《计算机数学基础(1)—离散数学》学习辅导
离散数学公式及重要知识点
离散数学公式及重要知识点
这里谈论的是离散数学，一门用来探索和研究计算机科学领域中有限集合之间相互关系和操作的数学学科。
它包括概率，组合学，图论，算法理论和程序设计等。
它与连续数学有明显的不同，可以更好地应用到实际的计算机问题中。
离散数学的重要概念包括：基本集合操作，关系和函数，算法，图和树，定理证明，集合论和元素的结构，组合，概率和统计学等。
基本集合操作是离散数学中最重要的概念，它既用于描述有限的项目集，也用于描述和表达集合内部元素之间的关系。
比如，一个集合中元素之间的加法可以表示为一个总和。
算法是离散数学中不可或缺的概念，它是一组步骤，用来解决特定问题。
它们有助于模拟解决实际问题的过程，帮助计算机完成指定任务，并解决特定类型的概率问题。
例如，有一个算法可以确定一小时内最多可以完成多少份工作。
图是另一个离散数学的重要概念，它利用节点和边来表示元素之间的关系。
它们可以用来模拟物理和社会网络/关系，以及实现特定的算法和搜索引擎。
每个节
点都代表一种实体，边表示实体之间的关系。
定理证明是离散数学中另一个非常重要的概念。
它涉及在一定条件下确定假设的真伪，定理有助于发现特定类型的解决方案，特别是那些可以在数学问题中使用的解决方案，这也是离散数学如此重要的原因之一。
离散数学有着多种重要的概念和应用，被用于许多不同的领域。
它的理论和实践得到了计算机科学家们的使用，并成功地应用于操作系统，多媒体，自动导航，视觉计算，建模和可视化，信息安全等。
计算机离散数学基础
计算机离散数学基础计算机离散数学基础是计算机科学领域中的重要学科，它涵盖着离散数学的各个方面。
离散数学是研究许多离散结构和对象的一门数学学科，与连续数学形成鲜明对比，应用广泛，所以对于计算机科学专业的学生来说，学好计算机离散数学基础是非常重要的。
1. 初识离散数学在学习计算机离散数学基础的第一步是了解什么是离散数学。
离散数学强调离散的、离散的结构、离散的对象，是一种研究离散结构的数学学科。
这些结构包括基本代数、集合、关系、图论、离散逻辑等。
2. 了解图的基础概念在学习离散数学的过程中，图论是其中非常重要的一个分支，因此学生需要了解图论的基础概念。
图论的基础包括图的定义、边、点、路径、圈等概念。
掌握了这些基础知识，就能更好地理解图论的高级知识。
3. 掌握逻辑推理的基础知识逻辑推理也是离散数学中的一个重要领域。
计算机离散数学基础学生需要掌握一些逻辑推理的基础知识，比如命题、真值表、命题的真值、命题的逆否命题等等。
通过这些基础知识的学习，学生们能大大提高自己的逻辑推理能力，更好地完成代码设计与编写。
4. 熟悉集合的相关概念集合是离散数学的另一个重要领域。
集合与逻辑推理紧密相连，是计算机科学中广泛使用的数学工具。
学生需要掌握集合的相关概念，如交、并、差、包含、等价关系、划分等等。
通过这些概念的学习，学生们能够理解集合的概念，掌握集合的基础知识。
5. 熟练掌握数论的相关知识数论是计算机离散数学基础中另一个重要的领域，研究数学中的整数，包括整数的性质、分解、奇偶性、同余、欧几里德算法等等。
通过对数论的学习，学生能够学习到更多算法和思想，来帮助他们更好地完成代码的设计和编写。
总之，计算机离散数学基础是计算机科学领域中非常重要的一门学科。
通过以上步骤，学生们可以更好地掌握离散数学基础知识，提高代码设计与编写的能力，并为未来的计算机科学职业生涯打下坚实的基础。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学中的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
比如，｛1, 2, 3}就是一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合；补集是在给定的全集范围内，某个集合的补集就是全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合的关系有包含、相等、真包含等。
二、数理逻辑数理逻辑是用数学方法来研究逻辑问题。
命题是具有真假值的陈述句。
比如，“今天是晴天”就是一个命题。
命题逻辑中的连接词有“非”“与”“或”“蕴含”“等价”等。
通过这些连接词，可以将简单命题组合成复合命题，并研究其真假性。
谓词逻辑则是对命题逻辑的扩展，它引入了量词“存在”和“任意”，能够更精确地表达命题。
三、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如，在整数集合中，“大于”就是一种关系。
关系可以用矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
等价关系是一种特殊的关系，满足自反性、对称性和传递性。
比如，在整数集合中，“模 n 同余”就是一种等价关系。
偏序关系则是满足自反性、反对称性和传递性的关系。
四、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的自变量对应不同的函数值；满射是指函数的值域等于整个目标集合；双射则是既单射又满射。
五、图论图由顶点和边组成。
可以分为无向图和有向图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
最短路径问题是图论中的一个重要问题，比如迪杰斯特拉算法可以用来求解单源最短路径。
六、树树是一种特殊的图，没有回路且连通。
离散数学复习要点
离散数学复习要点离散数学是数学的一个分支领域，主要研究离散的结构和离散情形下的数学对象及其相关性质。
它与连续数学不同，离散数学的对象是离散的，如集合、图、布尔代数等。
在计算机科学、信息科学、通信工程等领域中，离散数学的理论和方法被广泛应用。
以下是离散数学的一些重要的复习要点：1.集合论：集合是离散数学的基础，集合的基本运算如交、并、差等，以及集合的基本性质如并集和交集的结合律、分配律等，都是需要复习的内容。
此外，还需要了解集合的基数和幂集等概念。
2.命题逻辑：命题是一个可以判断真假的陈述句，命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数学体系。
需要复习的内容包括命题的逻辑运算，如非、与、或、异或等，以及逻辑等价、逻辑推理等。
3.谓词逻辑：谓词逻辑是对自然语言中的谓词进行形式化表示和推理的系统。
复习重点包括一阶谓词逻辑的基本概念，如谓词、量词、域、项等，以及谓词的合取、析取、全称量词和存在量词等逻辑联结词的语义。
4.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。
需要复习的内容包括图的基本概念，如顶点、边、路径、圈等，以及图的表示方法、图的遍历算法、连通图、树等。
5. 网络流模型：网络流模型是研究流动网络的数学方法，主要包括最大流、最小割等问题。
需要复习的内容包括网络的基本概念，如容量、割、流等，以及Ford-Fulkerson算法等解决网络流问题的方法。
6.布尔代数：布尔代数是一种关于逻辑运算的代数系统，常用于电路设计和逻辑推理。
需要复习的内容包括布尔代数的基本运算，如与、或、非等，以及布尔函数的最小项与最大项表示、卡诺图等。
7.组合数学：组合数学是研究离散中的计数问题的数学分支。
需要复习的内容包括排列、组合、多元排列组合等的计数方法，如乘法原理、加法原理、排列组合的顺序问题等。
8.代数系统：代数系统是研究代数结构及其性质的数学分支，包括群、环、域等。
