第15讲 函数
高一第15讲正弦型函数图象(学生版)
第15讲y ＝A sin(ωx ＋φ)图象及应用一．学习目标：1．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换法。
． 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．4.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．二．重点难点：重点：掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，难点：利用三角函数的性质解决有关问题．三．知识梳理：1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．5.在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．6.由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．7.作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．8.函数y ＝tan y ＝tan xπ题型一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例1 设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．课堂小结：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可． (2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 课堂练习1：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是题型二 三角函数图象的变换例2 （1）（2012年高考浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是（2）.已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4-2，x ∈R .,将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？（3）（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式;（2）（略）课堂练习2：（1）（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题） 将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为(A) (B) (C)0 (D)（2）（2013年高考福建卷（文））将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f的图象向右平移sin(2)y x ϕ=+x 8πϕ34π4π4π-)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 A ．35π B ．65π C ．2π D．6π（3）．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图 象重合，则ω的最小值是 A.23 B.43 C.32D ．3题型三 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3 （1）（2013年高考四川卷（理））函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π（2）（2012年高考湖南文）已知函数()sin(),(,0,0)2f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）（略）课堂小结：根据三角函数图象求函数的解析式，主要解决两个问题，一个是ω，一个是φ.ω由三角函数的周期确定，φ由函数图象的位置确定，解决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期确定ω的值．对于φ值的确定，若能求出距离原点最近的右侧图象上升(或 下降)的零点x 0，令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，也可以用最高点或最低点的坐标来求，如果对φ有范围要求，则可用诱导公式转化． 课堂练习3：（1）(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．（2）(2009年高考辽宁理)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝ A ．－23 B ．－12 C.23 D.12 ()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<,ωϕ课堂小结：解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．题型四 正、余弦函数的最值问题例4（图象法求最值）（1）（2013年高考天津卷（文））函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 A ．1- B ． C D ．0（2）（换元法求最值）设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的值域是______．（3）（有界性法求最值）已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．课堂练习4：已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ): A.23 B.32C ．2D ．3题型五 正切函数图象与性质例5（1）函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )（2）下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π7（3）函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4 课堂练习5：求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． .五．品味高考（家庭作业）1，（2013年高考大纲卷（文））若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22.（2013年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π3.（2012年高考课标文）已知>0,,直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴,则= （ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π44（2012年高考福建文）函数的图像的一条对称轴是（ ）A ．B ．C ．D ．ω0ϕπ<<x 4πx 54π()sin()f x x ωϕ=+ϕ()sin()4f x x π=-4x π=2x π=4x π=-2x π=-5.（2012年高考大纲文）若函数是偶函数,则 （ ） A ． B ． C ． D ．6.（2012年高考安徽文）要得到函数的图象,只要将函数的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位 7.（2012年高考新课标理）已知,函数在上单调递减.则的取值范围是A ． B ． C ． D ．8.（2012年高考天津文）将函数的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则的最小值是 （ ） A ． B ．1 C ． D ．29.（2005年高考全国理）已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－110.（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.11.（2013年高考上海卷（理））已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>; (1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.参考答案：（1）【答案】B （2）【答案】A （3）【解析】由题设知,=,∴=1,∴=(), ∴=(),∵,∴=,故选A.（4）【答案】C 【解析】把代入后得到,因而对称轴为,（5）答案C 【解析】由为偶函数可知,轴是函数图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故,而,故时,[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈ϕ=2π23π32π53πcos(21)y x =+cos 2y x =12120ω>()sin()4f x x πω=+(,)2ππω15[,]2413[,]241(0,]2(0,2]()sin (0)f x x ωω=>4π3(,0)4πω1353πω544ππ-ω4πϕ+2k ππ+k Z ∈ϕ4k ππ+k Z ∈0ϕπ<<ϕ4π4x π=-()1f x =-4x π=-[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈y ()f x 3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈[]0,2ϕπ∈0k =, （6）【解析】选 左+1,平移 （7）【解析】选 ， 不合题意 排除 合题意 排除另:, 得: （8）【解析】函数向右平移得到函数,因为此时函数过点,所以,即所以,所以的最小值为2,选D.（9）答：B ∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0. （10）【答案】56π。
第讲阶跃函数和阶跃响应
0
2(1 e2t ) ( A)
1.96e2(t2) ( A)
t<0
0t 2 s
t 2s
3、杜阿密尔（Duhamel）积分（叠加积分）
如果激励f(t)是t=0时接 入 的 任 意 信 号 ， 即 t<0 时 f(t)=0， 那么f(t)可近似地看 作是每隔Δ时间接入一个阶 跃信号。 例如
1 01 23 t
f(t)
A
?
