数学中的归纳与类比
归纳推理与类比推理
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
总结词
类比推理可以分为简单类比和复杂类比两种类型。
详细描述
简单类比是指基于两个对象之间的直接相似性进行推理，例如通过比较两个物体 的形状、大小、颜色等表面特征来推断它们的其他属性。复杂类比则涉及到更抽 象的概念和关系，需要更深入的分析和理解。
类比推理的优缺点
总结词
类比推理的优点在于能够通过相似性快速推断出其他属性，但也可能因为相似性不足而 导致推断不准确。
归纳推理与类比推理
目录
• 引言 • 归纳推理 • 类比推理 • 归纳推理与类比推理的应用场景 • 归纳推理与类比推理的案例分析 • 结论
01 引言
主题简介
归纳推理与类比推理是两种重要的推理方法，在 逻辑学、数学、科学和日常生活中广泛应用。
归纳推理是从个别到一般的推理过程，通过观察、 实验和经验归纳出一般性规律或结论。
未来研究可以进一步探讨归纳 推理和类比推理的内在机制和 认知过程，以及它们在人类思
维和人工智能领域的应用。
研究可以探索归纳推理和类比 推理在不同领域的应用，例如 心理学、教育学、商业管理和
人工智能等。
未来研究可以关注如何提高归 纳推理和类比推理的准确性和 效率，以及如何将它们应用于 实际问题解决和决策制定中。
类比推理的定义
总结词
类比推理是一种基于两个或多个对象之间的相似性来推断出其他属性的推理方 法。
详细描述
类比推理是通过比较两个或多个对象之间的相似性，推断出它们在其他属性上 的相似性。这种方法基于已有的经验和知识，通过比较不同对象之间的相似点 或共同特征，来推断出它们在其他方面的相似性。
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第1节归纳与类比
§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积． 归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1． 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明． 思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1， 将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较 归纳推理类比类推相同点 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不 同 点特点 由部分到整体，由个别到一般 由特殊到特殊推理过程 从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。
类比和归纳——数学发现的重要方法
类比和归纳——数学发现的重要方法
类比和归纳都是数学发现中非常重要的方法。
类比是一种将一种事物或概念与另一种事物或概念进行比较的方法。
在数学中，类比可以帮助我们发现不同问题之间的相似点，从而形成新的解决方法。
例如，当我们解决一道数论问题时，我们可以使用几何中的类比来更好地理解问题。
归纳是将一个数学事实推广到更普遍的情况的方法。
在数学证明中，归纳是非常重要的一步。
例如，证明一个数列的递推公式，我们通常使用归纳法来完成证明。
类比和归纳都可以帮助我们发现数学之中的规律和特点，从而更好地理解和解决问题。
在数学学习中，我们需要充分利用这两种方法，才能更好地掌握数学知识。
归纳与类比
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = πR3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
我珍视类比胜过任 何别的东西，它是我 最信赖的老师，它能 揭示自然界的秘密。
德国天文学家开普勒（ Kepler，
1571-1630）
“即使在数学里，发 现真理的主要工具也 是归纳和类比．”
法国数学家 拉普拉斯 （Laplase,1749-1827)
例3：传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一 块黄铜板，板上插着三根神针，传说主神再创世 时，在其中一根神针上，从下到上放下了由大到 小的64片金片。并言，将此64片金片移动到第三 根上时，世界末日就到了。其移动的规则是： 1）每次只许移动一片金片； 2) 金片只能在三根神针上存放； 3) 大金片任何时候不能放在小金片上面。 于是从此开始有一个僧侣24小时不间断地（允许 换班）移来移去。问题显然是：什么时候是世界 末日呢？
an 1 2(an 1 1) ∴数列 an 1 是以1位首项，2为
公比的等比数列．
an 2 1
n
an 1 2
n
当n=64时， a64 回到故事中，
2 1
64
=18446744073709551615．
高中数学选修1-2第三章 推理与证明1_归纳与类比1_2类比推理-精选学习文档
1.2 类比推理一、教学目标1.知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。
培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。
我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；2.典型例子方法归纳。
（二）引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。
又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。
惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
（三）例题探析例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。
