含绝对值不等式的解法(一)
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。
本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。
2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。
通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。
下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。
(整理版)含绝对值的不等式的解法·例题
含绝对值的不等式的解法·例题例5-3-13解以下不等式：(1)|2-3x|-1＜2(2)|3x+5|+1＞6解(1)原不等式同解于(2)原不等式可化为|3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。
解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。
解原不等式同解于不等式组不等式(i)同解于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(ii)同解于-6≤x2-5x≤6取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集其解集可用数轴标根法表示如下：注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。
“数轴标根法〞是确定解集并防止出错的有效辅助方法。
例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。
解原不等式同解于|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。
但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。
例5-3-16解以下不等式：解(1)原不等式同解于不等式组左边不等式同解于右边不等式同解于取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2} (2)原不等式同解于取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。
分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。
又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。
解原不等式同解于注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。
其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。
例5-3-18 a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。
解显然x＞0，故原不等式同解于注含绝对值的不等式中，假设含有参数，那么先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。
高一数学 含绝对值的不等式解法 重难点解析 人教版
数学 含绝对值的不等式解法【重点难点解析】本节的重点是：(1)解含绝对值不等式的基本思想：把含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式，并且要注意转化的等价性．(2)|ax ＋b|>c 与|ax ＋b|<c(c>0)型不等式的解法．本节的难点是：解含字母参数的绝对值不等式及将较复杂的绝对值不等式等价转化为不含绝对值的不等式．【考点】解绝对值不等式的问题在各级各类考试都经常涉及，是重点内容．本节的学习要求是：①会解|ax ＋b|<c(c>0)，|ax ＋b|>c 两类不等式；②理解掌握解绝对值不等式的基本思想：根据已知条件，利用不等式性质，将含绝对值的不等式同解转化为不含绝对值的不等式．【典型热点考题】例1 解下列不等式：(1)|2x －3|>5；(2)1<|3x ＋4|≤6．思路分析解题目标是去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式(组)．途径1：根据绝对值定义分情况去掉绝对值符号；途径2：利用|ax ＋b|>c ，|ax ＋b|<c(c>0)型不等式的解法．解：(1)解法一：根据绝对值定义，原不等式可化为⎩⎨⎧>-≥-53x 203x 2或⎩⎨⎧>--<-5)3x 2(03x 2 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>≥4x 23x 或⎪⎩⎪⎨⎧-<<1x 23x∴原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．解法二：原不等式化为2x －3>5或2x －3<－5∴原不等式的解为{x|x>4或x<－1}．(2)原不等式可化为⎩⎨⎧>+≤+1|4x 3|6|4x 3| 即⎩⎨⎧-<+>+≤+≤-14x 314x 364x 36或 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->≤≤-35x 1x 32x 310或 ∴原不等式解集为}32x 135x 310|x {≤<--<≤-或． 例2 对一切实数x ，若|x －5|＋|x ＋2|>a 恒成立，求实数a 的取值范围．思路分析这是一个逆向问题．途径1：可利用零点分段讨论，得到|x －5|＋|x ＋2|的取值范围，然后据此确定a 的取值．途径2：充分考虑绝对值的几何意义，从距离关系上分析|x －5|＋|x ＋2|的意义．解法一：若|x －5|＝0，x ＝5；若|x ＋2|＝0，x ＝－2这样－2，5把数轴分成三部分．①当x ≤－2时|x －5|＋|x ＋2|＝－(x －5)－(x ＋2)＝－2x ＋3≥7②当－2<x<5时|x －5|＋|x ＋2|＝－(x －5)＋(x ＋2)＝7③当x ≥5时|x －5|＋|x ＋2|＝(x －5)＋(x ＋2)＝2x －3≥7综上，对一切x ∈R ，有|x －5|＋|x ＋2|≥7．