需要复习的内容包括群的基本概念和性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。
离散数学基础知识
离散数学基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的数学基础学科，它研究离散对象的性质和关系，主要涉及逻辑、集合论、图论、代数结构等方面的内容。
具备扎实的离散数学基础知识对于计算机科学领域的学习和研究都具有重要的意义。
本文将重点介绍离散数学的一些基础知识。
1. 逻辑逻辑是离散数学的基础，它研究判断和推理的规则。
在计算机科学中，逻辑常常用于描述程序的正确性和推理的过程。
逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑两个分支。
命题逻辑研究命题与命题之间的关系，它使用命题变量和逻辑运算符来构造复合命题。
常见的逻辑运算符有非（¬）、与（∧）、或（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。
通过逻辑运算符的组合，可以构建出复杂的逻辑表达式，并通过真值表来确定表达式的真值。
谓词逻辑是对命题逻辑的扩展，它引入了量词和谓词，用于描述对象之间的关系。
谓词逻辑包括一阶逻辑和二阶逻辑两个分支。
一阶逻辑主要研究命题中包含变量的情况，而二阶逻辑则允许变量代表集合或者谓词。
2. 集合论集合论是离散数学的另一个重要分支，它研究集合及其运算和关系。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于描述数据类型、数据结构和算法等方面。
集合是由一些确定的对象组成的整体，可以用罗素概念公理或者包含-属于公理来描述。
常见的集合运算有并（∪）、交（∩）、差（-）和补（\）等。
通过这些运算，可以构建出各种复杂的集合。
集合论中的函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数可以用来描述计算机程序中的算法和操作。
常见的函数类型有单射、满射、双射等。
3. 图论图论是离散数学的一个重要分支，它研究图的性质和关系。
在计算机科学中，图论被广泛应用于网络、算法和人工智能等方面。
图是由顶点和边组成的结构，可以用来描述对象之间的关系。
图的类型包括有向图和无向图，以及它们的变种如加权图和带标签的图等。
图的常见概念有度、路径、连通性和环等。
图的表示方法有邻接矩阵和邻接表两种。
邻接矩阵使用二维数组来表示顶点之间的连接关系，邻接表则使用链表来表示边的信息。
离散数学知识点
离散数学知识点离散数学是计算机科学中一门非常重要的基础课程，它涵盖了众多的知识点。
在本文中，我将为大家介绍离散数学中的几个关键知识点，包括集合论、逻辑、数论和图论。
首先，我们来讨论集合论。
集合是离散数学中最基本的概念之一，它由一组互不相同的元素组成。
在集合论中，有许多重要的操作，如并集、交集和补集。
并集指的是将两个或多个集合的元素合并在一起，交集指的是两个或多个集合中共有的元素，而补集指的是与给定集合不相交的所有元素的集合。
掌握这些操作对于解决实际问题非常关键，例如在数据库中进行查询等。
接下来，逻辑是离散数学中另一个重要的知识点。
逻辑关注的是命题和它们之间的关系。
在逻辑中，常用的连接词有“与”、“或”和“非”。
通过应用逻辑运算，我们能够推导出更复杂的命题，如条件语句和双条件语句。
逻辑还包括谓词逻辑和命题逻辑，它们用于描述和推导具体的命题。
除了集合论和逻辑，数论也是离散数学中的一个重要分支。
数论研究的是整数及其性质。
这个领域的研究对于密码学和安全性技术等领域具有重要意义。
在数论中，有许多重要的概念和定理，如质数、最大公约数和同余等。
研究数论有助于我们理解数字间的关系，并通过运用数学中的方法解决实际问题。
最后，让我们来探讨离散数学中的图论。
图论是研究图及其性质的学科。
图由节点和连接节点的边组成。
图可以用来描述各种关系，如社交网络中的朋友关系、城市之间的交通路线等。
在图论中，有许多重要的定理和算法，如欧拉定理、哈密顿定理和最短路径算法等。
通过应用图论的知识，我们可以解决旅行推销员问题、网络优化问题等实际难题。
综上所述，离散数学是计算机科学中不可或缺的一部分。
在这篇文章中，我们简要介绍了离散数学中的几个关键知识点，包括集合论、逻辑、数论和图论。
这些知识点为我们理解和解决实际问题提供了强大的工具和方法。
通过深入学习离散数学，我们能够拓宽思维，提高问题解决能力，并为日后的计算机科学研究打下坚实基础。
离散数学复习资料
离散数学复习资料离散数学是计算机科学与数学领域中的重要学科，它研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在计算机科学领域，离散数学是构建算法和设计计算机系统的基础。
为了更好地复习离散数学，我们可以从以下几个方面入手。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其运算。
在集合论中，我们需要了解集合的定义、基本运算和集合间的关系。
此外，还需要掌握集合的代数运算法则，如交、并、差和补集等。
复习时可以通过解题来加深理解，例如证明集合之间的等价关系、集合的幂集等。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的重要分支，它研究的是推理和论证的规则。
在逻辑中，命题是最基本的逻辑单位。
复习时需要了解命题的定义和常见的逻辑运算符，如非、与、或、异或等。
此外，还需要熟悉命题的真值表和命题之间的逻辑等价关系。
通过解题和推理，可以提高对逻辑的理解和应用能力。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、环等。
此外，还需要熟悉图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表。
复习时可以通过解题来加深对图的理解，例如求最短路径、判断图的连通性等。
四、代数系统代数系统是离散数学中的一个重要内容，它研究的是代数结构及其性质。
在代数系统中，我们需要了解群、环、域等代数结构的定义和性质。
此外，还需要熟悉代数运算法则和代数结构之间的关系。
复习时可以通过解题来加深对代数系统的理解，例如证明一个集合构成一个群、判断一个环是否是域等。
五、概率论与统计学概率论与统计学是离散数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件和随机变量的概率性质。
在概率论与统计学中，我们需要了解概率的定义和性质，掌握常见的概率分布和统计方法。
此外，还需要熟悉概率的运算法则和统计推断的基本原理。
复习时可以通过解题和实际问题的分析来加深对概率论与统计学的理解。
总之，离散数学作为计算机科学与数学领域中的重要学科，对于计算机科学专业的学生来说具有重要意义。
计算机数学基础离散数学辅导(3)
