概率统计 排列组合
排列组合、二项式定理与概率统计
排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。
它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。
排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。
它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。
这里的A表示从n个中取出m个的排列数。
二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。
它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。
概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。
这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。
概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。
排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。
排列组合与概率统计
三 排列组合，概率统计（一）排列组合1知识点 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有排列的个数m nA公式m nA=!()!n n m - 规定0！=13，组合组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有组合个数m nCm nC=!!()!n m n m -性质mnC =n m nC-11m m m n n n C C C -+=+2 排列组合题型总结 一 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当2）可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
附加题-排列组合、概率统计(2)
教学目标：掌握概率统计问题的算法。
教学重点：离散型随机变量的分布列，准确运用期望和方差公式，条件概率及相对独立事件、理解n 次独立重复实验的模型。
教学难点：条件概率及相对独立事件的概率求法，期望与方差公式运用。
教学过程：一、排列、组合、二项式定理1、排列数公式:A n m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=错误！未找到引用源。
，!nn A n =.组合数公式：C nm=错误！未找到引用源。
，01nn n C C ==.组合数性质：mn mn nC C -=；2、二项式定理：掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)rn rrr n T C ab r n -+==；例1．已知)(321*∈++++=N n A A A A a nn n n n n ，当n ≥2时，求证：⑴na a n n =+-11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3na a a a n++++-≤（1）因为)2(A )]!1()1[()!1()!(!A 11n k n k n n n k n n k n kn ≤≤=----⋅=-=--，所以当2≥n 时，nna n 1=)A A A (21nn n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n111111)A A (1----+=+++=n n n n a . 所以na a n n =+-11．（2）由（1）得1111---=+n n n n na a a a ，即1111--=+n n n na a a ，所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234na a a a a a a a a a +⋅+⋅+⋅⋅+=⋅⋅…nn a n a )1(1++11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n +-+=)!1(1!1n n (11)12!1!+++11(1)(1)(2)n n n n ≤++--- (22)11+⨯++-+-+--=)2111()111(n n nn …2)211(+-+n13-=．［另法：可用数学归纳法来证明+-+)!1(1!1n n (11)1132!1n+++≤-！］ 二、概率分布1、离散性随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量ε可能取得值为： X1，X2，…，X3，…，ε取每一个值Xi （I=1，2，…）的概率为P （P xi ==)ε，则称表εX1 X2 … xi … PP1P2…Pi…为随机变量ε的概率分布，简称ε的分布列。
高考数学总复习------排列组合与概率统计
1项) 的二项公式系数最大，其值为
n
；若 n 是奇 Cn2 数，
则中间两项 ( 第 n
1 项和第 n 3 项) 的二项式系数相等，并且最大，其值为Cn
2
2
n1
n1
2 =Cn 2.
③所有二项式系数和等于
2n，即 C0n+C1n＋ C2n+?+Cnn=2n.
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
一是对立事件
（ 4）古典概型与几何概型： 古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件
”的概率模 型．
几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．
两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等
的，
但古典概型问题中所有可能出现的
基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．
xi yi
xi
i
i1 1
第二步：计算回归系数的 a，b，公式为
n
n
n
n xi yi ( xi )( yi )
i1
i1 i 1
b
n
n
，
n xi 2 ( xi ) 2
i1
i1
； a y bx
第三步：写出回归直线方 程 （ 4）独立性检 验
y bxa．
① 2 2列联表：列出的两个分类变量
X 和 Y，它们的取值分别为
（ 6）概率基本性质与公式 ①事件 A 的概率 P(A) 的范围为： 0≤ P(A) ≤ 1．
②互斥事件 A 与 B 的概率加法公式：
P(A
B)P(A) P(B) ．
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③对立事件 A 与 B 的概率加法公式：
高中数学基础知识大筛查(6)-排列组合二项式定理、概率与统计
基础知识大筛查-排列组合二项式定理、概率与统计一、概率与分布列1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nmP(A)=. 2. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)P(A P(A)=+=+；ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P)(1P C (k)P --=. 3. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.4、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 4. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：k n k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] ，随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ，p ），其中n ，p 为参数互斥对立5. 超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 6．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；（4）n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. （5）事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.二、数学期望与方差.n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)(（2）两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） （3）二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B （P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差σξξσξ.D =为ξ的标准差ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） （2）两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）（3）二项分布：npq D =ξ三、正态分布.1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.四、抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
