数阵图

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第4讲 数阵图

第4讲 数阵图

第4讲数阵图认识几种常考的数阵图模型,理解并熟练掌握解题方法。

数阵图定义:将一些数字按照一定的要求排列而成的某些图形一、辐射型数阵图:从一个中点出发,向外作若干条射线,在每条射线上安放同样多个数使其和是一个不变的数。

方法一:试算法(大小配)掐头、去尾、取中间方法二:计算法各数之和+重叠数×重叠次数=线和×线数二、封闭的数阵图:计算法各数之和+重叠数×重叠次数=线和×线数三、复合型数阵图即是辐射型数阵图,又是封闭型数阵图。

将1-7这7个数字分别填入图中各个○内,使每条线段上的三个○内的数之和等于14将1-11填入下图的各个圆圈内,使每条线段上的三个圆圈内的数之和相等。

1、将1-5分别填入圆圈内,使每条线上3个圆圈的数字之和都等于92.将1-9分别填入圆圈内,是每条线上的三个数之和相等将1-6六个数字分别填入下图6个圆圈内,使每条边上的和都等于11.把1-12这十二个数,分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内,使每条边上四个圆圈内数的和都等于22,试求出一个基本解。

1.把1-9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等于17.2.把1-8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等12.(1)将1-7七个数字填入下图的七个圆圈内,使每个大圆圈和每条直线上的三个数字之和相等。

(2)将1-6这6个数字分别填入下图的6个圆圈内,使得三条线段上的数字之和都相等。

下图中,是有三个正三角形,将1-9分别填入9个圆圈内,使得三个正三角形三个顶点之和都相等,通过四个圆的每条线段之和也相等1.将1-5这五个数分别填入如果中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内的和相等。

2.将1-10这十个数分别填入下图中的十个○内,使每条线段上四个○内数的和相等,3.将1-9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等.。

数阵图知识点总结

数阵图知识点总结

数阵图知识点总结数阵图在计算机科学中有很多应用,例如在图像处理中用来表示图像的像素信息,在数据库中用来存储和管理数据,还可以用来表示图形和网络的关系。

数阵图还可以用来做矩阵运算,包括加法、减法、乘法以及求逆等。

在算法和数据结构中,数阵图也是一个常见的数据结构,例如用来表示图形的邻接矩阵,解决网络流的最大流问题等。

数阵图可以用不同的方式表示和存储,例如用数组、链表、向量等数据结构来实现。

在不同的应用场景中,选择不同的表示和存储方式可以提高数据的访问效率和计算性能。

本文将从数阵图的基本定义、表示和存储、运算以及应用等方面进行介绍和总结。

1. 数阵图的基本定义数阵图可以定义为一个m行n列的二维数组,用来存储各种不同类型的数据。

在数学中,数阵图可以表示为一个m×n的矩阵,每个元素用Aij表示,其中i表示行号,j表示列号,Aij表示矩阵中第i行第j列的元素。

例如,一个3行4列的数阵图可以表示为:A11 A12 A13 A14A21 A22 A23 A24A31 A32 A33 A34在计算机科学中,数阵图也可以用数组、链表、向量等数据结构来表示和存储。

例如,可以用一维数组来表示一个m行n列的数阵图,数组的长度为m×n,其中每个元素对应矩阵中的一个元素。

也可以用链表来表示一个数阵图,每一行用一个链表节点来表示,节点中包含该行中的所有元素。

向量也是一种常见的数阵图表示方式,它可以用来表示稀疏矩阵,在稀疏矩阵中大部分元素为0,向量可以节省存储空间和提高计算性能。

2. 数阵图的表示和存储在计算机中,数阵图可以用不同的数据结构来表示和存储,选择不同的表示和存储方式可以根据实际应用场景来提高数据访问效率和计算性能。

常见的数阵图表示和存储方式包括数组、链表、向量等。

下面分别介绍各种方式的表示和存储方法:2.1 数组表示数组是一种连续存储的数据结构,可以用来表示和存储数阵图。

数组的优点是数据访问速度快,可以通过下标直接访问元素,缺点是数组的大小固定,不方便动态扩展。

数阵图(三)

数阵图(三)

