高一数学《函数的性质》知识点总结
高一数学考点： 函数的性质
高一数学考点：函数的性质函数是高中数学课程内容的四条主线之一，贯穿整个高中数学的学习，是发展学生数学核心素养的重要载体．而函数的性质作为函数内容的重点和难点，成为高考考查的热点．纵观近几年的高考真题，对函数性质的考查主要集中在选择题和填空题．下面结合近几年的高考真题，就函数性质的常见考点和题型进行归类分析．一㊁函数单调性的判断与应用函数的单调性是反映函数变化趋势的重要性质，是高考的热门考点．判断函数单调性的常用方法有定义法㊁图像法和导数法．除此之外，了解函数单调性的常用结论，如 若ｋ＞０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相同；若ｋ＜０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相反 复合函数单调性同增异减法则 等，可以帮助我们更快解题．例１．（１）（２０２１年高考天津㊃第５题）设ａ＝ｌｏｇ２０.３，ｂ＝ｌｏｇ０.４，ｃ＝０.４０.３，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．ｃ＜ａ＜ｂＣ．ｂ＜ｃ＜ａＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：ȵｌｏｇ２０.３＜ｌｏｇ２１＝０，ʑａ＜０．ȵｌｏｇ０.４＝－ｌｏｇ２０.４＝ｌｏｇ２５２＞ｌｏｇ２２＝１，ʑｂ＞１．ȵ０＜０.４０.３＜０.４０＝１，ʑ０＜ｃ＜１，ʑａ＜ｃ＜ｂ．故选：Ｄ．评注：本题考查利用函数的单调性和中间量去比较大小，０和１是常用的中间量．本题需要先把常数０和１转化成与ａ，ｂ，ｃ同底的对数或指数，再利用相应函数的单调性即可比较出这三个数和０㊁１的大小关系，进而得到ａ，ｂ，ｃ的大小．当然，比较ａ和ｂ的大小也可以直接转化为以２为底的对数，再用单调性去比较．熟悉常见函数的单调性㊁对数和指数的运算性质是关键，属于容易题．（２）设函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则ａ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．（－ɕ，－２］Ｂ．［－２，０）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，＋ɕ）解析：函数ｙ＝２ｘ在Ｒ上单调递增，而函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则有函数ｙ＝ｘ（ｘ－ａ）＝ｘ－ａ２()２－ａ２４在区间（０，１）上单调递减，因此ａ２ȡ１，解得ａȡ２，所以ａ的取值范围是［２，＋ɕ）．故选：Ｄ．评注：本题考查复合函数的单调性，已知函数的单调区间求参数的取值范围，考查常见函数的单调性，考查逻辑推理能力．本题解题的关键在于识别出内外层函数，利用复合函数单调性 同增异减 的法则，推断出内层函数在已知区间上的单调性，利用二次函数的对称轴与已知区间的相对位置关系来求解参数范围，难度不大．（３）设ａ＝０.１ｅ０.１，ｂ＝１９，ｃ＝－ｌｎ０.９，则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｃ＜ｂ＜ａＣ．ｃ＜ａ＜ｂＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：设ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ（ｘ＞－１），因为ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ－１＝－ｘ１＋ｘ，当ｘɪ（－１，０）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，当ｘɪ（０，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，所以函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ在（０，＋ɕ）单调递减，在（－１，０）上单调递增，所以ｆ１９()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ１０９－１９＜０，故１９＞ｌｎ１０９＝－ｌｎ０.９，即ｂ＞ｃ，所以ｆ－１１０()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ９１０＋１１０＜０，故９１０＜ｅ－，所以１１０ｅ＜１９，故ａ＜ｂ．设ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）（０＜ｘ＜１），则ｇᶄ（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ＋１ｘ－１＝（ｘ２－１）ｅｘ＋１ｘ－１．令ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１，ｈᶄ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２＋２ｘ－１），当０＜ｘ＜２－１时，ｈᶄ（ｘ）＜０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递减，2㊀当２－１＜ｘ＜１时，ｈᶄ（ｘ）＞０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递增．又ｈ（０）＝０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｈ（ｘ）＜０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｇᶄ（ｘ）＞０，函数ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）单调递增，所以ｇ（０.１）＞ｇ（０）＝０，即０.１ｅ０.１＞－ｌｎ０.９，所以ａ＞ｃ．故选：Ｃ．评注：本题考查利用函数的单调性来比较大小，借助导数来判断函数的单调性，考查分析推理和计算能力，属于较难题．本题难点在于无法直接利用常见函数的单调性来比大小，需要先对各个数据进行代数变形，观察数据的结构去构造新的函数，再结合新函数的单调性以及特殊的函数值来比大小．利用指数函数和对数函数去构造新函数是常见的构造技巧．变式１．（１）设ａɪ（０，１），若函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋（１＋ａ）ｘ在（０，＋ɕ）上单调递增，则ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．解析：由函数的解析式可得ｆᶄ（ｘ）＝ａｘｌｎａ＋（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ０在区间（０，＋ɕ）上恒成立，则（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ－ａｘｌｎａ，即１＋ａａ()ｘȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ）在区间（０，＋ɕ）上恒成立，故１＋ａａ()０＝１ȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ），而ａ＋１ɪ（１，２），故ｌｎ（１＋ａ）＞０，故ｌｎ（ａ＋１）ȡ－ｌｎａ，０＜ａ＜１，{即ａ（ａ＋１）ȡ１，０＜ａ＜１，{故５－１２ɤａ＜１，结合题意可得实数ａ的取值范围是５－１２，１[■■|．故答案为：５－１２，１[■■|．（２）（２０２２高考北京卷㊃第１４题）设函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１，ｘ＜ａ（ｘ－２）２，ｘȡａ{，若ｆ（ｘ）存在最小值，则ａ的一个取值为㊀㊀㊀㊀㊀；ａ的最大值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：若ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝１，ｘ＜０（ｘ－２）２，ｘȡ０{ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０；若ａ＜０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递增，当ｘң－ɕ时，ｆ（ｘ）ң－ɕ，故ｆ（ｘ）没有最小值，不符合题目要求；若ａ＞０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递减，ｆ（ｘ）＞ｆ（ａ）＝－ａ２＋１，当ｘ＞ａ时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０，０＜ａ＜２（ａ－２）２，ａȡ２{ʑ－ａ２＋１ȡ０或－ａ２＋１ȡ（ａ－２）２，解得０＜ａɤ１，综上可得０ɤａɤ１；故答案为：０（答案不唯一），１．（３）设ａ＝２ｌｎ１.０１，ｂ＝ｌｎ１.０２，ｃ＝１.０４－１．则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｂ＜ｃ＜ａＣ．ｂ＜ａ＜ｃＤ．ｃ＜ａ＜ｂ解析：ａ＝２ｌｎ１.０１＝ｌｎ１.０１２＝ｌｎ（１＋０.０１）２＝ｌｎ（１＋２ˑ０.０１＋０.０１２）＞ｌｎ１.０２＝ｂ，所以ｂ＜ａ；下面比较ｃ与ａ，ｂ的大小关系．记ｆ（ｘ）＝２ｌｎ（１＋ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｆ（０）＝０，ｆᶄ（ｘ）＝２１＋ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＝２ｘ－ｘ２＝ｘ（２－ｘ），所以当０＜ｘ＜２时，１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＞０，即１＋４ｘ＞（１＋ｘ），ｆᶄ（ｘ）＞０，所以ｆ（ｘ）在［０，２］上单调递增，所以ｆ（０.０１）＞ｆ（０）＝０，即２ｌｎ１.０１＞１.０４－１，即ａ＞ｃ；令ｇ（ｘ）＝ｌｎ（１＋２ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｇ（０）＝０，ｇᶄ（ｘ）＝２１＋２ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－２ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＝－４ｘ２，在ｘ＞０时，１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＜０，所以ｇᶄ（ｘ）＜０，即函数ｇ（ｘ）在［０，＋ɕ）上单调递减，所以ｇ（０.０１）＜ｇ（０）＝０，即ｌｎ１.０２＜１.０４－１，即ｂ＜ｃ；综上，ｂ＜ｃ＜ａ，故选：Ｂ．二㊁函数奇偶性的判断与应用判断函数奇偶性的常用方法是定义法和图像法，对于小题来说，还可以通过赋特殊值的方法来作初步判断．函数的奇偶性反映了其图像的对称性，对于一些具有奇偶性的复合函数，其原函数蕴含了对称性，如 若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｂ）是定义在Ｒ上的奇函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于点（ｂ，０）中心对称 ， 若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）是定义在Ｒ上的偶函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝ａ对称 等，我们要学会从中看出函数的隐含性质．函数的奇偶性蕴含了函数在对称区间上的单调性关系，所以经常会把奇偶性和单调性结合在一起考查．例２．（１）函数ｙ＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ在区间－π２，π２[]的图像大致为（㊀㊀）Ａ．㊀㊀Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：令ｆ（ｘ）＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ，ｘɪ－π２，π２[]，则ｆ（－ｘ）＝（３－ｘ－３ｘ）ｃｏｓ（－ｘ）＝－（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ＝－ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为奇函数，排除ＢＤ；3㊀又当ｘɪ（０，π２）时，３ｘ－３－ｘ＞０，ｃｏｓｘ＞０，所以ｆ（ｘ）＞０，排除Ｃ．故选：Ａ．评注：本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的奇偶性㊁值域等性质来判断函数的大致图像，考查推理分析能力．首先判断函数的奇偶性，得到函数图像的对称性，可以排除选项Ｂ㊁Ｄ．对比选项Ａ㊁Ｃ，再结合特殊函数值的正负㊁或在某区间上函数值的正负㊁或函数的单调区间等性质可以排除Ｃ，得出正确选项．像这种由解析式判断函数图像㊁或者由图像判断解析式的题目，可以尝试优先考虑函数的定义域和奇偶性，再结合函数的值域㊁单调性㊁特殊值等做进一步的判断．（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１为偶函数，则ａ＝（㊀㊀）Ａ．－１Ｂ．０Ｃ．１２Ｄ．１解析：因为ｆ（ｘ）为偶函数，则ｆ（１）＝ｆ（－１），ʑ（１＋ａ）ｌｎ１３＝（－１＋ａ）ｌｎ３，解得ａ＝０，当ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１，（２ｘ－１）（２ｘ＋１）＞０，解得ｘ＞１２或ｘ＜－１２，则定义域为ｘｘ＞１２或ｘ＜－１２{}，关于原点对称．