高一数学 反函数 重难点解析 人教版

数学 反函数
【重点难点解析】
1．本单元知识结构
2．了解互为反函数的两个函数间的关系(定义域、值域、运算反映的映射法则及图象)，会求函数的反函数(如果有的话)．
3．判断一个函数是否有反函数及求反函数运算时解不惟一，此时如何确定谁是所求的反函数等．
【考点】
1．求已知函数的反函数与已知函数的性质(单调性、奇偶性、图象特征等)从而确定反函数的性质．
2．求函数的值域是数学中的难点也是考点，而利用求反函数的定义域来求函数的值域，在解题时常有使用．
【典型热点考题】
例1 求下列函数的反函数：
(1)y ＝f(x)＝2x －1； (2)3
x 1x 2)x (f y -+=
=． 思路分析
求函数y ＝f(x)的反函数)x (f y 1-=，需先对函数的解析式按运算律要求逐步实施逆运算求得)y (f x 1-=，然后再交换x 、y ，就可求得反函数．一般如不特别给出函数的定义域，则解得的解析式即为所求，不必再另注明反函数的定义域(函数的值域)，如题目指明要求，则应计算函数的值域(反函数的定义域)．
解：
(1)∵y ＝2x －1
∴2x ＝y ＋1 2
1y 21x += ∴反函数21x 21)x (f y 1+=
=-． (2)∵3
x 1x 2y -+=(x ≠3且x ∈R) ∴xy －3y ＝2x ＋1
xy －2x ＝3y ＋1
(y －2)x ＝3y ＋1
当y －2≠0，即y ≠2时 有2
y 1y 3x -+=(y ≠2) ∴反函数2
x 1x 3)x (f y 1-+==-(x ≠2)． 例2 求下列函数的反函数：
(1)1x y 2-=(x ≤0)； (2)7x 4x y 2+-=(x ≥2)； (3)x y =(x ≥1)．
这3个函数或给出定义域或求得定义域，都是对应函数的一个单调区间，因此在此区间上一个自变量值只对应一个函数值，反之也成立，所以它们都存在反函数．但是由于定义域受到限制是人为施加的，因此函数的值域也不一定是“理论值”，也需要由给定函数的性质来确定，以便作为反函数的值域．
解：
(1)∵1x y 2-=(x ≤0)
(－∞，0]是此二次函数的减区间
∴y ≥f(0)＝－1，即函数值域[－1，＋∞)
∴01y x 2≥+=， ∴1y x +±=
∵x ≤0 ∴1y x +-=(y ≥－1) ∴反函数为1x )x (f y 1+-==-(x ≥－1)．
(2)∵7x 4x y 2+-=(x ≥2)
∴3)2x (y 2+-=(x ≥2)
∴[2，＋∞)是此函数的增函数区间
∴y ≥f(2)＝3，即值域为[3，＋∞) ∵3y 2x -±=-(y ≥3)
x ≥2，则x －2≥0 ∴3y 2x -=- ∴3y 2x -+=(y ≥3) ∴反函数为23x )x (f y 1+-==-(x ≥3)．
(3)∵x y =(x ≥1)
∴[1，＋∞)是函数的增函数区间
∴y ≥f(1)＝1，即函数值域为[1，＋∞)
∵2y x =(y ≥1)
∴反函数21x )x (f y ==-(x ≥1)．
例 3 已知函数a
x b ax )x (f ++=(x ≠－a)的图象与其反函数)x (f 1-的图象都经过(－1，3)点，求不等式0)x (f 1>-的解的集合．
确定函数f(x)——求得其系数a 、b 的值是解本题的关键．利用已知的两个条件(函数f(x)与其反函数)x (f 1-的图象均过点(－1，3))，布列两个方程组成方程组求解．
解： ∵a
x b ax )x (f y ++=
= ∴xy ＋ay ＝ax ＋b
∴x(y －a)＝－ay ＋b 当y ≠a 时，a
y b ay x -+-= ∴a
x b ax )x (f y 1-+-==- ∵f(x)与)x (f 1-的图象都过(－1，3)点 ∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+-3b 0a 3a
1b a 3a 1b a ∴x
3)x (f 1-=- 0x 0x
3)x (f 1<⇒>-=- ∴不等式0)x (f 1>-的解集为{x|x<0}．
例4 (1)已知：函数y ＝f(x)的反函数为)x (f y 1-=，函数y ＝f(x ＋1)恒过点(－3，4)，那么函数)1x (f y 1-=-恒过点___________．
(2)已知：1x 是方程f(x)＝3－x 的解，2x 是方程x 3)x (f 1-=-的解，f(x)与)x (f 1-互为反函数，那么21x x +＝___________．
(3)设函数：⎪⎩
⎪⎨⎧∞+∈+-∈-∞∈=) 16[ 4)16()16 1( ]1 ( )(2，，，x x x x x x x f 则)16(f 1-＝___________．
思路分析
(1)(2)考查反函数的图象与原函数的图象之间关于y ＝x 对称；(3)反函数的原象就是原函数中的象，反函数中的象就是原函数中的原象．
解：
(1)由y ＝f(x ＋1)恒过点(－3，4)
⇒y ＝f(x)的图象恒过点(－2，4)
∵y ＝f(x)与)x (f y 1-=互为反函数
∴)x (f y 1-=恒过点(4，－2)
⇒)1x (f y 1-=-恒过点(5，－2)
(2)由f(x)＝3－x ，可得：⎩
⎨⎧-==x 3y )x (f y ∵1x 是方程f(x)＝3－x 的解
∴))x (f x (11，是方程组⎩
⎨⎧-==x 3y )x (f y 的解 同理，由x 3)x (f 1
-=-，可得⎩⎨⎧-==-x 3y )x (f y 1
由2x 是方程x 3)x (f 1
-=-的解，可得))x (f x (22，是方程组⎩⎨⎧-==-x 3y )x (f y 1的解．
设P ))x (f x (11，，Q ))x (f x (22，
显然P ，Q 均在直线y ＝3－x 上
∵y ＝3－x 的图象与II ，IV 象限的角平分线平行
∴y ＝3－x 的图象与y ＝x 的图象垂直
即PQ ⊥l (l 是y ＝x 的图象)
又∵y ＝f(x)的图象与)x (f y 1-=的图象之间关于直线l 对称，而且，P ))x (f x (11，在y ＝f(x)的图象上，))x (f x (Q 22，在)x (f y 1-=的图象上．
∴P 、Q 两点关于l 对称
从而，得出：P 、Q 的中点在y ＝x 的图象上
即：
2
x x 2)x (f )x (f 21211+=+- ∴2121x x )x 3()x 3(+=-+-
∴3x x 21=+．
(3))16(f 1-的含义是已知函数y ＝f(x)的反函数的原象16，求反函数象)16(f 1-，也就是已知函数y ＝f(x)的象16，求原函数的原象x ．
利用反函数与原函数的关系
由已知，可得：f(x)＝16
即：
164)16x (2=+-
∴3216x 3216x -=+=或， ∵x ≥16 ∴3216x -=(舍去)， ∴3216x += 也就是：3216)16(f 1+=-．。