5-1-3-3.数阵图教学目标1.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨.一、数阵图定义及分类:1.定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手:第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.例题精讲数阵图与数论【例1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,而且这个等差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有种可能的取值.【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空【关键词】2010年,迎春杯,三年级,初赛,第8题【解析】设顶点分别为A、B、C、D、E,有45+A+B+C+D+E=55,所以A+B+C+D+E=10,所以A、B、C、D、【解析】E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数(即边上的)为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1,公差为d.利用求和公式5(a1+a1+4d)2=55,得a1+2d=11,故大于等于0+1+5=6,且为奇数,只能取7、9或11,而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况,公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例2】将1~9填入下图的○中,使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数.【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7;2的两边只能是6与9;3的两边只能是1、5或8;4的两边只【解析】能是7与9.可以先将3—1—7--写出来,接下来7的后面只能是4,4的后面只能是9,9的后面只能是2,2的后面只能是6,可得:3—1—7—4—9—2—6--,还剩下5和8两个数.由于6814+=是7的倍数,所以接下来应该是5,这样可得:3—1—7—4—9—2—6—5—8—3.检验可知这样的填法符合题意.【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例3】在下面8个圆圈中分别填数字l,2,3,4,5,6,7,8(1已填出).从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈,这个圆圈中若填n(n≤8)。

数阵图

数阵图

数阵图
一、数阵图定义及分类:
定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.
数阵:是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
二、解题方法:
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手:
第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);
第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;
第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.
简单数阵图
一、辐射型数阵图
从一个中心出发,向外作若干条射线,在每条射线上安放同样多个数,使其和是一个不变的数。

突破关键:确定中心数,多算的次数,公共的和
数和+中心数×重复次数=公共的和×线数
数和:指所有要填的数字加起来的和
中心数:指中间那数字,即重复计算那数字
重复次数:中心数多算的次数,一般比线数少1
公共的和:指每条直线上几个数的和
线数:指算公共和的线条数
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数,使它们的和都等于一个不变的数。

突破关键:确定顶点上的数字,公共的和
数和+重叠数的和=公共的和×边数
数和、公共的和跟辐射型数阵图一样的意思
重叠数的和:指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边数:指封闭图形的边数。

二年级第九讲简单的数阵图

二年级第九讲简单的数阵图

第九讲简单的数阵图●知识导引一、数阵图数:连续,大小,奇偶性。

图:辐射型,封闭型,混合型。

二、突破口的选择1.数比较多的地方。

2.重叠部分:考虑第一个数,中间数,最后一个数。

三、方法1.尝试法(有序枚举)。

2.计算法:线和,数和,重叠部分。

●例题精讲例题1将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9按照要求填入下图的圆圈中,使得每边上的和为12(同一个数只能使用一次)。

★找数最多的部分作为突破口,有序的枚举,尝试进行填空。

练习1在下面的圆圈中填上适当的数,使每条直线上的三个数之和都是12。

例题2将1~16这十六个数分别填入下面的方框,使横行、竖列、斜对角的四个数的和都相等。

★先观察横行、数列、斜对角,寻找出题目的突破口,再从数多的部分入手,逐一填数,各个击破。

练习2将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面的圆圈中,使得每边上的和为10,同一个数只能使用一次。

例题3把2,3,4,5,6这五个数分别填入空格中,使每行、每列上三个数相加的和都等于11,每个数只能是一次。

★找突破口(重叠部分),条件中要填的数是连续的,选择第一个、中间的、最后一个数进行重叠数的尝试,最后小数配大数。

练习3把5,6,7,8,9这五个数分别填入空格中,使每行、每列上三个数相加的和都等于22,每个数只能使用一次。

例题4将1~9这九个数分别填入下列圆圈内,使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于12,每个数只能使用一次。

★找突破口(重叠部分),条件给出的数是连续的,选择第一个、中间的、最后一个进行尝试。

练习4将1,2,3,4,5,6,7这7个数分别填入下列圆圈内,使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于14,每个数只能使用一次。