因此，要使对一切x ∈R ，|x －5|＋|x ＋2|>a 恒成立，只有a<7．即a 的取值范围是(－∞，7)．解法二：根据绝对值的几何意义，|x －5|可看作点P(x)到点B(5)的距离，|x ＋2|可看作点P(x)到A(－2)的距离．由于|AB|＝7，因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离和都等于7．当点P 在线段AB 延长线上或在BA 延长线上时，一定有|PA|＋|PB|>|AB|＝7即数轴上任一点到A 、B 的距离之和都大于或等于7．∴要使|x －5|＋|x ＋2|>a 恒成立，必有a<7．点评 解法一主要是从数的方面考虑，而解法二则主要是从形的方面寻求解答．数形结合是数学中的一种基本思维方法，要养成从数、形两个方面去思考问题的习惯，这对同学们高中数学的学习是极为有益的．【同步达纲练习】一、选择题1．如果a<b ，那么下列各式中不正确的是( )A ．2a<2bB ．a ＋1<b ＋1C ．a －2<b －2D ．2b 2a -<- 2．满足不等式|5x ＋4|<11的整数x 的值是( )A ．－2，－1，0，1B ．1C ．－3，－2，－1，0，1D ．0，13．当x<－2时，|1－|x ＋1||等于( )A ．2＋xB ．－2－xC ．xD ．－x4．若M ＝{x||x|<1}，}1x |x {N <=，则M ∩N ＝( )A ．{x|－1<x<1}B ．{x|0<x<1}C ．{x|－1<x<0}D ．{x|0≤x<1}5．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围是( )A ．k<3B ．k<－3C ．k ≤3D ．k ≤－3二、填空题1．不等式|2x －1|<2－3x 的解集是____________________．2．不等式2≤|1－4x|<5的解集是____________________．3．关于x 的不等式|2a －3x|＋5b<0(b<0)的解集是____________________．4．已知集合A ＝{x||x －1|<a ，a>0}，B ＝{x|－1<x<2}适合B A ⊆的a 的取值范围是____________________．5．不等式|x ＋2|＋|x|>4的解集是____________________．三、问答题1．解不等式0<|x －a|<δ(δ>0)．2．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，求a 的取值范围．3．解关于x 的不等式|ax|>1．参考答案【同步达纲练习】一、1．D 2．A 3．B 4．D 提示：因为M ＝{x|－1<x<1}，而N ＝{x|0≤x<1}5．B 提示：结合数轴考虑二、1．}53x |x {< 2．}23x 4341x 1|x {<≤-≤<-或3．}3b5a 2x 3b 5a 2|x {-<<+提示：注意－5b>0 4．{a|0<a≤1} 5．{x|x<－3或x>1}三、1．原不等式化为：0<x －a<δ或－δ<x －a<0∴解集为{x|a<x<a ＋δ或a －δ<x<a} ＝{x|a －δ<x<a ＋δ，且x≠a}2．解法一：根据绝对值的几何意义|x ＋2|＋|x －1|表示数轴上一点到A(－2)，B(1)两点距离之和∴|x ＋2|＋|x －1|≥3，又|x ＋2|＋|x －1|<a 解集为∅∴a≤3．解法二： 令⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤--<--=-++=1x 1x 21x 2 32x 1x 2|1x ||2x |y 1 ，，，令a y 2=∵21y y <解集为∅如图1－36知：a≤3．3．当a ＝0时，x ∈∅当a≠0时，ax>1或ax<－1当a>0时，}a1x a 1x |x {>-<或当a<0时，}a 1x a 1x |x {-><或．。
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。
以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。
2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。
3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。
4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。
以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。
因此，不等式的解集为-a<x<a。
2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。
因此，不等式的解集为x<-a或x>a。
3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。
当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。
因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。
需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。
1。
含绝对值不等式的解法1
方法一：等价于 不等式组
| ax b | n | ax b | m
方法二：几何意义
-m
-n 0 n
m
n ax b m,或 m ax b n
推广 a f(x) b a f(x) b或-b f(x) a
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.
解题反思：
1、采用了整体换元。
2、归纳型如(a>0)
| f(x)|<a, |f(x)|>a 不 等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a
f(x)<-a或 f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
题型四：含多个绝对值不等式的解法