高中数学排列组合概率统计
排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。
高考数学复习专题——排列组合-概率与统计(教师版)
一、排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。
概率与统计如何求解排列与组合的问题
概率与统计如何求解排列与组合的问题在概率与统计中，排列与组合是常见的问题类型，它们涉及到对一组元素进行不同排列或选择的方式。
这些问题在实际生活中广泛应用，例如在抽奖、密码破解、数据分析等领域都有重要的作用。
本文将介绍如何求解排列与组合的问题。
一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按特定的顺序排列，常用符号为P。
在计算排列问题时，我们需要考虑两个因素：元素的重复性和元素的顺序性。
1.1 无重复元素的排列当元素没有重复时，排列数可以直接通过计算阶乘来得到。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列数P可以表示为：\[P(n,r) = n!/(n-r)!\]1.2 有重复元素的排列当元素中存在重复元素时，排列数需要进行调整。
我们可以通过同理可知，假设有n个元素中，其中重复元素有m个，则排列数P可以表示为：\[P(n,r) = n!/(n_1! * n_2! * ... * n_m!)\]其中，n_1, n_2, ..., n_m表示每个重复元素的个数。
例如，有5个不同的字母要进行排列，其中有2个重复的字母，即n=5, m=2，要选取3个字母进行排列，即r=3，那么排列数P可以计算为：\[P(5,3) = 5!/(5-3)! = 60\]二、组合问题组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑其顺序，常用符号为C。
在计算组合问题时，我们同样需要考虑元素的重复性。
2.1 无重复元素的组合当元素没有重复时，组合数可以通过排列数的除法得到。
假设有n 个元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合数C可以表示为：\[C(n,r) = P(n,r)/r! = n!/(r! * (n-r)!) \]2.2 有重复元素的组合当元素中存在重复元素时，组合数需要进行调整。
我们可以通过排列数的调整同理可知，假设有n个元素中，其中重复元素有m个，则组合数C可以表示为：\[C(n,r) = P(n,r)/(r! * n_1! * n_2! * ... * n_m!)\]其中，n_1, n_2, ..., n_m表示每个重复元素的个数。
排列组合及概率统计
考纲解析排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。
资源链接 本讲对应CIU 视频资源：概率论及数理统计.jbl 。
本讲内容10.1 排列组合基础10.1.1 排列的基本概念及实例从n 个不同的元素中，任取m (m ≤n )个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
如果元素和顺序至少有一个不同。
则叫做不同的排列。
元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。
排列数的计算公式为)1()2)(1(+---=m n n n n A mn Λ（其中m ≤n ，m ，n ∈Z ）。
10.1（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作7个元素的全排列——77A = 5040。
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理7×6×5×4×3×2×1 = 7！= 5040。
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作余下的6个元素的全排列——66A = 720。
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有22A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种，则共有22A 55A =240种排列方法。
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法，所以一共有22A 55A =2400种排列方法。
高一数学排列组合与概率统计问题
种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .
6.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
A44 A77
种A 排法.
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C51 (51)(81)
C141
条不同的路径.
5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？
方法1：将5个人依次站成一排，有 A55 种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数 A22
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A55 A22
543
A53
方法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，
有 A53 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A22＝2种捆法甲 乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
共有2 120＝240种排法
几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.
高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用
高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用一、排列组合的基本公式1.排列的基本公式：排列是从一组物体中选取一部分物体按照一定的顺序进行排列的方式。
对于n个不同的物体，如果选取其中的r个进行排列，那么排列的总数为P(n,r)=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×12.组合的基本公式：组合是从一组物体中选取一部分物体，不考虑排列顺序的方式。
对于n个不同的物体，如果选取其中的r个进行组合，那么组合的总数为C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)。
1.排列的概念：排列是指从一组物体中选取若干个物体按照一定的顺序进行排列的方式。
在实际问题中，排列常常用于涉及位置、次序和顺序的计数问题。
应用举例：a.选取n个人中的r个人进行座位的排列问题。
b.选取n个数字中的r个数字进行排列组合的问题。
2.组合的概念：组合是指从一组物体中选取若干个物体，不考虑排列顺序的方式。
在实际问题中，组合常常用于涉及选择、挑选和组合的问题。
应用举例：a.随机抽取n张纸牌中的r张纸牌的组合问题。
b.从n个人中选取r个人进行团队的组合问题。
三、排列组合的应用1.定理应用：排列组合的概率问题中，常常可以利用排列组合的基本公式结合概率计算的定理来解决问题。
比如，使用乘法原理、加法原理、条件概率等定理来计算问题中所需的概率。
应用举例：a.在一副牌中，抽取连续的三张牌均为红桃的概率问题。
b.在一群人中，选取两个人的组合中至少有一名男性的概率问题。
2.实际问题应用：排列组合的概念和基本公式在实际问题中有着广泛的应用。
它们常常用于计数问题、组合问题、选择问题、排列问题等等。
应用举例：a.排队问题：计算n个人进行排队的方式有多少种。
b.选课问题：计算从n门课程中选择r门课程的组合有多少种。
总结起来，排列组合是高中数学中非常重要的概念和公式，可以用来解决许多实际问题。
初中数学中的概率与统计中的事件的排列与组合
答案及解析
• 题目：某班有50名学生，从中选出5名代表参加数学竞赛，求选法的总数。 答案：1225 解析：这是一个组合问题，从50名学生中选出5名代表，可以使用组合公式C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中n是总人数，k是选出的人数。所以答案是C(50, 5) = 50! / (5!(50-5)!) = 1225。
(r!(n-r)!)