例题5把1,2,3,5,7,9,11这七个数分别填入圆圈里,使每条直线上的三个数相加的和都为14,每个数只能使用一次。

★找突破口(重叠部分),条件给出的数不是连续的,奇偶性尝试或者计算的方法。

第十一周:数阵1

第十一周:数阵1
1 2 3 4
1 2 3 3 3
4
练习 在下面各图的每个方格中都填入一个数字, 使得每行、每列以及每条对角线上的四个数字都 有1、2、3、4。
1
3 4 2
2
4 3 1
3
1 2 4
4
2 1 3
1 3 4
4 2 1
2 4 3
3 1 2
2
3
1
4
数独游戏
•/
数阵图(一)
1、幻方
6
11
数阵
13
9
8
7
1 9 11
13 6 2
4 5 12
10 8 3
10
5
12
2、其它数阵
2 7
1 3 6 4 5 5 9 3 1
6
5 8 10 6 4 5 8 7 3
7
2
10
2
9
基础练习
1—9这九个数的和是多少? 从1-7拿出6个数,每两个数分成一组,使 每一组的和相等,怎么分?
例6: 把1-9这九个数填入下图中的各圆圈内,使每 个角到中心的三个数的和相等,并且使两个长方形 四个顶点上的数的和也都相等。
例1:
在下面各图的每个方格中都填入一个数字, 使得每行、每列以及每条对角线上的四个数字都 有1、2、3、4。
1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 4
3
例1:
在下面各图的每个方格中都填入一个数字, 使得每行、每列以及每条对角线上的四个数字都 有1、2、3、4。
1 4 2 3 2 3 1 4 3 2 4 1 4 1 3 2
练习 在下面各图的每个方格中都填入一个数字, 使得每行、每列以及每条对角线上的四个数字都 有1、2、3、4。

数阵图

数阵图

数阵图一、把1~6这六个数,分别填在下图,使每条线上三个数的和都等于①9 ②10 ③11 ④12,应如何填二、把1~12这十二个数,分别填在下图的圆圈里,使每条线上四个数的和分别等于22和30三、把四、把22五、把1~9这九个数分别填在下图中的九个圆圈里,使内,外两个三角上六个数的和都等于26六、将1~11七、把1~7这七个数分别填在下图的圆圈里,使每条线上三个数的和与每个圆上三个数的和都等于12。

八、在图中空格内填上适当的数,使每行、每列,每条对角线上的数和为27。

(必须写出2种)九、将5~1455。

十、1.把3,4,5,6,7都是14。

十一、下面是一个九宫图,第一行第三列上的数是6,第二行第一列上的数是7,请你在其他位置填上适当的数,使每行、每列以及每条对角线上的三个数和为30十二、将1~25填在5×5的方格内,制成五阶幻方。

十三、将1~16填在4×46.将1~67.把1~8这89.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数,分别填入下图的九个方格中,使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍,第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。

10.将1~10这十个自然数分别填入图中的十个圆内,使各条线段上四个圈内数的和相等,每11.把1~8这八个数填入下图正方体的八个顶点的圆圈里,使每个面上的四个圆圈里的四个数之和都相等。

补充:幻方构造方法幻方,亦称纵横图。

台湾称为魔术方阵。

将自然数1,2,3,……n*n排列成一个n*n方阵,使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等,等于n/2*(n*n+1),这样的方阵称为幻方。

例如:把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3*3的格子,使得:每行、每列、两条对角线的和是15。

n是它的阶数,比如上面的幻方是3阶。

n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。

数学上已经证明,对于n>2,n阶幻方都存在。

目前填写幻方的方法,是把幻方分成了三类,每类又有各种各样的填写方法。

小学思维数学讲义:数阵图(一)-含答案解析

小学思维数学讲义:数阵图(一)-含答案解析

数阵图(一)1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1~8的数填到下图中,使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,3年级,第6题 【解析】87654321【答案】例题精讲知识点拨教学目标87654321【例 2】 将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个○内,使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填?(1)【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便,先在各圆圈内填上字母,如下图(2).由条件得出以下四个算式:(2)h gf ed c baa+b+c=14(1)c+d+e=14 (2) e+f+g=14 (3)a+h+g=14 (4)由(1)+(3),得:a+b+c+e+f+g=28,(a+b+c+d+e+f+g+h )-(d+h )=28,d+h=(1+2+3+4+5+6+7+8)-28=8,由(2)+(4),同样可得b+f=8, 又1,2,3,4,5,6,7,8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上,d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性,不妨设b=2,f=6,d=3,h=5. a ,c ,e ,g 可取到1,4,7,8若a=1,则c=14-(1+2)=11,不在1,4,7,8中,不行.若c=1,则a=14-(1+2)=11,不行. 若e=1,则c=14-(1+3)=10,不行. 若g=1,则a=8,c=4,e=7.说明:例题为封闭型数阵,由它的分析思考过程可以看出,确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数,使得三条边上的三个数的和都是12,若A 、B 、C 的和为18,则三个顶点上的三个数的和是 。