得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
归纳总结类比推理
归纳总结类比推理归纳总结类比推理是一种思维方式，在我们的日常生活和学习中都起着重要的作用。
通过归纳总结来整理和概括已有的知识和信息，通过类比推理来发现新的规律和关联，可以帮助我们更好地理解事物的本质和发展。
本文将从归纳总结和类比推理的解释、应用场景、实例等方面展开论述，特别强调其重要性与必要性。
一、归纳总结的解释与应用场景归纳总结是一种从具体事例中提炼出共性，进而得出普遍规律和结论的思维方法。
通过观察、实验、研究等方式，我们可以从大量的具体例子中概括出共同的特点和规律，并基于这些规律对其他相关事例进行预测和判断。
归纳总结在科学研究、教育教学、人际交往等各个领域都具有广泛的应用。
在科学研究中，科学家通过归纳总结前人的实验结果和观察数据，才能发现新的科学定律和理论。
例如，牛顿通过总结已有的物理实验和观察结果，得出了万有引力定律。
而在教育教学中，教师通过总结学生的学习情况和表现，可以针对性地制定教学目标和措施，提高教学效果。
此外，在人际交往中，我们也常常通过总结他人的言行和表情来推断他们的心理状态，有助于更好地与他人沟通和交流。
二、类比推理的解释与应用场景类比推理是基于事物之间的相似性来进行推理、判断和预测的一种思维方式。
通过找出不同事物之间的相同或类似之处，我们可以将一个领域的知识或经验应用到另一个领域中，从而发现新的规律和解决问题的方法。
类比推理在创新思维、问题解决、决策制定等方面具有重要的作用。
在创新思维中，类比推理能够帮助我们从已有的事物或概念中获得灵感，创造出新颖的想法和解决方案。
例如，亚马逊创始人杰夫·贝索斯通过类比推理将传统书店转变为线上图书销售平台，从而开创了电商的新模式。
在问题解决中，类比推理可以帮助我们将一个类似的问题的解决方法应用到当前的问题中，提供切实可行的解决方案。
在决策制定中，类比推理可以帮助我们借鉴历史上的成功或失败案例，避免重蹈覆辙，做出明智的决策。
三、归纳总结与类比推理的重要性与必要性归纳总结和类比推理作为一种思维方式，对我们的思考、学习和创新等方面都具有重要的价值。
分类比较法、演绎法、归纳法
分类比较法、演绎法、归纳法分类比较法、演绎法、归纳法一、分类比较法1.定义分类比较法又称类比法，是从两个或两类对象具有某些相似或相同的属性的事实出发，推出其中一个对象可能具有另一个或另一类对象已经具有的其他属性的思维方法。
其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。
2.使用(1)类比法的运作方式：面对卡住的难题，先用一个简单的故事或情境（类比物）做比喻，然后顺着类比物的逻辑思考，再回头将逻辑对照到原本的难题上，就可以产生解决之道。
(2)使用步骤：①列出要解决的问题②选择类别物③建立类比物与问题之间的联系④延伸类比物的故事⑤将故事与问题对照⑥为问题寻找方案(3)例子：问题：地上有个瓶子，里面装满了核桃。
一只猴子走过来，看见里的核桃，伸手去抓，但瓶口太小了，紧抓核桃的的话就没法出来。
那么猴子怎么才能吃到核桃？解决步骤：①列出要解决的问题：瓶子里的核桃没法拿出来，那怎么才能吃到？②选择类别物：椰子。
③建立类比物与问题之间的联系：椰子和这个瓶子类似，外表都有一个壳，都需要解决掉外面的壳，才能吃到里面的食物。
④延伸类比物的故事：以往猴子在吃椰子的时候，是通过使用坚硬的石头把椰子的壳砸破，解决掉坚硬的外壳，就能够吃到里面的椰肉。
⑤将故事与问题对照：在这个问题里，瓶子对照的就是椰子壳，核桃对照的就是椰肉。
⑥为问题寻找方案：通过砸破瓶子，从而吃到里面的核桃。
二、归纳法1.定义归纳法（归纳推论），逻辑推论最基本的形式之一，指根据一个事物具有的某种特质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理方法。
2.分类空间性归纳：我们把在一个地方，一个群体的性质，归到所有地方，所有群体的性质，就叫做空间性归纳。
比如说，在欧洲看到的所有的天鹅都是白色的，所以，全世界的天鹅都是白色的。
时间性归纳：我们把在过去或者现在积累的经验，归纳到未来，认为未来也和现在和过去一样，这叫做时间性归纳。
比如说，在我们过去的时间和经验里，太阳总是从东方升起，所以将来太阳还会从东方升起。
归纳推理与类比推理异同点比较
归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理一归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明二归纳推理和类比推理的区别:一归纳推理1归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2归纳推理的特点:（1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．3归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法3归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．二类比推理（以下简称类比）1类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具例1如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n=．【答案】a n=3n2-3n1【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个,a1=1;图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个,a2=232;图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称,a3=34543;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=nn1…2n-1…n1n=3n2-3n1【评析】上例是利用归纳推理解决问题的归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一例2如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得=。