t 0
f (t) A (t)
例5： 用单位阶跃函数截取任意信号
例6： 用单位阶跃函数描述直流电源
单位阶跃函数可以用来描述1V或1A的直流电源在t=0时接 入电路的情况。
二. 单位阶跃响应 电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应，用g(t)表示。
R
(t )
uC (0-)=0
iL( )=2A
=6 s
+
2V 5
5H
-
iL(t) = 2 +[0.154 - 2] e - ( t - 1 )/ 6 = 2 - 1.846 e - ( t - 1 )/ 6 A
1<t2
t>2
iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A
法一 t < 0 iL(t)=0 0 < t 1 iL(0+)=0 iL( )=1A
=5/ (1//5)=6 s
iL(t) = 1 - e - t / 6 A
0 < t 1 iL(t) = 1 - e - t / 6 A
1
iL
1 < t 2 iL(1+)= iL(1-)= 1 - e - 1/ 6 =0.154 A
高一数学 必修1 第15讲-指数函数的图像及性质
第15讲 指数函数图像及其性质姓名： 学校： 年级：【知识要点】一、指数函数的概念、图象和性质 定义函数x y a =(0a >，且1)a ≠叫做指数函数．指数函数图象分类1a > 01a <<指数函数图象特征向x 轴、y 轴正半轴方向无限延伸图象关于原点和y 轴都不对称函数图象都在x 轴上方 函数图象都过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越陡图象下降趋势是越来越缓指数函数性质函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为()0,+∞在定义域上是增函数在定义域上是减函数1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 1a ,0x x <<1a ,0x x ><函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；【典型例题】例1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是 （ ）A ．(4)xy =- B x y π=C ．4x y =- D.2,(01)x y a a a +=>≠且例2．若指数函数xa y )2(-=是单调递减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,0∈aB ．()∞+∈,1aC ．()3,2∈aD ．()∞+∈,3a例3．若2)41(<m，则m 的取值范围是例4．指数函数()x f x a =图像过点)161,2(，令x a x g =)(，求的)(x g 定义域和值域例5、若)10(,)(≠<=a a x f x，写出下列函数的图像所经过的定点的坐标。
⑴11)(+=x ax f __________；⑵1)(12+=-x ax f __________；⑶13)(+-=x a x f __________。
第15讲 锐角三角函数--提高班
第15讲 锐角三角函数⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩正弦、余弦、正切特殊角的三角函数值锐角三角函数解直角三角形直角三角形的应用 知识点1 正弦、余弦、正切锐角三角函数相关概念 正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作：sinA 。
余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作：cosA 。
正切：在直角三角形中，任意一锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作：tanA 。
锐角A 的正弦，余弦，正切，都叫做A 的锐角三角函数。
（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。
（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。
令y=sinA ，y=cosA ，y=tanA ，则函数中自变量的取值范围均为：0︒︒< <900A 函数的增减性分别为：①y=sinA 在自变量的取值范围内，y 随A 的增大而增大②y=cosA 在自变量的取值范围内，y 随A 的增大而减小③y=tanA 在自变量的取值范围内，y 随A 的增大而增大.【典例】1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=【答案】4；【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC==4，∴sinA==， 2.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 ．【答案】【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，根据勾股定理，AO==2，AC==，OC==，所以，AO2=AC2+OC2=20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB===．3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=．【答案】2【解析】解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=6，AC=2，∴BC===4，又∵∠D=∠A，∴tanD=tanA===2．【方法总结】1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。
第15讲 函数的实际应用
【思路点拨】(1)把x=28代入y=40-x即可求得.
