高三数学练习题及答案(六)

合集下载

高三数学练习题及答案

高三数学练习题及答案题一：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，求f(x)的单调增区间和单调减区间。

解：首先，我们需要求出f(x)的一阶导函数f'(x)和二阶导函数f''(x)。

f'(x) = 6x^2 - 6x - 12f''(x) = 12x - 6接下来，我们需要找出f'(x)和f''(x)的零点，即解方程6x^2 - 6x - 12 = 0和12x - 6 = 0。

解方程1：6x^2 - 6x - 12 = 0化简得：x^2 - x - 2 = 0因此，(x - 2)(x + 1) = 0解得：x = 2或x = -1解方程2：12x - 6 = 0解得：x = 1/2根据一阶导函数f'(x)和二阶导函数f''(x)的零点，我们可以得出f(x)的单调性：当 x < -1 时，f''(x) < 0，f'(x) < 0，说明函数f(x)在此区间上是单调递减的；当 -1 < x < 1/2 时，f''(x) > 0，f'(x) < 0，说明函数f(x)在此区间上是单调递增的；当 x > 2 时，f''(x) > 0，f'(x) > 0，说明函数f(x)在此区间上是单调递增的。

综上所述，f(x)的单调递减区间为(-∞, -1)，单调递增区间为(-1, 1/2)和(2, +∞)。

题二：已知集合A = {x | -2 ≤ x < √3}，集合B = {x | x^2 - 3 ≤ 0}，求A与B 的交集和并集。

解：首先，我们需要求出集合A和集合B的元素。

集合A的元素为x，满足-2 ≤ x < √3。

即A = {-2, -1, 0, 1, 2}。

高三向量练习题及答案

高三向量练习题及答案向量是数学中重要的概念之一，它广泛应用于各个领域，尤其在几何学和物理学中。

本文将为高三学生提供一些向量练习题，并附上详细的答案和解析，以帮助他们更好地理解和掌握向量的相关知识。

1. 练习题一已知向量A = (3, -2) 和向量B = (-1, 4)，求向量A + B的结果。

答案解析：向量A + B的结果等于将A和B的对应分量相加，所以A +B = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。

2. 练习题二已知向量C = (5, -3) 和向量D = (-2, 1)，求向量C - D的结果。

答案解析：向量C - D的结果等于将C和D的对应分量相减，所以C -D = (5 - (-2), -3 - 1) = (7, -4)。

3. 练习题三已知向量E = (2, 5)，求向量E的模长。

答案解析：向量E的模长等于它的分量平方和的平方根，所以|E| = √(2^2 + 5^2) = √(4 + 25) = √29。

4. 练习题四已知向量F = (3, -4)，求向量F的单位向量。

答案解析：向量F的单位向量等于将F除以它的模长，所以F的单位向量 = (3/|F|, -4/|F|) = (3/5, -4/5)。

5. 练习题五已知向量G = (1, 2) 和向量H = (3, -1)，求向量G和向量H的数量积。

答案解析：向量G和向量H的数量积等于将G和H的对应分量相乘，然后再相加，所以G·H = (1 * 3) + (2 * (-1)) = 3 - 2 = 1。

6. 练习题六已知向量I = (2, -3) 和向量J = (-4, 5)，求向量I和向量J的向量积。

答案解析：向量I和向量J的向量积等于将I和J的对应分量相乘，然后再相减，所以I × J = (2 * 5) - ((-3) * (-4)) = 10 - 12 = -2。

通过以上的练习题，我们可以看到向量的运算方法和性质。

高三数学练习题含答案

高三数学练习题含答案1. 题目：已知函数$f(x)=2x^2-3x+5$，求函数$f(x)$的最小值及对应的$x$值。

解析：函数$f(x)$是一个二次函数，其对应的抛物线开口朝上。

根据二次函数的性质，最小值出现在抛物线的顶点处。

首先，我们需要找到抛物线的顶点。

对于二次函数$ax^2+bx+c$，其中$a>0$，顶点的横坐标可以通过公式$x=-\frac{b}{2a}$来计算。

根据题目中给出的函数$f(x)=2x^2-3x+5$，可以得到$a=2$，$b=-3$。

代入公式，得到$x=-\frac{-3}{2(2)}=\frac{3}{4}$。

接下来，我们将$x=\frac{3}{4}$代入函数$f(x)$中，计算最小值。

即$f\left(\frac{3}{4}\right)=2\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\left(\frac{3}{4}\right)+5=\frac{39}{8}$。

因此，函数$f(x)$的最小值为$\frac{39}{8}$，对应的$x$值为$\frac{3}{4}$。

2. 题目：已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，前三项依次为$a_1=3$，$a_2=6$，$a_3=9$。

求等差数列的通项公式。

解析：等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$。

我们可以利用已知的前三项来确定公差$d$。

根据题目中给出的前三项$a_1=3$，$a_2=6$，$a_3=9$，我们可以得到以下方程组：$a_2=a_1+d$，即$6=3+d$；$a_3=a_1+2d$，即$9=3+2d$。

解方程组，可以得到$d=3$。

将$d=3$代入通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$中，得到$a_n=3+(n-1)3=3n$。

因此，等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n$。

3. 题目：已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$b_1=2$，公比为$r$，前三项的乘积为$64$。

高三练习册及答案

高三练习册及答案# 高三数学练习册及答案## 第一部分：选择题1. 函数的奇偶性设函数$ f(x) $在$ \mathbb{R} $上连续，且满足$ f(-x) = f(x) $，那么$ f(x) $是：A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 线性函数答案： B2. 不等式的解集若$ x^2 - 5x + 6 \leq 0 $，则$ x $的取值范围是：A. $ [2, 3] $B. $ (-\infty, 3] $C. $ [1, 6] $D. $ (3, +\infty) $答案： A## 第二部分：填空题3. 三角函数的值已知$ \sin \theta = \frac{3}{5} $，且$ \theta $为锐角，求$ \cos \theta $的值。

答案： $ \cos \theta = \frac{4}{5} $4. 导数的应用若函数$ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $的导数为$ f'(x) $，求$ f'(1) $的值。

答案： $ 8 $## 第三部分：解答题5. 几何证明题证明：若直角三角形的两条直角边长分别为$ a $和$ b $，则斜边长为$ c $，满足$ c^2 = a^2 + b^2 $。

证明：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设直角三角形的直角边长为$ a $和$ b $，则斜边长为$ c $。

根据定义，$ c $是连接直角三角形两个直角顶点的最长边。

根据勾股定理，我们有：\[ c^2 = a^2 + b^2 \]这证明了题目中的命题。

6. 函数的单调性讨论函数$ f(x) = x^3 - 3x $的单调性。

解答：首先求导数$ f'(x) $：\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]令$ f'(x) = 0 $，解得$ x = \pm 1 $。

高三数学练习题加答案

高三数学练习题加答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^3 + 3x + 1，下面哪个选项是它的导函数？A. f'(x) = 6x^2 + 3B. f'(x) = 3x^2 + 3C. f'(x) = 6x^2 + 3xD. f'(x) = 6x^2 - 3答案：A2. 设集合A = {2, 4, 6, 8}，B = {3, 6, 9}，下面哪个选项是A与B的交集？A. {2, 4, 6, 8}B. {6}C. {3, 6, 9}D. {2, 3, 4, 6, 8, 9}答案：B3. 若sinθ = 1/2，且θ位于第二象限，那么θ的值是多少？A. π/6B. π/3C. π/2D. 2π/3答案：D二、填空题1. 已知sin(π/3 + α) = cosβ，且α + β = π/3，那么α的值是多少？答案：α = π/62. 若a + b = 5，ab = 6，那么a^2 + b^2 的值是多少？答案：a^2 + b^2 = 25三、解答题1. 某超市原价卖出一款商品，现在决定打8折促销。