又因为ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）ｌｎ２（－ｘ）－１２（－ｘ）＋１＝（－ｘ）ｌｎ２ｘ＋１２ｘ－１＝（－ｘ）ｌｎ（２ｘ－１２ｘ＋１）－１＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１＝ｆ（ｘ），故此时ｆ（ｘ）为偶函数．故选：Ｂ．评注：本题考查了函数的奇偶性：已知函数的奇偶性，求参数的值，常规题型．如果直接利用偶函数的定义ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）来求解，计算量比较大．采用特殊值代入先求出参数值ａ，再回代ａ，用定义去验证函数ｆ（ｘ）为偶函数，这样的处理技巧可以大大减少计算量．变式２．（１）函数ｆ（ｘ）图像如下图所示，则ｆ（ｘ）的解析式可能为（㊀㊀）Ａ．５（ｅｘ－ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｂ．５ｓｉｎｘｘ２＋１Ｃ．５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｄ．５ｃｏｓｘｘ２＋１解析：由图知：函数图像关于ｙ轴对称，其为偶函数，而Ａ㊁Ｂ中函数为奇函数，排除；当ｘ＞０时，５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２＞０，即５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２中（０，＋ɕ）上函数值为正，排除Ｃ；故选：Ｄ（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()为偶函数，则ａ＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为ｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｃｏｓｘ为偶函数，定义域为Ｒ，所以ｆ－π２()＝ｆπ２()，即－π２－１()２－π２ａ＋ｃｏｓ－π２()＝π２－１()２＋π２ａ＋ｃｏｓπ２，则πａ＝π２＋１()２－π２－１()２＝２π，故ａ＝２，此时ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋２ｘ＋ｃｏｓｘ＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ，所以ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）２＋１＋ｃｏｓ（－ｘ）＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ＝ｆ（ｘ），又因为定义域为Ｒ，故ｆ（ｘ）为偶函数，所以ａ＝２．故答案为：２．三㊁函数对称性的判断与应用判断函数对称性的常用方法是定义法，其代数表达形式有多种类型，我们要理解其本质，对于题目给出的关系式，有时候需要通过代数变形才能识别出其对称轴或对称中心．若函数具有两种对称性，则该函数是周期函数，如 对于任意的实数ｘ，函数ｆ（ｘ）同时满足ｆ（ａ－ｘ）＝ｆ（ａ＋ｘ），ｆ（２ａ－ｘ）＝ｆ（２ａ＋ｘ），则函数ｆ（ｘ）是以Ｔ＝２ａ为周期的周期函数，且是偶函数 ，所以对称性和周期性也会经常结合在一起考查．例３．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，且ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７．若ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝４，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－２１Ｂ．－２２Ｃ．－２３Ｄ．－２４解析：因为ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２－ｘ）＝ｇ（ｘ＋２），因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ－２）＝７，即ｇ（ｘ＋２）＝７＋ｆ（ｘ－２），因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，代入得ｆ（ｘ）＋［７＋ｆ（ｘ－２）］＝５，即ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ－２）＝－２，所以ｆ（３）＋ｆ（５）＋ ＋ｆ（２１）＝（－２）ˑ５＝－１０，ｆ（４）＋ｆ（６）＋ ＋ｆ（２２）＝（－２）ˑ５＝－１０．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（０）＋ｇ（２）＝５，即ｆ（０）＝１，所以ｆ（２）＝－２－ｆ（０）＝－３．因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋４）－ｆ（ｘ）＝７，又因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，联立得ｇ（２－ｘ）＋ｇ（ｘ＋４）＝１２，所以ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关4㊀于点（３，６）中心对称，因为函数ｇ（ｘ）的定义域为Ｒ，所以ｇ（３）＝６．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，所以ｆ（１）＝５－ｇ（３）＝－１．所以ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋［ｆ（３）＋ｆ（５）＋ ＋ｆ（２１）］＋［ｆ（４）＋ｆ（６）＋ ＋ｆ（２２）］＝－１－３－１０－１０＝－２４．故选Ｄ．评注：本题主要考查了抽象函数的对称性，需要充分理解并掌握对称性的定义和性质，对函数关系式多次变形转化，难度较大．本题难点在于对条件 ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７ 的灵活应用．一是对ｘ进行赋值，根据需要进行合理的赋值才能得到想要的结果；二是对ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）关系的转化，根据ｇ（ｘ）的性质进行赋值后消去ｇ（ｘ）得到只有ｆ（ｘ）的关系式，从而得到ｆ（ｘ）的性质，再次赋值消去ｆ（ｘ）得到只有ｇ（ｘ）的关系式，从而得到ｇ（ｘ）的性质．变式３．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德㊃黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在［０，１］上，其解析式如下：Ｒ（ｘ）＝１ｐ，ｘ＝ｑｐ（ｐ，ｑ互质，ｐ＞ｑ）０，ｘ＝０㊁１或［０，１］上的无理数{，定义在实数集上的函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ），ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４），且函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝２，当ｘɪ（０，１）时，ｆ（ｘ）＝Ｒ（ｘ），则ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２＋ｘ）＝ｇ（２－ｘ）由ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ）得ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），所以ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为偶函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得：ｇ（２－ｘ）＝９＋ｆ（－ｘ－２）＝９＋ｆ（ｘ＋２），代入ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），得ｆ（ｘ）＝－４－ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４，所以ｆ（ｘ＋２）＋ｆ（ｘ＋４）＝－４，所以ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋４），所以ｆ（ｘ）是以４为周期的函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得ｇ（２）＝９＋ｆ（－２）＝２，所以ｆ（－２）＝－７，即ｆ（２）＝－７，由ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４得ｆ－７６()＋ｆ－７６＋２()＝－４，所以ｆ－７６()＋ｆ５６()＝－４，即ｆ－７６()＋Ｒ５６()＝－４，所以ｆ－７６()＋１６＝－４，所以ｆ－７６()＝－４－１６，ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝ｆ（４ˑ５０５＋２）＋ｆ－４ˑ８４－７６()＝ｆ（２）＋ｆ－７６()＝－７－４－１６＝－６７６，故答案为：－６７６．四㊁函数周期性的判断与应用判断函数周期性的常用方法是定义法，即 若函数满足ｆ（ｘʃＴ）＝ｆ（ｘ）（Ｔʂ０），则ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ，ＫＴ（ｋɪＺ）也是函数周期 ．还有一些常见的周期性的表达式，也需要我们熟悉，如 ｆ（ｘ＋ａ）＝－ｆ（ｘ）⇔ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ＝２ａ ．周期性的表达式和对称性的表达式很相似，特别是综合考查对称性和周期性的题目，要加以区分．例４．函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）（ｘɪＲ），且在区间（－２，２］上，ｆ（ｘ）＝ｃｏｓπｘ２，０＜ｘɤ１ｘ＋１２，－２＜ｘɤ０■■■|||则ｆ（ｆ（１５））的值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：由ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）得函数ｆ（ｘ）的周期为４，所以ｆ（１５）＝ｆ（１６－１）＝ｆ（－１）＝－１＋１２＝１２，因此ｆ（ｆ（１５））＝ｆ１２()＝ｃｏｓπ４＝２２．评注：本题主要考查了函数的周期性以及分段函数的求值问题，利用周期性把未知函数关系式区间上的函数值转化为已知关系式的区间上求解．本题还涉及到两层函数复合的求值问题，要从里往外层层求解，难度不大，但计算要细心．变式４．（１）已知函数ｆ（ｘ）周期为１，且当０＜ｘɤ１，ｆ（ｘ）＝－ｌｏｇ２ｘ，则ｆ３２()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：ｆ３２()＝ｆ１２()＝－ｌｏｇ２１２＝１．（２）（２０２２年新高考全国Ⅱ卷㊃第８题）已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ），ｆ（１）＝１，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－３Ｂ．－２Ｃ．０Ｄ．１解析：令ｙ＝１得ｆ（ｘ＋１）＋ｆ（ｘ－１）＝ｆ（ｘ）㊃ｆ（１）＝ｆ（ｘ）⇒ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１），故ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ＋１）－ｆ（ｘ），ｆ（ｘ＋３）＝ｆ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ＋１），消去ｆ（ｘ＋２）和ｆ（ｘ＋１）得：ｆ（ｘ＋３）＝－ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）周期为６；令ｘ＝１，ｙ＝０得ｆ（１）＋ｆ（１）＝ｆ（１）㊃ｆ（０）⇒ｆ（０）＝２，ｆ（２）＝ｆ（１）－ｆ（０）＝１－２＝－１，ｆ（３）＝ｆ（２）－ｆ（１）＝－１－１＝－２，ｆ（４）＝ｆ（３）－ｆ（２）＝－２－（－１）＝－１，ｆ（５）＝ｆ（４）－ｆ（３）＝－１－（－２）＝１，ｆ（６）＝ｆ（５）－ｆ（４）＝１－（－１）＝２，故ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝３［ｆ（１）＋ｆ（２）＋ ＋ｆ（６）］＋ｆ（１９）＋ｆ（２０）＋ｆ（２１）＋ｆ（２２）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝１＋（－１）＋（－２）＋（－１）＝－３，即ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝－３．故选：Ａ．五㊁函数性质的综合应用高考中也会把函数的各种性质综合在一起考查，我们要掌握各种性质之间的联系和区别，才能明确解题的方向和思路．例５．（１）设ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的偶函数，且在（０，5㊀＋ɕ）单调递减，则（㊀㊀）Ａ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）Ｂ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）Ｃ．ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）Ｄ．ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）解析：ȵｆ（ｘ）是Ｒ上的偶函数，ʑｆ（ｌｏｇ３１４）＝ｆ（－ｌｏｇ３４）＝ｆ（ｌｏｇ３４）．