(2)由(1)中y与x的函数关系式和根据年获利=年销售收入-生产
成本-投资成本,得到W与x的函数关系式，再由x的取值范围不 同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损. (3)令W=67.5，求出对应x的值，结合y与x的关系式中的x取值 范围即可确定此时销售单价的范围. 【自主解答】(1)当x=28时，y=40-28=12(万件). 答：该产品的年销售量为12万件.
12
【解析】令函数式y=-
即-
Hale Waihona Puke 1 (x-4)2+3=0， 12
1 (x-4)2+3中，y=0， 12
解得x1=10，x2=-2(舍去)， 即铅球推出的距离是10 m. 答案：10
6.(2011·菏泽中考)我市一家电子计算器专卖店每只进价13 元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1 只，所买的全部计算器每只就降低0.10元.例如，某人买20只 计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1(元)，因此，所买的 全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元. (1)求一次至少买多少只，才能以最低价购买? (2)写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x(只)
3只碗摞在一起的高度为8 cm，7只碗摞在一起的高度为12 cm，
15 则10只碗摞在一起的高度为___ cm.(碗的总高度与碗的只数满
足一次函数关系) 三、用函数知识解决实际问题的步骤
1.设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的
函数 _____. 2.列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式. 3.定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围. 4.解：利用相关性质解决问题. 5.答：检测后写出合适的答案.
第15讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(学生版)
第15讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质一，基础知识回顾的最小正周期为 ．的最小正周期为 ．3．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图4得到：（1）相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标______(A >1)或______(0<A <1)到原来的____倍(横坐标不变)．5.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b.确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝ ，b ＝ .(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝ .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)性质（1）单调性： （2）最值： （3）周期：（4）对称性： （5）奇偶性： 二，典例精析题型一：五点法作图及图象变换例1：已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到.变式迁移1：(1)要得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D 向左平移π12个单位(2)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________． 题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2：(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为(2)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝变式训练2：(1)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是(2)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝题型三：三角函数图象与性质的综合应用例3：设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．变式训练3：已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．题型四：三角函数模型的简单应用例4：如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．变式训练4.：某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？题型五：三角函数背景下的创新问题例5：设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是变式训练5：已知函数f (x )＝2sin x ＋1(x ∈[0，2π])，设h (x )＝|f (x )|－a ，则当1<a <3时，函数h (x )的零点个数为三．方法规律总结1．五点法作函数图象及函数图象变换问题：(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．2．由图象确定函数解析式：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．3．对称问题：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．4．由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x 前面的系数提取出来．5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．6．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性． 四、课后练习作业 一、选择题1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )2．函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A. πB.π4C.π3 D ．π23．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 B 关于直线x ＝π4对称C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D 关于直线x ＝π3对称 4.要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ）1212个单位 5．将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是( D )．A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( A )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数7．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( C )． A.13B ．3C ．6D ．9 8．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( D ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π129．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( D )A.π3B.23πC.43πD.π3或43π 10．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是( B )A ．)185,92[ππ B ．]185,92(ππ C ．)185,92(ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡185,92ππ 二、填空题11．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．12．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．13．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.14．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________． 三、解答题15．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜0)的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．16．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图象，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？。