如果原价为x 元，应该卖多少钱才能打8折？解答：打8折意味着商品的价格降低了20%，因此打折后应该卖出0.8x元。

2. 某地有一条直角边长为3单位的直角三角形，将直角边分别延长2单位和4单位，形成一个大的直角三角形。

求大直角三角形的面积与小直角三角形面积的比值。

解答：小直角三角形的面积为 1/2 * 3 * 3 = 4.5 平方单位。

大直角三角形的面积为 1/2 * 7 * 5 = 17.5 平方单位。

所以它们的比值为 17.5/4.5 ≈ 3.89。

四、应用题某高三班级参加数学竞赛，共有60个人参加。

其中40%的学生参加了数学竞赛A，30%的学生参加了数学竞赛B，20%的学生同时参加了A和B。

求没有参加任何竞赛的学生人数。

解答：设同时参加了A和B竞赛的学生人数为x，则参加了A竞赛的学生人数为0.4 - 0.2x，参加了B竞赛的学生人数为0.3 - 0.2x。

高三数学精准培优专题练习6：三角函数

培优点六三角函数1．求三角函数值例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值．【答案】5665【解析】∵3πππ442αββα⎛⎫+=+--- ⎪⎝⎭， ()3ππ3πsin sin πcos π44244αββαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ππ3ππ=cos cos sin sin 4444βαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵π3π044βα<<<<，ππ024α∴-<-<，3π3ππ44β<+<，π4sin 45α⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，3π12cos 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()1234556sin 13551365αβ⎛⎫∴+=--⋅-⋅=⎪⎝⎭．2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】（1）πT =，对称轴方程：()ππ32k x k =+∈Z ；（2）⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭221cos22sin cos 2x x x x =++-11cos22cos22cos222x x x x x =--πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πT ∴= 对称轴方程：()ππππ2π6232k x k x k -=+⇒=+∈Z ．（2）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ5π2,636x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，()πsin 26f x x ⎡⎤⎛⎫∴=-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．3．三角函数的性质例3：函数()2cos 2f x x x =+（） A ．在ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】()1π2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间：()πππππ2π22πππ26236k x k k x k k -+≤+≤+⇒-+≤≤+∈Z单调递减区间：()ππ3ππ2π2π22πππ26263k x k k x k k +≤+≤+⇒+≤≤+∈Z ∴符合条件的只有D ．一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（） A ．13-B ．79-C ．13D ．79对点增分集训【答案】B【解析】由题得2ππππcos 2=cos π2cos 2cos23336αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2π1712sin 12699α⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为B ．2．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】∵()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ．取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选B ．3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】B【解析】由1tan 4tan θθ+=，得sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4sin cos θθθθ+=， ∴1sin cos 4θθ=，∴2π1cos 2π1sin 212sin cos 2cos 4222θθθθθ⎛⎫++ ⎪--⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭ 1121424-⨯==，故选B ． 4．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称【答案】D【解析】函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，周期为2ππ2T ==，对于A ：由()()121f x f x ==，可能1x 与2x 关于其中一条对称轴是对称的，此时12x x -不是π的整数倍，故错误对于B ：由诱导公式，πππ5π3sin 213cos 213cos 213236x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故错误对于C ：令3π4x =，可得3π3ππ153sin 213144322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故错误，对于D ：当π12x =-时，可得πππ3sin 113121263f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象关于直线π12x =-对称，故选D ． 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（）A ．1B ．πsin5 C ．π2sin 5D【答案】A【解析】由题意可知：2πππππππcos cos cos cos sin sin 5555555x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则：()2πππππππcos 2sin sin cos cos sin sin cos 5555555f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数的最大值为1．本题选择A 选项．6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别可以是（）A ．1，π3B ．1，2π3-C ．2，2π3 D ．2，π3-【答案】D【解析】由图可知，该三角函数的周期4πππ33T =-=，所以2π2Tω==，则()sin 2y x ϕ=+，因为ππ32f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该三角函数的一条对称轴为ππ5π32212x +==，将5π,112⎛⎫⎪⎝⎭代入()sin 2y x ϕ=+，可解得π3ϕ=-，所以选D ．7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】B【解析】∵()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点的横坐标，∴ππ4424kT T ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即()π2124k T k +=∈Z ．又∵2πT ω=，0ω>，∴()21k k ω=+∈*N ，又∵()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，∴ππ24122T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，又∵2πT ω=∴8ω≤，当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由π4x =是函数()f x 最小值点横坐标知π4ϕ=-，此时，()f x 在ππ,1228x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭递减，ππ,2824x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，故舍去；当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由π4x =是函数()f x 最小值点横坐标知π4ϕ=，此时()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=．故选B ．8．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：2014π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（） A ．②③ B ．①③ C ．①④ D ．①③④【答案】B【解析】()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x +=++=-，所以函数()f x 的周期不为π，②错，()()()πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=++=，周期为2πT =．2014π4πππ=cos sin 3333f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①对．当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin sin 22f x x x x ==，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．③对．π13π1,4242f f⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以④错．即①③对，填①③．故选B ． 9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】∵π,π,02x ω⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，π1πππ,π4244x ωωω⎛⎫∴+∈++ ⎪⎝⎭，∵函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴周期2ππT ω=≥，解得2ω≤，∵()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足：ππ3π2π2π,242k x k k ω+<+<+∈Z ，∴取0k =，得1πππ242 π3ππ42ωω⎧⎪⎪⎨+≥+⎪⎪⎩≤，解之得1524ω≤≤，即ω的取值范围是15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选C ．10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（） A ．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π4π12T ==，不满足①，排除A ；函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππ2T ==，满足①，π3x =时，2ππsin 136y ⎛⎫=-=⎪⎝⎭取得最大值，π3x ∴=是πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴，满足②；又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，满足③，B 满足题意；函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即[]π20,π3x +∈时单调递减，不满足③，排除C ；π3x =时，2ππ1sin 362y ⎛⎫=+=⎪⎝⎭不是最值，π3x ∴=不是πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴，不满足②，排除D ，故选B ．11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】①令()1πππ262x k k +=+∈Z ，解得()2π2π3x k k =+∈Z ，当1k =时，则8π3x =，故正确②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位得：1ππ12sin 2sin 2362y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故错误③令()π1ππ2π2π2262k x k k -+<+<+∈Z ，解得()4π2π4π4π33k x k k -+<<+∈Z ，故错误④若()f x a =，即1π2sin 26x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1ππ1πcos sin 23223x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦61πsin 22a x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故错误故选A ．12．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（）A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由2ππω=，解得2ω=，可得()()sin 2f x A x ϕ=+，再由函数图象关于直线π3x =对称，故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可取π6ϕ=-，故函数()πsin 26f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π2π,6x k k -=∈Z ，可得ππ,212k x k =+∈Z ，故函数的对称中心ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，，令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_________．【答案】π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】由π2π22ππ4k x k ≤+≤+，即π3πππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ，故函数的单调减区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故答案为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．【答案】17【解析】∵()0,πα∈，且35cos α=，4sin 5α∴==，4tan 3α=， 41πtan 113tan 441tan 713ααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，故答案为17．15．函数()sin 22f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．【答案】(⎤⎦【解析】()sin 22f x x x =-，∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πx ∴∈，ππ2π2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，πsin 23x ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ()(f x ⎤∈⎦，故答案为(⎤⎦． 16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．【答案】②③【解析】对于①，()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝的周期等于π，而函数的两个相邻的零点间的距离等于π2，故由()()120f x f x ==可得12x x -必是π2的整数倍，故错误对于②，由诱导公式可得，函数()πππ4sin 24sin 2326f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππ4cos 24cos 266x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确对于③，由于π6x =-时，函数()4sin 00f x ==，故()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故正确对于④，()ππ2π32x k k +=+∈Z ，解得()ππ122k x k =+∈Z ，即π6x =-不是对称轴，故错误综上所述，其中正确命题的序号为②③三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin2α值．【答案】()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2．【解析】（1）()πππ2sin 2cos 22sin 2cos 2cos 2sin cos 2666f x x a x x x a x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ ()21cos 2x a x =++，由在π3x =取得最大值，()π2π2π1cos 333f a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ()220a ∴+=，即2a =-，经检验符合题意 ()πcos22sin 26f x x x x ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．（2）由π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ2,662α⎛⎫⎛⎫∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()π62sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，π3sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，得ππ20,62α⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π4cos 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， ππππππsin2sin 2+sin 2cos cos 2sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=+⨯=．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ 的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）1ω=；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）()1cos211π1cos2sin 222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=解得1ω=．（2）由（1）得()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x -≤-≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭．因此π130sin 2622x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

高三数学题库及答案

高三数学题库及答案在高三的数学学习中，数学题库是同学们的重要学习资源之一。

通过不断练习数学题，不仅可以提升数学解题能力，还可以加深对数学知识的理解。

为了帮助同学们更好地备战高考，下面整理了一些高三数学题及答案，供同学们参考。

选择题1.下列函数中，哪一个是奇函数？ A. f(x)=x2 B. $f(x) = \\sin x$ C.f(x)=e x D. $f(x) = \\cos x$答案：B. $f(x) = \\sin x$2.若直线2x−y+3=0与直线3x+2y−1=0相交于点P，则点P的坐标为： A. (1,1) B. (−1,−1) C. (1,−1) D. (−1,1)答案：A. (1,1)解答题1.计算不等式x2+4x+4<0的解集。

解：首先将不等式转化为方程x2+4x+4=0，得到x=−2。

然后，根据二次函数的几何意义可知，当x<−2时，x2+4x+4>0；当x=−2时，x2+4x+4=0；所以不等式x2+4x+4<0的解集为x<−2。

2.设数列 $\\{a_n\\}$ 满足a1=1，a n+1=a n+2，求a100的值。

解：根据题意可知，数列 $\\{a_n\\}$ 是一个等差数列，公差为2。

所以 $a_n = a_1 + (n-1) \\cdot d = 1 + (n-1) \\cdot 2 = 2n - 1$。

代入n=100，得到 $a_{100} = 2 \\times 100 - 1 = 199$。

综合题某班共有40人，男生占 $60\\%$，女生占 $40\\%$。

女生中 $80\\%$ 会游泳，男生中 $60\\%$ 会游泳。

求这个班级中会游泳的人数。

解：男生人数为 $40 \\times 60\\% = 24$，其中会游泳的男生人数为 $24\\times 60\\% = 14.4$。

女生人数为 $40 \\times 40\\% = 16$，其中会游泳的女生人数为 $16 \\times 80\\% = 12.8$。

高三数学练习题及答案

高三数学练习题及答案一、选择题：（每题3分，共15分）1. 已知函数f(x)=2x^2-3x+1，求f(2)的值。

A. 5B. 3C. 7D. 92. 若a>0且a+b=1，求不等式a^2+b^2≥λab成立的λ的取值范围。

A. λ≤1/2B. λ≥1C. λ≥1/2D. λ≤13. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，求数列的第10项。

A. 32B. 35C. 38D. 414. 已知圆的方程为x^2+y^2=25，求圆心坐标。

A. (0,0)B. (1,1)C. (-1,-1)D. (3,4)5. 已知正弦函数sin(x)的图像经过点(π/6,1/2)，求x的值。

A. π/6B. 5π/6C. π/2D. 2π/3二、填空题：（每题2分，共10分）1. 已知函数g(x)=x^3-x^2+x-1，求g'(x)的导数表达式。

2. 若直线l的方程为y=kx+b，且过点(1,2)和(2,4)，求直线的斜率k。

3. 已知向量a=(3,4)，向量b=(-1,2)，求向量a与向量b的点积。

4. 若复数z=1+2i，求z的共轭复数。

5. 已知双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且焦点在x轴上，求双曲线的渐近线方程。

三、解答题：（共75分）1. （15分）已知函数h(x)=x^3-6x^2+11x-6，求h(x)的单调区间，并说明原因。

2. （15分）若三角形ABC的三边长分别为a,b,c，且满足a^2+b^2=c^2，求证三角形ABC是直角三角形。

3. （15分）已知椭圆的方程为x^2/16+y^2/9=1，求椭圆的长轴和短轴长度。

4. （15分）若函数F(x)=ln(x+1)-x^2，求F(x)的最大值。

5. （15分）已知抛物线y^2=4x，求抛物线的焦点坐标和准线方程。

答案：一、选择题1. A2. D3. D4. A5. A二、填空题1. 3x^2-4x+12. 13. 104. 1-2i5. y=±(b/a)x三、解答题1. 函数h(x)=x^3-6x^2+11x-6的导数为h'(x)=3x^2-12x+11。

高三数学练习题(附答案)

高三数学练习题(附答案)一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。

A. 1B. 1C. 3D. 52. 若 $ a^2 + b^2 = 1 $，则 $ a^2 + b^2 + 2ab $ 的最大值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 2 $，$ a_3 = 8 $，求 $ a_5 $。

A. 10B. 12C. 14D. 164. 已知圆的方程为 $ x^2 + y^2 = 4 $，求圆的半径。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若 $ \log_2(8) = x $，则 $ x $ 的值为多少？A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题6. 若 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值。

7. 已知等比数列 $ \{b_n\} $，若 $ b_1 = 2 $，$ b_3 = 8 $，求 $ b_5 $。

8. 若 $ x^2 + y^2 = 1 $，则 $ x^2 + y^2 + 2xy $ 的最大值为多少？9. 已知函数 $ g(x) = \sqrt{1 x^2} $，求 $ g(0) $ 的值。

10. 若 $ \log_3(27) = x $，则 $ x $ 的值为多少？三、解答题11. 已知函数 $ f(x) = x^3 3x^2 + 2x $，求 $ f(x) $ 的极值点。

12. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 3 $，$ a_5 = 11 $，求 $ a_n $ 的通项公式。

13. 已知圆的方程为 $ (x 1)^2 + (y 2)^2 = 4 $，求圆的圆心坐标。

14. 已知等比数列 $ \{b_n\} $，若 $ b_1 = 1 $，$ b_3 = 8 $，求 $ b_n $ 的通项公式。

15. 已知函数 $ h(x) = \frac{1}{x + 1} $，求 $ h(x) $ 的单调区间。

高三数学每周综合练习(六)