数学归纳法
数学归纳法数学归纳法是指根据归纳的原则和方法，按照事物发展和变化有目的地将一些数学问题进行有效地归类，进而达到“从现象到本质”的过程。
归纳法是指根据数学知识本身产生、发展、变化的规律，总结出一些数学规律或结论，用以指导自己进行抽象思维和具体运算，达到抽象概括并联系生活实际的目的。
数学归纳法包括：归类法、类比法、归纳法。
归类法：可以从数组或数列中把不同的变量归类出来，并对每个变量采取与变量相对应的顺序或层次归入其属性之中作为标准。
类比法：可以对每一个与各个数学分支有关的数学问题进行类比分析，然后得出各数学分支之间以及与之相关的其他数学分支之间进行类比，并对这些分类与各数学分支之间的关系进行推理，得出各种数学结论。
归纳法在教育教学中很重要，但对数学知识没有太多认识意义或者不懂得怎样运用归纳方法找到有效信息，是不能很好地解决数学问题的。
归纳法：在教学中运用较为广泛的一种方法。
在教学过程中要根据实际情景，合理地运用归纳方法收集知识、处理问题、解决问题等过程。
归纳主要包括两个方面：一是按照事物特点进行汇总与归类；二是根据所要考察的知识点选择相应的方法加以进行。
1.汇总与归类首先，根据数学概念、公式和基本法则，将其归纳到一个有一定逻辑顺序结构和一定组织形式的总目录，然后对这些目录加以处理，整理出一个数组或者数列，使之便于操作、便于学习应用。
其次，要综合考虑一些因素导致某一元素有其独特属性，在进行相应的分类。
这就是所谓的“按属性分类”，它包括三个方面：一是每个元素都有一个基本的属性；二是各元素有自己独特的属性类型；三是其独特的属性类型与其他元素之间存在着密切的关系。
最后要注意分类的层次性和关联性。
分类首先要对各元素的属性性质做出概括（即归纳）和确定。
其次为不同类别之间建立起合理的逻辑顺序与逻辑层次（即类别）。
但在汇总和归类过程中要注意两点：一是根据一定原则、方法、事物发展演变态势进行汇总或归类；二是必须建立起合理系统且有逻辑层次结构形式和各种不同类别之间是否存在着相互关联关系。
归纳法和类比法
如
1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
例1、有一盒糖果，只发给小班朋友，平均每人可
得20颗；只发给大班朋友，平均每人可得30颗，
现在要把糖果发给大班和小班小朋友，平均每人
可得几颗？ 例2、李老师为课外兴趣小组买书，他带的钱正好 可买15本语文书或24本数学书，如果李老师先买 了10本语文书后，剩下的买数学书，还可以买几
不难发现,方程左边各项系数之和为0,故知方程有 两个等根,均为1,于是可利用韦达定理,其两根之积为:
yz 1,即2 y x z x y
故x,y,z成等差数列。
四、正确认识类比法所做出的结论 类比方法是数学发现中一个十分重要的方法。 但它作为一种合理推理的形式所得的结论也只能 是猜想。即类比会引向发现也会导致错误。我们 要从积极的方面去认识它的作用：其思想方法能 促使我们思考，启发与诱导我们去探讨问题。
3、解题方法上的类比
仔细观察条件发现它与 一元二次方程ax 2 bx c 0 ( a 0 )的根的判别式b 2 4ac 0类似 ,
例5 8 若( z x )2 4( x y )( y z ) 0,则x , y , z成等差数列。
于是联想到将已知条件 看作是关于 t的二次方程 : ( x y )t 2 ( z x )t ( y z ) 0有等根的条件。
n 归纳猜想求和公式为： s n 2n 1
下面用数学归纳法来证明此结论。（略）
本数学书？
• 例4、一批布如果用来做上装可以做180件；如果用 来做裤子可以做220件。如果用来做套装，可以做 多少套？
三、几种常用的类比形式 1、平面与空间的类比 2、数与形的类比 3、解题方法上的类比
归纳推理和类比推理
练习1
电视纪录片不只是表现了那些来自遥远的东非的人们对保护野 生动物的虔诚，而且还向我们展示了在一个缺少食品的国 度，大象是一种有害的动物，而且是一种聪明的有害动物。 目前好像还没有办法保护非洲东部的农田免受晚上出来寻 找事物的狼吞虎咽的象群的破坏。显然，这个例子表明： 以下哪项最合逻辑地完成上文的论述？ A．保护野生动物可能会危害人类的安康。 B． 现在应将大象从濒临灭绝的动物名单中除去。 C．电视纪录片除了重复那些被接受的虔诚外不应再纪录 别的事。 D．农民和农业官员在采取任何控制象群的措施前应当与 野生动物保护者密切合作。
II.近三年来，湖州地区日均 耗电量逐年明显增加。
III.今年湖州地区任一用电超 标单位的日均耗电量都高于 全地区的日均耗电量。
A.只有I C.只有III
B.只有II D.只有II和III
练习7
某社会机构公布了一项长期社 会调查的结果，调查显示：在 婚后的１３年里，妇女们平均 增长了１３公斤，男人们平均 增长了２０公斤。这一机构得 出结论：婚姻能使人变胖。
师大附中与学生家长订了协议，如果孩子的 学习成绩的名次没有排在前二十名，双方共 同禁止学生玩滚轴溜冰。
玩滚轴溜冰的同学受到了学校有效的指导， 其中一部分同学才不至于因此荒废学业。
练习4
在一项实验中,实验对象的一半作为实验组,食用 了大量的味精。而作为对照组的另一半没有吃这 种味精。结果,实验组的认知能力比对照组差得多。 这一不利的结果是由于这种味精的一种重要成 分——谷氨酸造成的。
以下哪项如果为真,则最有助于证明味精中某 些成分造成认知能力低下这一结论?( )
大多数味精消费者不像试验中的人那样使用 大量的味精
上述结论中提到的谷氨酸在所有蛋白质中都 有,为了保证营养必须摄入一定量
类比知识点归纳总结大全
类比知识点归纳总结大全在学习知识的过程中，我们经常会遇到各种各样的知识点，有时候这些知识点繁杂、分散，很难整理和归纳。
因此，我们需要对学习的知识点进行总结和归纳，以便更好地理解、记忆和应用这些知识。
为了帮助大家更好地总结和归纳知识点，本文将通过类比的方式，对一些常见的知识点进行归纳总结。