ʑｌｏｇ３４＞１＝２０＞２－２３＞２－３２＞０，又ｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递减，ｆ（ｌｏｇ３４）＜ｆ（２－２３）＜ｆ（２－３２），ʑｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４），故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小．首先根据函数的奇偶性，把所有函数值的自变量转化到同一单调区间上，再结合区间的单调性来比较函数值的大小．利用函数的奇偶性和单调性去比较大小㊁解函数不等式是常见题型．（２）（２０１８年高考数学课标Ⅱ卷（理）㊃第１１题）已知ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ）．若ｆ（１）＝２，则ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝（㊀㊀）Ａ．－５０Ｂ．０Ｃ．２Ｄ．５０解析：因为ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，且满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ），所以ｆ（１－（ｘ＋１））＝ｆ（１＋（ｘ＋１）），即ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋２），ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ），因此ｆ（ｘ）是周期函数且Ｔ＝４．又ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝１２［ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）］＋ｆ（１）＋ｆ（２），且ｆ（２）＝ｆ（１＋１）＝ｆ（１－１）＝ｆ（０）＝０，ｆ（３）＝ｆ（－１）＝－ｆ（１）＝－２，ｆ（４）＝ｆ（０）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ＋ｆ（５０）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＝２，故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和周期性．根据题目条件知函数ｆ（ｘ）为奇函数且关于点（１，０）对称．具有两种对称性的函数可推出周期性，对于小题，可用二级结论 一轴一心差４倍 推出周期为４ˑ｜０－１｜＝４，把求和ð５０ｋ＝１ｆ（１）转化为求一个周期内的函数值的和，简便计算．对于综合考查对称性㊁奇偶性和周期性的题目，熟悉一些常用的二级结论，可提高解题效率．变式５．（１）（２０１７年高考数学新课标Ⅰ卷理科㊃第５题）函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，且为奇函数．若ｆ（１）＝－１，则满足－１ɤｆ（ｘ－２）ɤ１的ｘ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．［－２，２］Ｂ．［－１，１］Ｃ．［０，４］Ｄ．［１，３］解析：因为ｆ（ｘ）为奇函数且在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，要使－１ɤｆ（ｘ）ɤ１成立，则ｘ满足－１ɤｘɤ１，所以由－１ɤｘ－２ɤ１得１ɤｘɤ３，故选：Ｄ．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则正确的是（㊀㊀）Ａ．ｆ（２０２２）＝１Ｂ．当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］Ｃ．ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数Ｄ．方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解解析：因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），所以函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称；则ｆ（－ｘ）＝ｆ（２＋ｘ），又ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），所以ｆ（２＋ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），则ｆ（４＋ｘ）＝－ｆ（ｘ），则ｆ（ｘ＋８）＝－ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），则函数ｆ（ｘ）的周期为８，因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），令ｘ＝０，则ｆ（２）＝ｆ（０），因为当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则ｆ（０）＝１，ｆ（２０２２）＝ｆ（２５２ˑ８＋６）＝ｆ（６）＝－ｆ（２）＝－１，故Ａ错误；当４ɤｘɤ５时，０ɤｘ－４ɤ１，有０ɤｆ（ｘ－４）ɤ１，则ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ－４）ɪ［－１，０］，当５ɤｘɤ６时，－４ɤ２－ｘɤ－３，０ɤ（２－ｘ）＋４ɤ１，有０ɤｆ［（２－ｘ）＋４］ɤ１，ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ）＝－ｆ［（２－ｘ）＋４］ɪ［－１，０］，当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］，故Ｂ正确；ｆ（－ｘ＋３）＝－ｆ（－ｘ－１）＝－ｆ（２－（－ｘ－１））＝－ｆ（ｘ＋３），所以ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数，故Ｃ正确．由函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称以及关于（－１，０）对称，且周期为８，画出函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像，在同一坐标平面内也作出函数ｙ＝ｌｇ（ｘ＋１）的图像如下：因为ｌｇ（８＋１）＜１，ｌｇ（１０＋１）＞１，可以看出两个函数的图像有５个交点，所以方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解，故Ｄ正确．故选：ＢＣＤ．高考主要以二次函数㊁指数函数㊁对数函数㊁幂函数以及三角函数等基本初等函数作为载体来考查函数的性质，主要有比较大小㊁求值㊁判断函数图像㊁解不等式㊁求参数等问题类型，题目以选择题和填空题为主，难度以偏易㊁中等为主．熟悉函数的常见性质，以及一些二级结论，可以提高解题的效率．。
高一数学函数的基本性质知识点梳理
高一数学函数的基本性质知识点梳理1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零;2 偶次方根的被开方数不小于零;3 对数式的真数必须大于零;4 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .6指数为零底不可以等于零2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备值域补充1 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2 . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . 3 . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 函数图象知识归纳1 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x ∈A中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 Px ， y 的集合 C ，叫做函数 y=f x,x ∈A的图象.C 上每一点的坐标 x ， y 均满足函数关系 y=fx ，反过来，以满足 y=fx 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 x ， y ，均在 C 上 . 即记为 C={ Px,y | y= fx , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 , 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .2 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法请参考必修4三角函数常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换3 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。
高一数学 函数的基本性质
函数的基本性质一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数.设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. （6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-. 2.单调性（1）定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间.（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.（3）设复合函数))((x g f y =，其中)(x g u =，A 是))((x g f y =定义域的某个区间，B 是映射g :x →)(x g u = 的象集.①若)(x g u =在 A 上是增（或减）函数，)(u f y =在B 上也是增（或减）函数，则函数))((x g f y =在A 上是增函数；②若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，而)(u f y =在B 上是减（或增）函数，则函数))((x g f y =在A 上是减函数.（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反. ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数. 3.最值（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M ，那么，称M 是函数y ＝)(x f 的最大值.设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≥m ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝m ，那么，称m 是函数y ＝)(x f 的最小值.（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M （m ）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M （)(x f ≥m ）.二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； （2）确定)(x f -与)(x f 的关系； （3）作出相应结论：若)(x f -＝)(x f 或)(x f -－)(x f ＝ 0，则)(x f 是偶函数； 若)(x f -＝－)(x f 或)(x f -＋)(x f ＝ 0，则)(x f 是奇函数.2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x ，2x ∈D ，且1x ＜2x ； （2）作差)()(21x f x f y -=∆； （3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负）；（5）下结论（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）. 3.求函数最大（小）值的 一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值. （3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()(； （2）22)1lg()(2---=x x x f .错解分析：（1）∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(21)1)(1(2-=+-=x x x . 显然有)(x f -＝)(x f ，∴)(x f 为偶函数.（2）∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f ，于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠－)(x f . ∴)(x f 为非奇非偶函数.解析：（1）∵)(x f 的定义域为xx-+11≥０，即－1≤x ＜1. 定义域不是关于原点对称的数集，∴)(x f 为非奇非偶函数. （2）∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠０，即－1＜x ＜1且x ≠0，此时02<-x .∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22，∴)(x f 为奇函数. 技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域. 又例:判断下列函数的奇偶性.（1）551)(2-+-=x x x f ； （2）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ； （3）33)(22-+-=x x x f .解析：（1）∵ 21x -≥0，即－1≤x ≤1.此时x x =-+55，∴xx x f 21)(-=，为奇函数.（2）当x ＞0，－x ＜0时，)(x f ＝x x +-2，)(x f -＝x x x x -=-+-22)()(，)(x f ＝－)(x f -；当x ＜0，－x ＞0时，)(x f ＝x x +2，)(x f -＝x x x x --=-+--22)()(，)(x f ＝－)(x f -；∴ )(x f 为奇函数.（3）∵33)(22-+-=x x x f 的定义域为{|x x =.此时函数化为)(x f ＝0，{|x x =. ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性. 解析：函数定义域为R ，又11161222116)(++=++=----xxx x x x f＝)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅. ∴)(x f 为偶函数.技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：14412116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数. 从这可以看出，化简后再解决要容易得多.又例：证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数.解析：∵)(x f ＋)(x f -＝)1(122x x og ++＋)1(122x x og -+＝)]1)(1[(1222x x x x og -+++＝112og ＝0∴)(x f 为奇函数.再例：讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22 （a ≠0）的奇偶性.解析：∵ 2x ≤2a ，∴ 要分a ＞0与a ＜0两类讨论.（i ）当a ＞0时，由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||，函数的定义域为 ],0()0,[a a -，∵a x +≥0， ∴xx a x f 22)(-=，)(x f 为奇函数；（ii ）当a ＜0时，由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||，函数的定义域为[][],00,a a -，∵a x +≤0， ∴ax x a x f 2)(22---=，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间.错解分析：设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ， ∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间；),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间. 又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数， ∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间；),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间. 解析：设23)(2+-=x x x t ， 由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ，区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间. 又t y 7.0log =，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间.技巧提示：函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义.又例：设函数)(x f ＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取1x ＜2x ，∴)()(21x f x f -＝1212x a x a x b x b ++-++))(())((2121b x b x x x a b ++--=， ∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，1x －2x ＜0，只有当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时函数才单调. 当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时)()(21x f x f -＞0.∴（－b ，＋∞）和（－∞，－b ）都是函数)(x f 的单调减函数区间.【例4】设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数. （1） 求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.解析：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx xe a ae ae a e +=+. ∴11()()xxa e ae --0= 对一切x R ∈成立， 则10a a-=，即1a =±.∵0a >，∴1a =. （2）设120x x <<，则12121211()()xxx x f x f x e e e e-=-+- 2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e eee+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数.技巧提示：两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.又例：已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围.解析：)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数.∴由)12()2(2->--a f a a f ，有|12||2|2-<--a a a ，即⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ，解得a ≤－1或a ≥2. 再例：二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴， 于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小. ∴22122122--+<--x x x即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x∴－2＜x ＜0.【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)5(f ＝1，设)(x F ＝)(x f ＋)(1x f ，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论.解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(1x f ＜)(2x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)5(f ＝1，∴当x ＜5时0＜)(x f ＜1，而当x ＞5时)(x f ＞1；① 若1x ＜2x ＜5，则0＜)(1x f ＜)(2x f ＜1，∴0＜)(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 若2x ＞1x ＞5，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ，∴)(1x f )(2x f ＞1, ∴)()(1121x f x f -＞0，∴)(2x F ＞)(1x F . 综上，)(x F 在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数.技巧提示：该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.又例：已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：（1）)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-；（2）存在正常数a ，使)(a f ＝1.求证：（Ⅰ）)(x f 是奇函数；（Ⅱ）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a . 解析：（Ⅰ）设21x x t -=，则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数.（Ⅱ）令a x a x ==212，，则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=，解得：)2(a f ＝0.于是有 )()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=.所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+. 因此，函数)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a .【例6】设函数)(x f ＝xx 1-.对任意),1[+∞∈x ，有0)()(<+x mf mx f 恒成立，则实数m 的取值范围是 .解析：方法一 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.当m ＜0时，函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数， 因此，当1=x 时，)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=， 故0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零，即01)1(<-=m m h ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ，得m ＜－1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法二 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.若x m mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()(＝m xm x m 22212--＜0恒成立， 因为),1[+∞∈x ，m ＜0，则需22212m x m --＞0恒成立， 设函数22212)(m x m x g --=，则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数，于是1=x 时，)(x g 取得最小值1)1(2-=m g .解 ⎩⎨⎧<>-0012m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法三 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0. 因为对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立， 所以对1=x ，不等式0)()(<+x mf mx f 也成立，于是0)1()(<+mf m f ，即01<-mm ， 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ，得m ＜－1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.技巧提示：这是一个“恒成立”问题函数，本题提供了三种解法，其中方法一和方法二较好地应用了函数的单调性.函数)(x f ＝xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数.在)1,(-∞和)1,0(上小于零；在)0,1(-和),1(+∞上大于零.又例：已知函数)(x f ＝xax +2),0(R a x ∈≠， （1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）若)(x f 在区间),2[+∞是增函数，求实数a 的取值范围。
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结一、函数的定义和表示方式1.定义：函数是一种特殊关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相对应。
2.表示方式：函数可以用图表、解析式、关系式等方式表示。
二、函数的定义域、值域和对应关系1.定义域：函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。