排列与组合的 关系：P(n, r) =
C(n, r) * r!
排列与组合的 区别：排列考 虑顺序，组合 不考虑顺序。
排列的应用
解决实际问题：如安排日程、分配任务等 数学竞赛：如解排列组合题、逻辑推理题等 计算机科学：如算法设计、程序编写等 统计学：如样本抽取、数据整理等
排列的注意事项
排列的定义
排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序进行排列，得到的结果称为排列。 排列数公式：P(n,m)=n!/(n-m)! 排列的特点：有序性、无序性、确定性 排列的应用：解决实际问题，如彩票中奖、密码设置等
排列的公式
排列数公式： P(n, r) = n! /
(n-r)!
组合数公式： C(n, r) = n! /
其次，总共有C(10, 3) = 120种取球的情况。所以概率是P(A) = 20/120 = 7/10。
• 题目：一个盒子里有10个球，其中6个黑球，4个白球，从中随机取出2个球，求取出的球中至少有一个黑球的概率。 答案：11/15 解析：同上题，首先，取出的球中至 少有一个黑球的情况有C(6, 1)*C(4, 1) + C(6, 2) = 6 + 15 = 21种。其次，总共有C(10, 2) = 45种取球的情况。所以概率是P(A) = 21/45 = 11/15。
概率论排列和组合_解释说明以及概述
概率论排列和组合解释说明以及概述1. 引言1.1 概述概率论是数学中一个重要的分支，它研究随机事件发生的可能性以及这些可能性之间的关系。
而在概率论中，排列和组合则是两个基本且常见的概念。
排列指的是从给定的一组元素中选取一部分元素进行有序排列的方式。
在排列中，元素的顺序被视为重要因素，不同顺序将得到不同结果。
例如，从A、B、C三个字母中选取两个字母进行排列，可以得到AB和BA两种不同的排列方式。
组合则是从给定的一组元素中选取一部分元素形成无序集合的方式。
与排列不同，组合中元素间的顺序被忽略。
使用上述例子来说明，在以上有三个字母A、B、C构成的集合中选取两个字母形成组合，则可以得到AB、AC和BC三种不同的组合方式。
1.2 文章结构本文将首先介绍排列与组合的基本概念，在第二章节会详细阐述排列和组合各自的定义和性质，并探讨它们在实际应用领域中所扮演的角色。
接下来，在第三章节中，我们将介绍计算排列和组合所用的方法。
具体而言，我们将讨论排列和组合的计算公式及其在不同情况下的应用，并提供一些例子来帮助读者更好地理解这些概念。
在第四章节中，我们将探讨概率论中排列和组合的应用。
对于事件的排列与组合，在此章节中我们将解释如何计算事件的不同可能性，并说明其在概率计算中的重要性。
同时，我们还会阐述条件概率与独立性判断中排列和组合所起到的作用，并讨论随机变量与概率分布中涉及到的排列和组合问题。
最后，在结论部分，我们将总结本文所介绍的内容，并展望未来概率论中排列和组合研究领域可能的发展方向。
1.3 目的本文旨在通过详细介绍排列与组合的基本概念、计算方法以及它们在概率论中的应用，帮助读者更好地理解和应用这两个重要的数学工具。
通过学习本文，读者能够掌握如何正确应用排列和组合进行问题求解，并且了解它们在实际生活和科学研究中的应用价值。
2. 排列与组合的基本概念2.1 排列的定义和性质:排列是指从给定元素集合中选取一定数量的元素按照一定次序进行排列的方式。
排列组合及概率统计
►►► 第10讲 排列组合及概率统计基础129排列组合及概率统计基础考纲解析排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。
资源链接 本讲对应CIU 视频资源：概率论及数理统计.jbl 。
本讲内容10.1 排列组合基础10.1.1 排列的基本概念及实例从n 个不同的元素中，任取m (m ≤n )个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
如果元素和顺序至少有一个不同。
则叫做不同的排列。
元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。
排列数的计算公式为)1()2)(1(+---=m n n n n A mn （其中m ≤n ，m ，n ∈Z ）。
10.1（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作7个元素的全排列——77A = 5040。
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理7×6×5×4×3×2×1 = 7！= 5040。
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作余下的6个元素的全排列——66A = 720。
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有22A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种，则共有22A 55A =240种排列方法。
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法，所以一共有22A 55A =2400种排列方法。
高中数学概率与统计( 排列组合)
排列组合一 、分类、分步原理（一）分类原理：12n N m m m =+++.分类原理题型比较杂乱，须累积现象。
几种常见的现象有：1．开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类.2．数图形个数:根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数. 3．球赛得分：根据胜或负场次进行分类. （二）分步原理：12n N m m m =⨯⨯⨯.两种典型现象： 1．涂颜色(1)平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块(2)立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举. 2．映射按步骤用A 集合的每一个元素到B 集合里选一个元素，可以重复选.二 、排列、组合（一）常规题型求情况数1.直接法：先排(选)特殊元素，再排(选)一般元素。