练习4 解不等式 x+1 - x-3 2
解不等式
x2 x3 7
2x 4 3x 3 7
3.解不等式:| x 2 || x 1| 3
x 2
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解析原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X.
不等式解集为 x x≥-1
推广 f x g x f x2 g x2
题型三：不等式 的解集|f(x)|> |g(x)| 练习3 解不等式 | x 2 || x 1|
四、练习
2.解不等式 x 9 x 1
解： x 9 x 1
x 92 x 12
带绝对值的不等式解法
带绝对值的不等式解法带绝对值的不等式在数学中是一个常见的问题，它具有一定的挑战性和复杂性。
解决这类问题需要我们掌握一些特定的解法和技巧。
1. 引言带绝对值的不等式是一个重要的数学概念，它出现在许多实际问题中。
了解如何解决这类问题对我们在数学上的学习和解决实际问题上都有很大帮助。
2. 简单的绝对值不等式解法在简单的情况下，我们可以通过将带绝对值的不等式拆分成两个不等式来解决。
对于不等式|2x - 3| > 5，我们可以分别解得2x - 3 > 5和2x - 3 < -5的解。
3. 绝对值函数的图像和性质为了更好地理解带绝对值的不等式，我们需要对绝对值函数有一定的了解。
绝对值函数的图像是一个以原点为对称中心的V形曲线，它的性质包括非负性和不等式性质。
4. 绝对值不等式的绝对值定义法当我们遇到更复杂的带绝对值的不等式时，可以使用绝对值的定义进行求解。
对于不等式|3x - 2| < 10，我们可以通过将绝对值展开为两个不等式，并结合这些不等式的解来得到原不等式的解。
5. 绝对值不等式的符号法在某些情况下，我们可以使用符号法来解决带绝对值的不等式。
符号法通过考虑绝对值的正负性和相对大小来进行推导和求解。
对于不等式|2x - 1| < |3x + 2|，我们可以通过考虑两个绝对值的正负情况，得到不等式的解集。
6. 绝对值不等式的绝对值最大最小法在解决带绝对值的不等式时，绝对值最大最小法可以帮助我们找到不等式的解集。
该方法通过求解不等式中绝对值的最大值和最小值来确定不等式的解集。
对于不等式|5x - 3| + 2 > 7，我们可以通过找到绝对值的最大值和最小值来得到不等式的解。
7. 深入理解带绝对值的不等式通过上述的解法和技巧，我们可以更深入地理解和解决带绝对值的不等式。
我们也可以应用这些思想和方法来解决更复杂的实际问题，例如在经济学、物理学和工程学等领域。
8. 总结带绝对值的不等式是数学中一个重要的概念，它在理论和实际问题中都有广泛的应用。
含绝对值的不等式的解法
含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。
例2。
解不等式22x x x x >++。
（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。
例3、解不等式123x x ->-。
二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
例4 解不等式125x x -++<。
(“零点分段法”)三、几何法：即转化为几何知识求解。
含有绝对值不等式的解法典型例题
含绝对值不等式的解法例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得>｜x-5｜｜x+3｜22,x-5）即（x+3）>（．x>1x>1｝．原不等式的解集为｛∴ x｜22，可在22，两边平方脱去绝对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜＝x评析对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．的取值范围是｜x-2｜>k恒成立，则实数k例2 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-）（ C．k≤3 A．k<3 B．k<-3．k≤-3 D｜的最小值x-2x>k对任意实数恒成立，只要｜x+1｜-｜x+1分析要使｜｜-｜x-2｜2-1x到的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点-3，与2的距离的差，其最小值为-1x+1的距离，｜｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到．选B ∴ k<-3,∴此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗评析长．>x+3．3例解不等式｜3x-1｜两种情况讨论．分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0x≥两种情况求解：和x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 解：当- ;①-，此时不等式的解为3≤x<，即当-3≤x< 时，-3x+1>x+3x<-x≥时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②当又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为x<-，或x>2｝．x｛｜2x+3｜-｜｜<1解不等式例4｜x-5- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：5和x＝解：x＝于是，原不等式变为（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）<x≤5， x<-7，解（Ⅱ）得解（Ⅰ）得x>5；解（Ⅲ）得x> ｝即为原不等式的解集．x｜x<-7或（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛说明解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5解不等式1≤｜2x-1｜<5．原不等式等价于解法一：或②①1≤x<3;解①得 -2<x≤0．