《计算机数学基础》离散数学辅导(3)−−第3章 集合论本章重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明，笛卡儿积.一、重点内容 1. 集合的概念集合与元素，具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.集合A 中元素的个数为集合的元数∣A ∣.集合的表示方法：列举法和描述法.列举集合的元素，元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分. 集合与其元素之间存在属于“∈”或不属于“∉”关系.2. 集合的关系：包含，子集，集合相等.包含(子集)，若B a A a ∈⇒∈∀，则B 包含A (或A 包含于B )，称A 是B 的子集，记B A ⊆，又A ≠B ，则A 是B 的真子集，记A ⊂B .集合相等，若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B. 注意：元素与集合,集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆)，空集∅与所有集合等的关系. 3. 特殊集合：全集、空集和幂集.全集合E ，在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集. 空集∅，不含任何元素的集合为空集. 空集是惟一的，它是任何集合的子集.集合A 的幂集P (A )，集合A 的所有子集构成的集合 P(A)=}{A x x ⊆. 若∣A ∣＝n , 则∣P (A )∣=2n .4. 集合的运算集合A 和B 的并A ⋃B ，由集合A 和B 的所有元素组成的集合.集合A 和B 的交A ⋂B ，由集合A 和B 的公共元素组成的集合.集合A 的补集~A ，属于E 但不属于集合A 的元素组成的集合，~A. 补集总相对于一个全集.集合A 与B 的差集A －B ，由属于A ，而不属于B 的所有元素组成的集合..集合A 与B 的对称差A ⊕B ，A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )或A ⊕B ＝）A ⋃B 〕－（A ⋂B ）应该很好地掌握10条运算律(运算的性质)(教材P71～72)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等.5. 恒等式证明集合运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等式的推理证明.集合恒等式的证明方法通常有二：(1)要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B ，又A ⊇B ；(2)通过运算律进行等式推导.6. 有序对与笛卡儿积有序对，就是有顺序的数组，如<x ,y >，x ,y 的位置是确定的，不能随意放置.注意：有序对<a ，b >≠<b ,a >，以a ,b 为元素的集合{a ,b }={b ,a }；有序对(a ,a )有意义，而集合{a ,a }是单元素集合，应记作{a }.笛卡儿积，把集合A ，B 合成集合A ×B ，规定 A ×B ＝{<x ,y >∣x ∈A ∧y ∈B }由于有序对<x ,y >中x ,y 的位置是确定的，因此A ×B 的记法也是确定的，不能写成B ×A.笛卡儿积也可以多个集合合成，A 1×A 2×…×A n .笛卡儿积的运算性质. 一般不能交换.二、实例例3.1 已知S ＝{2,a ,{3},4},R ={{a },3,4,1},指出下列命题的真值. (1) {a }∈S ; (2) {a }∈R ;(3) {a ,4,{3}}⊆S ; (4) {{a },1,3,4}⊆R ;(5) R =S ; (6) {a }⊆S(7) {a }⊆R (8) ∅⊂R(9) ∅⊆{{a }}⊆R (10) {∅}⊆S(11) ∅∈R (12) ∅⊆{{3},4}解 集合S 有四个元素：2，a ，{3}，4，而元素{3}又是集合. 集合R 类似.(1) {a }，这是单元素的集合，{a }不是集合S 的元素. 故命题“{a }∈S ”的真值为0.(2) {a }是R 的元素，故命题“{a }∈R ”的真值为1.(3) a ,4,{3}都是S 的元素,以此为元素构成S 的子集. 故命题“{a ,4,{3}}⊆S ”的真值为1.(4) {a },1,3,4都是R 的元素，构成R 的子集，故命题“{{a },1,3,4}⊆R ”的真值为1.(6), (8)，(9)和(12)题号的命题真值为1；而(5),(7),(10)题号命题真值为0。
大一离散数学基本知识点
大一离散数学基本知识点离散数学是指研究离散结构及其相关问题的数学分支学科。
它对于计算机科学、信息科学以及其他相似领域的学科都具有重要的意义。
在大一学习离散数学时，我们需要掌握一些基本的知识点。
本文将介绍大一离散数学的基本知识点，包括集合论、逻辑、关系和函数等内容。
1. 集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
我们可以将集合看作是由一些对象组成的整体。
在集合论中，常用的运算有交集、并集、补集等。
并且，我们需要了解集合的基本性质，如包含关系、相等关系、空集和全集等。
2. 逻辑逻辑是离散数学中的另一个重要分支。
它通过研究命题、命题的组合以及推理规则等内容来研究思维的规律性。
在逻辑中，我们需要了解命题的真值、逻辑运算符（如与、或、非、蕴含和等价）、真值表和真值函数等。
3. 关系关系是用来描述集合之间元素的连接关系的工具。
在离散数学中，关系可以分为等价关系、偏序关系、全序关系和函数等。
其中，函数是一种特殊的关系，它是指每个输入值都对应唯一的输出值。
我们需要了解关系的性质和运算，以及如何使用矩阵和图来表示关系。
4. 函数函数是离散数学中最重要的概念之一。
它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在函数中，我们需要了解定义域、值域、像、单射、满射和双射等概念。
此外，我们还需要学习函数的运算性质，如复合函数、反函数和逆函数等。
5. 计数原理计数原理是离散数学中的一个重要内容，它研究如何进行计数和计算问题的方法。
常用的计数方法包括排列、组合、二项式系数和鸽笼原理等。
掌握计数原理可以帮助我们解决很多实际问题，如概率计算、图的着色和密码学等。
6. 图论图论是离散数学中的一门重要学科，它研究由顶点和边组成的图及其相关的性质和算法。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、回路和连通性等。
此外，我们还需要学习最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
通过学习以上基本知识点，我们可以建立起对离散数学的基本理解。
离散数学不仅在计算机科学领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也能体现出其重要性。
离散数学图论基础知识
用G-V 表示从G中删除V中所有结点及关联的所有边得到的图，称为删除V。 3) 设e＝(u,v)∈E，用G\e表示从G中删除e，将e的两个端点u,v用一个新的结点w代替，使w关联除
V"导出的G的子图，简称V"的导出子图。
子图
在如图中，给出了图G以及它的真子图G'和 生成子图G" 。G'是结点集{v1，v2，v3，v4，v5} 的导出子图。
显然，每个图都是它自身的子图。
完全图
1. 设G＝<V,E>为一个具有n个结点的无向简单图，如果G中任一个结点都与其余n-1个结点相 邻接，则称G为无向完全图，简称G为完全图，记为Kn。
图的定义
定义8.1 一个图是一个序偶<V,E>，记为
G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结
点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合，ei(i＝1,2,3,…,m)称为边，E为边集，E中的每个
<c,a>,<d,e>}> G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