捆绑法，插空法.2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数. （二）七种常考非常规现象1．小数量事件需要分类列举：凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类一一列举 2．相同元素的排列：用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排顺序 3．有序元素的排列:用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序 4．剩余元素分配：有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。
5．迈步与网格现象:要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况. 6．立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数 7．平均分组现象:先用分步原理选出每一组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n 组，就除以nn A ，有几套平均分组就除几个xx A .（三）排列数，组合数公式运算的考察1.排列数公式mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 2. 组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 3. 组合数的两个性质(1)mn C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .4. 排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 【题型体系】一、分类计数原理与分步计数原理 （一）选（排）人选（排）物1.某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方法有（ ）Ａ．14 Ｂ．24 Ｃ．28 Ｄ．482.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种3.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）（A ）280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种 （二）.染色1.用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，如果每一个涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那么涂色的方法有__________种。
概率与统计中的排列组合
概率与统计中的排列组合概率与统计是数学中的一个重要分支，涉及到很多与现实生活有关的问题。
在概率与统计中，排列组合是一个基本的概念，它用于描述对象的不同排列和组合方式。
本文将介绍概率与统计中的排列组合概念及其应用。
排列是指从一组对象中选择若干个对象按照一定的顺序排列的方式。
组合是指从一组对象中选择若干个对象，而不考虑它们的顺序。
排列和组合在概率与统计中有着广泛的应用。
首先，我们来了解排列的概念。
假设有n个对象要排列，而排列的长度为r。
那么可以有n(n-1)(n-2)...(n-r+1)种不同的排列方式。
这个计算公式也可以写成nPr，其中P表示排列的意思。
例如，如果有5个人排队，那么可以有5个人作为第一个人，4个人作为第二个人，3个人作为第三个人，2个人作为第四个人，1个人作为第五个人，所以一共有5P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120种不同的排列方式。
接下来是组合的概念。
同样假设有n个对象要选择，而选择的数量为r。
那么可以有C(n,r) = n!/[(n-r)!r!]种不同的组合方式。
其中C表示组合的意思。
例如，如果有5个人要从中选出3个人组成一个团队，那么一共可以有5C3 = 5! / [(5-3)!3!] = 5*4/(2*1) = 10种不同的组合方式。
排列和组合的应用非常广泛。
在生活中，我们经常会遇到需要考虑顺序或不考虑顺序的问题。
例如，假设有10张扑克牌，我们要从中选出5张作为底牌，那么一共有多少种不同的底牌组合方式呢？首先考虑排列的方式，因为底牌的顺序是有关的。
所以答案是10P5 = 10! / (10-5)! = 10*9*8*7*6 = 30240种不同的组合方式。
接下来考虑组合的方式，因为底牌的顺序不影响结果。
所以答案是10C5 = 10! / [(10-5)!5!] = 252种不同的组合方式。
可以看到，排列的结果要比组合的结果多很多。
除了生活中的应用，排列组合还在概率与统计领域有着重要的应用。
概率问题中的排列与组合
概率问题中的排列与组合在概率统计学中，排列与组合是常用的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列和组合是概率问题中重要的概念，在实际应用中被广泛使用。
一、排列排列是指从给定的元素中选出若干个进行排列，其顺序不同即可形成不同的排列方式。
常用的计算排列的方法有全排列和部分排列两种。
1. 全排列全排列是指从n个元素中选出m个进行排列，其中n≥m。
全排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，那么全排列的结果就是 P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60 种。
2. 部分排列部分排列是指从n个元素中选出m个进行排列，但是不要求完全排列。
部分排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，但不要求完全排列，那么部分排列的结果就是 A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! =60 种。