简单的数阵图

简单的数阵图

简单的数阵图(一年级)
1、把2.4.6.8.10这五个数填入下图的○里,使每条
线上的三个数的和相等。

2、把10.20.30.40.50这五个数填入下图的○里,使
每条线上的三个数的和相等。

3、把15.16.17.18.19.这五个数填入下图的○里,使
每条线上的3个数的和=51或者和=50
4、把1.2.3.4.5.6.7这七个数填入下图的○里,使每
条线上的3个数的和是14。

5、把2、3、4、5、
6、7填入下图中,使三角形每
条边上三个数的和相等。

姓名:
6、把4、5、6、
7、
8、9填入下图中,使三角形每
条边上三个数的和=21。

7、把1、3、5、7、9、11填入下图中,使三角形
每条边上三个数的和=21。

8、把2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中,
使横行数列和对角线上三个数的和=18。

9、把、12、14、16、18填入下图
中,使横行数列和对角线上三个数的和相等。

10、把、6、7、8、9、填入下图中,
使横行数列和对角线上三个数的和相等。

数阵图

数阵图
练习二
1、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.
2、把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等。
3、把1~12这十二个,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等。
4、把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等。
例2:把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
分析 :由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有
5+19=7+17=11+13
解:于是得到下图的填法。
5、把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18。
例3:在下图的六个○内各填入一个质数(可取相同的质数),使它们的和等于20,而且每个三角形(共5个)顶点上的数字之和都相等。
分析:因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2=10。10分为三个质数之和只能是2+3+5,由此得到右图的填法。
8、把1~11这11个数分别填入如下图11个○内,使每条虚线上三个○内数的和相等,一共有几种不同的和
9、把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的和也相等。
一、知识点:
一些数按照一定的规则,填在某一特定图形的规定位置上,这种图形,我们称它为“数阵图”,数阵图的种类繁多,绚丽多彩,这里只向大家介绍三种数阵图,即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。在解答这类问题时,要善于确定所求的和与关键数字间的关系式,用试验的方法,找到相等的和与关键数字:要会对基本解中的数进行适当调整,得到其他的解,从而培养自己的观察能力,思维的灵活性和严密性。

(完整版)小学三年级奥数--数阵图

(完整版)小学三年级奥数--数阵图

数阵图(一)在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,奇妙无穷。

它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么,到底什么是数阵呢?我们先观察下面两个图:左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了,1~9 九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图,可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1 把1~5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了,七拼八凑就写出了右上图的答案,可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理,只有弄懂其中的道理,才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解:中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”。

也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。

重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右上图)。

试一试:练习与思考第1 题。

例2 把1~5 这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解:与例1 不同之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以,必须先求出这个“和”。

根据例1 的分析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5] ÷2=10。

五年级数学寒假竞赛班第2讲 数阵图

五年级数学寒假竞赛班第2讲       数阵图

数阵图月日姓名【知识要点】数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形。

分三种形式:1.辐射型数阵数:是指从一个中心出发,向外作若干条射线,在每条射线上安放同样多个数,使其和等于一个定数。

2.封闭型数阵图:是批在正n(n≥3)边形的每条边上安放同样多个数,使其和等于一个定数。

3.复合型数阵图:既属于辐射型特征,又属于封闭型特征。

【典型例题】例1 把1~5这5个数分别填在右图中的方格中,使得横行3数之和与竖列3数之和都等于8。

例2 把1~11这11个数分别填入工下图中的各个○内,使每条线段上3个○内数的和都等于22。

例3 把1、2、3、4、5、6填在图1的○中,使每条边上的3个数之和都等于9。

例4 将1~13这13个自然数分别填入图1的各个○内,使每条线段上5个○内数的和相等,并且两个六边形6个顶点上○内数的和也相等。

随堂小测姓名成绩1.将1~4四个数分别填入图中□内,使竖行和横行□内数的和相等。

2.将10~20这11个数填入下列○中,使得每条线段上3个○内数的和都等于45。

3.将2~9这8个数分别填入图1的○里,使每条边上的3个数之和都等于18。

4.将1~9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中,使靠近大三角形每条边上五个数的个相等,并且尽可能大,这五个数之和最大是多少?5.将数字1、2、3、4、5、6填入图中的小圆圈内,使每个大圆上4个数字的和都是16。