类比是一种辅助记忆和理解的方法，通过将一个陌生的概念或知识点与一个熟悉的概念或知识点进行比较，从而帮助我们更好地理解和记忆。
希望通过本文的类比知识点归纳总结大全，能够帮助大家更好地掌握和运用各种知识点。
一、数学知识点类比总结1. 代数代数可以类比成一组钥匙，每一个未知数就像是一个锁，通过代数运算可以找到对应的钥匙打开锁。
例如，解方程可以类比成找到未知数对应的值，从而打开锁。
2. 几何几何可以类比成一幅画，通过几何知识可以描述和绘制各种形状和图形。
例如，通过几何知识可以画出圆、矩形、三角形等各种图形。
3. 概率与统计概率与统计可以类比成赌场的游戏，通过概率与统计可以预测各种事件发生的可能性及其规律。
例如，掷骰子的结果就可以用概率统计来描述和分析。
4.微积分微积分可以类比成测量物体体积和面积的工具，通过微积分可以计算曲线下的面积、切线的斜率等各种问题。
例如，通过微积分可以计算出一个图形的面积和体积。
二、物理知识点类比总结1. 力学力学可以类比成运动的规律，通过力学可以描述和分析各种物体的运动状态及其规律。
例如，牛顿的三大运动定律就是力学的基本规律。
2. 热学热学可以类比成温度和热量的规律，通过热学可以描述和分析各种物体的热量变化及其规律。
例如，热传导、热膨胀等都是热学的重要内容。
3. 电磁学电磁学可以类比成电流和磁场的规律，通过电磁学可以描述和分析各种电磁现象及其规律。
例如，电路中的电流、磁铁的磁场等都是电磁学的重要内容。
4. 光学光学可以类比成光线和镜面的规律，通过光学可以描述和分析光的传播及其规律。
例如，通过光学可以解释折射、反射等光学现象。
归纳推理及类比推理
三、求同求异并用法（契合差异并用 求同求异并用法（ 法）
1、含义：如果被研究现象出现的若干场合（正事例组）中， 、含义：如果被研究现象出现的若干场合（正事例组） 只有一个共同的情况，而在被研究现象不出现的若干场合 只有一个共同的情况， 负事例组） 却没有这个情况， （负事例组）中，却没有这个情况，那么这个情况就与被研 究现象之间有因果联系。 究现象之间有因果联系。 2、用公式表示为： 、用公式表示为： 场合 相关情况 被研究现象 a （1） A，B，C，F ） ， ， ， a （2） A，D，E，Q ） ， ， ， a （3） A，F，Q，C ） ， ， ， …… …… …… （11） ﹁ A，B，C，F ﹁ a ） ， ， ， （22） ﹁ A，D，E，Q ﹁ a ） ， ， ， （33） ﹁ A，F，Q，D ﹁ a ） ， ， ， 所以， 与 所以，A与a 之间有因果关系
假说
一、假说的特征 1、含义：就是人们根据已有的事实材料和科学 、含义： 原理， 原理，对未知的事物或规律性所提出的一个假 定性的、系列的解释。 定性的、系列的解释。 2、特征 、 1）假说是以事实材料和科学原理为依据的，不 ）假说是以事实材料和科学原理为依据的， 同于神话，不同于妄说。 同于神话，不同于妄说。 2）假说有推测的性质，还不是可靠的认识，需 ）假说有推测的性质，还不是可靠的认识， 要实践的检验。 要实践的检验。 3）假说是人的认识接近客观真理的方式。 ）假说是人的认识接近客观真理的方式。
二、如何提高类比推理结论的可靠性 1、如果前提所提供的类比对象越多（相似）的属 、如果前提所提供的类比对象越多（相似） 那么，结论的可靠性就越高。 性，那么，结论的可靠性就越高。 2、前提中所提供的相同属性与推移属性之间的联 、 系越密切，则结论的可靠程度就越高。 系越密切，则结论的可靠程度就越高。 三、类比推理的作用 1、类比推理可以启发人的思路，在创造性思维中， 、类比推理可以启发人的思路，在创造性思维中， 常常用到类比推理。 常常用到类比推理。 2、科学史上许多科学事实的发现和科学假说的提 、 都是借助于类比推理。 出，都是借助于类比推理。
高中数学归纳与类比教案
高中数学归纳与类比教案
一、教学目标：
1. 理解和掌握高中数学中的归纳与类比方法；
2. 能够运用归纳与类比方法解决实际问题；
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容：
1. 数学归纳法的基本概念和步骤；
2. 数学类比法的基本原理和应用；
3. 练习归纳与类比的相关题目。
三、教学过程：
1. 导入：通过一个实际问题引出数学归纳与类比的重要性，并与学生互动讨论。
2. 讲解：介绍数学归纳法的基本思想和步骤，以及类比法的基本原理和应用范围。
并通过具体例题进行讲解。
3. 练习：让学生分组进行练习，通过一些常见的归纳与类比题目，培养学生的解题能力。
4. 拓展：引导学生将归纳与类比方法应用到其他学科或领域中，拓展学生的思维。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强调数学归纳与类比在解决实际问题中的重要性。
四、课后作业：
1. 完成课堂练习题目；
2. 查阅相关资料，了解数学归纳与类比的更多应用。
五、教学反思：
本节课通过生动的案例和具体的练习，引导学生理解和掌握了数学归纳与类比方法，同时培养了学生的逻辑思维和解题能力。
在今后的教学中，应该多注重培养学生的综合能力，使他们能够灵活运用所学知识解决实际问题。
演绎、归纳与类比
例3:“椭圆的标准方程”教学设计
复习圆的标准方程的建立过程：建立平面直角坐标系——设出定 点与动点的坐标——利用圆的概念建立方程——化简方程.类比 圆方程的推导过程，学生独立思考的基础上小组合作探究椭圆的 标准方程的推导过程:建立平面直角坐标系——设出定点与动点 的坐标——利用椭圆的概念建立方程——化简方程.上述了两个 方程的建立方法完全一样，所不同的是方程的化简环节：根据圆 的定义建立的方程只含有一个二次根式，一次平方可以将无理式 化归为有理式；根据椭圆的定义建立的方程是含有两个二次根式 的方程，需要两次平方方能将无理式化归为有理式.如何平方是 教学的难点内容，此处可以充分发挥学生的学习自觉性，鼓励学 生广泛联想，将之前学习的知识类比、迁移过来解决这个问题， 这样做能够培养学生数学思维的灵活性与创新性，为进一步学习 打下扎实的基础.