2.值域：函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
3.对应关系：对于函数中的每个输入值，都有一个唯一的输出值与之对应。
三、函数的图象和图像1.图象：函数的图象是函数在平面直角坐标系中的表示，其所有的点坐标满足函数的对应关系。
2.图像：函数的图像是函数的图象在控制显示器或打印机上的可视化表现。
四、函数的性质1.单调性：函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
2.奇偶性：函数可以是奇函数（关于原点对称）或偶函数（关于y轴对称）。
3.周期性：函数可以是周期函数，即函数在一定区间内具有重复的规律。
4.奇点和间断点：函数的奇点是指函数在定义域内的特定点，其函数值不存在或趋于无穷；间断点是指函数在特定点不连续。
五、函数的极限与连续性1.极限：函数的极限是指当自变量趋于一些值时，函数值的趋向或趋近的特性。
2.连续性：函数在定义域内的所有点都连续，当且仅当函数在这些点的极限存在且等于这些点的函数值。
六、函数的导数与微分1.导数：函数的导数描述了函数在其中一点处的变化率。
导数表示为函数的斜率或函数的变化速率。
2.微分：函数的微分可以理解为函数在其中一点处的无穷小增量。
七、函数的极值与最值1.极值：函数在极值点处的函数值称为极大值或极小值。
极大值是函数在该点附近所有函数值中最大的值，极小值是函数在该点附近所有函数值中最小的值。
2.最值：函数的最大值和最小值称为函数的最值。
八、函数的反函数1.反函数：如果函数f的定义域与值域互换，且对于f的每一个输出值，存在唯一的输入值与之对应，则这个函数称为f的反函数。
以上是函数的基本性质的总结，函数理论是数学中的基础内容，也是其他学科中的重要概念。
高一数学第2课-函数的基本性质
第2讲 函数的基本性质一、要点精讲1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为偶函数。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否 ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 = 0，则f (x )是奇函数。
（3）函数的图像与性质：奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称； 2．单调性（1）定义：注意：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；② 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是 或是 ，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有 ，区间D 叫做y =f (x )的 。
（3）判断函数单调性的方法（ⅰ）定义法：利用定义严格判断（ⅱ）利用已知函数的单调性如若()f x 、)(x g 为增函数，则①()f x +)(x g 为 ；②1()f x 为 （()f x ＞0）；为 （()f x ≥0）；④-()f x 为 （ⅲ）利用复合函数【y = f （u ），其中u =g(x ) 】的关系判断单调性：复合函数的单调性法则是“ ” （ⅳ）图象法（ⅴ）利用奇偶函数的性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； 3．最值：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 4．周期性（1）定义：如果存在一个 常数T ，使得对于函数定义域内的 ，都有 ，则称f (x )为周期函数；（2）f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。
高一数学《函数的性质》知识点总览
高一数学《函数的性质》知识点总览一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系，并具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的自变量的取值范围，而值域是函数在定义域上所有可能输出的取值范围。
2. 单调性：函数在定义域上的单调性分为增函数和减函数，根据函数的导数或几何意义可以判断函数的单调性。
3. 奇偶性：函数的奇偶性由函数的对称性决定，若函数满足f(-x) =f(x)，则函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
4. 周期性：函数如果存在正数T，对于定义域上的每个x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期性，T称为函数的周期。
二、函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系中的几何表示。
通过对函数图像的观察，可以获得以下性质：1. 零点：函数的零点是函数与x轴的交点，即满足f(x) = 0的x值。
2. 最值：函数的最大值和最小值分别是函数曲线上最高点和最低点的纵坐标值。
3. 对称轴：函数图像的对称轴是与函数曲线关于该轴对称的一条直线。
4. 渐近线：函数图像的渐近线是与函数曲线无限靠近而没有交点的直线。
三、函数的运算函数之间可以进行加、减、乘、除等运算，并且还可以进行复合运算。
常见的函数运算有：1. 两个函数的和差：设有函数f(x)和g(x)，则它们的和函数为h(x) = f(x) + g(x)，差函数为k(x) = f(x) - g(x)。
2. 函数与常数的乘积：设有函数f(x)和常数a，则它们的乘积函数为p(x) = a · f(x)。
3. 函数的乘积：设有函数f(x)和g(x)，则它们的乘积函数为q(x) = f(x) · g(x)。
4. 函数的商：设有函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则它们的商函数为r(x) = f(x) / g(x)。
高一数学函数知识点归纳总结
高一数学函数知识点归纳总结一、函数的基本概念函数的定义：对于两个非空数集A和B，如果存在某种对应关系f，使得A中的每一个元素x都能在B中找到唯一的元素y与之对应，则称f是从A到B的函数，记作y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
函数的定义域：函数y=f(x)中，自变量x的取值范围称为函数的定义域。
函数的值域：函数y=f(x)在定义域内所有函数值的集合称为函数的值域。
二、函数的性质单调性：如果对于定义域内的任意两个数x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在定义域内单调递增或单调递减。
奇偶性：如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于定义域内的任意x（且x≠0），都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)具有周期性，T为函数的周期。
三、基本初等函数幂函数：形如y=x^a（a为实数）的函数称为幂函数。
指数函数：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
对数函数：如果a^x=N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_aN。
函数y=log_ax（a>0，且a≠1）叫做对数函数。
三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们与角度和弧度有关。
四、函数的应用函数模型的应用：通过建立函数模型来解决实际问题，如最优化问题、增长率问题等。
函数图像的应用：通过观察和分析函数的图像来理解函数的性质和行为，从而解决相关问题。
以上是高一数学函数的主要知识点总结。
在学习过程中，应注重理解和掌握这些基本概念和性质，并通过练习和应用来加深对知识点的理解和记忆。
高一数学函数重点知识点归纳总结三篇
高一数学函数重点知识点归纳总结三篇高一新生对数学的函数知识是相当头疼的，函数知识面广，思维灵活，题型更是千奇百怪，要想学好函数，就需要一份准确的函数知识点归纳。
高一函数知识点归纳总结1函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)导数法(适用于多项式函数)复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
高一函数归纳总结2一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：\2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。
③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。
④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。
⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。
高中数学函数的性质知识点整理
一、函数（一）、函数的单调性1、定义：一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 ,x 2，当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数； 当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数。
单调性定义的等价形式:设x 1，x 2∈[a,b],x 1≠x 2.(1)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;(2)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0或<0，则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.2、常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A 上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. （二）、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数()f x 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足 ①()()f x f x -=⇔函数()f x 为偶函数；②()()()()0f x f x f x f x -=-⇔-+=⇔函数()f x 为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数. 3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x D ∈，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递增（减）； ③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递减（增）； ④任意定义在R 上的函数()f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+（三）、函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）特别的（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称; （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）; （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称;（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 中心对称。
高一函数第三章知识点归纳
高一函数第三章知识点归纳函数是数学中的重要概念，在高一数学中，函数的学习是一个重要的环节。
在高一函数第三章中，我们学习了一些与函数相关的知识点，下面我将对这些知识点进行归纳总结。
一、函数的性质1. 定义域和值域：对于一个函数，其定义域是指可以使函数有意义的变量的取值范围，而值域是函数在定义域上所取得的全部函数值的集合。
2. 单调性：函数的单调性可以分为单调递增和单调递减两种类型。
如果对于定义域内的任意两个不同的实数，函数值满足随着自变量增大（减小）而增大（减小），则函数是单调递增（递减）的。
3. 奇偶性：当函数满足$f(-x)=f(x)$时，函数为偶函数；当函数满足$f(-x)=-f(x)$时，函数为奇函数。
4. 周期性：如果存在一个正数T，对于定义域内任意一点x，有$f(x+T)=f(x)$，则函数具有周期性。
5. 最值与最值点：函数在定义域内的最大值和最小值分别称为最大值和最小值，在最值点处取得最大值和最小值的点称为最值点。
二、函数的图像与性质1. 基本型函数的图像：包括常函数、一次函数、二次函数和绝对值函数等基本型函数，我们需要了解这些函数的图像和性质。
2. 函数的平移和伸缩：通过对基本型函数进行平移和伸缩变换，可以得到其他种类的函数。
平移和伸缩的参数可以使函数的图像发生左右平移、上下平移、水平压缩、垂直拉伸等变化。
3. 函数的对称性：函数的对称性分为关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称三种情况。
通过函数的表达式可以确定函数是否具有对称性。