第15讲商的不定积分-有理函数积分
第15讲 商的不定积分-有理函数积分一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点 六、教学过程：（二）商函数的不定积分-有理函数的积分上面介绍了积分学中两种典型的积分方法，对于某些特殊类型的被积函数的积分，如有理函数、三角函数的有理式等，通过恒等变形，就可应用上述方法进行求解.一、有理函数的不定积分由两个多项式函数的商构成的函数称为有理函数，形如mm m n n n b x b x b a x a x a x Q x P x R ++++++==-- 110110)()()(， 其中n m ，为非负整数，m n b b b a a a ,,,,,,1010 ，都是常数，且0000≠≠b a ，. 若n m >，则称)(x R 为真分式；若n m ≤，则称)(x R 为假分式。
注意，由代数知识可知, 有下面三个结论：① 利用多项式除法总可以将假分式化为一个多项式与一个真分式的和；例如,13112322323424+--+=+--+-++-=+-x x x x x x x x x x x x x x x x x ； ② 任意多项式在实数范围内一定可被分解成一次因式和二次质因式的乘积.③ 若μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ，其中040422<-<-s r q p ，，则， 真分式)()(x Q x P 总可以被分解成如下最简分式（分母为一次因式或二次质因式的真分式）的和：+-++-+-++-++-+-=--)()()()()()()()(121121a x B a x B a x B a x A a x A a x A x Q x P βββααα）（）（）（）（）（）（s rx x S x R s rx x S x R s rx x S x R q px x N x M q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++++++++++++++--2222211212222111μμμλλλλμ其中 μμλλβαS S R R N N M M B B A A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,111111 为待定常数。
第15讲 函数模型及其应用(解析版)
第15讲 函数模型及其应用【基础巩固】1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y 与温度x （单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据()(),1,2,,7i i x y i L =得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A ．y a bx =+ B ．by a x=+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+【答案】C【解析】由散点图可以看出红铃虫产卵数y 随着温度x 的增长速度越来越快， 所以e x y a b =+最适宜作为红铃虫产卵数y 和温度x 的回归方程类型. 故选：C2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度(m /s)v ，其中0(m /s)v 是喷流相对速度，(kg)m 是火箭（除推进剂外）的质量，(kg)M 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge 0.434,lg 20.301≈≈） A ．5790m /s B ．6219m/s C ．6442m/s D ．6689m/s【答案】C【解析】0v v =4lg54(1lg 2)ln 1000ln 625100010006442m/s lge lgeMm -=⨯=⨯=⨯≈. 故选：C ．3．（2022·海南海口·二模）在核酸检测时，为了让标本中DNA 的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR 技术对DNA 进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA 的数量n X （单位：g /L μμ）与PCR 扩增次数n 满足0 1.6n n X X =⨯，其中0X 为DNA 的初始数量．已知某待测标本中DNA 的初始数量为0.1g /L μμ，核酸探针能检测到的DNA 数量最低值为10g /L μμ，则应对该标本进行PCR 扩增的次数至少为（ ）（参考数据：lg1.60.20≈，ln1.60.47≈）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】B【解析】由题意知00.1X =，10n X =，令100.1 1.6n =⨯，得1.6100n =，取以10为底的对数得lg1.62n =，所以210lg1.6n =≈． 故选：B.4．（2022·北京·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数．如果在前10h 污染物减少19%，那么再过5h 后污染物还剩余（ ） A ．40.5% B ．54% C ．65.6% D ．72.9%【答案】D【解析】由题设，1000(119%)e kP P --=，可得5e 0.9k -=，再过5个小时，0005(0.81(119%)0.9)e 0.729kP P P P -=⨯==-，所以最后还剩余72.9%. 故选：D5．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中,a b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（ ）（参考数据lg 20.3≈）A ．40个月B ．32个月C ．28个月D ．20个月【答案】B【解析】依题意有()()61260.05,120.1,v ab v ab ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得162b =，0.025a =，故()160.0252tv t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭．令()1v t =，得16240t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()16126610.6lg 4012lg 2log 403210.3lg 2lg 26t ⨯++===≈=. 故选B ．6．（2022·全国·高三专题练习）有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为（ ）A ．22500mB ．22750mC ．23000mD ．23500m【答案】A【解析】设矩形的宽为m x ，则该矩形的长为()2004m x -，所以，矩形的面积为()()()2220044504252500S x x x x x =-=--=--+，其中050x <<，故当25x =时，S 取得最大值22500m . 