解②得原不等式的解集为∴｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，或 -5<2x-1≤-1，即 2≤2x<6，或 -4<2x≤0，解得 1≤x<3，或 -2<x≤0．∴原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是｜≤ba≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．a≤｜x这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；求出它们的解集；解这些不等式，由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，）3（．（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A（-4）．11可以看出，数轴上点B（4）向右的点或者点A（-4）向左的点到A、B两点的距离之11和均大于8．∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y＝｜x+3｜+｜x-3｜和y＝8的图像，如下图．21＝y1不难看出，要使y>y，只须x<-4，或x>4．21∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数!形结合思想方法的优越性．。
不等式的解法(一)
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c＜0 （a＞0）
＞0
两相异实根
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时 才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把 二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还 是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后 的解要 求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
含绝对值的不等式及其解法
含绝对值的不等式及其解法一．知识要点：1.绝对值不等式的类型及解法（1）b x f a R b a b x f a <<⇔∈<<+)(,()(或a x f b -<<-)(（2）)()()()()()(x g x f x g x f x g x f -<>⇔>或 （3）)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<（4）[][]0)()()()()()()()(22<-⋅+⇔<⇔<x g x f x g x f x g x f x g x f（5）含多个绝对值符号的不等式——采用零点分段法来求解。
2．绝对值的几何意义：（1）x ——表示数轴上的动点x 到原点的距离.（2）b x a x -+-——表示数轴上的动点x 到两定点a 与b 的距离之和,且b x a x -+-b a -≥（3）b x a x ---——表示数轴上的动点x 到两定点a 与b 的距离之差,且≤--b a b x a x ---≤b a -3．绝对值的性质（1）b a ab ⋅=，（2）)0(≠=b b a b a ，（3）b a b a b a +≤+≤-当且仅当o ab ≥时右“=”成立，0≤ab 左“=”成立。
（4）b a b a b a +≤-≤-当且仅当0≤ab 时右“=”成立， o ab ≥左“=”成立。
练习题：1. 不等式243<-x 的整数解的个数为( )A . 0B . 1C . 2D .大于22. 若两实数y x ,满足0<xy ,那么总有( ) A y x y x -<+ B y x y x ->+ C y x y x -<-D x y y x -<+3. 已知0,<+>b a b a ,那么( )A . b a >B . b a 11>C . b a <D . ba 11< 4. 不等式13-<-x x 的解是( )A . 52<<xB . 36≥xC . 2>xD . 32≤<x5. 已知,b c a <-且,0≠abc 则( )A . c b a +<B . b c a ->C . c b a +<D . c b a ->6. 不等式652>-x x 的解集为( ). A 1{-<x x 或}6>x B . }32{<<x x C . ∅ D . 1{-<x x 或32<<x 或}6>x7. 若1lg lg ≤-b a ,那么( )A . b a 100≤<B . a b 100≤<C . b a 100≤<或a b 100≤<D .b a b 1010≤≤ 8. 函数22--=x x y 的定义域是( )A . ]2,2[-B . ),2[]2,(+∞--∞C . ),1[]1,(+∞--∞D . ),2[+∞9. 使不等式a x x <-+-34有解的条件是( )A . 1>aB . 1101<<aC . 101<aD . 1010<<a 10. )(13)(R x x x f ∈+=,当b x <-1有),,(4)(+∈<-R b a a x f 则b a ,满足( ) A . 3a b ≤ B . 3b a ≤ C . 3a b > D . 3b a ≥ 11. 不等式b a b a +≤+取等号的条件是 , b a b a +≤-取等号的条件 .12. 不等式x x ->+512的解集是13. 如果不等式21<x 和31>x 同时成立,则x 的取值范围是 14. 不等式xx x x ->-11的解是 13.函数xx x y -+=0)21(的定义域是 14.不等式331≤-<x 的解集是 15.解下列不等式:(1)xx 1<(2)321>++-x x16.解不等式:x x +<-1log 2log 4141。
第一章 第四节含绝对值的不等式解法教案示例 人教版 教案
