《计算机数学基础(1)—离散数学》学习辅导

《计算机数学基础(1)—离散数学》学习辅导

《计算机数学基础（1）—离散数学》是中央广播电视大学开放本科教育计算工程类计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论中不可少的数学工具。

通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力。

本课程包括数理逻辑、集合论、图论和代数系统。这是一门理论性较强，应用性较广的课程。因此，通过本课程的学习，使学生：掌握离散数学的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力。

按照教学大纲，我们逐次分章进行辅导，供师生学习参考。

第1章命题逻辑

一、教学基本要求

1. 理解命题概念，会判断语句是不是命题。

2. 了解六个联结词概念，掌握由它们构成的公式及真值表：①⌝P(否定式); ②P∧Q(合取式);③P∨Q(析取式);④P→Q(蕴含式);⑤P↔Q(等价式)；⑥P⎺VQ[不可兼或式(异或式)]。

熟练掌握求给定公式真值表的方法。

3. 理解公式、公式解释、永真式(重言式)、永假式(矛盾式)和可满足式等概念。

记住基本等值式，掌握用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值变换的方法。

4. 理解析取(合取)范式概念，熟练掌握利用基本等值式或真值表将公式化为析取(合取)范式的方法。

5. 了解极小(大)项的概念，掌握求主析取(合取)范式的方法。

6. 了解有效结论(逻辑结果)的概念，掌握判断重言蕴含式(推理是否有效)的五种方法

(1) 真值表法；(2) 等值演算法(记住基本等值式)；(3) 主析取(合取)范式法；

(4) 直接证法：掌握P规则和T规则，及常用重言蕴含式、等值式。

(5) 间接证法(反证法)：掌握PC规则。

本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，(主)析取(合取)范式，重言式的判定。

二、学习辅导

1.1 命题与联结词

命题是推理的基本要素。自然语言将命题表述为具有确定真假意义的陈述句。若该语句表述的意义符合事实，则称其为真命题。若该语句表述的意义不符合事实，则称其为假命题。我们用0或F表示假命题；用1或T表示真命题。判断一个句子是否为命题，应首先判断它是否为陈述句。再判断它是否有唯一的真值。可见命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义。

例如，考察下列语句

“雪是黑的”，“北京是中国的首都”是陈述句，都有确定的真假意义，是命题，前者为假命题；后者为真命题。

“21世纪时有人住在月球上”是陈述句，今后若干年，可以证明它要么是真，要么是假，故是命题。

“你是谁?”不是命题，它是疑问句，不是陈述句；

“x+y<7”不是命题。它的真假意义不确定。如x=100，y=-84，则“x+y<7”为假；而x=－91，y=78，则“x+y<7”为真。

以上所举各陈述中都是简单陈述句，它们不能再分解成更简单的句子，这就是原子命题(简单命题)。本章不再进一步分析原子命题的内部结构，下一章讨论谓词逻辑时再分析它的内部结构。

由若干个原子命题通过联结词构成的命题就是复合命题。

我们讲了六个联结词。

1. “⌝”否定联结词，P是命题，⌝P是P的否命题。是由联结词⌝和命题P组成的复合命题。

例如，P：猩猩是人。

⌝P：猩猩不是人。

P：上海是中国最大的城市。

⌝P：上海不是中国最大的城市。

P与⌝P的真假是相互对立的，P为真，则⌝P为假；反之P为假，则⌝P为真。

2. “∧”合取联结词，P，Q是命题，P∧Q是P，Q的合取式，是联结词∧和命题P，Q 组成的复合命题。“∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”。P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q取值为0，只要P，Q之一取0。

例如，丘玉学习很好，而且非常努力。就可以符号化为：P：“丘玉学习很好”Q：“丘玉学习非常努力”，记作P∧Q。

3. “∨”析取联结词，“⎺∨”不可兼析取(异或)联结词，P，Q是命题，P∨Q是P，Q的析取式，是联结词∨和命题P，Q组成的复合命题。P⎺∨Q是P，Q的不可兼析取式，是联结词⎺∨和命题P，Q组成的复合命题。联结词“∨”或“⎺∨”在一个语句中都表示“或”的含义，可以表示相容或，也可以表示排斥或。⎺∨表示不相容的或。即“P⎺∨Q”↔“⌝P∧Q∨P∧⌝Q”。

如“赵志宏学习俄语或英语”，是相容或，记P：“赵志宏学习俄语”，Q：“赵志宏学习英语”，命题符号化为“P∨Q”；

又如“李宏生于1978年或1980年”，是排斥或，不可兼或，记P：“李宏生于1978年”，Q：“李宏生于1980年”，命题符号化为P⎺∨Q。

P∨Q取值为1，只要P，Q之一取值为1，只有P，Q均取值为0时，P∨Q取值为0。

P⎺∨Q取值为1当且仅当P，Q取值不同；P⎺∨Q取值为0当且仅当P，Q取值相同。

4. “↔” 等价联结词，P，Q是命题，P↔Q是P，Q的等价式，是联结词↔和命题P，Q 组成的复合命题。“↔”在语句中相当于“…当且仅当…”，P↔Q取值1当且仅当P，Q取值相同。

例如，“长城是中国的古代的伟大建筑”，“长江是中国最长的河流”。它们的真值是相同的，可记作P：“长城是中国古代的伟大建筑”，Q：“长江是中国最长的河流”，有P↔Q真值是1。

又如A：“3×5＝12”，B：“石家庄是河南省会”，有A↔B真值是1，

再如，P1：“北京的1月份最冷”，P2：“北方的7月份最热”，有P1↔P2真值为0。

5. “→”蕴含联结词，P，Q是命题，P→Q是P，Q的蕴含式，是联结词→和命题P，Q组成的复合命题。P→Q取值为0，只有P取值为1，Q取值为0时；其余各种情况，均有P→Q取值为1。