故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102t at t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:00【答案】A【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)， 代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102tt t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩， 令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫ ⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00. 故选：A.8．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A ：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B ：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的12t倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A 模式，并在x 小时后，切换为B 模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x 的取值范围是（ ） A ．12x << B ．12x <≤C ．89x <<D ．89x ≤<【答案】C【解析】由题意得，x 小时后的电量为(3000300)x -毫安，此时转为B 模式， 可得10小时后的电量为101(3000300)2xx --⋅，则由题意可得101(3000300)30000.052xx --⋅>⨯， 化简得101(10)0.52xx --⋅>，即9102x x -->令10m x =-，则12m m ->， 由题意得010x <<，则010m <<，令m 分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等， 由函数y x =和12x y -=的图象可知， 该不等式的解集为12m <<， 所以1102x <-<，得89x <<， 故选：C9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（ ） A ．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级 B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍 C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为an ，则数列{an }是等比数列 【答案】ACD【解析】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+， 解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，所以16.83113.821010100010E E ===， 即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确； 对于D ：由题意得lg 4.8 1.5n a n =+（n =1，2，···，9，10），所以 4.8 1.510nn a +=，所以 4.8 1.5(1) 6.3 1.511010n n n a ++++== 所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{an }是等比数列，故D 正确； 故选：ACD10．（多选）（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（ ）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 【答案】AC【解析】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，对于A ，0.141212122,,,15,01b b r r T T b b -=><<<<<℃210.140.421121,0r r b b T T -->>>， 则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()1200.1.1424211100r rT b T b --=⋅-⋅>，℃12E E >，即甲比乙工作效率高，故A 正确； 对于B ，121212,,T T r r b b =>>，℃2210.0.140.140.141402.14121110,r r r b b b b b ----->>>>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()210.141210.14100r rT b b --=->，℃12E E >，即甲比乙工作效率高，故B 错误： 对于C ，112221,,b b E E r r =><，℃()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r rT b T b --⋅>⋅℃()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>， 所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故C 正确； 对于D ，12121221,,,01r r E E b b b b =><<<， ℃()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r rT b T b --⋅>⋅℃()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>， 所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故D 错误． 故选：AC11．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x 件时，售价为s 元/件，且满足8202s x =-，每天的成本合计为60020x +元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.【答案】 200 7.94 【解析】由题意易得日利润()()()()260020820260020220079400y s x x x x x x =⨯-+=--+=--+，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元， 故答案为：200，7.94.12．（2022·全国·模拟预测）一种药在病人血液中的量保持1000mg 以上才有疗效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg ，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg 20.3010≈，lg30.4771≈，精确到0.1h ） 【答案】6.6【解析】设x h 后血液中的药物量为y mg ， 则有()020001100xy =-， 令1000y ≥得：lg 20.30106.612lg3120.4771x ≤≈≈--⨯故从现在起经过6.6h 内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 故答案为：6.613．（2022·北京东城·三模）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元. 【答案】61.6【解析】由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为()702800.8280+⨯=元， 他们分别支付应付款为702800.9322+⨯=元，故节省32228042-=元， 故小敏需要给小昭70704261.670280-⨯=+元.故答案为：61.6.14．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml ，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量y （单位：mg ）与时间x （单位：h ）的关系是：当1103x <<时，227010801111y x x =-+；当113x ≥时，110y x=，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h 才可驾车.