第一章第四节含绝对值的不等式解法教案示例●课题§1.4 含绝对值的不等式解法●教学目标(一)教学知识点1.掌握|x|＜a,|x|＞a(a＞0)的解法.2.了解其他类型不等式解法.(二)能力训练要求1.通过求解不等式，加强学生运算能力训练.“等价转化”的数学思想.(三)德育渗透目标渗透由特殊到一般的思想，能准确寻求事物的一般规律.●教学重点|x|＞a及|x|＜a(a＞0)型不等式的求解.●教学难点1.如何将实际问题转化为不等式问题.2.如何将未解过不等式等价转化为已求解过的不等式.3.正确求得不等式的解时，数形结合的思想运用是必要的.4.分类讨论思想在解含有绝对值两个或两个以上不等式问题中的应用.●教学方法发现式教学法通过复习巩固旧知识，发现新问题，并在已有知识的基础上寻求解决问题的方法.再进一步引导学生深入思考讨论其他类型的含绝对值不等式的解法，从而为解决实际问题奠定理论基础.●教具准备幻灯片四X第一X：第一组问题(记作§A)第二X：第二组问题(记作§1.4B)第三X ：第三组问题(记作§)第四X ：第四组问题(记作§1.4D)●教学过程Ⅰ.含绝对值不等式的引入第一组问题——复习巩固提问（幻灯片§A)1.不等式的基本性质有哪些？2.绝对值的定义及其几何意义是什么？3.按商品质量规定，商店出售的标明500 g 的袋装食盐，其实际数与所标数相差不能超过5 g ，如何表达实际数与所标数的关系呢？上述问题学生基本能够准确回答，教师强调：（1）不等式的基本性质虽是初中所学过的内容，它是解决不等式有关问题的基础，因此必须熟练掌握.（2）绝对值的定义，即|a |=⎩⎨⎧<-≥0 0 a a a a 是用分类讨论思想定义的，它可以帮助我们理解绝对值的定义，也可以用来去掉绝对值的符号.（3）实数a 的绝对值表示在数轴上所对应点A 到原点的距离，并且可以得到|a |≥0这一结论.（4）对于问题3，依据条件列出⎩⎨⎧≤-≤-55005500x x ，进而利用绝对值定义及其几何意义将其表述成|x -500|≤5，即一个含绝对值的不等式.（让学生通过对旧知识的探索发现新问题，同时使学生理解“理论源于实践”明白学习含绝对值不等式的解法的必要性）.Ⅱ.含绝对值不等式解法的探究第二组问题——类比旧知识，提出新问题（幻灯片§1.4B)1.如何求解方程|x |=2?|x |=2的几何意义是什么？2.能表述|x |＞2,|x |＜2的几何意义吗？其解集是什么？3.请尝试归纳出一般情况下|x |＞a ,|x |＜a （a ＞0)的几何意义及其解集？上述问题1 学生很容易能答对，教师应引导学生结合绝对值的定义继续思考问题2并总结出：|x |＞2,|x |＜2表示数轴上到原点的距离大于2，小于2的点，其解集分别为{x |x ＞2或x ＜-2}与{x |-2＜x ＜2}.在问题2的基础上学生可类比地得到：一般地，|x |＞a ，|x |＜a (a ＞0)表示数轴上到原点的距离大于a ，小于a 的点，其解集为{x |x ＞a 或x ＜-a }与{x |-a ＜x ＜a }.第三组问题——继续探究，归纳结论（幻灯片§)“x ”应怎样理解？可举例说明吗？2.解不等式|x -500|≤5.3.能否归纳一般形式不等式|ax +b |＞c ，|ax +b |＜c (c ＞0)的解法？上述问题学生能够从代数角度理解“x ”代表代数式并能举出一些例子，教师指出，一般情况下，只要求掌握“x ”是一次式时的解法.提醒学生借数学中的整体代换思想理解不等式|x -500|≤5,并求出其解集，进而由特殊到一般归纳出：一般地，|ax +b |＞c ，（c ＞0)的解法是：先化不等式组ax +b ＞c 或ax +b ＜-c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集，|ax +b |＜c (c ＞0)的解法是：先化不等式组-c ＜ax +b ＜c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集.第四组问题——深入探究，解决新问题（幻灯片§1.4D)1.解不等式|x -1|+|2-x |＞3+x2.解不等式|x +1|+|x -1|＜1AE 行驶，AE 是由AB （长10 km ），BC （长5 km ），CD （长5 km ）,DE (长6 km)组成，根据时刻表，汽车于9时从A 处出发，经过B 、C 、D 等处的时刻分别951时，983，932时，如果汽车以匀速v 行驶，为了使它经过B 、C 、D 等处的时刻与汽车时刻表的差的绝对值之和，再加上从A 到E 的行驶时间不超过51.7分钟，那么汽车行驶的速度v 应是怎样的？对于上述问题1、2，学生可分组讨论，教师提示：绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍，所以如何将绝对值符号去掉，使其转化为等价的，不含绝对值符号的不等式是解这一类问题的关键.学生讨论研究可得：欲去掉绝对值符号，需先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论，去掉绝对值符号.1.解：把原不等式变为|x -1|+|x -2|＞3+x若|x -1|=0，x =1；若|x -2|=0,x =2.至此，1，2把数轴分成了三部分.（1）当x ≤1时，x -1≤0，x -2＜0原不等式变为-（x -1)(x -2)＞3+x ，即x ＜0此时，得{x |x ≤1}∩{x |x ＜0}={x |x ＜0}（2）当1＜x ≤2时，x -1＞0，x -2≤0原不等式变为x -1-(x -2)＞3+x ，即x ＜-2此时，得{x |1＜x ≤2＝∩{x |x ＜-2}=∅（3）当x ＞2时，x -1＞0，x -2＞0原不等式变为x -1+x -2＞3+x ，即x ＞6.此时，得{x |x ＞2|∩|x |x ＞6}={x |x ＞6}∴取（1）（2）（3）的并集得原不等式解集为{x |x ＜0或x ＞6}(学生口述，教师板书)学生练习2题，教师巡视查看，可能会发现大部分学生都会采取与1题相同的分段讨论法，教师应及时引导学生观察题目本身特征，结合绝对值几何意义去处理，即设数轴上的点P 表示数x ，点A 表示1，点B 表示-1，这样|x +1|,|x -1|分别表示数轴上的线段PB 、PA 的长，而线段AB 的长为2，可直观地发现数轴上找不到这样的P 点，使得PB 、PA 的长度和小于1，故本题的解集为∅.师生共同小结：（1）含绝对值二个或二个以上的不等式，常用零点分段讨论法求解，首先找到绝对值为零的点，然后划分区间，分段讨论，再求各段结果的并集.（2）解含有绝对值的不等式，对于有的问题，利用绝对值的几何意义来处理，有时使问题变得简便、直观、明了.