数列与不等式测试题及答案

数列与不等式测试题
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分；共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.） 1. 不等式1
x x
>
成立的一个充分不必要条件是（） A.x>0 B.x<0或x>1 C.x<0 D.0<x<1
2.在等比数列{}n a 中，121a a +=，349a a +=，那么45a a +等于（ ） A. 27 B.27- C. 8136-或 D. 2727-或
3.数列1，0，2，0，3，…的通项公式为（ ）
A. (1)2n n n n a --=
B. (1)[1(1)]
4
n n n a +--=
C. ()0()n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数
D. (1)[1(1)]
4n n n a ---=
4.用数学归纳法证明3*03(,)n n n N n n >∈≥，则0n 等于（ ） A. 1 B.2 C. 3 D. 4
5.已知数列{}n a 中，1a b =(b 为任意正整数)，11
(1,2,3,)1
n n a n a +=-=+，能使n a b = 的n 的数值是（ ）
A. 14
B.15
C. 16
D. 17 6.在等比数列{}n a 中，7116,a a =4145a a +=，则20
10
a a 等于（ ） A.
23 B.32 C. 23或32 D. -23或-32
7. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( ).
A.
12 B. 1
2
- C. 2 D. 2-8.数列{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n =
-+，前n 项和为9
19
，则项数n 为（ ）
A. 7
B.8
C. 9
D. 10 9. 在等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为( )
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >并且110S =，若n k S S ≤对n N *∈恒成立，则正
整数k 构成集合为 （ ）
A ．{5}
B ．{6}
C ．{5,6}
D ．{7}
11.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ）
A.
212-12
12.若a 是12b +与12b -的等比中项，则
22ab
a b
+的最大值为（）
A.
12 B.4 C.5 D.2
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13.公差不为0的等差数列{}n a 中，2
37
11220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = .
14.如果关于x 的不等式1x a x x -<++的解集为R ，则a 的取值范围是 . 15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15160,0S S ><,则11S a ，22S
a ，…，1515
S a 中最大的是 。

16.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且存在正数t 使得对所有正整数n
2
n
t a +=，通过归纳猜想可得到n S = .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N *∈，有,,n n n a S 成等差数列 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T
18．（本题满分１２分）设0,1,a a >≠数列{}n a 的通项公式cos lg n n a n n a π=，前n 项和为n S ．试问是否存在常数p 、q 、r,使()22lg n S pn qn r a =++对所有n N +∈都成立？并证明你的结论． 19.（本题满分12分）
已知01,01αβ<<<<，数列{}n x 与{}n y 由以下条件确定：
11(,)(2,1)x y =，*11(,)(1,22),()n n n n x y x y n N ααββ++=+-+-∈
回答下列问题：
（1）求数列{}n x 与{}n y 的通项公式； （2）求lim n n x →∞
，lim n n y →∞
.
20.（本题满分12分）
设数列{}n a 满足
111
(1)2(1,2,3,)n n a na n a n +⎧=⎨
=+-=⎩ 试求其通项. 21.（本题满分12分）
已知数列{}n a 满足1a p =,21a p =+,21220n n n a a a n ++-+=-,其中p 是给定的实数,n 是正整数,试求n 的值,使n a 的值最小. 22.（本题满分12分）
已知点 ),,(,),,2(),,1(2211n n y n B y B y B (∈n N *)顺次为直线12
1
4+=
x y 上的点,点)0,(),0,(2211x A x A ),0,(,n n x A (∈n N *)顺次为x 轴上的点,其中)10(1<<=a a x ,对任意的∈n N *,点n A 、n B 、1+n A 构成以n B 为顶点的等腰三角形.
(Ⅰ)证明:数列{}n y 是等差数列;
(Ⅱ)求证:对任意的∈n N *,n n x x -+2是常数,并求数列{}n x 的通项公式;
(Ⅲ)在上述等腰三角形1+n n n A B A 中,是否存在直角三角形,若存在,求出此时a 的值;若不存在,
请说明理由.
数列与不等式专题参考答案
1.提示：这是一道含绝对值的分式不等式。

其基本解法是去掉绝对值，然后，转化成分式不等式。

去掉绝对值常用的方法有三个：1）利用定义，讨论去掉绝对值；2）平方，即2
2x x =；3）利用公式()()()x f x f x x f x <⇔-<<。

本题作为一道选择题利用上述三种解法有小题大做的嫌疑。

可以利用函数图象，作出y x =，及1y x =的图像，可立得1
x x
>的解集为{01}x x x <>或，从而可得C. 答案：C
2.提示：本题属等差、等比数列常规问题，基本解法是：用基本元表示题中两条件得关于1a 和
q 的方程组，解得1a 和q 值，进而得45a a +的值为2727-或.
常用解法是首先考虑数列性质，利用性质：“12233445,,,a a a a a a a a ++++为等比数列”更为简单. 答案：D
3.提示：本题可用特殊与一般的思想，将3n =代入选项排除A 、C 、D. 答案：B
4.提示：由题意不难发现，当n 取3时，33n n =.当4n ≥时，才总有33n n >，故04n =. 答案：D
5.提示：数列是特殊的函数，又叫整标函数。