4. 零点和零点的个数：函数的零点是函数值为0的自变量的取值，函数可能存在一个或多个零点，我们可以通过方程的求解来确定函数的零点个数。
三、函数的运算1. 函数的加法和减法：两个函数的加法和减法的定义是将两个函数对应的函数值相加（或相减），而这两个函数在同一定义域上有意义。
2. 函数的乘法和除法：两个函数的乘法和除法的定义是将两个函数对应的函数值相乘（或相除），需要注意的是，当除法运算时，被除数函数的值不能为零。
函数知识点与公式总结
函数知识点与公式总结一、函数的定义和性质函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
一个简单的函数可以用如下的记号来表示：f：X→Y，表示一个函数f从集合X到集合Y的映射关系。
其中，X称为定义域，Y称为值域。
函数的性质：1. 定义域和值域：定义域是指函数的输入可以取的值的集合，值域是函数的输出可以取的值的集合。
2. 单调性：函数的单调性是指在定义域内，函数的增减趋势。
可以分为递增和递减两种情况。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。
如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=f（x），那么函数是偶函数；如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=-f（x），那么函数是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。
5. 函数的图像：函数的图像是函数在直角坐标系中的点的集合，描述了函数的性质和特点。
二、常见的函数公式1. 线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线的函数。
线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b 是常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数二次函数是指函数的图像是一个抛物线的函数。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。
3. 指数函数指数函数是以常数e为底数的幂函数，一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
4. 对数函数对数函数是指以常数a为底数的对数函数，一般形式为y=log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们描述了角度和弧度之间的关系。
6. 反比例函数反比例函数是指函数的图像是一条反比例曲线的函数，一般形式为y=k/x，其中k是常数。
7. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|，它表示x的绝对值，即x的正数部分。
8. 分段函数分段函数是指在定义域的不同区间上有不同函数式的函数，一般形式为f(x)=```{g(x)，a≤x≤bh(x)，b＜x＜c}```9. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量（或生成元素）是另一个函数的值域，即f[g(x)]，表示函数f和g的复合。
高一数学必修1函数知识点总结
高一数学必修1函数知识点总结一、函数的基本概念函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A }叫做函数的值域。
二、函数的性质函数的奇偶性：若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)；若f(x)是奇函数，且0在其定义域内，则f(0)=0；判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或f(x)≠f(-x)；奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。
函数的单调性：通过对函数求导，可以判断函数的单调性。
若导数大于0，则函数在此区间内单调递增；若导数小于0，则函数在此区间内单调递减。
三、复合函数复合函数的定义域：若已知g(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；复合函数的单调性：由同增异减判定，即内外函数单调性相同时，复合函数单调性相同；内外函数单调性相反时，复合函数单调性相反。
四、对数函数对数函数的定义域为大于0的实数集合；对数函数的值域为全部实数集合；对数函数总是通过(1,0)这一点；当底数a大于1时，对数函数为单调递增函数，并且上凸；当0<a<1时，对数函数为单调递减函数，并且下凹。
五、函数图像与对称性函数图像的对称性可以通过观察图像或利用函数的性质进行判断；对于某些特定的函数，如反比例函数，其图像具有特定的对称性。
六、指数函数与幂函数指数函数的形式通常为y=a^x，其中a为底数，x为指数；幂函数的形式为y=x^n，其中n为实数。
这些知识点构成了高一数学必修1中关于函数的基本框架。
在学习过程中，需要深入理解每个知识点的概念、性质和应用，同时结合具体的例题和习题进行练习，以加深对知识点的理解和掌握。
高一数学函数知识点归纳
高一数学函数知识点归纳一、函数的概念1. 函数定义：函数是从一个数集A（定义域）到另一个数集B（值域）的映射，通常表示为y=f(x)。
2. 定义域：能够输入到函数中的所有可能的x值的集合。
3. 值域：函数输出的所有可能的y值的集合。
4. 函数图像：函数在坐标系中的图形表示。
二、函数的表示法1. 公式法：用数学公式表示函数关系，如y=2x+3。
2. 表格法：用表格列出x与y的对应值。
3. 图像法：通过函数图像直观表示函数关系。
三、函数的性质1. 单调性：函数在定义域内随着x的增加，y值单调递增或递减。
2. 奇偶性：函数f(x)如果满足f(-x)=-f(x)称为奇函数；如果满足f(-x)=f(x)称为偶函数。
3. 周期性：函数如果存在一个非零常数T，使得对于所有x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性。
4. 有界性：函数的值域在某个区间内有限，称函数在该区间内有界。
四、基本初等函数1. 线性函数：y=kx+b（k≠0），其中k为斜率，b为截距。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c（a≠0），顶点形式为y=a(x-h)^2+k。
3. 幂函数：y=x^n，其中n为实数。
4. 指数函数：y=a^x（a>0，a≠1）。
5. 对数函数：y=log_a(x)（a>0，a≠1）。
6. 三角函数：正弦函数y=sin(x)，余弦函数y=cos(x)，正切函数y=tan(x)等。
五、函数的运算1. 函数的和差：(f±g)(x)=f(x)±g(x)。
2. 函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)g(x)。
3. 函数的商：(f/g)(x)=f(x)/g(x)（g(x)≠0）。
六、复合函数1. 复合函数定义：如果有两个函数f(x)和g(x)，那么(f∘g)(x)=f(g(x))。
2. 复合函数的运算法则：(f∘g)(x)=f(g(x))，其中g(x)≠0。
七、反函数1. 反函数定义：如果函数y=f(x)在区间I上是单调的，则存在一个函数x=f^(-1)(y)，使得f(f^(-1)(y))=y。
高一数学函数知识点归纳-高一数学函数的性质
高一数学函数知识点归纳-高一数学函数的性质高一数学函数知识点归纳1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f和它对应，那么就称f：Ararr;B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f，isin;A，其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域，与相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f∣isin;A }叫做函数的值域。
2、函数定义域的解题思路：⑴ 若处于分母位置，则分母不能为0。
⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。
⑶ 对数式的真数必须大于0。
⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。
⑸ 指数为0时，底数不得为0。
⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的值组成的集合。
⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
3、相同函数⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。
⑵ 定义域一致，对应法则一致。
4、函数值域的求法⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。
⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。
⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(-a)2+b 的形式。
⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。
5、函数图像的变换⑴ 平移变换：在轴上的变换在上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。
⑵ 伸缩变换：在前加上系数。
⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。
6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：Ararr;B为从集合A到集合B的映射。
⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。
⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。
⑶ 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
7、分段函数⑴ 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。
高一数学函数的基本性质知识总结
函数的性质要求层次重点难点单调性C①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象①函数单调性的证明和判断②简单函数单调区间的求法奇偶性 B简单函数奇偶性的判断和证明①复合函数的奇偶性判断与证明②抽象函数的奇偶性周期性 B简单函数周期性的判断和证明①复合函数的周期性判断与证明②抽象函数的周期性一知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ,当12x x <时都有()()12f x f x <,则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >,则()f x 在D 内时减函数．知识框架高考要求例题精讲函数的基本性质板块一：函数的单调性②设函数()y f x =在某区间D 内可导,若()0f x '>,则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<,则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈,那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增递减且1212()()f x f x x x <⇔<1x 2,x D ∈； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．1x 2,x D ∈． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等二主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ,2x 是该区间内的任意两个值,且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方,有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -或21()()f x f x -的符号,若符号不确定,可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论,注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；⑷如果()f x 在区间D 上是增减函数,那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增减函数；⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：如果y 是u 的函数,记作()y f u =,u 是x 的函数,记为()u g x =,且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空,则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =,这时y 叫做x 的复合函数,其中u 叫做中间变量,()u f u =叫做外层函数,()u g x =叫做内层函数． 