北京市十一学校2011届高三数学周练六（理）2010-10班级学号姓名一、选择题（每题6分，共48分） 1．设全集U =R ，{|0}x a A x x b-=≥+，且(1 ]U A a =--，ð，则a b +=（）A ．2B ．－2C ．1D ．02．已知条件()2:14p x +>；条件:q x a >；且p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-3．已知函数()()sin 2f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误．．的是（） A ．函数)(x f 的最小正周期为2π B ．函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数C ．函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称D ．函数)(x f 是奇函数4．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（） A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ． (80)(11)(25)f f f <<- C ． (11)(80)(25)f f f <<- D ． (25)(80)(11)f f f -<<5．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（） A ．30B ．45C ．90D ．1866．正方体ABCD-1111A B C D 中，1B B 与平面1A C D 所成角的余弦值为（）A．3B．3C ．23D37．曲线313y x x =+在点41 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A ．19B ．29C ．13D ．238．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（） A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题6分，共36分）9．若函数()xf x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是．10．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向（填”左”或”右”）至少平移个长度单位．11．设a 为常数，2()43f x x x =-+．若函数()f x a +为偶函数，则a =______(())f f a =_______． 12．已知|a |=2，|b|=a 与b 的夹角为45°，则（b －a ）·a = ． 13．()331f x ax x =-+对于[]1 1x ∈-，总有()0f x ≥成立，则a = ．14．圆C ：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x （θ为参数）的普通方程为__________，设O 为坐标原点，点M （x y 00，）在圆C 上运动，点P （x ，y ）是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为________________．三、解答题（本题16分）15．在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．答案1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．1>a 10．左5π12（或右7π12）11．2；8 12．2- 13．414．()1122=+-y x ，()141222=+-y x ．15．解：（1）122n n n a a +=+，11122n n nn a a +-=+，11n n b b +=+，则n b 为等差数列，11b =，n b n =，12n n a n -=．（2）1221022)1(232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S nn n n n S 22)1(23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-两式相减，得122222212121+-⨯=----⨯-⨯=-nn n nn n n S。

《新教材》高中数学习题练习第六章统计单元素养测评Word版含解析

关闭Word文档返回原板块。

第六章单元素养测评限时120分钟分值150分战报得分______一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号是()(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A．199 B．175 C．507 D．128【解析】选B.找到第8行第7列的数开始向右读，符合条件的是785，667，199，507，175.2．用分层抽样的方法从某校学生中抽取容量为60的样本，其中高二年级抽取15人，高三年级抽取25人，已知该校高一年级共有800人，则该校学生总人数是()A．4 800 B．2 400 C．1 600 D．3 200【解析】选B.由题意可得高一年级抽取的人数为60－15－25＝20人，知该校高一年级共有800人，故抽样的比例为20800＝140.设该校学生总人数是x人，则有60x＝140，求得x＝2 400人．3．下列对一组数据的分析，不正确的说法是()A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定【解析】选B.极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．方差较小的数据波动较小，稳定程度高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否．4．一组数据28，27，26，24，23，22的中位数为()A．26 B．25C ．24D ．26和24【解析】选B.数据28，27，26，24，23，22的中位数为26＋242 ＝25.5．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a 【解析】选D.把数据由小到大排列可得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，故a ＝14.7，b ＝15，c ＝17，所以c >b >a .6．某市2020年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5平均浓度指数的方差最小的是( )A ．第一季度B ．第二季度C ．第三季度D ．第四季度【解析】选B.根据题意，根据图中数据知，第一季度的数据是72.35，43.96，93.33；第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；第三季度的数据是59.16，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数的方差最小．7．一组数据的平均数是26，方差是6，若将这组数据中的每一个数据都加上30，得到一组新数据，所得新数据的平均数和方差分别为() A．56，6 B．30，6 C．56，10 D．30，10【解析】选A.一组数据的平均数是26，方差是6，将这组数据中的每一个数据都加上30，得到一组新数据，由数据的平均数和方差的计算公式得：所得新数据的平均数为26＋30＝56，方差不变，仍为6. 8．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为()A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s1＞s2D．s3＞s2＞s1【解析】选B.根据三个频率分布直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端，数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其方差最小；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组数据的方差小，比第二组数据的方差大；综上可知s1＞s3＞s2.二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法正确的是()A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差【解析】选ACD.由题意得甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差为3，乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差为5，故A，C，D正确，B错误．10．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是()甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【解析】选AD.该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．在A中，甲地：中位数为2，极差为5，每天新增疑似病例没有超过7人的可能，故甲地符合标准，即A成立；在B中，乙地：总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故乙地不符合标准，即B不成立；在C中，丙地：总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故丙地不符合标准，即C不成立；在D中，丁地：总体平均数为2，总体方差为3.根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差不会为3，故丁地符合标准，即D成立．11．某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm，方差为2.1；抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm，方差为3.则() A．该校高一学生的平均身高约为166.4 cmB．该校高一学生的平均身高约为168.2 cmC．该校高一学生身高的方差约为2.5D．该校高一学生身高的方差约为19.3【解析】选AD.设50名男生的平均身高为x，50名女生的平均身高为y，全校高一年级男生人数为M，女生人数为N.由题意可知，x＝170.2，y＝162.0且M＝320，N＝280，所以样本平均数w＝MM＋N x＋NM＋Ny＝320320＋280×170.2＋280320＋280×162.0≈166.4(cm)，样本方差s2＝320320＋280×⎣⎡⎦⎤2.1＋⎝⎛⎭⎫170.2－166.42＋280 320＋280×⎣⎡⎦⎤3＋⎝⎛⎭⎫162.0－166.42≈19.3，故该校高一学生的平均身高约为166.4 cm，方差约为19.3.12．某学校组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20名学生的得分情况如图所示，若该20名学生成绩的中位数为a，平均数为b，众数为c，则下列判断正确的是()A．a＝92 B．b＝92C．c＝90 D．b＋c＜2a【解析】选ACD.由频率分布直方图得：20名学生中，得分为88分的学生有：0.2×20＝4人，得分为90分的学生有：0.25×20＝5人，得分为92分的学生有：0.15×20＝3人，得分为94分的学生有：0.2×20＝4人，得分为96分的学生有：0.1×20＝2人，得分为98分的学生有：0.05×20＝1人，得分为100分的学生有：0.05×20＝1人，所以中位数a＝92分，故A正确；平均数b＝120(88×4＋90×5＋92×3＋94×4＋96×2＋98×1＋100×1)＝92.2，故B错误；众数c＝90，故C 正确；b＋c＝92.2＋90＝182.2，2a＝2×92＝184，所以b＋c＜2a.故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位：cm)：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为______．【解析】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占90%.答案：17214．从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示，则这60名学生中成绩在区间[79.5，89.5)的人数为________．【解析】由频率分布直方图可知，(0.005＋0.01＋0.015×2＋a＋0.03)×10＝1，解得a＝0.025.所以这60名学生中成绩在区间[79.5，89.5)的人数为0.025×10×60＝15人．答案：1515．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命(h)100～200200～300300～400个数203080寿命(h)400～500500～600个数40 30由此估计这批电子元件的平均使用寿命是______h. 【解析】根据题意得150×20＋250×30＋350×80＋450×40＋550×3020＋30＋80＋40＋30 ＝365.答案：36516．数据x 1，x 2，…，x 8的均值为52 ，方差为2，现增加一个数据x 9后方差不变，则x 9的可能取值为________．【解析】由题意18 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－52 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 8－52 2 ]＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－52 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 8－52 2 ＝16，所以x 21 ＋x 22 ＋…＋x 28 －5(x 1＋x 2＋…＋x 8)＋34＝0.所以x 21＋x 22 ＋…＋x 28＝5×52 ×8－34＝66，增加一个x 9后，该组的平均数为8×52＋x 99 ＝20＋x 99 .所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1－20＋x 99 2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－20＋x 99 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 9－20＋x 99 ＝9×2＝18，即x 21＋x 22 ＋…＋x 28－40＋2x 99 (x 1＋x 2＋…＋x 8)＋8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫20＋x 99 2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8x 9－209 2 ＝18，所以66－40＋2x 99 ×8×52 ＋8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫20＋x 99 2 ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫8x 9－209 2 －18＝0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫66－18－8009＋3 20081＋40081 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－40x 99＋320x 99－320x 99 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8x 29 81＋64x 29 81 ＝0，即329 －409 x 9＋89 x 29 ＝0，所以x 29 －5x 9＋4＝0，解得x 9＝1或x 9＝4. 答案：1或4四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；案例三：从某校1 000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？【解析】(1)案例一数量少，用简单随机抽样，案例二员工收入差距明显，用分层抽样，案例三数量多，用系统抽样．(2)分层抽样的抽样过程如下：①分层，将总体分为高级职称，中级职称、初级职称及其余人员四层；②确定抽样比例k＝40800＝120；③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人；④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本；⑤汇总构成一个容量为40的样本．18．(12分)某公益组织在某社区调查年龄在[20，50]内的居民熬夜时间，得到如下表格：年龄区间居民人数(单位:百人)所占比例平均熬夜时长(单位:h)[20,30) 3.6 30% 4[30,40) 6 b 2[40,50] a c 1其中有三项数据由于污损用a，b，c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长．【解析】由题表可知该社区在[20，50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40，50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为x＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h). 19．(12分)在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，统计出他们命中的环数如表：甲9676277989乙24687897910赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将给出怎样的评判？【解析】为了分析的方便，先计算两人的统计指标如表所示．平均数方差中位数命中10环次数甲7470乙7 5.47.5 1(1)平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜．(2)平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜，若平均环数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜．(3)平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜．20．(12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36. (1)求样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数； (2)求样本的众数和中位数； (3)求样本的平均数．【解析】(1)由题意可知：样本中净重小于100克的产品的频率＝(0.05＋0.1)×2＝0.3，所以样本容量＝360.3 ＝120所以样本中净重在[98，102)的产品个数＝(0.1＋0.15)×2×120＝60.(2)由题图知，最高小矩形的中点横坐标是101，故众数是101，又最左边的两个小矩形的面积和是0.3，最右边的两个小矩形的面积和是0.4，第3个小矩形应取面积15100 ×43 ＝0.2，故中位数100＋43 ＝3043 . (3)样本的平均数是2×(97×0.05＋99×0.1＋101×0.15＋103×0.125＋105×0.075)＝101.321．(12分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其质量(单位：克)是否合格，分别记录抽查数据，获得质量数据如下．甲：107，111，111，113，114，122；乙：108，109，110，112，115，124. (1)写出甲的众数和乙的中位数；(2)根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品质量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的质量相对稳定．【解析】(1)甲的众数是111，乙的中位数是111.(2)设甲、乙两个车间产品质量的均值分别为x 甲、x 乙，方差分别为s 2甲、s 2乙，则x 甲＝122＋114＋113＋111＋111＋1076 ＝113， x 乙＝124＋110＋112＋115＋108＋1096＝113. s 2甲＝16 [(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－113)2]＝21，s 2乙＝16 [(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－113)2]≈29.33，由于s2甲＜s2乙，所以甲车间的产品的质量相对稳定．22．(12分)为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案，甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元．(1)请分别求出这两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与送货单数n的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：日均派送单数5054565860频数(天)2322 1回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X(单位：元)，试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．(参考数据：172＝289，372＝1 369)【解析】(1)甲方案，y＝100＋n；乙方案，y ＝⎩⎨⎧150，n ≤55，10n －400，n >55.(2)①甲方案中，根据已知表格可计算出日平均派送单数为2×50＋3×54＋2×56＋2×58＋6010 ＝55，方差为0.2×(50－55)2＋0.3×(54－55)2＋0.2×(56－55)2＋0.2×(58－55)2＋0.1×(60－55)2＝9.8，所以，由(1)中变量之间的关系，可以知，甲方案的日薪X 的平均数为155，方差为9.8.乙方案中，日薪X 的平均数为[5×150＋160×2＋180×2＋200]×0.1＝163，日薪方差为0.5×(150－163)2＋0.2×(160－163)2＋0.2×(180－163)2＋0.1×(200－163)2＝281.②若去应聘派送员，我会选择乙方案，从平均数的角度来看，乙方案的平均薪酬更高，同时更有激励作用．关闭Word 文档返回原板块。

