高等数学课后习题答案第六章

习题6-2

1.求图6-21中各画斜线部分的面积:

(1)

解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0,1]. 所求的面积为

6

1]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A . (2)

解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0,1]. 所求的面积为

1|)()(101

0=-=-=⎰x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1,e ]. 所求的面积为

1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A e

e e . (3)

解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3,1]. 所求的面积为

332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A . (4)

解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1,3]. 所求的面积为

332|)313()32(31323

12=-+=-+=--⎰x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

(1)22

1x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解:

3

88282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=⎰ππ

tdt . 3

46)22(122-=-=ππS A . (2)x

y 1=与直线y =x 及x =2;

解:

所求的面积为

⎰-=-=2

12ln 23)1(dx x x A . (3) y =e x ,y =e -x 与直线x =1;

解:

所求的面积为

⎰-+=-=-1

021)(e e dx e e A x x . (4)y =ln x ,y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).

解

所求的面积为

a b e dy e A b a y b

a y -===⎰ln ln ln ln 3.求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.

解:

y '=-2 x +4. 过点(0, -3)处的切线的斜率为4,切线方程为y =4(x -3).

过点(3, 0)处的切线的斜率为-2,切线方程为y =-2x +6.

两切线的交点为)3 ,2

3(,所求的面积为 49]34(62[)]34(34[23

023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A . 4.求抛物线y 2=2px 及其在点),2

(p p 处的法线所围成的图形的面积. 解

2y ⋅y '=2p .

在点),2(p p 处,1),2

(=='p p y p y , 法线的斜率k =-1, 法线的方程为)2(p x p y --=-, 即y p x -=2

3. 求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,2

9(p p -. 法线与抛物线所围成的图形的面积为

233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p p

p =--=--=--⎰. 5.求由下列各曲线 所围成的图形的面积;

(1)ρ=2a cos θ;

解:

所求的面积为

⎰⎰==-202222

2cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A =πa 2. (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ;

解

所求的面积为

⎰⎰⎰===2042202330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a

2206204283]sin sin [12a tdt tdt a ππ

π=-=⎰⎰.

(3)ρ=2a (2+cos θ)

解

所求的面积为

2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[2

1a d a d a A πθθθθθππ=++=+=⎰⎰. 6.求由摆线x =a (t -sin t ),y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.

解: 所求的面积为 ⎰⎰⎰-=--==a

a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(π π22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a

=++-=⎰. 7.求对数螺线ρ=ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积.

解

所求的面积为

)(4

21)(21222222ππππθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A . 8.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.

(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ

解

曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ 交点的极坐标为)3,23(πA ,)3

,23(π-B .由对称性,所求的面积为 πθθθθπππ4

5])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A . (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=.

解

曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6

,22(π. 所求的面积为 2

316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπππd d A .

9.求位于曲线y =e x 下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.

解 设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0,y 0)点, 则有

⎪⎩⎪⎨⎧=='==k

e x y e y kx y x x 00

)(0000, 求得x 0=1,y 0=e ,k =e .

所求面积为

21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e e

=⋅+-=-⎰⎰. 10.求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为α.由图可以看出,抛物线与过焦点

的弦所围成的图形的面积为

10A A A +=.

显然当时,A 1=0;当2

πα<时,A 1>0. 因此,抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的

最小值为

203003

83822a x a dx ax A a a ===⎰

. 2πα=