G1是无向图，G2是有向图，G3是混合图。
图的分类－按边的方向 设图G＝<V,E>如右图所示。这里 V＝{v1,v2,v3,v4,v5}， E＝{e1,e2,e3,e4,e5,e6}， 其中
离散数学大学计算机基础知识重要内容
离散数学大学计算机基础知识重要内容离散数学作为一门基础学科，对于大学计算机专业来说，是非常重要的。
它涵盖了计算机科学领域中的许多核心概念和基本原理。
在这篇文章中，我将介绍离散数学中的一些重要内容，以及它们在计算机基础知识中的应用。
1. 集合论集合论是离散数学的基础，它描述了元素的集合以及它们之间的关系。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构和算法分析。
例如，在图论中，可以使用集合来表示图中的顶点和边。
在算法设计和分析中，集合的运算和性质经常被用来推导出算法的正确性和效率。
2. 逻辑与证明逻辑与证明是离散数学中的另一个重要主题。
它提供了一种推理和证明事实和陈述真实性的方法。
在计算机科学中，逻辑与证明被广泛运用于软件工程和人工智能领域。
例如，在软件设计中，使用形式化逻辑可以帮助验证程序的正确性。
在人工智能中，使用谓词逻辑可以表示知识和推理过程。
3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图的结构和性质。
在计算机科学中，图论被广泛应用于网络分析，路由算法和最优化等领域。
例如，在网络分析中，使用图来表示网络拓扑结构，并通过图算法来解决网络路由和负载均衡的问题。
在最优化中，图的最短路径算法和最小生成树算法被广泛应用于解决各种实际问题。
4. 离散概率论离散概率论是研究离散事件的概率分布和随机变量的数学理论。
在计算机科学中，离散概率论广泛应用于算法设计和分析，机器学习和人工智能等领域。
例如，在算法设计和分析中，使用概率论的方法可以评估算法在不同输入分布下的性能。
在机器学习中，离散概率论的模型和算法被用来建模和处理分类和预测问题。
5. 关系代数与数据库关系代数是离散数学中描述关系和关系数据库的一种代数系统。
在计算机科学中，关系代数与数据库理论密切相关。
关系数据库是计算机科学中最常用的数据存储和管理方式之一。
通过关系代数的运算和性质，可以对数据库进行查询、更新和维护。
综上所述，离散数学中的这些重要内容在大学计算机基础知识中起着至关重要的作用。
《计算机数学基础(1)》离散数学辅导(4)-关系与函数
《计算机数学基础》离散数学辅导(4)−−第4章 二元关系与函数(2002级用) 中央电大 冯 泰本章重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数.一、重点内容1. 关系的概念 包括定义、关系的表示方法：集合表示、矩阵表示、图形表示.二元关系，是一个有序对集合，设集合A ,B ，},{B y A x y x R ∈∧∈><=，记作xRy 二元关系的定义域：Dom(R )A ⊆； 二元关系的值域：Ran(R )B ⊆ 关系的表示方法：集合表示法：关系是集合，有类似于集合的表示方法.列举法，如R ＝{<1,1>,<1,2>}；描述法：如},{B y A x y x R ∈∧∈><=关系矩阵： R ⊆A ×B ，R 的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)( 关系图： R 是集合上的二元关系，若<a I ,b j >∈R ，由结点a I 画有向弧到b j 构成的图形.2. 几个特殊的关系空关系∅；唯一是任何关系的子集的关系. 全关系A A A b a b a E A ⨯≡∈><=},,{恒等关系},{A a a a I A ∈><=，M I 是单位矩阵. 3. 关系的运算关系的集合运算，有并、交、补、差和对称差.复合关系 },,,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><=∙=使，有 复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=(布尔运算)，有结合律：(R ∙S )∙T ＝R ∙(S ∙T ) 逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-，TRR M M =-1，(R ∙S )－1=S －1∙R －1. 4. 关系的性质自反性 R x x A x >∈<∈∀,,；矩阵R M 的主对角线元素全为1；关系图的每个结点都有自回路.反自反性 R x x A x >∉<∈∀,,；矩阵R M 的主对角线元素全为0；关系图的每个结点都没有自回路.对称性 若R y x >∈<,，则R x y >∈<,；矩阵R M 是对称矩阵，即ji ij r r =；关系图中有向弧成对出现,方向相反.反对称性 若R y x >∈<,且R x y >∈<,，则x =y 或若y x R y x ≠>∈<,,，则R x y >∉<,；矩阵R M 不出现对称元素.传递性 若R b a >∈<,且R c b >∈<,，则R c a >∈<,；在关系图中，有从a 到b 的弧，有从b 到c 的弧，则有从a 到c 的弧. 判断传递性较为困难.可以证明：R 是集合A 上的二元关系，(1)R 是自反的⇔I A ⊆R ; (2)R 是反自反的⇔I A ⋂R ＝∅;(3)R 是对称的 ⇔R ＝R －1； (4)R 是反对称的⇔R ⋂R －1⊆I A ； (5)R 是传递的⇔R ∙R ⊆R .关系的性质所具有的运算见表4－1.由表可见，I A 具有自反性，对称性、反对称性和传递性.E A 具有自反性，对称性和传递性.故I A ，E A 是等价关系.∅具有反自反性、对称性、反对称性和传递性。
大一离散数学知识点笔记
大一离散数学知识点笔记离散数学是计算机科学专业一门重要的基础课程，它主要研究不连续的数学结构和离散现象。
本文将总结大一离散数学中的一些重要知识点，包括集合论、数理逻辑、图论和布尔代数等内容。
希望这些笔记能够帮助大家更好地理解和掌握离散数学的基础知识。
一、集合论【概念】集合是由一个或多个确定的对象（元素）构成的整体。
常用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合的元素。
【集合运算】1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素合并在一起。
2. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合。
3. 差集：属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的集合。
4. 补集：全集中不属于该集合的元素的集合。
【集合关系】1. 子集关系：若一个集合的所有元素都属于另一个集合，则称前者为后者的子集。
2. 包含关系：若一个集合包含另一个集合的所有元素，则称前者为后者的包含集。
二、数理逻辑【命题与命题逻辑】命题是陈述句，其要么为真，要么为假。
命题逻辑研究命题之间的关系，包括与、或、非等逻辑运算。
【逻辑运算】1. 与运算（∧）：当且仅当多个命题同时为真时，结果为真。
2. 或运算（∨）：当且仅当多个命题中至少有一个为真时，结果为真。
3. 非运算（¬）：对一个命题取反。
4. 蕴含运算（→）：如果前提成立，则结论也一定成立。
【真值表】真值表是用来表示逻辑表达式在所有可能情况下的真值。
通过真值表，我们可以判断一个逻辑表达式的真假情况。
三、图论【图的概念】图由节点和边组成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