高三数学练习册及答案

高三数学练习册及答案# 高三数学练习册及答案## 第一章：函数与方程### 1.1 函数的概念与性质- 练习题1：定义域与值域的确定- 练习题2：函数的单调性与奇偶性判断### 1.2 一次函数与二次函数- 练习题3：一次函数的图象与性质- 练习题4：二次函数的顶点式与性质### 1.3 高次函数与幂函数- 练习题5：高次函数的图象特征- 练习题6：幂函数的性质与应用### 1.4 指数函数与对数函数- 练习题7：指数函数的增长规律- 练习题8：对数函数的图象与性质### 1.5 三角函数- 练习题9：正弦函数与余弦函数的基本性质- 练习题10：正切函数与余切函数的图象与性质## 第二章：不等式与不等式组### 2.1 不等式的基本性质- 练习题11：不等式的基本性质与应用### 2.2 一元一次不等式的解法- 练习题12：线性不等式的解集确定### 2.3 一元二次不等式的解法- 练习题13：二次不等式的解集与判别式### 2.4 不等式组的解法- 练习题14：不等式组的解集确定与应用## 第三章：数列### 3.1 数列的概念与通项公式- 练习题15：数列的通项公式与性质### 3.2 等差数列与等比数列- 练习题16：等差数列的通项公式与求和公式- 练习题17：等比数列的通项公式与求和公式### 3.3 数列的极限与无穷等比数列- 练习题18：数列极限的概念与计算- 练习题19：无穷等比数列的求和问题## 第四章：解析几何### 4.1 直线与圆- 练习题20：直线方程的求解与应用- 练习题21：圆的方程与性质### 4.2 椭圆与双曲线- 练习题22：椭圆的标准方程与性质- 练习题23：双曲线的标准方程与性质### 4.3 抛物线- 练习题24：抛物线的方程与图象特征## 第五章：概率与统计### 5.1 概率的基本概念- 练习题25：概率的计算与应用### 5.2 条件概率与独立事件- 练习题26：条件概率的计算与理解### 5.3 统计初步- 练习题27：数据的收集与描述## 答案解析- 答案1-10：针对第一章的练习题，提供详细的解题步骤与答案。

高三数学练习题及答案

高三数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为（）。

A. 1B. 5C. 1D. 52. 若|a| = 5，则a的值为（）。

A. 5 或 5B. 0C. 5D. 53. 下列函数中，奇函数是（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 1/x4. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，a3 = 3，则公差d为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）。

A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、填空题1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则第7项的值为______。

2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 1)，则2a 3b = ______。

3. 不等式2x 3 > x + 1的解集为______。

4. 二项式展开式(a + b)^10中，含a^3b^7的项的系数为______。

5. 在三角形ABC中，a = 5, b = 8, sinA = 3/5，则三角形ABC的面积为______。

三、解答题1. 讨论函数f(x) = x^3 3x在区间(∞, +∞)上的单调性。

2. 设函数f(x) = (1/2)^x 2^x，求f(x)的单调递减区间。

3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的通项公式。

4. 在△ABC中，a = 10, b = 15, C = 120°，求sinA和cosA的值。

5. 解三角形ABC，已知a = 8, b = 10, sinB = 3/5。

6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 1在区间[1, 3]上的最小值为3，求实数a的值。

7. 设函数f(x) = x^2 2x + c，讨论函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

高三数学练习题及答案

高三数学练习题及答案关键信息项1、练习题的来源和版权归属2、练习题的涵盖知识点范围3、练习题的题型和数量4、答案的准确性和详细程度5、练习题和答案的使用权限和限制6、协议的生效日期和有效期7、对练习题和答案的更新和补充方式8、违反协议的责任和处理方式11 练习题来源和版权归属本协议所涉及的高三数学练习题及答案（以下简称“练习题及答案”）由具体来源提供，其版权归版权归属方所有。

未经授权，任何单位和个人不得擅自复制、传播、修改或以其他方式使用这些练习题及答案。

111 练习题涵盖知识点范围练习题及答案涵盖了高三数学课程中的以下重要知识点：函数、数列、三角函数、向量、圆锥曲线、立体几何、概率统计等。

确保全面覆盖高考数学的重点和难点内容，以帮助学生进行系统复习和提高。

112 练习题题型和数量练习题包括选择题、填空题、解答题等多种题型。

选择题共X道，填空题共X道，解答题共X道。

题目难度分为基础题、中等题和难题，比例分别为基础题比例、中等题比例、难题比例，以适应不同学习水平的学生需求。

12 答案的准确性和详细程度提供的答案准确无误，并经过严格的审核和校对。

对于每一道练习题，答案都包含详细的解题步骤和思路，以便学生能够理解解题的过程和方法。

对于较复杂的题目，还会提供多种解题方法和技巧，拓宽学生的思维。

121 练习题和答案的使用权限和限制练习题及答案仅供学生个人学习使用，不得用于商业目的或在网络上公开传播。

学生可以在学习过程中打印、复印或手写记录，但不得将其转售或提供给他人以获取利益。

学校或教育机构在获得授权的情况下，可以将练习题及答案用于教学活动，但必须保证在内部使用，不得向校外人员提供。

122 协议的生效日期和有效期本协议自生效日期起生效，有效期至有效期截止日期。

在有效期内，双方应遵守协议的各项规定。

123 对练习题和答案的更新和补充方式我们将根据高三数学教学大纲的变化和高考的最新动态，适时对练习题及答案进行更新和补充。

新高三数学练习题及答案

新高三数学练习题及答案一、选择题1. 设集合 A = {x | x > 0}，集合 B = {x | x < 0}，则下列哪个选项是关于 A 和 B 的正确描述？A) A ∪ B = {x | x ≠ 0}B) A ∩ B = {x | x > 0}C) A - B = {x | x > 0}D) A - B = {x | x < 0}答案：C2. 若 f(x) = -2x + 5，则 f(-3) 的值为：A) -9B) -11C) 11D) 9答案：B3. 已知函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(-1) 的值为：A) -6B) 6C) 4D) 3答案：D二、填空题1. 设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {2, 3, 4}，则 A ∪ B = ________。

答案：{1, 2, 3, 4}2. 若 f(x) = 4x - 3，则 f(2) 的值为 ________。

答案：53. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 2，求 f(1) 的值为 ________。

答案：1三、计算题1. 已知函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求函数的对称轴方程及顶点坐标。

解答过程：首先，对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 来求得，其中 a、b、c 分别是二次项、一次项和常数项的系数。

对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1，a = 3，b = 2，c = -1。

代入公式可得：x = -2 / (2 * 3) = -1/3。

所以，对称轴的方程为 x = -1/3。

接下来，求顶点坐标可以将对称轴的 x 坐标代入函数中。

代入 f(-1/3) 可得：f(-1/3) = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) - 1 = 4/9 - 2/3 - 1 = -19/9。

所以，顶点坐标为 (-1/3, -19/9)。

高三数学练习题及答案解析

高三数学练习题及答案解析一、选择题1. 三角形ABC中，∠BAC = 60°，AD是BC的垂线，AD = 6 cm，则BC =A. 6 cmB. 12 cmC. 6√3 cmD. 12√3 cm答案：B解析：由正弦定理，得 BC = AD / sin∠BAC = 6 / sin60° = 6 / (√3 / 2) = 12 cm。

2. 已知直线L的斜率为2/3，直线L与x轴的交点为(-3, 0)，则直线L的方程为A. y = 2/3x + 2B. y = 2/3x - 2C. y = -2/3x + 2D. y = -2/3x - 2答案：C解析：已知直线L与x轴的交点为(-3, 0)，可得出直线L的截距为2。

由斜率为2/3，可得直线L的方程为 y = -2/3x + 2。

3. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x + 1，则f'(1) =A. 0B. -2C. -4D. 10答案：C解析：求导得 f'(x) = 6x^2 - 6x + 2，因此 f'(1) = 6 - 6 + 2 = -4。

二、填空题1. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {2, 4, 6, 8}，则A ∩ B =_______。

答案：{2, 4}解析：A ∩ B 表示集合A与B的交集，即两个集合中共有的元素。

因此A ∩ B = {2, 4}。

2. 若函数f(x) = log2(3x - 1)，则f(-1)的值为______。

答案：undefined解析：当 x = -1 时，函数f(x)中的3x - 1 = 3(-1) - 1 = -4，log2(-4) 是无意义的，因此 f(-1) 的值为 undefined。