【答案】5.5 【解析】当1103x <<时，2227010802701080(2)11111111y x x x =-+=--+， 当2x =时，函数有最大值10802011>，所以当1103x <<时，饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量小于20mg/100ml ， 当当113x ≥时，函数110y x =单调递减，令11020 5.5y x x==⇒=，因此饮酒后5.5小时体内每100ml 血液中的酒精含量等于20mg/100ml ， 故答案为：5.515．（2022·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为___________．（本题中取3π=进行计算）【答案】633-【解析】设圆弧的半径为3(0)2x x <≤，根据题意可得：32BC DE AB x x ==-=-()()22213339····422244x S AE DE AB DE AE x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+=⨯-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭226242x xL AB BC DE x ππ=+++=-+2913642x S L x π-=∴==-，29122S x L x-∴=-令122t x =-(912)t ≤<，则， 212912272624t t S t x L t t -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=∴==-++ ⎪⎝⎭ 根据基本不等式，272723344t t +≥，当却仅当 274t t =，即63t =“=”.[)63912，， 63t ∴=633maxSL =-故答案为：633-16．（2022·全国·高三专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪⎩，＝，＞，其中x 是“玉兔”的月产量.(1)将利润f (x )表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润) 【解】(1)由题意，当0400x 时，2()4000.520000100f x x x x =---23000.520000x x =--； 当400x >时，()8000010020000f x x =--60000100x =-；故2130020000,(0400)()210060000,(400)x x x f x x x ⎧-+-⎪=⎨⎪-+>⎩； (2)当0400x 时，2()3000.520000f x x x =--； 当300x =时，max ()(300)25000f x f ==(元) 当400x >时，max ()(400)20000f x f <=(元)2500020000>，∴当300x =时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．17．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）如图，某街道拟设立一占地面积为a 平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．(1)设采样点长边为x 米，采样点及周围通道的总占地面积为S 平方米，试建立S 关于x 的函数关系式，并指明定义域；(2)当300700a ≤≤时，试求S 的最小值，并指出取到最小值时x 的取值． 【解】(1)由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是(16)m x +，宽是(10)m a x+， 故16(16)(10)10160,[20,28]aS x x a x xxa =++=+++∈； (2)由（1）知，1610160,[20,28]aS x a x x=+++∈， 当300490a ≤≤时，161610160210160810160a aS x a x a a a x x=+++≥⋅+=+， 当且仅当1610ax x=即85ax =8[20,28]5a x =8585a a故此时S 的最小值为810160a a +，此时85ax = 当490700a <≤时，令16()10160,[20,28]af x x a x x=+++∈， 则222161016()10,[20,28]a x af x x x x -'=-+=∈， 由于()0f x '=时，8285a x => ，故221016()0,[20,28]x af x x x -'=<∈， 即16()10160,[20,28]af x x a x x=+++∈单调递减， 故min 11()(28)4407af x f ==+，此时28x = ，满足a x x> , 故S 的最小值为114407a+，此时28x =. 18．（2022·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料x (单位：千克)满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x (单位：元) (1)写单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【解】(1)依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，℃27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩． (2)当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =， ()f x ∴在[0，1]5上单调递减，在1(5，2]上单调递增， ()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，2525()78030(1)780302(1)48011f x x x x x =-++-⨯+++， 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． ℃465480<，℃当4x =时，max ()480f x =．℃当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方形ABCD 中，|AB |=2，点M 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动：点N 从点B 出发，沿B →C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t （单位：秒），℃AMN 的面积为f （t ）（规定A ，M ，N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，y =f （t ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】℃0≤t≤1时，f （t ）=211222AM BN t t t ⋅=⋅⋅=； ℃12t <时，()()12122f t MN AB MN t t t =⋅==--=-； ℃23t <≤时，()()()122222f t MN BC MN t t t =⋅==---=-； ℃34t <≤时，()()][()21122322(4)22f t AM DN t t t ⎡⎤=⋅=--⋅--=-⎣⎦； 所以22,012,12()2,23(4),34t t t t f t t t t t ⎧⎪-<⎪=⎨-<⎪⎪-<⎩，其图象为选项A 中的图象， 故选：A ．2．（2022·全国·高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知扇环周长300cm =，大扇形半径100cm OD =，设小扇形半径cm OA x =，AOB θ∠=弧度，则℃θ关于x 的函数关系式()x θ=_________．℃若雕刻费用关于x 的解析式为()101700w x x =+，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．【答案】 1002100x x++，()0,100x ∈； 3 【解析】由题意可知，AOB θ∠=，OA x = ，100OD =，所以AB x θ=⋅，100AD BC x ==-，DC 100θ=，扇环周长AB AD BC DC +++2002100300x x θθ=⋅+-+=， 解得()1002,0,100100x x xθ+=∈+， 砖雕面积即为图中环形面积，记为S ， 则12DOC AOB S S S OD DC =-=⋅⋅扇形扇形12OA AB -⋅⋅ 22111002100100500050002222100x x x x x x θθθθ⎛⎫+=⨯⨯-⋅⋅=-=-⋅ ⎪+⎝⎭， 即雕刻面积与雕刻费用之比为m ， 则()()()()()()()210000*********()210101017000170x x w x m x x x x x S +-+=+-+==+， 令170t x =+，则170x t =-，()()22701203901202701227039101010t t t t t m t tt ---+-⨯⨯∴===--+ 122702393639310t t⨯≤-⋅=-+= ，当且仅当180t =时（即10x =）取等号， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3. 故答案为：1002100x x++，()0,100x ∈；3。