【常见概念】1. 顶点：图中的节点。
2. 边：图中节点之间的连接。
3. 路径：由边连接的一系列节点。
4. 连通图：图中任意两个节点之间都存在路径。
【图的表示】1. 邻接矩阵：用矩阵记录图中节点之间的连接关系。
2. 邻接表：用链表表示图中节点之间的连接关系。
四、布尔代数【概念】布尔代数是一种数学结构，它研究基于逻辑关系的代数运算。
大一离散数学知识点详解
大一离散数学知识点详解离散数学是一门关于离散结构的数学学科，它是计算机科学及其他相关学科的基础。
在大一学习离散数学时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将详细讲解大一离散数学的几个重要知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这门学科。
一、集合论集合论是离散数学的重要基础，它研究的是元素的集合以及它们之间的关系。
在集合论中，我们需要了解以下几个重要概念：1. 集合的概念：集合是指具有某种特定性质的对象的总体。
我们通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
2. 集合的运算：包括并集、交集和差集三种运算。
并集表示两个集合中所有元素的总体，交集表示两个集合中共有的元素，差集表示一个集合中除去另一个集合中的元素。
3. 集合的关系：包括相等关系、包含关系和互斥关系。
相等关系表示两个集合完全一样，包含关系表示一个集合的所有元素都在另一个集合中，互斥关系表示两个集合没有共同的元素。
二、命题逻辑命题逻辑是离散数学中研究命题之间的关系的一种工具。
在命题逻辑中，我们需要了解以下几个重要知识点：1. 命题的概念：命题是陈述句，在逻辑上要么为真，要么为假。
命题可以用字母表达，常用p、q、r等字母表示。
2. 逻辑运算：包括非、与、或和异或四种运算。
非运算表示命题的否定，与运算表示命题的合取，或运算表示命题的析取，异或运算表示命题的异或。
3. 真值表：真值表是用来表示命题逻辑中命题与运算之间的关系的表格。
通过真值表，我们可以推导出逻辑运算的性质和规律。
三、数学归纳法数学归纳法是用来证明某些具有递推关系的命题成立的一种证明方法。
在离散数学中，数学归纳法非常重要。
以下是数学归纳法的基本思想：1. 基础步骤：首先证明当n取某个特定值时命题成立，这称为基础步骤。
2. 归纳假设：假设当n取k时命题成立，这称为归纳假设。
3. 归纳步骤：使用归纳假设来证明当n取k+1时命题也成立，这称为归纳步骤。
通过基础步骤、归纳假设和归纳步骤的结合，我们可以得出当n取任意自然数时命题都成立的结论。
《计算机数学基础》离散数学辅导(8)
《计算机数学基础》离散数学辅导(8)−−第8章其它代数系统(2021级用) 中央电大冯 泰本章重点：格与布尔代数概念，布尔代数运算、化简和恒等式证明.一、重点内容 1. 环与域环，设G 是非空集合，在G 上定义加法＋和乘法∙两种运算，如果满足：(1) (G ,+)是交换群(阿贝尔群)； (2) (G ,∙)是半群； (3) 乘法对加法适合左、右分配律，即对∀a ,b ,c ∈G ,有a ∙(b +c )=a ∙b +a ∙c (a +b )∙c =a ∙c +b ∙c则代数系统(G ,+,∙)为环. 环就是定义了代数运算＋，∙，其中“＋”满足交换律，“∙”满足结合律，∙对＋满足左右分配律的代数系统.交换环，环(G ,+,∙)的乘法满足交换律：a ∙b =b ∙a . 则(G ,+,∙)是交换环. 交换环就是两个代数运算都满足交换律的环.除环，环(G ,+,∙)的乘法∙存在单位元；非0元对∙有逆元的环. 域 设(S ,+,∙)是代数系统，如果满足： (1) (S ，＋)是交换群； (2) (S －{0}，∙)是交换群； (3) 运算∙对运算＋是可分配的. 则(S ,+,∙)为域..交换除环是域. 环与域关系图域除环或代数系统可分配对）是交换群，（）是，（：，运算元有逆元存在单位元，非；），；（，（，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−→⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−−−→−−−−−→−−−−−−−−−−−−−−→−+∙∙-+∙+∙∙+∙∙+∙+)3(;}0{)2(;)1(0),(),S S G G G S G 可交换可交换分配对可结合可交换运算交换环环 环的同态、同构注意：群是定义了一个代数运算的代数系统；环、域是是定义了两个代数运算的代数系统.2. 格偏序格，设(L ，≤)是一个偏序集，如果对于∀a ,b ∈L ，L 的子集{a ,b }在L 中都有一个最大下界(记为inf{a ,b })和一个最小上界(记为sup{a ,b }),则(L ，≤)是一个偏序格. 子集在L 中有上确界和下确界的偏序集，就是格.代数格，在L 定义二元运算*，︒满足：对∀a ,b ,c ∈L ,有 (1) 交换律 a *b =b *a ，a ︒b =b ︒a (2) 结合律 (a *b )*c =a *(b *c ) , (a ︒b ) ︒c =a ︒ (b ︒c )(3) 吸收律a*(a︒b)=a，a︒ (a*b)=a则(L,*, ︒)是代数格.用代数的语言，格就是在非空集合上定义了两个满足结合律、交换律和吸收律的代数系统.偏序格⇔代数格.对偶式，由1，0和可以代表格中的任意元素的变量通过＋，×运算连结起来的式子，就是格中的表达式，记作f. 将f中的0换成1，1换成0，＋换成×，×换成＋所得的表达式，就是表达式f的对偶式记作f*.对偶原理若f为真，则f*为真.3. 特殊格有界格，设(L，≤)是格，如果L有最大元素(记作1)和最小元素(记为0)，则(L，≤)称为有界格，记作(L,≤,1,0)或(L,*, ︒,0,1).存在最大和最小元素的格，就是有界格.有余格，设(L，*，︒，0，1)是有界格，如果L中的每一个元素都至少有一个余元素，则(L，*，︒，0，1)为有余格(或称为有补格).有最大和最小元素，且存在余元的格.亦即有余元的有界格就是有余格.它们的关系：格−−有最大元、最小元有界格−−→−有余元有余格.−→−−−分配格，(L，*，︒)是格，如果对∀a,b,c∈L，有a*(b o c)=(a*b) ︒ (a*c) a︒ (b*c)=(a︒b)*(a︒c)则（L，*,︒)为分配格.满足左、右分配律的格就是分配格.格的运算性质(1) (L，≤)是一个格，∀a, b∈L，有a≤b⇔a*b=a⇔a︒b=b(2) (L，≤)是一个格，∀a, b∈L，如果b≤c，有a*b≤a*c，a︒b≤a︒c(3) (L，≤)是一个格，∀a,b,c∈L，有分配不等式：a︒ (b*c)≤(a︒b)*(a︒c) a*(b︒c)≥(a*b) ︒ (a*c)(4) (L，≤)是一个格，∀a,b,c∈L，有a≤b⇔a︒ (b*c)≤b*(a︒c)在格中德⋅摩根律成立：bb=*=a*aabab4. 布尔代数布尔代数，一个有余分配格就是一个布尔代数布尔代数的公理定义，设B是一个至少含有两个元素的集合，∙，＋是定义在B上的两种运算，如果对∀a,b,c∈B，满足下列公理(定理10)：H1：a∙b=b∙a a+b=b+a (交换律)H2：a∙(b+c)=a∙b+a∙c a+(b∙c)=(a+b)∙(a+c) (分配律)H3：B中有元素0和1，对∀a∈B,有a∙1=a a+0=a (有最大元、最小元) H4：对∀a∈B,有⎺a∈B，满足a∙⎺a=0 a+⎺a=1 (有余元)则(B ，∙，＋，⎺⎺ ，0，1)是一个布尔代数记住布尔代数运算的10条算律(P289. 