三、解答题1. 计算下列方程的解：2x + 5 = 3x - 1。

解答：将方程中的3x移到等号左边，2x移到等号右边，得到 x - 2x = -1 - 5，即 -x = -6。

(九省联考题型)2024届高三新高考改革数学适应性练习(6)+答案

2024年新高考改革适应性练习（6）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.11）考生须知1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，其能构成三角形的概率是A．0.3B．0.4C．0.5D．0.62.已知复数 z 满足 i(z−1)=1 ，则 z 对应的点 Z 在复平面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知集合 A={钝角} ，B={第二象限角} ，C={小于180°的角} ，则A．A=B B．B=C C．A⊆B D．B⊆C4.长度单位“米”的定义起源于法国．1米的长度最初定义为通过巴黎的子午线上从地球赤道到北极点的距离的千万分之一（如右图），并与随后确定了国际米原器．随着人们对计量学认识的加深，米的长度的定义几经修改．但现在的定义与这一定义的数值仍十分接近．将地球视作一标准球体，估算地球体积，下列最接近的是A．1010 km3B．1011 km3C．1012 km3D．1013 km3 5.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 b cos C,a cos A,c cos B 成等差数列，当 △ABC 的外接圆半径 R=2 时，△ABC 周长的最大值为A．2√3B．4√3C．6√3D．8√36. 若函数 f (x )=a x 与其反函数的图像有交点，则实数 a 的值可以是A ．1B ．√2C ．2D ．e7. 抛物线 E:y 2=x 的焦点为 F ，P 为其准线上任意一点，过点 P 作 E 的两条切线，切点为 A,B （点 A 与 P 在抛物线同侧），则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．48. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，A (8,0,0) ,B (0,8,0),C (0,0,8) ，则三棱锥 O −ABC 内部整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数是 A ．35B ．36C ．84D ．21二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9. 已知与三条直线 x +y =1 ，x +ay =2 ，x +2y =3 都相切的圆有且仅有两个，则实数 a 的值可以是 A ．0B ．1C ．2D ．310. 已知随机性离散变量 X 的分布列如下，则 D (X ) 的值可以是A ．29B ．49C ．89D ．111. 由倍角公式 cos 2x =2cos 2x −1 可知，cos 2x 可以表示为 cos x 的二次多项式.一般地，存在一个 n (n ∈N ∗) 次多项式 P n (t )=a n t n +a n−1t n−1+⋯+a 1t +a 0（其中a n ,a n−1,…,a 0∈R ），使得 cos nx =P n (cos x ) ，这些多项式 P n (t ) 称为切比雪夫多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得 A ．P 3(t )=4t 3−3t B ．P 4(t )=8t 4−8t 2+1 C ．cos 54°=√5+16D ．sin 54°=√5+14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知实数 x,y 满足 −1<x <y <1 ，则 x +y 的取值范围是_________．13. 如右图，在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，已知AD =1 ，AB =2 ，AA 1=a ，若对角线 BD 1 上存在一点 P ，使得 PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则 a 的最大值是_________．14. 已知函数 f (n ) 的定义域和值域都为 N ∗ ，且 f (x ) 单调递增，满足对任意 n ∈N ∗ ，都有f(f (n ))=3n ，则 f (2024)=_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（13分）已知在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，记其面积为 S ，则有4S =a 2+b 2−c 2（1）求 C ；（2）若 c =√2 ，求 S 的最大值． 16.（15分）如右图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是矩形．已知 AB =3 ，AD =2 ，PA =2 ，PD =2√2 ，∠PAB =60° ．（1）证明：AD ⊥平面 PAB ；（2）求二面角 P −BD −A 的正切值． 17.（15分）甲参加一个“抛骰子”的游戏，其规则是：在第 n 关要抛掷一颗骰子（六面）n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 2n ，则算过关．（1）甲在这个游戏中，最多能过几关？（2）求甲在这个游戏中，连过前3关的概率．18.（17分）设 A ，B 是抛物线 C:y2=4x 上异于原点 O 的两点．（1）探究直线 OA ，OB ，AB 的斜率 k1，k2，k3之间的关系；（2）设直线 AB 交 x 轴于点 F(1,0)，若 C 上恰好存在三个点 D i(i=1,2,3)，使得 △ABD 的面积等于 4√2 ，求直线 AB 的方程．19.（17分）已知有穷等差数列{a n}的公差 d 大于零．（1）证明：{a n}不是等比数列；（2）是否存在指数函数 y=f(x)满足：y=f(x)在 x=a1处的切线的交 x 轴于(a2,0)，y=f(x)在 x=a2处的切线的交 x 轴于(a3,0)，…，y=f(x)在 x=a m−1处的切线的交 x 轴于(a m,0)？若存在，请写出函数 y=f(x)的表达式，并说明理由；若不存在，请说明理由；（3）若数列{a n}中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列{b n}，求出所有可能的 m 的取值．2024年新高考改革适应性练习（6）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B C B D A二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案BC ABC ABD【附】评分表（注：有选错的得0分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案(−2,2)143885四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）（1）由题意，4SS=aa2+bb2−cc2，又由正弦定理SS=12aabb sin CC，得aa2+bb2−cc2=4SS=2aabb sin CC⟺sin CC=aa2+bb2−cc22aabb=cos CC（由余弦定理）又CC∈�0,ππ2�，所以CC=ππ4．（2）由余弦定理，aa2+bb2−cc22aabb=cos CC=√22⟺aa2+bb2=√2aabb+2由基本不等式，aa2+bb2≥2aabb，即√2aabb+2≥2aabb，解得aabb≤√2+2 ，由正弦定理，SS=12aabb sin CC=√24aabb≤√24�√2+2�=12+√22故SS的最大值是12+√22，当且仅当aa=bb时取到．16.（15分）（1）在△PPPPPP中，由题意PPPP=2 ，PPPP=2√2 ，可得PPPP2+PPPP2=PPPP2，所以PPPP⊥PPPP．又四边形PPAACCPP是矩形，所以PPPP⊥PPAA．又PPPP∩PPAA=PP，所以PPPP⊥平面PPPPAA．（2）如图，过点PP作PPPP⊥PPAA于点PP，过点PP作PPHH⊥AAPP于点HH，连接PPHH．因为PPPP⊥平面PPPPAA，PPPP⊂平面PPPPAA，所以PPPP⊥PPPP，又PPPP⊥PPAA，所以PPPP⊥平面PPAACCPP，又PPHH⊥AAPP，所以PPHH是PPHH在平面PPAACCPP上的投影．由三垂线定理可知，PPHH⊥AAPP，所以∠PPHHPP是二面角PP−AAPP−PP的一个平面角．由题意得，PPPP=PPPP·sin60°=√3 ，PPPP=PPPP·cos60°=1 ，AAPP=PPAA−PPPP=2 ，AAPP=√PPAA2+PPPP2=√13 ，PPHH=AAAA BBAA·AAPP=4√13，所以在RRtt△PPPPHH中，tan∠PPHHPP=PPPP PPHH=√34√13=√394，所以二面角PP−AAPP−PP的正切值是√394．17.（15分）（1）因抛掷一次骰子，所得到的最大点数是6，而 6×4>24，6×5<25，因此，当nn≥5 时，nn次出现的点数之和不可能大于 2nn，因此甲最多过4关．（2）设事件PP nn为“第nn次过关失败”，则其对立事件PP nn��为“第nn次过关成功”．第一关：PP(PP1��)=1−PP(PP1)=1−26=23；第二关：PP2所含基本事件数为方程xx+yy=aa，当aa分别取 2,3,4 时的正整数解组数之和，则CC11+CC21+CC31=6所以，过此关的概率为PP(PP2��)=1−PP(PP2)=1−662=56．第三关：PP3所含基本事件数为方程xx+yy+zz=aa，当aa分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整数解组数之和，则CC22+CC32+CC42+CC52+CC62+CC72=56所以，过此关的概率为PP(PP3��)=1−PP(PP3)=1−5663=2027．所以连过前三关的概率为PP(PP1��)PP(PP2��)PP(PP3��)=23×56×2027=10024318.（17分）（1）1kk1+1kk2=1kk3，理由如下：由题意PP，AA是抛物线CC:yy2=4xx上异于OO(0,0)的两点，设PP(xx1,yy1),AA(xx2,yy2)，则yy12=4xx1,yy22=4xx2，故1kk 1+1kk2=xx1yy1+xx2yy2=yy124yy1+yy224yy2=yy1+yy24由题意知PPAA的斜率存在，故1kk 3=xx 2−xx 1yy 2−yy 1=yy 22−yy 124(yy 2−yy 1)=yy 2+yy 14故1kk 1+1kk 2=1kk 3．（2）由题意知直线 PPAA 经过点 FF (1,0) ，若直线 PPAA 的斜率不存在，此时其方程为 xx =1 ，不妨取 PP (1,2),AA (1,−2) ，此时SS △AABBAA =12×1×4=2<4√2 此时曲线 CC :yy 2=4xx 在 xx =1 左侧的部分上不存在点 PP ，使得 △PPAAPP 的面积等于 4√2 ，曲线 CC :yy 2=4xx 在 xx =1 右侧的部分上将存在两点 PP ii (ii =1,2) ，使得 △PPAAPP ii 的面积等于 4√2 ，此时 CC 上存在两个点 PP ii (ii =1,2) ，使得 △PPAAPP ii 的面积等于 4√2 ，不合题意．当 PPAA 斜率存在时，结合抛物线的对称性，不妨设 PPAA 的斜率为 kk ,kk >0 ，设和 PPAA 平行的直线 ll 和抛物线相切，设切点为 PP �mm 24,mm� ，由于 kk >0 ，此时切线 ll 和抛物线在第一象限内的部分相切，此时 yy =2√xx ，yy ′=1√xx，则 kk =1�mm 24=2mm则 PP �1kk 2,2kk� ，设直线 PPAA 的方程为 yy =kk (xx −1) �yy =kk (xx −1)yy 2=4xx，得 yy 2−4kkyy −4=0 ，Δ=16kk 2=16>0 ，由韦达定理 yy 1+yy 2=4kk,yy 1yy 2=−4 ，故|PPAA |=�1+1kk 2⋅�(yy 1+yy 2)2−4yy 1yy 2=�kk 2+1kk 2⋅�16kk2+16=4(kk 2+1)kk 2点 PP �1kk 2,2kk� 到直线 PPAA 的距离为 dd =�1kk −2kk −kk�√1+kk 2=�1kk +kk�√1+kk2故SS△AABBAA=12⋅4(kk2+1)kk2⋅�1kk+kk�√1+kk2=2(kk2+1)32kk3令2(kk2+1)32kk3=4√2则�√kk2+1kk�3=�√2�3，所以√kk2+1kk=√2 ，解得kk=1 ，则PP(1,2)，即曲线CC:yy2=4xx在直线PPAA左侧的部分上存在点PP(1,2)，使得△PPAAPP的面积等于4√2 ，则曲线CC:yy2=4xx在PPAA右侧的部分上必将存在两点PP ii(ii=1,2)，使得△PPAAPP的面积等于 4√2 ，此时直线PPAA的方程为yy=xx−1 ，即xx−yy−1=0 ；根据抛物线的对称性，则kk=−1 时，即直线PPAA的方程为xx+yy−1=0 也符合题意，故直线PPAA的方程为xx−yy−1=0 或xx+yy−1=0 ．19.（17分）（1）aa22−aa1aa3=aa22−(aa2−dd)(aa2+dd)=dd2>0故{aa nn}不是等比数列．（2）ff(xx)在xx=aa ii处的切线方程为yy−ff(aa ii)=ff′(aa ii)(xx−aa ii)，令yy=0 得xx=aa ii−ff(aa ii)ff′(aa ii)，因此，欲使ff(xx)满足条件，只需使ff(xx)ff′(xx)=−dd，令ff(xx)=ee−xx dd，则ff′(xx)=−1dd ee−xx dd，满足条件，故存在指数函数ff(xx)=ee−xx dd满足条件．（3）取{aa nn}:−2,1,4 ，则 1,−2,4 成等比数列，故mm=3 满足条件．考虑mm≥4 ，首先，{aa nn}不可能所有项均为正数或均为负数，否则，对应的等比数列{bb nn}的公比为正，等比数列严格增或严格减，从而{aa nn}即为等比数列，不可能．其次，因为{bb nn}是等比数列，所以{|bb nn|}也是等比数列，不妨设{|bb nn|}严格增，则{|bb nn|}的前三项即为|aa nn|中最小的三项，则一定对应于{aa nn}中的连续三项aa kk,aa kk+1,aa kk+2(aa kk<0,aa kk+2>0)，不妨设aa kk+1>0 ，则|aa kk+2|−|aa kk|=aa kk+2+aa kk=2aa kk+1>0 ．①若|aa kk|<|aa kk+1|，则|aa kk|<|aa kk+1|<|aa kk+2|，则aa kk,aa kk+1,aa kk+2成等比数列，不可能；②若|aa kk|>|aa kk+1|，则|aa kk+1|<|aa kk|<|aa kk+2|，则aa kk+1,aa kk,aa kk+2成等比数列，aa kk2=aa kk+1aa kk+2，即aa kk2=(aa kk+dd)(aa kk+2dd)，得aa kk=−23dd，aa kk+1=13dd，aa kk+2=43dd，而除了这三项外，|aa nn|最小值为|aa kk−1|=53dd或|aa kk+3|=73dd，但aa kk−1和aa kk+3均无法与aa kk+1,aa kk,aa kk+2构成等比数列，因此不符合条件．综上所述，所有可能的mm的值是3．。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 6 函数的概念及其表示