★6.将1~10这十个数填入图中各○内,使得三个正方形的四个顶点上的数之和都等于21。

课后作业姓 名 家长签字 成 绩1.将1~8这8个数分别填入下图的○中,使两个大圆上的5个数之和都等于21。

2.把1~7这7个数分别填入图中,使每条线段上的33.把数字1、2、3、4填入图中的小圆圈内,使每条线段上3个数的和与每个圆圈上3个数的和都等于12。

4.在图中各圆空余部分填上1、2、4、6,使每个圆中的4个数的和都是15。

★5.把1~8分别填入下图的空格中,使图中四边正好组成加、减、乘、除四种运算算式。

小学数学数阵图

小学数学数阵图

解题过程
边和X3 = a+b+c+d+e+f+g+2c 14X3 = 1+2+3+4+5+6+7+2c 42 = 28+2c 14 = 2c c= 7
2020/12/9
例1 (★★)
将1~7这七 个数字, 分别填入 2 图中各个 ○内,使 每条线段 上的三个 ○内数的 和都等于 14。
1
6
7
5
4
3
先填入边和,直线上微调,满足圆圈。
【超常大挑战】(★★★★★)
a ,b ,c ,d ,e, f, g ,h ,I ,处分别填入1至9, 如果每个圆环所填的数的和都相等, 那么这个相等的和最大是多少?最少是多少?
a+e+i+c+g+2(b+d+f+h)=和×5 45+b+d+f+h=和×5 b+d+f+h最大时为6,7,8,9 此时和为15 b+d+f+h最小时为1,2,3,4 和为11 当和为15时无解,和为14有解 最大为14,最小为11
行 业 PPT模 板 : /hangye/ PPT素 材 下 载 : /sucai/ PPT图 表 下 载 : /tubiao/ PPT教 程 : /powerpoint/ Excel教 程 : /excel/ PPT课 件 下 载 : /kejian/ 试 卷 下 载 : /shiti/
圈和X2=数字和+a+b 圈和X2=36+a+b 圈和等于21 a+b=6 则a 和b有两种可能1,5和2,4

数阵图

数阵图

数阵图例1:把1~9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。

【巩固练习】将九个连续自然数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66。

例2:用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。

【巩固练习】将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方。

例3:求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。

【巩固练习】求九个数之和为657的三阶质数幻方。

例4:在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

【巩固练习】在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。

例5:把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。

【巩固练习】20以内共有10个奇数,去掉9和15还剩八个奇数。

将这八个奇数填入右图的八个○中(其中3已填好),使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。

例6:在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4。

【巩固练习】在下页左上图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1,2,3,4。

例7:在右图的六个○内各填入一个质数(可取相同的质数),使它们的和等于20,而且每个三角形(共5个)顶点上的数字之和都相等。

【巩固练习】在左下图的七个○内各填入一个质数,使每个小三角形(共6个)的三个顶点数之和都相等,且为尽量小的质数。

第10讲 数阵图(二)

第10讲    数阵图(二)

第10讲数阵图和幻方(二)幻方问题的研究在我国已流传了两千多年,它是具有独特形式的填数字问题。

传说公元前二千多年,在大禹治水的时候,在黄河支流洛水浮起一只大乌龟,它的背上有个奇特的图案,(如图1),后来人们把它称之为“洛书”、相传在我国远古的时代,有一匹龙马游于黄河,马背上负有一幅奇的图案,这就是所谓的“河图”,实际上它是由九个数字排成一定的格式(如图2),图中有一个非常有趣的性质:它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。

一般地,在n×n(n行n列)的方格内,不重不漏填上n×n个连续自然数,并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等,则称它为n阶幻方。

这个和叫做幻和,n叫做阶。

幻方又叫魔方,九宫算或纵横图。

魔方:我国的纵横图通过东南亚国家,印度、阿拉伯传到西方。

由于纵横图具有十分奇幻的特性,西方把纵横图叫作Magic Square,翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。

九宫算:所谓九宫,就是将一个正方形用两组与边平行的分割线,每组两条,分割成的九个小正方格。

每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个,不同的方格填入的数不同,使得三横行中每一横行三个数的和(叫行和),三纵列中每一纵列三个数的和(叫列和),两条对角线中每一条对角线上三个数的和(叫对角和)都相相等,这样得到的图就叫九宫(算)图。

纵横图:长期以来,纵横图一直被看作是一种数字游戏。

一直到南宋时期的数学家杨辉,才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。

杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中,不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图,而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法,从而开创了这一组合数学研究的新领域。