对于上述问题3是一个利用分类讨论思想处理的实际生活问题，提醒学生：（1）将整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，是解分类讨论问题的实质.（2）解分类讨论问题要做到分类不重复，不遗漏.学生经过思考，利用熟练的基础知识，基本方法及分类讨论思想做指导不难解决实际问题. 解：依题意，得v v v v 26|3220||835||5110|+-+-+-≤600517 设m =v 5,则|2m -51|+|3m -83|+|4m -32|+526m ≤600517 (1)当m ≤101时，不等式为：51-2m +83-3m +32-4m +526m ≤600517 解得,m ≥101.∴m =101,v =50 km/h. (2)当101＜m ≤81时，不等式为2m -51-3m +83-4m +52632 m ≤600517 解得，m ≤101,无解. （3）当81＜m ≤61时，不等式为2m -51+3m -83-4m +32+526m ≤600517 解得m ≤62077＜81与m ＞81矛盾.无解. （4）当m ＞61时，不等式为2m -51+3m -83+4m -32+526m ≤600517 解得m ≤6260631＜61与m ＞61矛盾，无解. 综上，v =50 km/h 时满足题意要求.（通过以上实际问题的分析、解决，使学生体会“理论用于实践”，学会数学地处理实际应用问题）Ⅲ.课堂练习课本P 16练习 1，2(1)｜x ｜＜5解：由原不等式可得－5＜x ＜5所以，原不等式解集为{x ｜－5＜x ＜5}(2)｜x ｜＞10解：由原不等式可得 x ＜－10或x ＞10所以，原不等式解集为{x ｜x ＜－10或x ＞10}(3)2｜x ｜≤8解：由不等式性质可知：｜x ｜≤4即 －4≤x ≤4所以，原不等式解集为{x ｜－4≤x ≤4}(4)5｜x ｜≥7解：由不等式性质可知 ｜x ｜≥57即x ≤－57或x ≥57 所以，原不等式解集为{x ｜x ≤－57或x ≥57} (5)｜3x ｜＜12解：由原不等式可得－12＜3x ＜12由不等式性质可知－4＜x ＜4所以，原不等式解集为{x ｜－4＜x ＜4}(6)｜4x ｜＞14解：由原不等式可得4x ＜－14或4x ＞14由不等式性质可知x ＜－27或x ＞27) 所以，原不等式解集为{x ｜x ＜－27或x ＞27}（1）｜x ＋4｜＞9解：由原不等式可得x ＋4＜－9或x ＋4＞9整理，得x ＜－13或x ＞5所以，原不等式解集为{x ｜x ＜－13或x ＞5}(2)｜41＋x ｜≤21 解：由原不等式可得 －21≤41＋x ≤21 由不等式性质可知－43≤x ≤41 所以，原不等式的解集为{x ｜－43≤x ≤41} (3)｜2－x ｜≥3解：由原不等式可得2－x ≤－3或2－x ≥3由不等式性质可知x ≤－1或x ≥5所以，原不等式解集为{x ｜x ≤－1或x ≥5}(4)｜x －32｜＜31 解：由原不等式可得 －31＜x －32＜31 由不等式性质可得31＜x ＜1 所以，原不等式解集为{x ｜31＜x ＜1} (5)｜5x －4｜＜6解：由原不等式可得－6＜5x －4＜6 由不等式性质可知－52＜x ＜2 所以，原不等式解集为{x ｜－52＜x ＜2} (6)｜21x ＋1｜≥2 解：由原不等式可得21x ＋1≤－2或21x ＋1≥2 由不等式性质可知x ≤－6或x ≥2所以，原不等式解集为{x ｜x ≤－6或x ≥2}Ⅳ.课时小结1.含绝对值不等式解法关键是去掉绝对值符号.2.注意在解决问题过程中绝对值不等式的几何意义.3.其他形式的含有绝对值不等式解法要知道其依据.Ⅴ.课后作业(一)课本P 16习题1.4 1～41.(1){x ｜x ＞1}(2)解：由⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3x x x x 知x －3（x －2）≥4的解为x ≤1 321x +＞x －1的解为x ＜4原不等式组的解应是上述两不等式解集的交集，故原不等式组的解集为{x ｜x ≤1}(3)解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<++<21512512x x x x 知2x ＜51+x 的解为 x ＜32 512-x ＜21+x 的解为x ＞－7 原不等式组的解集应是上述两个不等式解集的交集，故原不等式组的解集为{x ｜－7＜x ＜32} (4)⎪⎩⎪⎨⎧-+≥-+-≤+-)3)(3()1(322211x x x x x x 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-+≥-+-≤+-)3)(3()1(322211x x x x x x 知 不等式1－21+x ≤2－32+x 变形为 21+x ≥31-x 得x ≥－5 不等式x （x －1）≥（x ＋3）（x －3)变形为x 2－x ≥x 2－9其解为x ≤9故原不等式解集为{x ｜－5≤x ≤9}2.(1){x ｜x ≤－21或x ≥21}(2){x ｜－3511＜x ＜3511} (3){x ｜5.999＜x ＜6.001}(4){x ｜x ≤5或x ≥11}注：将3≤｜8－x ｜变形，｜x －8｜≥3.3.（1）{x ｜－211＜x ＜21} (2){x ｜x ≤－2或x ≥25} (3){x ｜－35＜x ＜7} (4){x ｜x ≤34或x ≥4}(5){x ｜x ＜－314或x ＞－310} (6){x ｜－207≤x ≤203} x 的不等式(1)｜x －a ｜＜b （b ＞0）解：由原不等式可知－b ＜x －a ＜b利用不等式性质－b ＋a ＜x ＜b ＋a故原不等式解集为{x ｜－b ＋a ＜x ＜b ＋a }(2)｜x －a ｜＞b （b ＞0）解：由原不等式可知x －a ＜－b 或x －a ＞b利用不等式性质x ＜－b ＋a 或x ＞b ＋a故原不等式解集为{x ｜x ＜－b ＋a 或x ＞b ＋a }(二)1.预习内容：课本P 17～P 202.预习提纲：(1)“三个一次”，即一元一次方程，一元一次不等式，一次函数及其相互关系.(2)“三个二次”，即一元二次方程，一元二次不等式，二次函数及其相互关系.(3)一元二次不等式解法依据及步骤.试举一例说明结论.●板书设计。
一元二次不等式及绝对值不等式的解法
解析（1）若a=0时，解为x>0.