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习第三章函数、导数及其应用考点知识总结6 函数的概念及其表示高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值为5分，中、高等难度考纲研读1.了解构成函数的要素2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3．了解简单的分段函数，并能简单应用一、基础小题1．下列关于x ，y 的关系中为函数的是( ) A ．y ＝x －2＋1－x B ．x 2＋y 2＝1C ．y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥1，1－2x ，x ≤1D ．答案 D解析根据函数的定义，自变量在其允许取值范围内任意取一个值，有唯一的函数值与其对应．选项A 中的表达式，x 的取值范围为∅，故它不是函数；选项B 中的表达式，当x 在它允许取值范围内取值时，y 的值不唯一，故它不是函数；选项C 中，当x ＝1时，y 的值不唯一，故它不是函数；选项D 中的x ，y 满足函数的定义．故选D.2．若函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x ，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝1x －1(x ≠1) B ．f (x )＝1x ＋1(x ≠－1) C.f (x )＝x x －1(x ≠1) D ．f (x )＝xx ＋1(x ≠－1)答案 A解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝x ，令1＋1x ＝t (t ≠1)，则x ＝1t －1，∴f (t )＝1t －1(t ≠1)，即f (x )＝1x －1(x ≠1).故选A. 3．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则()A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x答案 D解析当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn |x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C.故选D.4．若点A (0，1)，B (2，3)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，则一次函数的解析式为( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝x ＋1 D ．y ＝2x －1 答案 C解析将点A ，B 的坐标代入一次函数y ＝ax ＋b ，得b ＝1，2a ＋b ＝3，则a ＝1.故一次函数的解析式为y ＝x ＋1.故选C.5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )A ．32B ．－32C ．14D ．－14 答案 D解析令2x ＋3＝6，得x ＝32.故m ＝12x －1＝12×32－1＝－14.故选D.6．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析由函数的定义，排除C ；由函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，排除A；由函数y＝f(x)的值域为N＝{y|0≤y≤2}，排除D.故选B.7．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x答案 C解析A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2f(x)；C中，f(2x)＝2x ＋1≠2f(x)；D中，f(2x)＝－2x＝2f(x).故选C.8．(多选)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息为()A．骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 hB．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动C．骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者D．骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样答案ABC解析看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线段，所以是变速运动，因此B 正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C 正确，D 错误．9．(多选)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译作“函数”，沿用至今．为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M ＝{－1，1，2，4}，N ＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是( )A ．y ＝log 2|x |B ．y ＝x ＋1C ．y ＝2|x |D ．y ＝x 2 答案 CD解析当x ＝±1时，y ＝log 21＝0∉N ，故A 错误；当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故B 错误；任取x ∈M ，总有y ＝2|x |∈N ，故C 正确；任取x ∈M ，总有y ＝x 2∈N ，故D 正确．故选CD.10．已知函数g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝2x 2－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.答案 831解析令1－2x ＝12，得x ＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×142－116＝123116＝831. 11．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞解析 f (x )在R 上单调递增，由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，所以a ≥23，所以23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，所以a ≥0，所以a ≥1.综上，a ≥23.12.若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2 －13解析由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－13.二、高考小题13．(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C.14．(2022·浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4，x ＞2，|x －3|＋a ，x ≤2.若f (f (6))＝3，则a＝________．答案 2解析因为6>2，所以f (6)＝6－4＝2，所以f (f (6))＝f (2)＝1＋a ＝3，解得a ＝2. 15．(2022·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．答案22解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，∴f (15)＝f (－1)＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22，∴f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22.16．(2022·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞解析由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论.当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，所以－14＜x ≤0；当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x＋12＞1，显然成立；当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14.三、模拟小题17．(2022·厦门外国语学校高三第一次阶段检测)已知函数y ＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≤0，－3x ，x >0，则使函数值为3的x 的值是( )A ．－2或2B ．2或－1C ．－2D ．2或－2或－1 答案 C解析当x ≤0时，令y ＝3，得x 2－1＝3，解得x ＝－2；当x >0时，令y ＝3，得－3x ＝3，解得x ＝－1，不符合题意，舍去．综上所述，x ＝－2.故选C.18．(2022·重庆巴蜀中学期中)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )＋2f (－x )＝x 2－x ，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝12x 2－xB ．f (x )＝13x 2－xC ．f (x )＝12x 2＋xD ．f (x )＝13x 2＋x 答案 D解析由f (x )＋2f (－x )＝x 2－x ①，得f (－x )＋2f (x )＝x 2＋x ②，①－2×②，得f (x )＝13x 2＋x .故选D.19．(2022·湖北孝感模拟)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 答案 B解析根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310，也可以用特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，y ＝6，排除A.故选B.20．(2022·衡水中学实验学校高三一模)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从A 点出发，沿箭头方向经过B 点跑到C 点，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程．设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．M 点B ．N 点C ．P 点D ．Q 点答案 D解析由图知，固定位置到A 点的距离大于到C 点的距离，所以舍去N ，M 两点，排除A ，B ；若是P 点，则从最高点到C 点依次递减，与图2矛盾，因此取Q 点．故选D.21．(多选)(2022·江苏苏州中学月考)下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )A ．f (x )＝|x |与g (x )＝x 2B ．f (x )＝x ＋1与g (x )＝x 2－1x －1C ．f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，－1，x ＜0D ．f (x )＝ x 2－1与g (x )＝x ＋1·x －1答案 AC解析对于A ，g (x )＝x 2＝|x |，故A 正确；对于B ，f (x )＝x ＋1的定义域为R ，g (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，故B 错误；对于C ，f (x )＝|x |x ＝⎩⎨⎧1，x ＞0，－1，x ＜0，故C 正确；对于D ，f (x )＝x 2－1的定义域为{x |x 2－1≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥1}，由⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －1≥0，得x ≥1，即g (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，故D 错误．故选AC.22．(多选)(2022·海南中学高三第六次月考)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E. J. Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．f (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－1，x ≤1，|2－x |，x >1D ．f (x )＝1x －x答案 BCD解析根据定义可知，若f (x )有不动点，则f (x )＝x 有解．对于A ，令2x ＋x ＝x ，所以2x ＝0，此时无解，故f (x )不是“不动点”函数；对于B ，令x 2－x －3＝x ，所以x ＝3或x ＝－1，所以f (x )是“不动点”函数；对于C ，当x ≤1时，令2x 2－1＝x ，所以x ＝－12或x ＝1，所以f (x )是“不动点”函数；对于D ，令1x －x ＝x ，所以x ＝±22，所以f (x )是“不动点”函数．故选BCD.23．(2022·湖南郴州模拟)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)解析(配凑法)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2).24．(2022·湖北荆州模拟)已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________．答案 5解析 ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.25．(2022·新乡模拟)∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝2.则f (4)＝________，f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋f （6）f （5）＋…＋f （2022）f （2022）＋f （2022）f （2022）＋f （2022）f （2022）＝________．答案 16 2022解析因为∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝2，所以f (2)＝f (1＋1)＝f (1)f (1)＝22＝4，f (3)＝f (1＋2)＝f (1)f (2)＝23＝8，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)f (3)＝24＝16.f （2）f （1）＝2，f （4）f （3）＝2，f （6）f （5）＝2，…，f （2022）f （2022）＝2，故原式＝2×1011＝2022.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·昆明质量检测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），－2<x <0，2x ＋1，0≤x <2，x 2－1，x ≥2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值．解 (1)由题意，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32.当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或－5(舍去).故a ＝32或 5.2．(2022·山西太原五中月考)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图象的对称轴为直线x ＝32，所以g (x )在[－1，1]上单调递减．故只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1.故实数m 的取值范围是(－∞，－1).3．(2022·甘肃兰州模拟)已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1)上有表达式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解 (1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝x 2；当x ∈[1，2)时，x －1∈[0，1)，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2，f (2)＝－12f (1)＝14f (0)＝0；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝2，－12（x －1）2，x ∈[1，2），x 2，x ∈[0，1），－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0），4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。

高三数学大题训练6理(较难)