解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。

(定中间数,填四角数,算其余数)三阶幻方:就是将九个连续自然数填入3×3(三行三列)的方格内,使每行每列、每条对角线的和相等,这叫做三阶幻方。

奇数阶幻方:“罗伯法”“楼贝法”西欧在十六,十七世纪时,构造幻方非常盛行。

数阵图的规律

数阵图的规律

数阵图的规律
数阵图是一种用来展示数据分布规律的图形,常用于统计学、数学、物理学等领域。

它由一个二维矩阵构成,矩阵中的每个元素表示一个数据点,矩阵中的每行和每列都有一定的规律。

数阵图的规律可以分为以下几类:
数阵图的对角线规律:对角线上的数据点满足一定的数学关系,如对角线上的数据点都是相等的。

数阵图的行列规律:行和列上的数据点满足一定的数学关系,如行上的数据点都是互质的。

数阵图的周期规律:数阵图中的数据点满足一定的周期性规律,如数阵图中的数据点呈现循环规律。

数阵图的对称规律:数阵图中的数据点满足一定的对称性规律,如数阵图中的数据点具有中心对称性。

这些规律不是绝对的,根据不同的数据和场景,数阵图可能会有其它不同的规律。

第29讲、数阵图

第29讲、数阵图

第29讲、数阵图----初级版知识导引数阵是比较常见的填数问题,是一种老少都为之着迷的数学游戏。

无论数阵怎么变化,也都有规律可循,解题的关键就是求出重叠数。

只要你细心观察、分析,相信你一定能够解决更复杂的数阵问题。

一、数阵图的分类:1、数阵图分辐射型数阵图2、封闭型数阵图3、复合型数阵图。

二、解题方法1、去头、去尾、去中间。

2、求已知数总和,3、求数阵图中的总和,也就是图和-数和=“公用数”的总和。

金典例题1、1、将1、2、3、4、5填入下图的方格中,使横行、竖列的和都是10。

2、将1、3、5、7、9、11填入下图的圈内,使得对两个正方形,各自顶点上的数的和都等于22。

3、将1~7这七个数填入下图的圈内,使每一个正方形的四个数的和相等。

4、将1~9这九个数填在下图的圈中,使得横行的5个数,和是24.竖列的5个数,和也是24。

5、将1~8填入图中的圈内,使每条线上3个数的和都是12。

6、将3—9这七个数分别填入右图中的○里(其中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等。

9基础入门1、将1到9这九个数填入下图,使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等。

2、将1—7这7个自然数填入下图的7个○内,使得每条边上的3个数之和都等于10。

3、将1—6这6个自然数分别填入右图的6个○内,使每条边上的3个数之和都等于10。

4、将2—9这8个数分别填入下图的○里,使每条边上的3个数之和等于18。

462655、右图中三个圆圈两两相交形成七个部分,分别填上自然数1~7,在一些部分中,自然数2、4、6三个数已经填好,请填上其余各数,使每个圆圈中四个数的和都是14.6、请将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数分别填入下图的九个小圆圈里,使每个三角形上三个数的和都等于15。

1、在右图中的空格内填入适当的数,使每行、每列、每条对角线上各数和都等于27。

能力拓展87141020302、在有图中的空格内填入适当的数,使每行、每列、每条对角线上各数的和都等于33。

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第16讲数阵图(一)我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵,其解题的关键在于“重叠数”。

本讲和下一讲,我们学习三阶方阵,就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图,解题的关键仍然是“重叠数”。

我们先从一道典型的例题开始。

例1把1~9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。

分析与解:我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。

我们可以这样去想:因为1~9这九个数字之和是45,正好是三个横行数字之和,所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。

也就是说,每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。

在1~9这九个数字中,三个不同的数相加等于15的有:9+5+1,9+4+2,8+6+1,8+5+2,8+4+3,7+6+2,7+5+3,6+5+4。

因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。

因为中心方格中的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在两对角线上,所以它应同时出现在上述的四个算式中,只有5符合条件,因此应将5填在中心方格中。

同理,四个角上的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在一条对角线上,所以它应同时出现在上述的三个算式中,符合条件的有2,4,6,8,因此应将2,4,6,8填在四个角的方格中,同时应保证对角线两数的和相等。