（2）若a>0时，Δ=4-4a2.
①当Δ>0时，即0<a<1时，
方程ax2-2x+a=0的两根为 1 1 a，2
所以不等式的解集为
a
{1x| 1 a2 <x<1 1 a2 };
a
a
②当Δ=0，即a=1时，x∈ ；
③当Δ<0，即a>1时，x∈ .
（3）若a<0时，
为(ax-1)(x+1)<0，然后根据a的 不同取值进行分类讨论，与不 等式的解集进行比较，确定a 的值.
解析
axx又11其<解 0集为(a(-x∞-1,-)1(x)∪+1()<01. ,+∞)，
2
可知a<0，
故(ax-1)(x+1)<0 (x1- )(x+1)>0.
a
结合原不等式的解集，有 故填-2.
故填{x|0<x<2}.
题型二 含绝对值不等式
例2 (2009·重庆卷）不等式|x+3|-|x-
1|≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ） A A.（-∞，-1］∪［4，+∞) B.（-∞，-2］∪［5，+∞) C.［1，2］ D.（-∞，1］∪［2，+∞）
（方法二）求|x+3|-|x-1|的最值时，还可以 利用绝对值不等式求解.绝对值不等式是 |a|-|b|≤||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,只要利用其中
⑧.. 或{xx|x＞＜xx2}1
等实根 无实根
x1=x2= b
⑨
{.x|x≠
绝对值不等式题型解法练习(
一、几种常见的含绝对值不等式的解法1．类型一：形如a x f a x f ><)(,)(型不等式 (1)当0>a 时a x f a a x f <<-⇔<)()( a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)( (2)当0=a 时 a x f <)(，无解⇔>a x f )(使()0)()(≠=x f x f y 成立的x 的解集 (3)当0<a 时 a x f <)(，无解^⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集例1（2009年安徽理科第2题5分）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ ）A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B.{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中312<-x 即为含绝对值的不等式，这是形如a x f <)(型的绝对值不等式，其中0>a ，则a x f a <<-)(。
解：因为312<-x ,所以3123<-<-x ，即解得)2,1(-∈x 解0312<-+x x 得，3>x 或21-<x 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-=211x x B A ，故答案选D.二,形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(或a x f b -<<-)(。
<例2不等式311<+<x 的解集为（ ）A.（0,2）B.)4,2()0,2( - C .)0,4(-D.)2,0()2,4( --分析：原不等式是形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：113311-<+<-<+<x x 或，这样就转化为解简单的不等式问题。
高中数学第二册(上)6.5 含有绝对值的不等式(1)
一．课题：含有绝对值的不等式二．教学目标：1.要求学生掌握绝对值不等式的性质定理及其证明； 2.能熟练运用绝对值不等式的性质定理求解和证明含绝对值的不等式问题.三．教学重、难点：绝对值不等式的性质定理的证明及其运用； 四．教学过程：（一）复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法. 1.当0a >时，||||x a a x ax a x a x a≤⇔-≤≤≥⇔≥≤-或；2.对一切实数x ，都有||||x x x -≤≤. （二）新课讲解：定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-. 证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭⎬⎫≤≤-≤≤-||||||b a b a +≤+⇒ ①又∵a a b b =+-，||||b b -=，所以由①得：||||||||a a b b a b b =+-≤++-， 即||||||a b a b -≤+ ② 综合①②得：||||||||||b a b a b a +≤+≤-.说明：①左边可以“加强”，不等式同样成立，即||||||||||a b a b a b -≤+≤+；②这个不等式俗称“三角形不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【思考1】在上面的定理中，,a b 满足什么条件时，右边取“=”？,a b 满足什么条件时，左边取“=”？结论：在定理中，当0ab ≥时右边取“=”；当0ab ≤，且||||a b ≥时左边取“=”；在定理的“加强”中，当0ab ≥时右边取“=”；当0ab ≤时左边取“=”.【思考2】上面的定理能否推广到三个字母或三个字母以上？推论1：123||a a a ++≤123||||||a a a ++；||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ .【思考3】将定理中的||a b +改成||a b -，定理是否还成立？证明你的结论。
不等式解法举例
例3 解不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7
解法一：（1）x<3时，不等式转化为： -（x+3)+2-x>7. ∴x<-4. (2)-3≤x<2时，不等式化为：2-x+x+3>7. 即：5＞7，不成立。故-3≤x<2时，不等式无解。 （3）x≥2时，不等式化为：x-2+x+3>7. ∴x>3. 综合可得原不等式的解集为{x︱x<-4或x>3}.