(1)求 tan A ；(2)假设BC =1,求AC AB 的最大值,并求此时角 B 的大小.2 . 在MBC 中,内角 A , B , C 的对边分别为a , b , c , f -j -(.3sin B-cosB)( , 3s iCn -c oC$=4c oBc oCs (I)求角A 的大小；(n)假设sin B = psinC ,且 MBC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.a, b , c, AD 为边BC 上的高,AD =—a , b = 1,642 二(1)右 A =—,求 c ;3一 ,、 1 . (2)求c+-的最大值.c1.在MBC 中,tan A 2AB-AC tanB - AC大题练习6理3.在 MBC 中,角A , B , C 所对的边分别为4.为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位：毫克),如图是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于16毫克时,该产品为优等品.(1)从乙厂抽出的上述10件样品中,随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望；(2)从甲厂的10年样品中有放回地逐个随机抽取3件,也从乙厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂所2件的概率.5、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提升低岗人员的再就业水平,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训, 参加过财会培训的有60% ,参加过计算机培训的有75% ,假设每个人对培训工程的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员,记X为3人中参加过培训的人数,求X的分布列.平面(2)试问：直线上是否存在一点 ,使得平面与平面所成锐二面角的大小为长；假设不存在,请说明理由7 .如图, AE _L 平面 ABC , AE II BD , AB = BC =CA =BD =2AE =2 , F 为 CD 中点.C(1)求证：EF _L 平面BCD ; (2)求二面角C -DE —A 的正弦值; (3)求点A 到平面CDE 的距离.6.如图,在四棱锥中,侧面线段、的中点,、分别为线段底面 , 上一点,且为正三角形, ,点,分别为(1)确定点的位置,使得28 .如图,过椭圆C: x-+y2=1的左右焦点F1,F2分别作直线11 , 12交椭圆于A, B与C,D ,且11//l2. 4(D求证：当直线11的斜率k i与直线BC的斜率k2都存在时,k i k2为定值;(2)求四边形ABCD面积的最大值.2 29 .如图,椭圆E:3+方=1(a Ab〉0)左、右顶点为A、B,左、右焦点为F i、F2, AB = 4 , a bF1F2 =273.直线y =kx+m(k >0)交椭圆于点C, D两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M、N两点(M , N不重合),且CM = DN(1)求椭圆E的方程;(2)设直线AD , BC的斜率分别为k1 , k2,求及的取值范围. k210 .函数f (x)= ln(x +1)+ax2,其中a w R(I )假设函数f (x )在x =1处的切线与直线x + y _1 =0垂直,求a的值;(n)讨论函数f(x赦值点的个数,并说明理由；(m)假设V x〉0, f(x七0恒成立,求a的取值范围.11 .函数f(x)=lnx,h(x)=ax(a 为实数)(1)函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点,求实数a的取值范围(2)是否存在实数m,使得对任意的*“工,21者6有函数y= f(x)+m的图象在函数2 xe xg(x)=一图象的下方？右存在,请求出整数m的取大值；右不存在,说明理由(五十---------------------- 七1.99) x 212 .选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.假设曲线C 的极坐标方程为Pcos ,-4sin6 =0 ,P 点的极坐标为'3,1-卜在平面直角坐标系中,直线l 经过点P,斜率为,3.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A, B 两点,求工+,的值.PA PB13 .选修4-4:坐标系与参数方程以坐标原点xOy 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线l 的x=2刍参数方程为｛ 2(t 为参数),圆C 的极坐标方程为d a y =1 ——t2(1)求直线l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A, B 两点,假设点P 的直角坐标为(2,1),求|PA - PB|的值.L f JI:= 4、2sin 广-(1)求 tan A ；(2)假设BC =1,求AC AB 的最大值,并求此时角 B 的大小.【答案】(1) tanA=J3;⑵ AC AB 最大值为1, 此时B =£3tan A 2AB - AC1(1)根据,利用正弦TE 理,化间 ------------- = ------------ ,可求出cos A = —,进而求得tanA ；(2)由(1),tan B AC 222根据余弦定理可得1=AC +AB - AC ,AB,,然后利用根本不等式即可求出AC AB 的最大值sin AcosB _ 2sin C -sin B sin BcosA sin B0 0 ： A ：二,.A = —,tanA = '_ 33(2)在 MBC 中,BC 2=AC 2+AB 2-2 AC AB cos A,且 BC =1, _ 2_ 2 _ _.1 =ACAB -AC AB,i* _2_ _2^_ _ ____ _ _ _* AC AB -2AC AB, 1 -2AC AB - AC AB,即AC AB W1 ,当且仅当 AC = AB =1时,AC ■ AB 取得最大值1, 此时B =—32 .在MBC 中,内角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ,(.3sin B-cosB)( . 3s iCn-c oC$=4c oBc oCs (I)求角A 的大小；(n)假设sin B = psinC ,且&ABC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围. 1【答案】(I) A=—； (II) - < p <2 . 32大题练习1.在MBC 中,tan A 2AB-AC tanB - AC试题解析：由正弦定理知口 r sin B cos A sin AcosB 2sin C 即 ----------------------- 二 -------sin BcosA sin B si nA( B )2 sCn A 1— ,■ c o A = ,si nB c cAs sBn2(I )由及三角函数中的恒等变换应用得一J3sin(B +C) = 3cos(B +C),从而可求得2 二〔1〕假设A =——,求c ； 31 ,〔2〕求c+—的最大值.c【答案】〔1〕 c=1 ；〔2〕 4.函数式表示出来,再利用三角恒等变形以及三角函数的性质即可求解.tan 〔B+C 〕 =-J3 ,即可解得 A 的大小；〔n 〕由得 p = sin B sin(120 -C)sin C sin C ..32tanC△ABC 是锐角三角形, A =二,可求得tanC 的取取值范围,即可解得实数 3 试题解析：〔I 〕由题意得 p 的取值范围.3sin Bsin C cosBcosC - - 3sin B cosC - . 3 cosB sin C =4cosBcosC =-..3sin(B C) -3cos(B C) =tan(B C) - - .3= B C = JI .A =— 3 sin B sin(120 -C) sin C sin C 3 2tanC丁 AABC 为锐角三角形, JT 且 A =— 3 冗一:二C6::二 tanC23.在AABC 中,角A, B, C 所对的边分别为a, b , c, AD 为边BC 上的高,AD,3 =-a 6试题解析：〔1〕: S M BC 二一 bcsin A = a 3 AD ,即 1 c ---------- 2 32=a —a ,即 3c = a 6,根据余弦定理2 .2 a = b 2 2c -2 bccos A,有 3c =1 c-2c 1 rr 2 (--),即(c —1) =0 , ⑵••• 1 1 . 3 S ABC =2BC AD =2 7p .. 1 又. S ABC =~A AC1 AB sin A =一 csin A ,2 -2——a =csin A ,贝U a2=2^/3csin A ,又,: cos A =2cc 2 1-2、3csin A 2cc 1 =2、3 sin A 2 cJiJIcos A =4sin( A +—),当 A=一时,1 有(c* )max — 4 ,c〔1〕利用三角形的面积计算结合余弦定理可以得到a, c ；〔2〕仿照〔1〕的过程可以将 1 E- Ac +一用A 的二角4.为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品,测量产品中某种元素的含量〔单位：毫克〕,如图是测量数据的茎叶图：甲厂规定：当产品中的此种元素含量不小于16毫克时,该产品为优等品.〔1〕从乙厂抽出的上述10件样品中,随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望；〔2〕从甲厂的10年样品中有放回地逐个随机抽取3件,也从乙厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂所2件的概率.【答案】〔1〕-,分布列见解析〔2〕—【解析】试题分析：〔1〕的所有可能取值为,由古典概型分别求概率,得到的分布列,再求期望即可；〔2〕抽取的优等品数甲厂比乙厂多两件包括两个根本领件：“抽取的优等品数甲厂件,乙厂件〞, “抽取的优等品数甲厂件,乙厂件〞,分别计算出它们的概率,再利用概率的加法公式得到抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多件的概率即可.〔1〕由题意知, 的值为0,1,2,3 ,〔2〕甲厂抽取的样本中优等品有6件,优等品率为一-,乙厂抽取的样本中有5件,优等品率为-抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件,即“抽取的优等品数甲厂2件,乙厂0件〞, “抽取的优等品数甲厂3件,乙厂1件〞,・♦・抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率：一——一.5、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提升低岗人员的再就业水平,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训, 参加过财会培训的有 60% ,参加过计算机培训的有 75% ,假设每个人对培训工程的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员,记 X 为3人中参加过培训的人数,求 X 的分布列.解(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训〞为事件A, “该人参加过计算机培训〞为事件B, 由题设知,事件 A 与B 相互独立,且 P(A) = 0.6, P(B)=0.75. 所以,该下岗人员没有参加过培训的概率是 P (五"B ) = P(7A ) P("B ) = (1 - 0.6)(1 - 0.75)= 0.1.该人参加过培训的概率为 1 — 0.1 =0.9. (2)由于每个人的选择是相互独立的,所以 3人中参加过培训的人数X 服从二项分布 X 〜B(3,0.9),P(X=k) = o 30.9k X0.13 k , k= 0,1,2,3, X 的分布列是X0 1 2 3 P0.0010.0270.2430.7296.如图,在四棱锥中,侧面线段、的中点,、分别为线段=— ="^― * ■fv*1内 “ 小(1)确定点的位置,使得平囿(2)试问：直线上是否存在一点长；假设不存在,请说明理由.【答案】(1)详见解析；(2)存在点解：(1)为线段的靠近的三等分F 在线段上取一点,使得 ,由于为中点,,-,当为线段靠近的三等分点时,即又,所以平囿平囿(2)取中点,连接,由于所以底面 ,以为轴, 的中垂线为轴, 为底向,为止二角形,, ,点,分别为、上一点,且,^；,使得平囿与半囿所成锐一囿角的大小为 ,假设存在,求的,且 ^气.由于 ,, ,-,,又易知,, .,由于平囿 ,所以平囿 . 为正三角形,所以 ,又侧面底面 ,轴,建立空间直角坐标系,如下图,那么那么 ,, 一, ,, 一, 设平面的法向量为,,,那么 ,即_—,令一,得平面的一个法向量为,一 ,^易得平面的一个法向量为 ,,,所以 , ----- ------- 一,解得,故存在点,且^7.如图, AE_L 平面 ABC, AE//BD, AB = BC =CA =BD =2AE =2 , F 为 CD 中点.1 ― 试题分析：(I )取BC 中点G 点,连接AG FG 由F, G 分别为DC BC 中点,知FG//BD 且FG =— BD ,21又AE// BD 且AE =一 BD ,故AE// FG 且AE=FG 由此能够证实EH 平面BCD ( n )取AB 的中点O 和DE 的 2中点H,分别以OC OB OH 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系,那么C (行,0 , 0 ), D(0 , 1 , 2),E (0,—1,1), A(0,—1,0), CD =(T /3,1,2), ED =(0,2,1).求出面 CDE 的法向量 I =(、6 , —1,2 ),面ABDE 的法向量1=(1,0,0),由此能求出二面角 C —DE —A 的大小.(出)由面【答案】(1)详见解析；(2)arccos — ； (3)4,2 2C(1)求证：EF _L 平面BCD ; (2)求二面角 C -DE —A 的正弦值; (3)求点A 到平面CDE 的距离.n1=(J5 ,-1,2), A E=(0 ,0,1利用向量法能求出点A到平面CDE勺距离.试题解析：解：⑴取BC中点G点,连接AG、FG ,CDE勺法向量1 1. • F、G 分别为DC、BC 中点,,FG // BD 且FG =— BD ,又AE // BD 且AE =— BD .AE II FG且AE =FG ,,四边形EFGA为平行四边形,那么EF II AG ,AE _L平面ABC , AE II BD, BD _L平面ABC .又,: DB U平面BCD ,,平面ABC_L平面BCD ,G 为BC 中点,且AC =AB,.= AG _LBC ,AG,平面BCD,.二EF_L 平面BCD .⑵取AB的中点O和DE的中点H , 分别以OC、OB、OH所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系,那么C(73,0,0), D(0 , 1 , 2 ), E(0 ,-1,1), A(0 , -1 , 0),CD =(-75,1,2 ), ED =(0 ,2,1),设面CDE 的法向量n1 =(x , y , z ),那么成W=—£x+y+2z=0,取n n1 ED=2y z =0取面ABDE的法向量上=(1 ,0,0), 」」TT卜21 (75 j +(-1)+22中二-6, 4故二面角C —DE -A的大小为arccos—6 -4⑶由⑵,面CDE 的法向量n1 =(J5 ,-1,2 ), AE =(0 , 0 , 1 ),那么点A到平面CDE的距离,2 _ 2 .,(-3)2(-1)222 22 (x)8.如图,过椭圆C: 一+4 y2=1的左右焦点巳下2分别作直线l1,I2交椭圆于A, B与C,D ,且I1//I2.A1 n2由cos<ri1 , n2 A试题解析：〔1〕设A 〔K,y 1〕,B"2, y 2 〕,根据对称性,有C 〔 —x 1,—y 1〕,由于A 〔 x 1,必〕,B 〔x 2,y 2〕都在-1 y 1 %= 2百.直线y=kx+m 〔kA0〕交椭圆于点C, D 两点,与线段F 1F 2、椭圆短轴分别交于M 、椭圆C 上,2所以包+4y ； =12 x22.y2 = 1,422式相减得,x 1~x 2+ y ； — y ； = 0 ,所以4y 2 v x 2 x22y2 一 y1 2 X21 …--为定值.4〔2〕当11的倾斜角为0^时, 11与12重合,舍去.当1I 的倾斜角不为 0 时,由对称性得四边形 ABCD 为平行四边形,E 〔-百,0〕,设直线11的方程为 x = my -石,代入x 227 y=1 ,得〔m 2+4 〕y 2-2V3y -1 = 0.显然^：＞0,y 〔 y 22.3 -2,所以S 0AB 3.32 3m-4-1 m 24= 2.3m 21m 2 4设m 2 +1 =t ,所以m 2 =t -1 , t 乏〔1,收〕.所以m 2 1t t 26t 912当且仅当t =9即m = 土夜时等号成立,所以〔S^AB 1ax = 2 J3 ；112 =1.所以平行四边形面积的最大值为S ABCD max =4-S.OAB =4.,一 ________ _ x 29.如图,椭圆E: —+ab2= 1〔a 〉b>0〕左、右顶点为 A 、B,左、右焦点为 E 、F2,AB =4,F 1F 2k i k 2为定值;〔2〕求四边形ABCD 面积的最大值.N 两点(M , N 不重合),且CM = DN(2)设直线AD, BC 的斜率分别为k i, k 2,求旦的取值范围. k 2试题解析：2(1)由于2a =4, 2c =2,3,所以b 2=a 2—c 2=1,所以椭圆的方程为 —+ y 2=1.42(2)将直线 y = kx +m 代入椭圆 3 + y 2=1 ,得(1 +4k 2)x 2+8mkx +4m 2—4 = 0.所以-73w —2m WJ 3 且 m#0,即—Ylwm £立且 m ... 2 2 由于匕=」^,k 2所以L y1〔X 2-2〕,两边平方得X 1 2 X 2 - 2 k 2 y 2 x 1 2k 11m2k 12 -所以 —= ------------ =—1 —, 又由于 —=—1 — 在k 2 1 - m m -1k 2 m -1设 D 〔X 1, y 1〕,C 〔X 2, y 2 〕, 那么X I-8kmX 2一 1 4k 2,X 1x 24m 2-42- 1 4k又 M '-m ,0 |；N 〔0,m 〕,由 CM|=|DN 得 x+x 2V k 〕 '12.得 k =-,此时 x 1 +x 2 = -2m, x 1 x 2 =2m -2 ,2由于直线l 与线段F 1F 2、椭圆短轴分别交于不同两点,n -8km mx M + x N ,即 ------- 2 = 一一,由于 m 0, k > 0,1 4k k2 2 4 -2 -2m 2m 2-2 _ m 1 --2" -24 2 -2m 2m -2 m -1=7 + 4石,且必¥1,即1 一 m7-473 <— <7+473,且 k 1 #1 ,k 2k 2所以[7—473,1 〕5〔1,7+4石 I.(1)求椭圆E 的方程；上单调递增,所以T 1 m<—21 -m 1 3 210.函数f (x)= ln(x +1)+ax2,其中a w R(I )假设函数f (x )在x =1处的切线与直线x + y _1 =0垂直,求a的值；(n)讨论函数f(x赦值点的个数,并说明理由；(m)假设V x〉0, f(x户0恒成立,求a的取值范围.1试题解析：(I)由于f (x )= ——+2ax,由f(x堆x = 1处的切线与直线x + y—1 = 0垂直,x 1- 1 . 1可知「(1)=1+2a =1 ,所以a =」；2 421 2ax - 2ax - 1 (n)由题意知,函数f(x)的定义域为(―1,y ), f,(x)=,+2ax 一二」,x 1 x 1令g x = 2ax2 2ax 1, x 三1 1,二.(i)当a =0时,g(x )=1,此时f '(x)>0,函数f (x )在(-1+^)单调递增,无极值点； 2 2(ii )当a>0时,万程g(x) = 2ax +2ax+1 的判另ij式A = 4a —8a = 4a(a—2).①当0<aE2时,A <0, g(x )>0, 「仪)至0,函数f (x楂(―1,收)单调递增,无极值点；②当a >2时,△>0,设方程2ax2+2ax+1 =0的两根为x1 , x2(x1 <x2),由于x1 +x2= -1 ,2 ,,一,、… 1 …, 1 1 ,g(x ) = 2ax +2ax+1的对称轴万程为x =-一,所以为< 一一,x2A-一,由g(—1)=g(0)=1>0,2 2 21 一可得-1 :二x1 ：二-一：二x2:二0 .2所以当x W(1,x1)时,g(x)>0, f'(x)>0,函数f (x)单调递增；当x W(x1,x2)时,g(x)<0, f'(x)A0,函数f(x)单调递减；当x)x2,〜耐,g(x)>0, f'(x)>0,函数f (x )单调递增.因此函数f(x)有两个极值点.(iii )当2<0 时,△>0,由g(—1)=g(0)=1>0,可得x1 <—1, x2A0当x W(—1,x2)时,g(x)>0, f'(x)>0,函数f(x)单调递增；当乂三卜,^ 时,g(x)<0, f'(x)<0,函数f (x)单调递减,所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点；当0Ea E2时,函数f (x )无极值点；当a >2时,函数f (x)有两个极值点.(出)由(n)知,①当0waw2时,函数f (x痴(0,2)单调递增,由于f (0) = 0,所以x w(0,+oc)时,f(x)>0,符合题意；②当a >2时,g(0 )=1 >0,得x2 <0 ,函数f (x )在(0,^)上单调递增,又f (0)=0,所以x^ (0,代)时,f(x)〉0,符合题意；③当a <0时,设h(x )=x —ln (x +1 ),由于x w (0,收)时,所以h'(x 1 --1- =—x—> 0 ,所以h(x) x 1 1 x 在(0,y 比单调递增,所以h(x )>h(0)=0,即n (x« )<x ,可得f (x)=ln(x+1)+ax2<x + ax2,.1 c 1而当x 时,x+ax?=ax x+— l<0,即此时f (x )<0 ,不符合题忌.a . a综上所述,a的取值范围是0 ").10.函数f(x)=lnx,h(x)=ax(a 为实数)(1)函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点,求实数a的取值范围(2)是否存在实数m,使得对任意的**工,"1者6有函数y= f(x)+m的图象在函数2 xe x ln2g(x)=一图象的下方？右存在,请求出整数m的取大值；右不存在,说明理由(五+七1.99)x 2(I)函数f(x方h(x比公共点,lnx 一等价于万程——=a在(0,均忧解x令t(x )=止,那么t'(x)=1―兽,令t'(x) = 0/1^x=emaxlnx —故要使方程——=a在(0,十工)无解,x、……. 1 . ..一1当且仅当a >一故实数a的取值范围为.-卡\(n)假设存在实数m满足题意,那么不等式lnx + m< e-对x / 1, 十资I,恒成立. x x 2即m <e x-xlnx 对x w 1 —,e f2,令r (x )=e -xlnx ,那么r'(x )=e x -lnx -1,1令Mx ) = e — lnx —1,贝U (|)(x)=e ,x」1 、「1、1•••(|)(x 加11 日上单调递增, g 1 l=e2—2<0, M1)=e —1>0,⑵J 22 J -1且$(x )的图象在［1,1上连续,,, 1 xc 1•;存在x0= . 一,1 ,使得(|)(x0 )=0 ,即e -- = 0 ,那么x0 = -lnx0, .......................... 9分2 x°・•.当x w〕,x0 i时,6(x )单调递减;2当x W仪0, )时,Mx )单调递增,那么Mx 到最小值([)(x0) = e x° - lnx0 - 1=x0+」--1 之2 JX0 1- -1 = 1 a 0,x0 \ x0• • r'(x户0,即r(x )在区间,产I内单调递增21 111 1 1 _ _m W r . - =e2--ln - =e2+ — ln2 =1.99525 , 2 2 2 2・•・存在实数m满足题意,且最大整数m的值为1.12.选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.假设曲线C的极坐标方程为P cos2e -4sin6 =0 , P点的极坐标为‘31j,在平面直角坐标系中,直线l经过点P ,为.3.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与曲线C相交于A, B两点,求工+,的值.PA| | PB试题解析：(1)曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2=4y,Jt 1P点的极坐标为：P.3,万卜化为直角坐标为P(0,3>P =4^/2sin 10 +— l1=4sin0 +4cos6 ,所以P2 =4PsinO +4Pcos0,I 4J所以曲线C的直角坐标方程为：x2十y2-4x-4y =0 . 斜率直线l的参数方程为JTx = tcos —3ny = 3 tsin 一3,即｛1 x = -t2y =3 -^t2 (t为参数)(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得1t2=12 +2向,4整理得：t2—8j3t —48 =0 ,显然有A>0,那么域2 = T8 , t1 +t2 =86,PA||PB =t[ t2=t1t2 =48 , PA +|PB| =1| + t2 =t〔—12 = J(t1 +t2 f —4也=8^/6 ,所以1_ _1_ _ PA |PB 网|PB|-P A||PB'13.选修4-4:坐标系与参数方程以坐标原点xOy为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系, 两种坐标系中取相同的长度单位, x =2刍参数方程为｛2- ( t为参数),圆C的极坐标方程为y,二t2(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；:=4、.2sin i r -4(2)设圆C与直线l交于A, B两点,假设点P的直角坐标为(2,1),求I PA — PB|的值. 试题解析：(1)直线的普通方程为：y = x-1 ,.,Zx = 2 , — t⑵点P(2,1户直线l上,且在圆C内,把｛2代入x2+y2—4x —4y = 0y=1 =t2得t2—J2t—7=0,设两个实根为t i,t2,那么ti + t2 =&,t i飞=7 0 即t i,t2异号,所以I PA — PB|| =||t i|-t2|| =4i。

