
条件收敛的级数是存在的，如∑∞
=+-11
.)1(n n n
收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。
定理10.17 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然. 证明：设级数∑∞
=1
n n a 收敛，即∑∞
=1
||n n a 收敛，由Cauchy 收敛准
则,对0>∀ε, 存在N ，当n >N 时，对一切自然数p , 成立着 ε<++++++||||||21p n n n a a a Λ 于是:
≤++++++||21p n n n a a a Λε<++++++||||||21p n n n a a a Λ
再由Cauchy 收敛准则知∑∞
=1
n n a 收敛。
由级数∑∞
=+-1
1
)1(n n n 可看出反之不成立。
注：如果正项级数∑∞=1
||n n a 发散，不能推出级数∑∞
=1
n n a 发散。
但如果使用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法判定出
∑∞=1
||n n a 发散，则级数∑∞
=1
n n a 必发散，这是因为利用
Cauchy 判
别法或D ’Alembert 判别法来判定一个正项级数∑∞
=1
||n n a 为发
散时，是根据这个级数的一般项|a n |当+∞→n 时不趋于0，因此对级数∑∞
=1
n n a 而言，它的一般项也不趋于零，所以级数∑∞
=1
n n
a 发散。
例10.38 讨论级数∑∞
=+++-11
1
12)1(n p n n
n n 的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。
解，当0≤p 时,由于∞
→n lim
,01
12≠++p n n n
所以级数发散. 当2>p 时, 因为
∞
→n lim 1/11
12=++p p
n
n n n 而∑
∞
=1
1n p
n
收敛，所以原级数绝对收敛。
当20≤
因u n –u n +1=
p
p
n n n n
n n )
1()2(3)1(2+++-
++
=
2
2
2
22
2)
1()2)(1()34()1)(44(p p p p n n n n n
n n n n n +++++-+++
>
2
2
2
22
2)
1()2)(1()34()44(p p p p n n n n n
n n n n n +++++-++
=
0)
1()2)(1(22
2
>+++p p p n n n n n
故{u n }单调减少, 且
∞
→n lim
01
12=++p n
n n 由Leibniz 判别法知
∑∞
=+++-1
1
1
12)
1(n p n n
n n 收敛，显然∑∞
=++11
12n p n
n n 发散，所以当20≤
设∑∞
=1
n n a 是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到的新
级数记为∑∞=1/n n a ，我们有下列定理:
定理10.18 设级数∑∞=1
n n a 绝对收敛，则重排的级数∑∞
=1
/
n n a 也是
绝对收敛的，且其和不变。
证明：先设∑∞
=1n n a 是正项收敛的级数，此时有
∑=m
n n
a
1
/
≤∑∞
=1n n a =M , 对m =1,2,…, 均成立
即正项级数∑∞
=1/n n
a 的部分和数列有界，从而∑∞
=1
/
n n a 收敛，
且∑∞
=1/
n n a ≤∑∞
=1
n n
a
而正项级数∑∞
=1
n n a 也可看成是∑∞=1
/
n n a 的重排, 从而也有
∑∞
=1
/
n n
a
≤∑∞
=1
n n
a
所以∑∞=1
/n n a =.
1
∑∞
=n n a
对一般项级数∑∞
=1
n n a ，设∑∞=1
||n n a 收敛
记 u n =2||n n a a +, v n =2
||n
n a a -, n =1,2,…,
显然有 0||n n a u ≤≤, 0||n n a v ≤≤, ,,2,1Λ=n
由比较判别法知正项级数∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n v 均收敛。因而重排后的
级数∑∞=1
/
n n u 与∑∞
=1n n v 也收敛，且有
∑∞
=1
/n n
u
=∑∞
=1
n n u