类比推理
类比推理
类比推理获得结论不一定可靠.
类比的常见类型
个别与一般的类比.如数的运算到式的运算，图 形的全等到图形的相似，整数指数幂到分数指 数幂等等. 某种特性的类比.如从数的分配率c(a+b)=ca+cb 到式的分配率、数列的极限运算 limC(A+B)=limCA+limCB等等. 低维与高维的类比.如从三角形的重心到四面体 的重心，平面三角到球面三角，一维积分到多 维积分等等. 方法的类比. 如一元一次不等式的解法与一元 一次方程的解法类似.
第二数学归纳法举例
有两堆棋子，数目相同，两人玩耍， 规则是：两人轮流取子，每人可以 在一堆中任意取子，但不能同时在 两堆取，取得最后一颗的人获胜， 求证后取者一定胜利.
跳步归纳法
设T(n)是一个关于正整数的命题,如果 T(n)满足: （1）对n=1,2,… 成立; （2）假设T(k)(k是正整数,1≤k≤ )成立 能推出T(k+ )成立； 那么命题T(n)对一切正整数成立.
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比1.1.2类比推理教案北师大版选修2
1.2 类比推理精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
归纳类比推理(本)
差异法（method of difference ），亦称求异 法：就是在被研究现象出现和不出现的正反 两个场合中，其余相关因素都相同，只有一 个相关因素不同，进而确定这一不同的相关 因素与被研究现象之间具有因果联系的逻辑 方法。
38
3.2．差异法的运用过程（公式）
场 合 （不同的场景） 某甲 正面场合 某乙 反面场合 相关因素 （可能的原因） A B C D ～A B C D 被纳推理是简单枚举归纳推理 的发展和深化。它不仅考察了一类事物 对象具有某种属性，在考察中没有出现 反例，而且进一步探索、揭示了对象与 属性之间的因果关系，证明它们之间具 有必然性联系。因此，科学归纳法比简 单枚举法的结论要可靠得多。科学归纳 推理就在于要对事物对象与属性之间的 因果联系进行科学分析。
24
三、科学归纳推理
科学归纳推理又叫因果关系归纳推理，是通过分析出一 类事物对象所以具有某种属性的原因，从而推出该类事物对 象都具有该种属性的归纳推理。 科学归纳推理的逻辑形式： S1是P， S2是P， S3是P， ∶ Sn是P， （S1……Sn是S类的部分对象，，且S、P之间具有因果系） 所以，所有S是P。 人死亡后2-4小时内会出现尸僵，因为人死后肌肉内的磷酸 腺苷会不断分解减少，使得肌肉脱水凝固而形成尸僵。
26
科学归纳法与简单枚举法的不同：
简单枚举法 推理的根据 科学归纳法
前提中不出现 对象与属性之 反例 间具有因果联 系 非决定性 前提数量对结 决定性 论的意义 结论的可靠性 不高，或然性 高，或然性小 大
27
四、弥尔方法
弥尔方法（Mill’s methods），国内通称“穆勒五 法”或“弥尔五法”，是探求因果联系的最简单 的逻辑方法，也是传统归纳逻辑的主要内容。 弥尔方法，最早是由英国逻辑学家l在“A Logical System : Ratiocinative and inductive ” （严复译为《穆勒名学》）中总结概括出来的逻 辑方法。
数学中的归纳与类比
数学教学中的归纳与类比摘要：数学教师要想有所发现、有所创造并培养出有创新能力的学生, 就要认真研究数学发现中的规律, 研究数学的思想方法，只有掌握了正确的数学思想方法, 才能学得深刻, 理解得透彻, 才能用学到的知识解决实际问题。
关键词教学归纳类比学习数学史, 看看数学家们实际的工作, 我们会发现, 和其他自然科学一样, 数学家们的科学研究工作也是从观察和实验开始, 通过归纳和类比, 经历失败和挫折, 终于领悟而发现一条规律, 做出一个证明的。
伟大的数学家拉普拉斯曾经说过, “甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳和类比。
”而开普列是说到“我珍惜类比胜于任何别的东西, 它是我最可信赖的老师, 它能揭示自然界的秘密, 在几何学中它应该是最不容忽视的。
”欧拉, 这位十八世纪里领袖的数学家和带头的物理学家, 也正是一位用归纳和类比方法的大师,他曾经用正确的归纳和大胆的类比做出了很多惊人的著名的数学发现。
本文通过一些教学中的例子，来说明归纳与类比的重要性。
1、归纳所谓归纳, 作为数学思想方法, 是指通过对特例的分析去引出普遍的结论，主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论, 有时得到的结论不一定是正确的, 要求对归纳出的结论进行严格的证明。
具体过程是:归纳(不完全) ——猜想——完全归纳(数学归纳法证明) 。