定理9). 二、实例 例8.1 证明),,(Θ⊗Z 是环，其中Z 是整数集，运算Θ⊗,定义如下： ab b a b a b a b a -+=⊗-+=Θ,1证明 (1)证(Z ,Θ)是交换群.Z c b a ∈∀,,，)()(21)1()(2)1()(c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a ΘΘ=ΘΘ∴-++=--+Θ=ΘΘ-++=Θ-+=ΘΘ显然有a b b a Θ=Θ又11Θ==Θa a a ，即1是运算Θ的单位元.)(11)2()2(,2,单位元有=--+=-Θ∈-∈∀a a a a Z a Z a ，即2－a 是a 关于运算Θ的逆元.所以，(Z ,Θ)是交换群. (2)证 (Z ，⊗)是半群.Z c b a ∈∀,,，)()()()()()()()()()()(c b a c b a bc c b a bc c b a bc c b a bc c b a bc c b a c b a abcbc ac c b a cab b a c ab b a c ab b a c b a ⊗⊗=⊗⊗∴-+--++=-+--++=-+⊗=⊗⊗+--++=-+-+-+=⊗-+=⊗⊗所以运算⊗是可结合的. 那么(Z ，⊗)是半群.(3) 证运算⊗对Θ适合分配律. Z c b a ∈∀,,，))(12)()(12)1(1)1()(c b c a c b a bc ac b c a bc c b ac c a c b c a bc ac c b a cb ac b a c b a c b a ⊗Θ⊗=⊗Θ∴---++=-+Θ-+=⊗Θ⊗---++=-+-+-+=⊗-+=⊗Θ))(12)()(12)1()1()1()(b c a c b a c bc ac c b a cb b c ca a c b c a c ac bc c b a b a c b a c b a c b a c ⊗Θ⊗=Θ⊗∴---++=-+Θ-+=⊗Θ⊗---+++=-+--++=-+⊗=Θ⊗故运算⊗对Θ适合分配律. 总之，(⊗Θ,,Z )是环.例8.21 设},3{)3(Q b a b a Q ∈+=，其中Q 是有理数集，证明(Q.，+，×)是域，＋和×分别是数的加法和乘法.1本例可以作为提高要求.证明 )3(3)()()3()3(),3(3,3111111112211Q b b a a b a b a Q b a b a ∈+++=+++∈++∀ 且惟一，故运算＋是Q (3)上的二元运算，加法满足结合律、交换律. . Q (3)的0元是0＋03. 300)3()3(),3(3+=--++∈+∀b a b a Q b a 有,即存在逆元.所以(Q (3),＋)是交换群.)3(3)()3()3()3(),3(3,31221111111112211Q b a b a b b a a b a b a Q b a b a ∈+++=+⨯+∈++∀且惟一，故×是Q (3)上的二元运算. 容易验证×在Q (3)上满足交换律、结合律. Q (3)的单位元是1＋03. 任给非0元)3(3Q b a ∈+(a,b 至少一个不为0)，)3(33331)3(22221Q b a bb a a b a b a ∈--+-=+=+-运算×在Q (3)上非0 元存在逆元.所以(Q (3)－{0}，×)是交换群. 可以验证，运算＋对×满足分配律. 所以(Q (3)，＋，×)是域.例8.3 试判断(Z ,≤)是否为格？其中≤是数的小于或等于关系. 解 显然(Z ,≤)是一个偏序集. 又Z y x ∈∀,，x , y 的最小上界为),max(y x , x , y 的最大下界为),min(y x ，皆为整数，仍然属于Z. 故对Z 的任意子集，在Z 中都有上确界和下确界. 即(Z ,≤)是格. 例8.4 设非空集合A ，验证(A A P ,~,,,),(∅⋂⋃)是布尔代数，证明 因为集合A 非空，故P (A )至少有两个元素，显然⋃，⋂是P (A )上的二元运算. 由定理10 ，任给B ,C ,D ∈P (A ),H 1 B ⋃D =D ⋃C C ⋂D =D ⋂CH 2 B ⋂(C ⋃D )=(B ⋂C )⋃(B ⋂D ) B ⋃(C ⋂D )=(B ⋃C )⋂(B ⋃D ) H 3 P (A )存在∅和A ，∀B ∈P (A ), 有B ⋃∅＝B ， B ⋂A ＝B H 4，∀B ∈P (A ), B ⊆A ，存在A ⋂~B ，有 B ⋃A ⋂~B )= A B ⋂(A ⋂～B )=∅ 所以(A A P ,~,,,),(∅⋂⋃)是布尔代数.例8.5 )1,0,,,,(+∙B 是布尔代数，B c b a ∈∀,,，化简c b a bc a bc c ab abc ++++.解 c b a bc a bc c ab abc ++++ bbc b bc b a a ba bc abc c b a bc c c ab =+=++=++=++++=)()()(例8.6 单项选择题1. 下列图(如图8－1)表示的偏序集中，是格的为( )图8－1 答案：(C) 解答：所给(A),(B),(D)的偏序集，都有两个极大元，不存在上确界，都不是格，只有(C)的偏序集有上确界和下确界，是格. 故选择(C)正确. 2. 设)1,0,,,,(+∙B 是布尔代数，b a B b a ≤∈∀,,，则下式不成立的是( ) 1)D ()C (1)B (0)A (=+=+=+=b a a b a b a b a 答案：(D)解答：因为B 是偏序集， ；否则，不成立则若那么1,,,=+∅=<≤b a b a a b b a . 故选择(D)正确. 3. 布尔代数式)(c b c ab ab +++=( ) c b c b c b b a ++++)D ()C ()B ()A (答案：(B)解答：b c b a c ab c b c ab ab +=+++=+++)1()1()(.故选择(B)正确. 例8.7 填空题1. 非空集合L ，其上定义二元运算 和∙，如果 是交换群，(L ,∙)是 ，而且 满足分配律，则L 对二元运算︒和∙构成环. 答案：(L ,︒)；半群；二元运算∙对运算︒ 解答：见环的定义.2. 设L 是一个集合，∙和︒是L 上两个二元运算，如果这两个二元运算满足 律，律和 律，则(L ,∙,︒)是格. 答案：交换律；结合律；吸收律 解答：见代数格的定义. 3. 在布尔代数中，有b a b a a ∨=∧∨)(成立. 则该式的对偶式 也一定成立. 答案：b a b a a ∧=∨∧)( 解答：见对偶原理，知b a b a a ∧=∨∧)(是原式的对偶式，也是成立的.三、练习题1..设 R 是实数集，“＋”为数的加法，“×”定义为b a b a =⨯. 试问R 对二元运算＋和×是否构成环？ 2. 回答下列代数系统是环吗？是交换环吗？ (1) (Z m ,＋，*),其中Z m ＝{0,1,2,…,m －1}，＋和*是模m 加法和乘法.(2) (M n (R )，＋，︒), 其中M n (R )是n 阶实矩阵全体，＋，︒分别是矩阵的加法和乘法.3*. 给定代数系统(G ,+,*), 二元运算见表8－1，表8－2.证明(G ,+,*)是域. 4. 设143)(,122)(223++=++=x x x Q x x x P是定义在Z 5(＝{0,1,2,3,4})上的多项式(即系数是的元素的多项式)，试计算P (x )+Q (x )，P (x )Q (x ). 5.下列给定的偏序集(如图8－2)是格吗？为什么？ 图8－26. 化简布尔代数式b a b a ++⋅7. 