洛必达法则解决高考问题

洛必达法则简介：

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；

(3)，

那么=。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0；

(3)，

那么=。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；

(3)，

那么=。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。

○2洛必达法则可处理，，，，，，型。

○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型

定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

二．高考题处理

1.(2010年全国新课标理)设函数。

（1）若，求的单调区间；

（2）若当时，求的取值范围

原解：（1）时，，.

当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加

（II）

由（I）知，当且仅当时等号成立.故

，

从而当，即时，，而，

于是当时，.

由可得.从而当时，

，

故当时，，而，于是当时，.

综合得的取值范围为

原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；

当时，等价于

令(x>0),则，令

，则，，

知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。

由洛必达法则知，，

故

综上，知a的取值范围为。

2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

原解：（Ⅰ）

由于直线的斜率为，且过点，故即

解得，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

。

考虑函数，则。（i）设，由知，当时，，h（x）递减。而故当时，，可得；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）设0

当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,，对称轴x=

.

故（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h

（x）<0,与题设矛盾。

（iii）设k 1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0]

原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。

令g (x)= (),则，

再令()，则，

，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；

在上为减函数，在上为增函数；故>=0

在上为增函数

=0

当时，，当x（1，+）时，

当时，，当x（1，+）时，

在上为减函数，在上为增函数

由洛必达法则知

，即k的取值范围为（-，0]

规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题

中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。