数学归纳法是应用范围相当广泛的论证方法, 其基本形式是: 为了证明与参数n 有关的命题对一切自然数成立, 首先验证归纳基础, 其次提出归纳假设, 最后完成归纳过渡, 从而得到结论对一切自然数成立。
归纳包括：枚举归纳、、类比归纳、实验归纳、统计与模式归纳。
1.1 枚举归纳枚举归纳法是从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的所有分子都具有该性质的逻辑方法. 枚举归纳法只依靠所枚举的事例的数量, 因此它所得到的结论可靠性较低, 一旦遇到一个反例, 结论就会被推翻. 但是枚举归纳法仍有一定的作用, 通过枚举归纳法得到的结论可作为进一步研究的假说.例1 观察图1中每一个大三角形中白色三角形的排列规律, 则第5个大三角形中白色三角形有121个.图1分析设第n个大三角形中白色三角形有an 个.第1个里面蕴含1个白色三角形(即a1 = 1);第2个里面蕴含4个白色三角形(即a2 = 1+ 3a1 );第3个里面蕴含13 个白色三角形(即a3 = 1 +3a2 );…通过前三个里面蕴含的规律, 可以发现第n 个大三角形中白色三角形有an = 1+ 3an- 1个. 因此, 可知a1 = 1,a2 = 4, a3 = 13, a4 = 40, a5 = 121。
归纳与类比在中学数学教学中的应用 毕业论文
归纳与类比在中学数学教学中的应用毕业论文摘要：归纳和类比是中学数学教学中常用的教学方法，本文分析了归纳和类比在中学数学教学中的应用及其优缺点，并提出相应的教学方法和策略。
通过实践和研究，归纳和类比是中学数学教学中必不可少的教学手段，可以提高学生对知识的理解和掌握能力，促进学生的探究精神和创新思维能力。
关键词：归纳，类比，中学数学教学，教学方法和策略一、引言我国中学数学教学中，教师常常采用归纳与类比的教学方法。
归纳和类比作为一种常用的数学思维方法，能够启发学生的思维和创造力，提高学生的学习兴趣和学习情感。
由于归纳和类比在教学中的应用丰富多样，因此它们成为中学数学教学中非常重要的教学手段之一。
本文旨在探讨归纳和类比在中学数学教学中的应用，并提出教学方法和策略。
二、归纳在中学数学教学中的应用1. 概念的形成归纳是一种通过特殊到一般的推理方法，将若干特殊事例的共性特点总结出来形成概念的过程。
例如，我们可以通过观察和归纳，总结出一些常用等式的基本规律。
在教育教学中，归纳方法被广泛地应用。
在中学数学教学中，教师可以通过讲解一些具体的例子，引导学生发现某些规律，进而总结出这种规律的一般形式。
例如，在讲解三角函数时，我们可以通过讲解三角函数的定义和性质，举出一些具体例子，让学生通过总结和归纳的方法，理解三角函数的一般规律。
2. 证明思路的开展在中学数学教学中，证明是一项非常重要的工作。
证明不仅能够加深学生对知识的理解和掌握，还能够提高学生的逻辑思维能力和创新精神。
然而，在证明的过程中，我们常常需要使用归纳法。
归纳法是通过特殊到一般的过程进行证明，证明过程较为简洁明了。
在教学中，教师常常通过归纳法证明一些定理，例如，证明数学归纳法原理。
教师可以通过让学生解决一些具体问题，引导学生找到归纳的规律，然后在此基础上证明一般规律，提高学生的证明能力和思维能力。
三、类比在中学数学教学中的应用1. 知识的拓展类比是对事物间相似性或共性的分析和比较，得出新颖问题解决方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学中的归纳与类比数学教学中的归纳与类比摘要：数学教师要想有所发现、有所创造并培养出有创新能力的学生, 就要认真研究数学发现中的规律, 研究数学的思想方法，只有掌握了正确的数学思想方法, 才能学得深刻, 理解得透彻, 才能用学到的知识解决实际问题。
关键词教学归纳类比学习数学史, 看看数学家们实际的工作, 我们会发现, 和其他自然科学一样, 数学家们的科学研究工作也是从观察和实验开始, 通过归纳和类比, 经历失败和挫折, 终于领悟而发现一条规律, 做出一个证明的。
伟大的数学家拉普拉斯曾经说过, “甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳和类比。
”而开普列是说到“我珍惜类比胜于任何别的东西, 它是我最可信赖的老师, 它能揭示自然界的秘密, 在几何学中它应该是最不容忽视的。
”欧拉, 这位十八世纪里领袖的数学家和带头的物理学家, 也正是一位用归纳和类比方法的大师,他曾经用正确的归纳和大胆的类比做出了很多惊人的著名的数学发现。
本文通过一些教学中的例子，来说明归纳与类比的重要性。
1、归纳所谓归纳, 作为数学思想方法, 是指通过对特例的分析去引出普遍的结论，主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论, 有时得到的结论不一定是正确的, 要求对归纳出的结论进行严格的证明。
具体过程是:归纳(不完全) ——猜想——完全归纳(数学归纳法证明) 。