在布尔代数(,,,∧∨B )中，对,,,B c b a ∈∀有)()()()(b c b a b c b a ∧∨∧=∨∧∨四、练习题答案1. (1)显然实数R 对加法满足交换律，(R ，＋)是交换群.R c b a ∈∀,,，有cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a =⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯)()()()2(所以，)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯，即(R ,×)是半群.(3) R c b a ∈∀,,,c a b a c a b a c b a c b a ⨯+⨯=+=+=+⨯)()(满足左分配律； a c b a c b +==⨯+)(，a c b a c a b )(+=⨯+⨯ 一般情况下，a c a b a c b ⨯+⨯≠⨯+()( 即×对＋不满足右分配律. 所以，R 对二元运算＋和×不能构成环.2. (1) 是环，且是交换环；(2) 是环，但不是交换环，因为矩阵乘法一般不具有交换律.3. 用运算表知(G ,+)是可结合的和可交换的，a 是运算＋的单位元，任一元素的逆元是它自身；所以(G ,+)是交换群；容易验证{G －{a },*}也是交换群. 且*对＋是可分配的. 故(G ，＋，*)是域.4. P (x )+Q (x )=2x 3+4x +2; P (x )Q (x )=x 5+4x 4+4x ++15. 左图不是格，最下方的两个元素没有最大下界. 右图是格.6. b a b a b a b a b a b a b a b a ⋅=+=+⋅+=⋅++=++⋅)()()(7. 因为(,,,∧∨B )，故10条算律在其上成立，所以)()()()())()(())(()()(b b b a c b c a b b a c b a b c b a ∧∨∧∨∧∨∧=∧∨∨∧∨=∨∧∨分配律)()()()()]()[())(()]()[()(b a c b b c a b c a b a c b b b c a b a c b c a ∧∨∧∨∧∧∨∧∧=∧∨∧∨∨∧∧=∧∨∧∨∧=)()()()()(])[()]())([(b c b a b a c b b a c b a bc b c a ∧∨∧=∧∨∧=∧∨∧∧∨∧∨∧∧=所以 )()()()(b c b a b c b a ∧∨∧=∨∧∨。
离散数学学习指导
离散数学学习指导
离散数学是一门属于数学领域的重要学科，它着重研究有限集合上的抽象结构，并利用这些结构来模拟物理、社会和经济的实际情况。
作为高校及其高等教育的一门基础课程，离散数学已经成为入门计算机程序设计、图形图像处理以及电子计算机相关课程的重要基础。
尽管学习离散数学有其自身的挑战，但是学习和掌握它很重要，这可以帮助学
生获得最新技术的能力，熟练掌握该学科将为他们打开计算机科学背后机制的大门。
此外，由于“离散化”是现代计算机程序设计中很重要的一部分，它也是后来的数据科学课程的基础，因此熟悉和能够操作离散数学的技能对学生来说是十分重要的。
要有效地学习和掌握离散数学，需要学生了解学科的基本概念，例如：集合、
运算、哈希函数和邻接表等；并仔细审查每堂课的内容，以及练习每节课的课后练习题，以便加深理解，同时也可以适当加大实验验证和模拟的难度。
通过熟练应用离散数学的基本概念和熟悉使用相关软件（如C语言和Python等），学生可以很
好地掌握离散数学。
最后，学习离散数学在现代计算机科学领域非常重要，也是高等教育课程的重
要基础。
但是，要实现这一目标，学生也需要具备一些基本的技能，并正确地使用相关软件和技术。
了解以上这些知识，对学生来说都是极为重要的，以便更好地掌握离散数学。
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《计算机数学基础(1)—离散数学》学习辅导《计算机数学基础（1）—离散数学》是中央广播电视大学开放本科教育计算工程类计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论中不可少的数学工具。
通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具。
同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力。
本课程包括数理逻辑、集合论、图论和代数系统。
这是一门理论性较强，应用性较广的课程。
因此，通过本课程的学习，使学生：掌握离散数学的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力。
按照教学大纲，我们逐次分章进行辅导，供师生学习参考。
第1章命题逻辑一、教学基本要求1. 理解命题概念，会判断语句是不是命题。
2. 了解六个联结词概念，掌握由它们构成的公式及真值表：①⌝P(否定式); ②P∧Q(合取式);③P∨Q(析取式);④P→Q(蕴含式);⑤P↔Q(等价式)；⑥P⎺VQ[不可兼或式(异或式)]。
熟练掌握求给定公式真值表的方法。
3. 理解公式、公式解释、永真式(重言式)、永假式(矛盾式)和可满足式等概念。
记住基本等值式，掌握用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值变换的方法。
4. 理解析取(合取)范式概念，熟练掌握利用基本等值式或真值表将公式化为析取(合取)范式的方法。
5. 了解极小(大)项的概念，掌握求主析取(合取)范式的方法。
6. 了解有效结论(逻辑结果)的概念，掌握判断重言蕴含式(推理是否有效)的五种方法(1) 真值表法；(2) 等值演算法(记住基本等值式)；(3) 主析取(合取)范式法；(4) 直接证法：掌握P规则和T规则，及常用重言蕴含式、等值式。
(5) 间接证法(反证法)：掌握PC规则。
本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，(主)析取(合取)范式，重言式的判定。
二、学习辅导1.1 命题与联结词命题是推理的基本要素。
自然语言将命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
若该语句表述的意义符合事实，则称其为真命题。
若该语句表述的意义不符合事实，则称其为假命题。
我们用0或F表示假命题；用1或T表示真命题。
判断一个句子是否为命题，应首先判断它是否为陈述句。
再判断它是否有唯一的真值。
可见命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义。
例如，考察下列语句“雪是黑的”，“北京是中国的首都”是陈述句，都有确定的真假意义，是命题，前者为假命题；后者为真命题。
“21世纪时有人住在月球上”是陈述句，今后若干年，可以证明它要么是真，要么是假，故是命题。
“你是谁?”不是命题，它是疑问句，不是陈述句；“x+y<7”不是命题。
它的真假意义不确定。
如x=100，y=-84，则“x+y<7”为假；而x=－91，y=78，则“x+y<7”为真。
以上所举各陈述中都是简单陈述句，它们不能再分解成更简单的句子，这就是原子命题(简单命题)。
本章不再进一步分析原子命题的内部结构，下一章讨论谓词逻辑时再分析它的内部结构。
由若干个原子命题通过联结词构成的命题就是复合命题。
我们讲了六个联结词。
1. “⌝”否定联结词，P是命题，⌝P是P的否命题。
是由联结词⌝和命题P组成的复合命题。
例如，P：猩猩是人。
⌝P：猩猩不是人。
P：上海是中国最大的城市。
⌝P：上海不是中国最大的城市。