二、组合组合是指从给定的元素中选出若干个进行组合，其顺序不同不会形成不同的组合方式。
常用的计算组合的方法有普通组合和重复组合两种。
1. 普通组合普通组合是指从n个元素中选出m个进行组合，其中n≥m。
普通组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!) 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行组合，那么普通组合的结果就是 C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10 种。
2. 重复组合重复组合是指从n个元素中选出m个进行组合，允许重复选取，其中n≥m。
重复组合的计算公式为：H(n,m) = C(n+m-1,m) = (n+m-1)! / (m! * (n-1)!) 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，可以重复选取，要选出3个进行组合，那么重复组合的结果就是 H(5, 3) = C(5+3-1, 3) = (5+3-1)! / (3! * (5-1)!) = 35 种。
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概率统计 排列统计
班级： 姓名： 学号： 成绩： 一 、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。
1.以下条件可以确定一个平面的是（ ）。
.A 空间三点 .B 一直线和一个点 .C 两条直线 .D 两平行直线
2.两条直线不平行是这两直线异面的（ ）。
.A 充分条件 .B 必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 3.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字，且数字1和2不相邻的五位数，那么这种五位数的个数是（ ）。
.A 72 .B 60 .C 48 .D 50
4.用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
.A 24个 .B 30个 .C 40个 .D 60个
5.将12人分成两组，一组8人，一组4人的分法数为（ ）。
.A 812A .B 812C .C 841212+C C .D 841212
C C 6.抛掷两枚硬币的试验中，设事件M 表示“两个都是反面”，则事件M 表示（ ）。
.A 两个都是正面 .B 至少出现一个正面 .C 一个是正面一个是反面 .D 以上答案都不对
7.同时抛掷两颗骰子，总数出现9点的概率是（ ）。
.
A 14 .
B 15 .
C 16 .
D 1
9
8.样本：6,7,8,8,9,10的标准差是（ ）。
.A 2 .
B .
C 3 .
D 9.下列变量中，不是随机变量的是（ ）。
.A 一射击手射击一次的环数 .B 水在一个标准大气压下100C 时会沸腾
.C 某城市夏季出现的暴雨次数 .D 某操作系统在某时间发生故障的次数
10.某射击手击中目标的概率是0.84，则目标没有被击中的概率是（ ）。
.A 0.16 .B 0.36 .C 0.06 .D 0.42
11.在12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取2件，2件都是次品的概率是（ ）。
.
A 19 .
B 1
10 .C 111
.D 112
12.
在10(x 的展开式中，6x 的系数为（ ）。
.A 61027C - .B 41027C .C 6109C .D 6
109C -
13.二项式8(1)x -的展开式中的第5项是（ ）。
.A 3
56x .B 3
2
56x - .C 470x .D 270x
14.设()6
26012631+…x a a x a x a x -=+++，则0126+=…a a a a +++（ ）。
.A 32 .B 64 .C 729 .D 56
15.已知某种奖券的中奖概率是50%，现买5张奖券，恰有2张中奖的概率是（ ）。
.
A 25 .
B 58 .
C 516 .
D 5
32
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
把答案填在题中横线上。
16.56101054
99
4P P P P -=- 。
17.甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.9，则恰好有一人击中目标的概率为 。
18.已知互斥事件,A B 的概率3()4P A =
，1()6
P B =，则()P A B ⋃= 。
19.若把英语单词“bookkeeper ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种。
20.若23
1818
x x C C -=，则x = 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出推理、演算步骤。
21.5人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站排头或排尾，那么不同的排法总数是多少？（10分）
22.100件产品中有3件次品，任取5件，下列取法各有多少种？（10分）
（1）没有次品；（2）恰有2件次品。
23.甲、乙两人射击，甲击中靶的概率为0.8，乙击中靶的概率为0.7，现在，两人同时射击，并假定中靶与否是相互独立的，求：
（1）甲中靶乙不中靶的概率；（2）甲不中靶乙中靶的概率。
（10分）
24.计算样本数据：8, 7, 6, 5, 7, 9, 7, 8, 8, 5的均值、方差及标准差。
（13分）
25.12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取3件，求：
（1）3件都是正品的概率；（2）3件都是次品的概率；
（3）1件次品、2件正品的概率；（4）2件次品、1件正品的概率。
(13分)
26.盒中装有4支白色粉笔和2支红色粉笔，从中任意取出3支，求其中白色粉笔支数ξ的概率分布，并求其中至少有两支白色粉笔的概率。
（14分）。