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 5x 6 0 解集是{x x 2或x 3}
(3) x 2 5x 5 1
解 由原不等式得-1＜x2-5x+5＜1
｛ 即 x2-5x+4＜0 (1) x2-5x+6＞0 (2) 不等式(1)的解集是1＜x＜4 不等式(2)的解集是x＜2或x＞3
∴原不等式的解集是｛x︱1＜x＜2 或3＜x＜4｝
不等式解法举例(1)
含绝对值的一元一次、 一元二次不等式（组） 的解法
基本绝对值不等式的解集
不等式︱x︱<a(a>0)的解集是{x︱-a<x<a}.
不等式︱x︱>a(a>0)的解集是{x︱x>a或x<-a}.
尝试:（1）︱x︱<1
解集是{x 1 x 1}
(2)x2 5x 4 0 解集是{x1 x 4}
解法二：当x 0时，原不等式化为： x2 2x 15 0,即：（x 5)(x 3) 0. x 5. 当x 0时，原不等式化为x2 2x 15 0. 即：(x 5)(x 3) 0. x 5. 原不等式的解集为{x x 5或x 5}.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例题解析（师生共同活动）
例1：解不等式|x-500|≤5 解：由原不等式可得：-5≤x-500≤5， 由不等式性质，各加上500得： 495≤x≤505. 所以原不等式的解集是 {x|495≤x≤505}。
例题解析（师生共同活动）
例2：解不等式：|2x+5|>7。 分析：用“2x+5”代|x|>a中“x”，其中 a=7即可。 解：由原不等式可得： 2x+5>7或2x+5<-7， 整理：x>1或x<-6. 所以，原不等式的解集是： {x|x>1或x<-6基本性质 是什么？你能用汉语语言叙述这三条性质 吗？ （１）如果a>b,那么a+c>b+c; （２）如果a>b,c>0,那么 ac > bc; （３）如果a>b,c<0,那么ac < bc.
２绝对值|a|的意义
（1）从代数角度知道：
a (a ≥ 0) a = (a − a (a < 0)
|x|<a，|x|>a(a>0)的解集
一般地，不等式|x|<a(a>0)的解集是{x|a<x<a}；不等式|x|>a(a>0)的解集是 {x|x>a或x<-a}。 例 解不等式：|x|>9
|ax+b|>c与|ax+b|<c(c>0) 的解集
把 ax+b看作一个整体，可化为|x|<a， |x|>a(a>0）型的不等式来求解 即 不等式|ax+b|>c (c>0)的解集为： {x|ax+b>c,ax+b<-c} 即不等式|ax+b|<c(c>0) 的解集为： {x|-c<ax+b<c}
（2）从几何角度看，|a|的意义是a在数轴上 相应点与原点距离。
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
二、学习新课
1、问题提出
按商品质量规定，商店出售的标明500g的袋装食盐，其 实际数与所标数相差不能超过5g，设实际数是xg，那么 x应满足： x − 500 ≤ 5 500 − x ≤ 5 由绝对值的意义，这个结果也可以表示成|x-500|≤5 这是一个含绝对值的不等式，如何解呢？
考察、研究特殊情况
绝对值的方程|x|=2的解是什么？如果让解|x|<2与|x|>2呢？ 由绝对值的意义可知，方程的解是x=2或x=-2,在数轴上表示如下：
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
结合数轴表示可知：|x|<2表示数轴上到原点距离小于2的点的集合， 在数轴上表示出来. 因而不等式|x|<2的解集是{x|-2<x<2}. 结合数轴表示可知：|x|>2表示数轴上到原点距离大于2的点的集合， 在数轴上表示出来． 就是|x|>2的解的集是{x|x<-2} ∪{x|x>2}＝{x|x<-2，或x>2}.
课 题： §1.4 含绝对值的不等式解法
学习目标
学习要求： • 掌握|x|<a，|x|>a(a>0)的解法； • 了解其它类型不等式解法； • 了解由特殊到一般思想，能寻求事物的 一般规律。 学习重点： • 不等式解法、等价转化； • 数形结合思想运用。
教学过程：
一、复习回顾 二、学习新课 三、课堂练习 四、课时小结 五、课后作业
四、课时小结
1.
2.
3.
含绝对值不等式解法关键是去掉绝对值 符号； 注意在解决问题过程中不等式的几何意 义； 其它形式的含有绝对值的不等式解法要 知道其依据。
五、课后作业：
课本P16，习题1.4 1—4； 预习［优化方案］题型２ 含多个绝对值 的不等式的解法
例题解析（师生共同活动）
例３解不等式(1)|6-2x|>4 ;(2)|2x-3|<x-1 (3)2<|3x-1|≤4;(4)|ax+3|<2(a≠0)
三、课堂练习：
课本P16，练习1、2 .
知识拓展
思考（１）不等式|x|<a型，当a≤0时， 它的解集是？ （２）不等式|x|>a型，当a ≤０时，它的 解集是？