数学归纳法是应用范围相当广泛的论证方法, 其基本形式是: 为了证明与参数n 有关的命题对一切自然数成立, 首先验证归纳基础, 其次提出归纳假设, 最后完成归纳过渡, 从而得到结论对一切自然数成立。
归纳包括：枚举归纳、、类比归纳、实验归纳、统计与模式归纳。
1.1 枚举归纳枚举归纳法是从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的所有分子都具有该性质的逻辑方法. 枚举归纳法只依靠所枚举的事例的数量, 因此它所得到的结论可靠性较低, 一旦遇到一个反例, 结论就会被推翻. 但是枚举归纳法仍有一定的作用, 通过枚举归纳法得到的结论可作为进一步研究的假说.例1 观察图1中每一个大三角形中白色三角形的排列规律, 则第5个大三角形中白色三角形有121个.图1分析设第n个大三角形中白色三角形有an 个.第1个里面蕴含1个白色三角形(即a1 = 1);第2个里面蕴含4个白色三角形(即a2 = 1+ 3a1 );第3个里面蕴含13 个白色三角形(即a3 = 1 +3a2 );…通过前三个里面蕴含的规律, 可以发现第n 个大三角形中白色三角形有an = 1+ 3an- 1个. 因此, 可知a1 = 1,a2 = 4, a3 = 13, a4 = 40, a5 = 121。
例2 如图2所示, 已知点A ( 0, 0), B ( 3, 0), C ( 0, 1), 在△ABC 内依次作等边三角形, 使一边在BC 边上, 作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B1, 第2个△B1A2B2, 第3个△B2A3B3,…则第n个等边三角形的边长等于√32n图2分析 显然要求第n 个等边三角形的边长, 需要求出第1个等边三角形的边长、第2个等边三角形的边长,…, 从中发现规律△ABC 在平面直角坐标系下,显然OB = √3, 通过计算可得出OB1 =√32, B1B2 =√322,…,Bn-1Bn =√32n1.2 类比归纳类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似的对象进行对比, 做出归纳判断的一种科学研究方法. 在中考数学中考查类比归纳法, 引导学生通过对知识的类比和归纳, 把知识由点连成线, 由线织成网, 使知识有序化、系统化, 从而使学生掌握知识内在的规律.例3 如图3是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒, a, b 是某行的前两个数,当a= 7时, b= 22.图3 分析 一看到此题, 学生应该头脑中马上映现出杨辉三角的基本数表结构对比杨辉三角形的性质通过观察、类比、归纳三角形数垒的特征, 当a= 6, 邻近的数字是16, 那么当a =7, 邻近的数字是22.1.3 实验归纳实验归纳是直接从观察实验结果中分析、归纳、概括而总结出规律的方法. 在中考试题中, 需要学生动手操作, 通过实验, 依托直觉, 对实验的结果进行大胆猜想, 形成解决问题的初步方案; 然后根据猜想, 继续实验, 通过实验来验证方案, 从而解决问题.例4 已知等边三角形纸片ABC 的边长为8, D 为AB 边上的点, 过点D 作DG∥BC 交AC 于点G. DE⊥BC于点E, 过点G 作GF⊥BC于点F, 把三角形纸片ABC 分别沿DG, DE, GF 按图4所示方式折叠,点A,B,C 分别落在点A ’,B ’,C ’处. 若A ’,B ’,C ’在矩形DEFG 内或其边上, 且互不重合, 此时我们称△A ’B ’C ’(即图中阴影部分)为“重叠三角形”.( 1) 若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形), 点A,B,C,D 恰好落在网格图中的格点上. 如图4所示, 请直接写出此时重叠三角形A ’B ’C ’的面积.图4 图5 ( 2)实验探究: 设AD 的长为m, 若重叠三角形A ’B ’C ’存在. 试用含m 的代数式表示重叠三角形A ’B ’C ’的面积, 并写出m 的取值范围.分析 通过一个等边三角形进行折叠实验.根据折叠, 发现结果是等边三角形, 那么可以猜测如果出现重叠的话, 那么可能是等边三角形. 此时的归纳结论还属于猜测, 通过第二次或第三次的折叠来验证结论, 在验证的过程中, 可能会出现没有重叠的可能性, 那么根据直觉经验, 能否获得重叠三角形可能与点D 有密切联系, 从而顺利过渡到m 取值范围上来解 根据折叠, 设A ’ D 的长为m, 那么A ’B ’的长为8- 2m, 从而s ∆A ’B ’C ’=√3(4−m)2 此时8- m > m, 即得m< 4. 那么m 到底应该至少多长才会出现重叠呢? 观察实验可以得出8- 2m ≥m, 解m ≥83.故83≤m <4.1.4 统计归纳统计归纳推理是归纳推理的主要形式, 作为归纳推理, 它是以一些统计数据或资料为前提, 以概率演算为基础, 由样本所含单位具有某属性的相对频率推出总体所含单位具有该属性的概率.