注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内,增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数⑽函数(0,0)by ax a b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．3．证明函数单调性的方法：⑴利用单调性定义①；⑵利用单调性定义②三典例分析【例1】如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数【例2】【例3】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例4】根据函数单调性的定义,证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例5】证明函数()f x =【例6】证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例7】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+0x >．【例8】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例9】作出函数2||y x x =-的图象,并结合图象写出它的单调区间．【例10】讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性．【例11】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．拓展：若2()23f x x px =++在(,1]-∞是减函数,在[1,)+∞上是增函数,则(1)f =______【例12】讨论函数y =【例13】求函数212y x x =++的单调区间．【例14】设1n >,()f x 是定义在有限集合{}1,2,3,,A n =上的单调递增函数,且对任何,x y A ∈,有()()()()f x f x f y f y =．那么, A ．2n = B ．3n = C ．4n = D ．5n ≥【例15】若()f x 是R 上的减函数,且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，,则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为 ．A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例16】函数21x y x =-x ∈R ,1x ≠的递增区间是A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤或x【例17】已知2()()2x x af x a a a -=⋅--0a >且1a ≠是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是 ． A ．(01)， B ．()(01)2+∞，，C ．)+∞D ．)(01)2⎡+∞⎣，，【例18】已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,且当*n ∈N 时,*()f n ∈N ,[()]3f f n n =,则(1)(2)f f += ．【例19】求函数1()f x x x=+,0x >的最小值．点评 由对函数1(),0f x x x x=+>的分析,可以很快得到函数2(),0a f x x a x=+>的性质：⑴函数()f x 为奇函数；⑵函数()f x 在x a <-上为增函数,在0a x -<<上 为减函数,在0x a <<上为减函数,在x a >上为 增函数；⑶函数()f x 在0x >上有最小值为2a ,在0x <上有最大值为2a -．【例20】求函数y =【例21】求函数y =【例22】已知()f x 是定义在+R 上的增函数,且()()()xf f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =,()()()f xy f x f y =+；⑵若(2)1f =,解不等式1()()23f x f x -≤-．【例23】已知函数()f x 对任意实数x ,y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时,()0f x >,试判断()f x 的单调性,并说明理由．【例24】已知给定函数()f x 对于任意正数x ,y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ,且()f x ≠0,当1x >时,()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性,并说明理由．【例25】设a 是实数,2()()21xf x a x =-∈+R , ⑴试证明对于任意a ,()f x 为增函数；⑵试确定a 值,使()f x 为奇函数．一 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ,都有x D -∈,且()()f x f x -=-,那么函数()f x 就叫做奇函数；板块二：函数的奇偶性()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数,则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形,反之,如果一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数． 4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =．二主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称,则为非奇非偶函数；若对称,则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法；⑶性质法：①设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇⨯奇=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±-．三典例分析：【例26】判断下列函数的奇偶性：⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x=．【例27】判断下列函数的奇偶性：⑴ 1y x=；⑵ 422y x x =++；⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．⑴ ()(f x x =- ⑵ 11()()()12x f x F x a =+-,其中0a >且1a ≠,()F x 为奇函数．【例29】判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵ ()f x =；⑶ 2()5||f x x x =+．【例30】已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++,当,m n 为何值时,()f x 是奇函数 【例31】【例32】⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数,则(0)f =__________；⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数,(3)2f =,且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=,则(25)f =__________；⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+,则函数()y f x =是___________指明函数的奇偶性【例33】设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,那么当(,0)x ∈-∞时,()f x =_________．【例34】已知函数()f x 为R 上的奇函数,且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【例35】()y f x =图象关于1x =对称,当1x ≤时,2()1f x x =+,求当1x >时()f x 的表达式．【例36】设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-,如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根,那么这两根之和等于_____．【例37】已知函数()f x 是偶函数,而且在(0,)+∞上是减函数,判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．【例38】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x -=+,求()f x 、()g x ．【例39】设函数322||2()2||x x x xf x x x +++=+的最大值为M ,最小值为m ,则M 与m 满足 ．A ．2M m +=B ．4M m +=C ．2M m -=D ．4M m -=【例40】已知()ln(4f x ax c x =+++a 、b 、c 为实数,且3(lglog 10)5f =．则(lg lg3)f 的值是 ． A ．5-B ．3-C ．3D ．随a 、b 、c 而变【例41】已知()f x =)()lgg x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公共定义域上的奇偶性为 ．A ．是奇函数而不是偶函数B ．是偶函数而不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数【例42】函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域,对定义域中任何x ,有()()0f x f x +-=,()()1g x g x -=,则2()()()()1f x F x f xg x =+-是A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【例43】已知函数()f x ,当,R x y ∈时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．①求证：函数()f x 是奇函数； ②若(3)f a -=,试用a 表示(24)f ． ③如果R x +∈时()0f x <,且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性,并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．【例44】已知(),()f x g x 都是奇函数,()0f x >的解集是2(,)a b ,()0g x >的解集是2,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22ba >,那么求()()0f x g x >的解集．【例45】已知函数()f x 是奇函数；2()(1)()21x F x f x =+-x ≠0是偶函数,且()f x 不恒为0,判断()f x 的奇偶性．【例46】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+,则求()f x 与()g x 的表达式．【例47】函数()f x =为奇函数,则a 的取值范围是 ．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【例48】已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>,230x x +>,310x x +>．则123()()()f x f x f x ++ ．A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零或小于零【例49】函数()f x 在R 上有定义,且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)f 的值．【例50】已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数,且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f =,解不等式41(log )0f x -<≤,【例51】设函数()y f x =x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ,恒有1212()()()f x x f x f x =+,⑴求证：(1)(1)0f f =-=； ⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0,)+∞上的增函数,求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．