本题的实质是()()1
11
f x f x +=-
+，进而推得
()()
1
21f x f x +=--
，()()3f x f x +=，为周期函数。

用函数的观点来看数列是高屋建瓴。

本题中{}n a 是以3为周期的周期数列，几个选项中只有161a a b ==. 答案：C
6.提示：由711414,a a a a =∴414,a a 是方程2560t t -+=的两根，23t t ∴==或 即4144142,33,2a a a a ====或，又201410432
23
a a a a ==或. 答案：C
7.提示：19285223a a a a a π+=+==，故2821cos()cos()32
a a π+==-. 答案：B
8.提示：本题考查裂项法求和.通过裂项得9
9.2119
n n S n n ===+，解得 答案：C
9.提示：等差数列求和公式应该理解成()()
1122
n k n k n n a a n a a S -+++==。

由918S =得，即5918a = 得52a =
又15423032n n a a a a -+=+=+= 所以1()
240,2
n n n a a S +=
=得15n =.
答案：B
10.提示：由 100S >并且110S =，知6110,0a a =<，所以0d <
故56S S =且最大. 又n k S S ≤对n N *∈恒成立，所以正整数k 构成集合为{5,6}. 答案：C
11.提示：由题意，0n a >，12n n n a a a ++=+，又212n n n a a a ++=可得，2
11()n n n n a a a a ++=-
解此方程得
1
n n
a a +
=1
2
-. 答案：D
12.提示：在近几年高考中，特别是2008年第17题、2009年全国Ⅰ卷理科第16题，对于均值不等式的考查几乎形成了一个固定模式：将形如函数2ax y bx cx d =
++变形成a
y d bx c x
=
++的形式，然后利用不等式或函数性质来求解。

这类问题的难点在于变形上，很多问题很隐蔽。

因为a 是12b +与12b -的等比中项，则2214a b =-，故22144a b ab =+≥，
14ab ∴≤。

22ab a b +
≤==。

11,44ab ab ≤
∴≥，∴22ab
a b +≤
4 答案：B
13.提示：由. 237
11220a a a -+=得2
7740a a -=， 所以74a =或70a =，又数列{}n b 是等比数列，且77b a =。

故70a ≠，只有74a =，2226877416b b b a ====. 答案：16
14.提示:数形结合. 不等式1x a x x -<++的解集为R ,等价于函数y x a =-的图象全在函数
1y x x =++图象的下方. 答案:10.a -<<
15.提示：由158150S a =>，知80a >，再由89
161602
a a S +=⨯<知90a <． 所以，当915n ≤≤时，
0n n S a <，当18n ≤≤时，0n n
S
a >。

且由1281280,a a a S S S >>
>><<
,知
8
8
S a 最大。

答案：
8
8
S a ． 16.关于递推数列考纲说的很清楚，“了解递推数列是给出数列的一种方式，会由数列的递推式求数列的前几项”，进而，数列的基本思想是归纳推理，得出数列前几项后，归纳得出数列的一个通项公式，这是考纲中的考试要求，也是这类问题的基本解法！提示：由11S a =，求得1S t =，由22a S t =-求得24S t =，由334a S t =-求得39S t =或3S t =.又因0,n a >所以313,9S S S t >∴=.由此猜想n S =2tn . 答案：2tn
17提示：这道题有三个重点必须掌握，这三个重点都是高考必考的内容：①n a 与n S 的关系问题是数列中的一个重点，也是一个热点。

这种问题的解决办法是：化成只含n a 或只含n S 的式
子，化归办法就是利用公式1,(2)n n n a S S n -=-≥。

②递推数列求通项公式问题，这类问题基本是能要求转化成等差或等比的问题，转化的手段就是构造新数列。

这类题目有的给出了构造方法，让考生去证明，有的没有给出来，需要考生自己去观察构造，所以建议考生掌握几种基本模型。

③错位相减法，是高三学生必须掌握的一种方法，要掌握基本内涵和解题要领。

提示：（Ⅰ）由n a S n n -=2 递推作差，得121n n a a +=+再转化为等比数列求解； （Ⅱ）：利用错位相减法求解.
解答：（Ⅰ）依题意知：n a S n n -=2 )1(211+-=++n a S n n
12122111+=⇒--=⇒+++n n n n n a a a a a
)1(211+=+⇒+n n a a 又由11112 1 1S a a a ==-⇒=
故{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 12 21n n n n a a ∴+=⇒=-…6分
（Ⅱ）12(121)(222)(2)n n T n n =⨯-+⨯-+
+⨯-
2(12222)(12)n n n =⨯+⨯++⨯-++
+
由错位相减法得：2112222(1)22n n n n +⨯+⨯++⨯=-+
又(1)
122
n n n +++
+=
所以2
)
1(22)1(1+-
+-=+n n n T n n 18提示:首先利用诱导公式将cos lg n n a n n a π=化简,然后将2n S 展开求和.问题的关键在对数据的处理上，不要被繁杂的式子吓倒。