例5 初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一. 为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级, A 级: 对学习很感兴趣; B 级: 对学习较感兴趣; C 级: 对学习不感兴趣), 并将调查结果绘制成图6 和图7 的统计图(不完整). 请根据图中提供的信息, 解答下列问题:( 1)此次抽样调查中, 共调查了多少名学生;( 2)将图6补充完整;( 3)求出图7中C 级所占的圆心角的度数;( 4)根据抽样调查结果, 请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标(达标包括A级和B 级)?图6 图7分析以柱状图、扇形图等来呈现资料, 要读懂里面蕴含的信息, 从而迅速求解.解 ( 1) 200; ( 2)图8( 3) C 所占圆心角度数360°× ( 1- 25% - 60% ) =54°( 4) 20000 × ( 25% + 60% ) = 170001.5模式归纳模式归纳是借助于已有的提供数、图表信息, 以此为依据, 构造数学模型, 进行归纳得出结论的过程. 模式可以包括数的模式、形的模式、运动变化的模式、推理通信的模式、算法模式等等.例6将4个数a, b, c, d 排成2行2列, 两边各加一条竖线记作|a b c c|, 定义|a b c c|= ad –bc.上述记号就叫做二阶行列式. 若|x +1x −11−x 1+x |=6,则x =±√2. 分析 此题给出了一个新的运算规则, 学生需读懂这个运算规则, 然后根据运算规则, 将二阶行列式转化为一个一元二次方程, 从而获得解决.解 计算(x +1)(x+1)-(1-x)(x-1)=6, 解得x =±√2.例7 如图9, 根据下面的运算程序, 若输入x = 1-√3时, 输出的结果y 是多少?图9分析 此题结合程序设计框图, 设计出一个选择结构, 构造出一个算法模式. 使输入值与输出值之间产生新的函数关系.解 根据输入的数值, 选择合理的算式, 显然得出结果- 1-√3.2 类比《数学课程标准》中新增加“推理与证明”包含演绎推理与合情推理, 新一轮基础教育数学课程改革中, 给了合情推理应有的关注. 《数学课程标准》在选修1- 2 与选修2- 2 中设计了推理与证明内容, 要求学生结合已学过的数学实例和生活的实例, 对合情推理与演绎推理的方法进行概括总结, 体会合情推理与演绎推理在数学结论发现与数学体系建构中的作用.而类比作为一种常用的合情推理方法, 具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用, 有利于创新能力的培养. 本文结合试题实例, 从概念类比、方法类比、升维类比、结构类比四个角度, 对近几年试卷中出现的“类比”型试题进行分类解析, 探讨教学实践中对学生类比推理能力的培养.2.1 类比推理及其特征所谓类比推理是根据两个( 或两类) 不同的对象在某些方面( 属性、关系、特征、形式等) 有相同或相似性, 猜测它们在其他方面也可能相同或相似, 即把信息从一个对象转移到另一个对象, 并作出某种判断的推理方法. 类比的实质就是信息从模型向原型的转移, 恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.2.2 常见类比类型2.2. 1 概念类比用类比法引入新概念, 可使学生更好地理解新概念的内涵与外延. 数学中的许多概念, 知识点之间有类似的地方, 在新概念的提出, 新知识的讲授过程中,运用类比的方法, 能使学生易于理解和掌握, 有效培养学生的探究能力.如：三角形的外接圆和三角形的内切圆类比，大多数学生会把外心和内心的概念及性质混淆。
针对这一问题，采用类比思想，把三角形的外心和内心的概念及性质归纳为：外心是三角形三边中垂线的交点，它随三角形的形状不同，位置也不同，它在锐角三角形的内部，在直角三角形斜边的中点处，在钝角三角形的外部，它是三角形外接圆的圆心，具有到三角形三个顶点的距离相等的性质。
内心是三角形内切圆的圆心，它是三角形三个内角平分线的交点，它一定在三角形的内部，不随三角形形状的改变而变化位置，它到三角形三边的距离相等。
2.2.2 方法类比例如：解一元一次不等式与解一元一次方程类比解一元一次方程：2x+9=6-x解：移项，得：2x+x=6-9合并同类项，得：3x=-3系数化为1，得：x=-1解一元一次不等式：2x+9＜6-x解：移项，得：2x+x＜6-9合并同类项，得：3x＜-3两边都除以3，得：x＜-1学生只要注意最后一步：系数化为1时，不等式的两边如果都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变即可。