经试验,有下面八种不同填法:上面的八个图,都可以通过一个图的旋转和翻转得到。

例如,第一行的后三个图,依次由第一个图顺时针旋转90°,180°,270°得到。

又如,第二行的各图,都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。

所以,这八个图本质上是相同的,可以看作是一种填法。

例1中的数阵图,我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。

一般地,将九个不同的数填在3×3(三行三列)的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,那么这样的图称为三阶幻方。

在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等,而不要求两条对角线上的三数之和也相等,则解不唯一,这是因为在例1的解中,任意交换两行或两列的位置,不影响每行或每列的三数之和,故仍然是解。

例2用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。

分析与解:给出的九个数形成一个等差数列,对照例1,1~9也是一个等差数列。

不难发现:中间方格里的数字应填等差数列的第五个数,即应填19;填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数,即13,17,21,25,而且对角两数的和相等,即13+25=17+21;余下各数就不难填写了(见右图)。

与幻方相反的问题是反幻方。

将九个数填入3×3(三行三列)的九个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,这样填好后的图称为三阶反幻方。

例3将前9个自然数填入右图的9个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。

分析与解:题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻,所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。

经试验有下图所示的三种情况:按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算,只有第二种情况得到下图的两个解。

因为第二种情况是螺旋形,故本题的解称为螺旋反幻方。

例4将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条证明:因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k。

如右上图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次。

所以有九数之和+中心方格中的数×3=4k,3k+中心方格中的数×3=4k,注意:例4中对九个数及定数k都没有特殊要求。

这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用。

在3×3的方格中,如果要求填入九个互不相同的质数,要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等,那么这样填好的图称为三阶质数幻方。

例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。

分析与解:由例4知中间方格中的数为267÷3=89。

由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89=178。

两个质数之和为178的共有六组:5+173=11+167=29+149=41+137=47+131=71+107。

经试验,可得右图所示的三阶质数幻方。

练习161.将九个连续自然数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66。

2.将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方。

3.用2,4,6,12,14,16,22,24,26九个偶数编制一个幻方。

4.在下列各图空着的方格内填上合适的数,使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27。

5.将右图中的数重新排列,使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等。

6.将九个质数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

7.求九个数之和为657的三阶质数幻方。

第17讲数阵图(二)例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

解:由上一讲例4知中间方格中的数为7。

再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数(含x)。

因为九个数都不大于12,由16-x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10。

考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10。

经验证,当x=6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意;当x=4或10时可得两个解(见下图)。

这两个解实际上一样,只是方向不同而已。

例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明:设中心数为d。

由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。

由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c(见下图)。

根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-(2d-b)=3d-a-(2d-c),3d-c-2d+b=3d-a-2d+c,d——c+b=d——a+c,2c=a+b,a+bc=2。

值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数;可以相同,也可以不同。

例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。

解:由上一讲例4知,中心数为90÷3=30;由本讲例2知,右上角的数为(23+57)÷2=40(见左下图)。

其它数依次可填(见右下图)。

例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

解:由例2知,右下角的数为(8+10)÷2=9;由上一讲例4知,中心数为(5+9)÷2=7(见左下图),且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。

由此可得右下图的填法。

例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

解:由例2知,右下角的数为(6+12)÷2=9(左下图)。

因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,“中心数”=(10+6)-9=7。

其它依次可填(见右下图)。

由例3~5看出,在解答3×3方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处。

练习171.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24。

3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求x。

4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48。

5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

第18讲数阵图(三)数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题。

例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。

分析与解:由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等。

20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5+19=7+17=11+13,于是得到下图的填法。

例2在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4。

分析与解:如左下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3;进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图。

例3将1~8填入左下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。

分析与解:因为中间的两个○各自只与一个○不相邻,而2~7中的任何一个数都与两个数相邻,所以这两个○内只能填1和8。

2只能填在与1不相邻的○内,7只能填在与8不相邻的○内。

其余数的填法见右上图。

例4在右图的六个○内各填入一个质数(可取相同的质数),使它们的和等于20,而且每个三角形(共5个)顶点上的数字之和都相等。

分析与解:因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2=10。

10分为三个质数之和只能是2+3+5,由此得到右图的填法。

例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1~9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除。

分析与解:设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为1+2+…+9-a=45-a。

由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为6k=3×(45-a),2k=45-a。

2k是偶数,45-a也应是偶数,所以a必为奇数。

若a=1,则k=22;若a=3,则k=21;若a=5,则k=20;若a=7,则k=19;若a=9,则k=18。

因为k不能被a整除,所以只有a=7,k=19符合条件。

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