高三数学中等生练习题

高三数学中等生练习题1. 以下各题都是高三数学中等难度的练习题，适合高三学生巩固知识和提高解题能力。

请认真阅题，仔细思考后回答。

2. 题目一：已知函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5，求函数 f(x) 的导函数 f'(x) 及其在点 x = 2 和 x = -1 处的值。

解析：首先，我们需要求函数 f(x) 的导函数 f'(x)。

对于多项式函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5 来说，可以使用求导法则进行求导。

根据求导法则，我们可以得到 f'(x) = 6x^2 + 6x - 12。

接下来，我们需要求函数 f(x) 在 x = 2 和 x = -1 处的值。

将 x = 2 和x = -1 分别代入 f(x) 和 f'(x) 的表达式中，即可得到相应的函数值。

具体计算如下：当 x = 2 时，f(x) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 28，f'(x) = 6(2)^2 + 6(2) - 12 = 24。

当 x = -1 时，f(x) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 18，f'(x) = 6(-1)^2 + 6(-1) - 12 = -12。

总结答案：f'(x) = 6x^2 + 6x - 12，f(2) = 28，f'(-1) = -12。

3. 题目二：已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn = n^2 - 3n，则求等差数列的公差 d 和首项 a1。

解析：对于等差数列 {an} 来说，假设其公差为 d，首项为 a1。

根据等差数列的性质，可以得到等差数列的通项公式 an = a1 + (n - 1)d 和前 n 项和的表达式 Sn = (n / 2)(a1 + an)。

根据已知条件 Sn = n^2 - 3n，代入等差数列的前 n 项和表达式，可以得到 (n / 2)(a1 + a1 + (n - 1)d) = n^2 - 3n。