解：()21lg ,n
n a n a =-
()()2
2
222221lg 2lg 3lg 4lg 21lg 2lg n S a a a a n a n a
∴=-+-+---+
()()()()22
222143221lg n n a ⎡⎤-+-++--⎣
⎦
2=2
()22lg n n a +=。

按题意，对所有*n N ∈都有
()()2
22lg lg ,n
n a pn qn r a +=++ 故2,1,0.p q r ===
19提示：由题意，本题可构造为两个等比数列来解. 解答：由已知得
11122n n n n x x y y ααββ++⎧=+-⎨=+-⎩ 111(1)
2(2)
n n n n x x y y αβ++⎧-=-∴⎨
-=-⎩ 因而，{1}n x -与{2}n y -是公比分别为,αβ的等比数列.
所以111
11(1)2(2)n n n n x x y y αβ--⎧-=-⎨-=-⎩ 又112,1x y ==， 所以111,2n n n n x y αβ--=+=-，(1)n =时也成立. （2）因为01,01αβ<<<<，
所以lim n n x →∞
=1n lim(1)101n α-→∞
+=-=，
lim n n y →∞
1n lim(2)202n β-→∞
=-=-=。

20提示：将题中递推式，递推作差，得{}n a 为等差数列，这样问题即迎刃而解. 解答：因1(1)2n n na n a +=+-，1(1)2n n n a na --=-
故11(1)(1)n n n n na n a n a na +---=+-。

11()()n n n n n a a n a a +--=-，即11n n n n a a a a +--=- 由此可得，{}n a 是等差数列，首项是1.又因为
1(1)2n n na n a +=+-
所以 2121220a a a =-=得
公差为211a a -=-
于是得n 2a n =-
21提示：构造新数列求数列n a 的通项公式，然后利用不等式求n a 的值最小值. 解答:令1,1,2n n n b a a n +=-
=
由题设21220n n n a a a n ++-+=-,有120n n b b n +-=-,且11b =, 于是()()11
11120n n i i i i b b i --+==-=-∑∑,即
()()112121n b b n n n -=++
+---⎡⎤⎣⎦ ()()14012
n n n b --∴=+ ① 又1a p =,21a p =+,则32112212017a a a p a a =-+-=-<<. 所以,当n a 的值最小时,应有13,n n n a a +≥≤,且1n n a a -≤. 即1110,0n n n n n n b a a b a a +--=-≥=-≤.
由①式,得()()(
)()1402,241 2.n n n n --≥⎧⎪⎨--≤-⎪⎩ 由于3n ≥,且n N +∈,解得40,40.
n n ≥⎧⎨≤⎩
所以当40n =时,40a 的值最小. 22提示：第(Ⅰ)问：直接将n B 坐标代入直线12
14+=x y 来求；第(Ⅱ)问：由等腰三角形得n x x n n =++2
1，递推求解，求通项时，注意对奇、偶的处理；第(Ⅲ)问：利用等腰直角三角形构造方程解之.
解答: (Ⅰ)依题意有1214+=n y n ,于是4
11=-+n n y y . 所以数列{}n y 是等差数列.
(Ⅱ)由题意得n x x n n =++2
1,即n x x n n 21=++ , (n *∈N ) ① 所以又有)1(212+=+++n x x n n . ② 由②-①得22=-+n n x x ,
可知 ,,,;,,,642531x x x x x x 都是等差数列.那么得 22)1(2112-+=-+=-a k k x x k , a k k a k x x k -=-+-=-+=2)1(22)1(222. (∈k *N )
故1((n n a n x n a n +-⎧=⎨-⎩
为奇数）为偶数）. (Ⅲ)当n 为奇数时,)0,1(),0,1(1a n A a n A n n -+-++,所以);1(21a A A n n -=+ 当n 为偶数时,),0,(),0,(1a n A a n A n n +-+所以;21a A A n n =+ 作x C B n n ⊥轴,垂足为,n C 则1214+=n C B n n ,要使等腰△1+n n n A B A 为直角三角形,必须且只需n n n n C B A A 21=+.
当n 为奇数时,有)12
14(2)1(2+=-n a ,即n a 31112-= . ① 当1=n 时,32=a ;当3=n 时,6
1=a ;当5≥n , ①式无解. 当n 为偶数时,有1312+=n a ,同理可求得127=
a . 综上所述,上述等腰△1+n n n A B A 中存在直角三角形,此时a 的值为32或61或127.。