P与⌝P的真假是相互对立的，P为真，则⌝P为假；反之P为假，则⌝P为真。
2. “∧”合取联结词，P，Q是命题，P∧Q是P，Q的合取式，是联结词∧和命题P，Q 组成的复合命题。
“∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”。
P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q取值为0，只要P，Q之一取0。
例如，丘玉学习很好，而且非常努力。
就可以符号化为：P：“丘玉学习很好”Q：“丘玉学习非常努力”，记作P∧Q。
3. “∨”析取联结词，“⎺∨”不可兼析取(异或)联结词，P，Q是命题，P∨Q是P，Q的析取式，是联结词∨和命题P，Q组成的复合命题。
P⎺∨Q是P，Q的不可兼析取式，是联结词⎺∨和命题P，Q组成的复合命题。
联结词“∨”或“⎺∨”在一个语句中都表示“或”的含义，可以表示相容或，也可以表示排斥或。
⎺∨表示不相容的或。
即“P⎺∨Q”↔“⌝P∧Q∨P∧⌝Q”。
如“赵志宏学习俄语或英语”，是相容或，记P：“赵志宏学习俄语”，Q：“赵志宏学习英语”，命题符号化为“P∨Q”；又如“李宏生于1978年或1980年”，是排斥或，不可兼或，记P：“李宏生于1978年”，Q：“李宏生于1980年”，命题符号化为P⎺∨Q。
P∨Q取值为1，只要P，Q之一取值为1，只有P，Q均取值为0时，P∨Q取值为0。
P⎺∨Q取值为1当且仅当P，Q取值不同；P⎺∨Q取值为0当且仅当P，Q取值相同。
4. “↔” 等价联结词，P，Q是命题，P↔Q是P，Q的等价式，是联结词↔和命题P，Q 组成的复合命题。
“↔”在语句中相当于“…当且仅当…”，P↔Q取值1当且仅当P，Q取值相同。
例如，“长城是中国的古代的伟大建筑”，“长江是中国最长的河流”。
它们的真值是相同的，可记作P：“长城是中国古代的伟大建筑”，Q：“长江是中国最长的河流”，有P↔Q真值是1。
又如A：“3×5＝12”，B：“石家庄是河南省会”，有A↔B真值是1，再如，P1：“北京的1月份最冷”，P2：“北方的7月份最热”，有P1↔P2真值为0。
5. “→”蕴含联结词，P，Q是命题，P→Q是P，Q的蕴含式，是联结词→和命题P，Q组成的复合命题。
P→Q取值为0，只有P取值为1，Q取值为0时；其余各种情况，均有P→Q取值为1。
注意：在语句中，P→Q，有时也解释为“若P，则Q”。
似乎P→Q是“因果关系”，但是不一定总有因果关系。
只要P，Q是命题(即有真值)，那么P→Q就是命题(即有真值)。
不管P，Q是否有无因果关系。
例如，P：今晚开会，Q：今晚我到校。
有P→Q，如果今晚开会，我今晚到校(有因果关系)。
它的真值是1。
又如，A：雪是白的，B：太阳从西边出来。
有A→B，如果雪是白的，太阳从西边出来(没有因果关系)，它的真值是0。
1.2 命题公式、永真性的判定或命题公式的分类命题公式的永真性包括判定命题公式是永真的(重言式)、永假的(矛盾式)。
具体判定方法有两种：其一是真值表法，对于任给一个公式，列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1(或全为0)，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全为1，又非全为0，则该公式是可满足式。
例1.1判定公式P→Q与⌝P∨Q是否等值。
解列公式P→Q与⌝P∨Q的真值表。
如表1－1。
由表可知，公式P→Q与公式⌝P∨Q是等值的。
由表的最后一列可知，P→Q↔⌝P∨Q是重言式。
其二是推导法。
利用基本等值式(双重否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、摩根律、同一律、零律、否定律、蕴含等值式、等价等值式、假言易位和等价否定等值式等)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式。
例1.2证明：P→(Q→R)⇔P∧Q→R.证明P→（Q→R）⇔P→(⌝Q∨R) (等值蕴含式)⇔⌝P∨(⌝Q∨R) (等值蕴含式)⇔（⌝P∨⌝Q）∨R (结合律)⇔⌝(P∧Q)∨R (摩根律)⇔P∧Q→R (等值蕴含式)所以，P→（Q→R）⇔(P∧Q)→R例中等值演算的每一步都用到了置换规则。
由等值演算的传递性，可知第一个公式P→(Q→R)和最后一个公式P∧Q)→R等值。
例中证明的每一步都列出了等值演算的依据。
例1.3用等值演算法判定公式P⎺∨(Q∧R)→P∨Q∨R是永真式？永假式？解P⎺∨(Q∧R)→P∨Q∨R⇔⌝(P⎺∨(Q∧R)∨P∨Q∨R⇔⌝(P∧⌝(Q∧R)∨⌝P∧(Q∧R))∨P∨Q∨R⇔⌝((P∧⌝(Q∧R))∨(⌝P∧Q∧R))∨P∨Q∨R⇔(⌝(P∧⌝(Q∧R))∧⌝(⌝P∧Q∧R))∨P∨Q∨R⇔((⌝P∨(Q∧R))∧(P∨⌝Q∨⌝R))∨P∨Q∨R⇔(⌝P∨(Q∧R)) ∨P∨Q∨R)∧((P∨⌝Q∨⌝R)∨P∨Q∨R) (∨对∧的分配律)⇔1∧1⇔1因此，P⎺∨(Q∧R)→P∨Q∨R是永真式。
1.3 范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：其一是准确掌握范式定义；其二是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和摩根律，结果的前一步适当使用幂等律。
在范式中只有联结词∧和∨，命题变项或其否定用联结词∨，∧把联结起来。
主范式要求命题变项齐全，按极小(大)项排列起来。
于是有求范式的步骤。
求析取(合取)范式的步骤：①将公式中的联结词都化成⌝，∧，∨，在析取(合取)范式中不能有联结词→，↔，⎺∨；②将否定联结词⌝消去或移到各命题变项之前；③利用分配律、结合律等，将公式化为析取(合取)范式。
求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤①求公式A的析取(合取)范式；②“消去”析取(合取)范式中所有永假式(永真式)的析取项(合取项)，如P∧⌝P(P∨⌝P)用0(1)替代。
用幂等律将析取(合取)范式中重复出现的合取项(析取项)或相同的变项合并，如P∧P(P∨P)用P替代，mi ∨mi(Mi∧Mi)用mI(Mi)替代。
③若析取(合取)范式的某个合取项(析取项)B不含有命题变项Pi 或⌝Pi，则添加P i ∨⌝Pi(Pi∧⌝Pi)，再利用分配律展开，使得每个合取项(析取项)的命题变项齐全；④将极小(极大)项按由小到大的顺序排列，用∑(∏)表示。
例1.4求公式)()(QPRP↔∧→⌝的主合取范式和主析取范式。
解先将公式)()(QPRP↔∧→⌝化为合取范式。
)()(QPRP↔∧→⌝)()()(PQQPRP→∧→∧→⌝⇔(去掉↔))()()(PQQPRP∨⌝∧∨⌝∧∨⇔(去掉→) (合取范式)))(())(())((P R R Q Q R R P R Q Q P ∨⌝∧∨⌝∧∨⌝∧∨⌝∧∨⌝∧∨⇔(添齐命题变项)（展开）)()())()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∨∧∨∨⇔（所求主合取范式）消去相同项，顺序排列)())()()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧⌝∨⌝∨∧∨⌝∨∧∨∨⇔∏⇔∧∧∧∧⇔)5,4,3,2,0(54320M M M M M所求主析取范式应为主合取范式五个极大项所对应的三个极小项，即为)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧⌝通过求析取范式求主析取范式。