一 主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT ,0k Z k ∈≠也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x 其中a 为常数, ①()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；板块三：函数的周期性③()()1f x a f x +=±,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1()f x f x a f x -+=+,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+,则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑦1()()1()f x f x a f x ++=-,则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-0a >,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =,若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =．⑨函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；二主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点： 一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ,一般来说,周期函数的定义域均为无限集． 2．解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．三典例分析：【例52】已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，成中心对称图形,且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,(1)1f -=,(0)2f =-．那么,(1)(2)(2006)f f f +++的值是A ．1B ．2C ．1-D ．2-【例53】定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=,且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数．给出以下3个命题：①函数()f x 的周期是6；②函数()f x 的图象关于点302⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称；③函数()f x 的图象关于y 轴对称,其中,真命题的个数是 ． A ．3B ．2C ．1D ．0【例54】已知()f x 为定义在区间(-∞,)+∞上以2为周期的函数,对k ∈Z ,用k I 表示区间(21k -,21]k +,已知0x I ∈时,2()f x x =． ⑴求()f x 在k I 上的解析式；⑵对自然数k ,求集合{|k M a =使方程()f x ax =在k I 上有两个不相等的实根}．【例55】已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ,都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =⋅,且(0)0f ≠．⑴求证：()f x 为偶函数；⑵若存在正数m 使得()0f m =,求满足()()f x T f x +=的1个T 值T ≠0．【例56】设()f x 是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,(1)0f a =>．⑴求1()2f 及1()4f ；⑵证明()f x 是周期函数；⑶记1(2)2n a f n n=+,求lim(ln )n n a →∞．【例57】函数()g x f xf=；⑶()(1)=-是奇函f x是偶函数；⑵(0)999f x在R上有意义,且满足：⑴()数,求(2008)f．【例58】()++≥,设f x f xf x f xf x是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有(3)()3++≤和(2)()2 =-,g x f x x()()⑴求证()g x是周期函数；⑵如果f998=1002,求f2000的值．。
高一数学函数性质归纳总结
高一数学函数性质归纳总结在高一数学学习中，函数是一个非常重要的概念。
函数性质是我们在研究和解决问题时需要掌握和运用的一部分内容。
在本文中，我将对高一数学函数性质进行归纳总结，帮助大家更好地理解和应用函数性质。
一、函数的定义和性质回顾函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义由定义域、值域和对应关系三部分组成。
其中，定义域是所有输入值的集合，值域是所有输出值的集合，对应关系描述了输入和输出值之间的关联。
函数性质是对函数特点的总结和归纳，我们常用的函数性质有：1. 单调性：函数在定义域上单调递增或单调递减。
2. 奇偶性：奇函数满足 f(-x) = -f(x)，偶函数满足 f(-x) = f(x)。
3. 周期性：函数在一定范围内满足 f(x + T) = f(x)，其中 T 为函数的周期。
4. 奇偶性：奇函数满足 f(-x) = -f(x)，偶函数满足 f(-x) = f(x)。
5. 单射性：函数满足不同的输入对应不同的输出。
6. 满射性：函数满足每个输出都至少有一个对应的输入。
7. 反函数：函数 f 和 g 互为反函数，当且仅当 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x。
二、函数性质的应用举例1. 单调性函数的单调性判断是我们常用的一种方法。
对于定义域上的函数f(x)，如果在该定义域内 f'(x) > 0，则函数 f(x) 是单调递增的；如果在该定义域内 f'(x) < 0，则函数 f(x) 是单调递减的。
2. 奇偶性奇偶函数的特点在数学建模和问题求解中具有重要意义。
奇函数和偶函数可以通过观察函数表达式的对称性来判断。
例如，当函数满足f(-x) = -f(x) 时，我们可以判断它是奇函数；当函数满足f(-x) = f(x) 时，我们可以判断它是偶函数。
3. 周期性周期函数是在一定范围内具有重复性的函数。
我们通过观察函数图像的周期性或者利用函数表达式中的参数来判断函数是否具有周期性。
高一函数的性质知识点
高一函数的性质知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中函数必考知识点总结
高中函数必考知识点总结一、函数的概念与性质1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它是一个或多个自变量和因变量之间的对应关系。
在数学中，通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数也可以用y表示，即y=f(x)。
函数的定义域为自变量能取得的值的集合，值域为函数在定义域内所有可能取得的值的集合。
2. 函数的性质（1）定义域和值域：一个函数的定义域和值域是描述这个函数在横坐标和纵坐标上的取值范围。
（2）奇函数与偶函数：奇函数的图像对称于原点，即f(-x)=-f(x)；偶函数的图像对称于y 轴，即f(-x)=f(x)。
（3）周期函数：周期函数是指满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T为函数的周期。
（4）单调性：函数在定义域上的单调性分为递增和递减两种情况。
二、函数的图像与性质1. 一次函数（1）一次函数的图像是一条直线，其表达式一般为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
（2）一次函数的图像是一条直线，斜率k表示了直线的斜率，而截距b表示了直线与y 轴的交点。
2. 二次函数（1）二次函数的图像是一个抛物线，其表达式一般为y=ax^2+bx+c，其中a不为0。
（2）二次函数的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），对称轴方程为x=-b/2a，开口向上或开口向下取决于a的正负。
3. 指数函数（1）指数函数的图像是一条过点（0,1）的递增曲线，其表达式一般为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。
（2）指数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。
（3）指数函数的图像在x轴上没有横截点，y轴上有一个横截点（0,1）。
4. 对数函数（1）对数函数的图像是一条过点（1,0）的递增曲线，其表达式一般为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1。
（2）对数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。
函数的性质及应用知识点总结
函数的性质及应用知识点总结函数是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
本文将对函数的性质以及其应用知识点进行总结。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等，应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。
一、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量取值的范围。
2. 奇偶性：如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)成立，则称这个函数为偶函数；如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)成立，则称这个函数为奇函数；如果函数既不满足偶函数的性质也不满足奇函数的性质，则称其为非奇非偶函数。
3. 单调性：如果对于任意两个x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) < f(x2)成立，则称这个函数为增函数；如果对于任意两个x1和x2，当x1 <x2时有f(x1) > f(x2)成立，则称这个函数为减函数。
4. 周期性：如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)成立，则称这个函数为周期函数。
二、函数的应用知识点1. 最值问题：最大值和最小值问题是函数应用中常见的问题。
通过求函数的导数，可以找到函数的极值点，并通过比较这些极值点的函数值来确定最大值和最小值。
2. 极值问题：极值问题是在给定条件下，求函数取得最大值或最小值时自变量的取值。
可以通过拉格朗日乘数法等方法求解。
3. 函数图像的绘制：了解函数的形态对于理解函数的性质很有帮助。
可以通过计算函数的值并绘制函数图像，观察函数的波动、交点和拐点等来研究函数的特点。
综上所述，函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等；函数的应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。
理解和掌握这些性质和应用知识点对于深入学习和应用函数具有重要意义。
希望本文对您有所帮助。
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高一数学《函数的性质》知识点总结
二．函数的性质
函数的单调性
增函数
设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f2)，那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
图象的特点
如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
函数单调区间与单调性的判定方法
定义法：
任取x1，x2∈D，且x12；
作差f－f；
变形；
定号；
下结论．
图象法
复合函数的单调性
复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
．函数的奇偶性
偶函数
一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，那么f就叫做偶函数．
．奇函数
一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=—f，那么f就叫做奇函数．
具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f与f的关系；
作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若
f=－f或f＋f=0，则f是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定.
函数的解析表达式
函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式的主要方法有：
)凑配法
)待定系数法
)换元法
)消参法
0．函数最大值
利用二次函数的性质求函数的最大值
利用图象求函数的最大值
利用函数单调性的判断函数的最大值：
如果函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f；
如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f；
例题：
求下列函数的定义域：
⑴⑵
设函数的定义域为，则函数的定义域为__ 若函数的定义域为，则函数的定义域是
函数，若，则=
求下列函数的值域：
⑴⑵
已知函数，求函数，的解析式
已知函数满足，则=。
设是R上的奇函数，且当时,,则当时=
在R上的解析式为
求下列函数的单调区间：
⑴⑵⑶
0.判断函数的单调性并证明你的结论．
1.设函数判断它的奇偶性并且求证：．。