第15讲三角函数的概念及诱导公式(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第15讲三角函数的概念及诱导公式【学习目标】1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2.借助于单位圆的对称性，利用定义指导出诱导公式(π2α±，πα±的正弦，余弦，正切)3.理解同角三角函数的基本关系式：22sin sin cos 1,tan cos x x x x x+==【基础知识】一、三角函数的概念1.单位圆中三角函数的定义2.三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、利用三角函数的定义求值的策略1.已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r ，cos α＝xr .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．3.若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．三、同角三角函数的基本关系1.两个基本关系式2.同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.(2)商的变形sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.3.求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．4．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．4.三角函数求值中常见的变形公式(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号．四、利用同角三角函数关系化简的常用方法1.化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；2.对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；3.对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简.五、简单的三角恒等式的证明思路1.从一边开始，证明它等于另一边；2.证明左、右两边等于同一个式子；3.逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.六、诱导公式(1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.【考点剖析】考点一：利用三角函数定义求值例1．(2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一下学期期中)已知角α的终边经过点()3,4P -，则角α的正弦值为()A ．14B ．4-C ．15-D ．45-【答案】D【解析】因为角α的终边经过点(3,4)P -，则3,4x y ==-，5r ==，所以4sin 5y r α==-.故选D.考点二：确定三角函数值的符号例2．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)下列各式的符号为正的是()A ．cos3B ．5ππsin cos 36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 2cos 2-D ．7πtan8【答案】C【解析】因为32ππ<<，所以1cos30-<<，故A 错误；因为35π223ππ<<，π026π-<-<，所以5πsin 03<，πcos 06⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以5ππsin cos 036⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故B 错误；因为22ππ<<，所以sin 20,cos 20><，所以sin 2cos 20->，故C 正确；因为7π28ππ<<，所以7πtan 08<，故D 错误.故选C.考点三：确定角所在象限例3．(2021－2022学年北京市八一学校高一6月月考)若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】sin 0θ<，则角θ在第三，四象限，tan 0θ<，则角θ在第二，四象限，所以满足sin 0θ<且tan 0θ<，角θ在第四象限.故选D考点四：给出一个角的一个三角函数值求该角的其他三角函数值例4．(2022学年海南省华侨中学高一上学期期末)已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则下列选项正确的是()A ．()5cos 13πα-=B ．12sin 13α=C ．12tan 5α=D ．5tan 212πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭【答案】AB【解析】A 选项，由诱导公式得：()5cos πcos 13αα-=-=，A 正确；B 选项，因为22sin cos 1αα+=，且α为第二象限角，sin 0α>，所以12sin 13α==，B 正确；C 选项，sin 12tan cos 5ααα==-，C 错误；D 选项，πsin πcos 52tan π2sin 12cos 2ααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+=== ⎪-⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，D 错误.故选AB 考点五：齐次分式求值例5.(2022学年江西省名校高一下学期期中)已知tan 4θ=，则2cos sin cos 2sin θθθθ-=+()A ．13-B ．23-C ．49-D ．29-【答案】D【解析】因为tan 4θ=，所以2cos sin 2tan 242cos 2sin 12tan 1249θθθθθθ---===-+++⨯，故选D.考点六：根据sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α的关系求值例6．(2022学年山东省德州市第一中学高一下学期6月月考)在 ABC 中，若1sin cos 5A A +=，则tan A =()A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】D【解析】因为在 ABC 中，1sin cos 5A A +=，两边平方得；112sin cos 25A A +⋅=，即242sin cos 025A A ⋅=-<，所以3,24A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4912sin cos 25A A -⋅=，即7sin cos 5A A -=，解得43sin ,cos 55A A ==-，所以4tan 3A =-，故选D考点七：利用诱导公式求值例7．(2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中)()()cos585tan 585sin 570︒=-︒+-︒______．【解析】由题意，原式=()()()cos 360225cos 225tan 360225sin 360210tan 225sin 210︒+︒︒-=-︒+︒+︒+︒︒+︒()()()cos 18045cos 4521tan 18045sin 18030tan 45sin 3012︒+︒-︒=-=-=︒+︒+︒+︒︒-︒-.考点八：三角函数式的化简例8．(2020-2021学年黑龙江省绥化市第一中学高一上学期期末)若角(,)2παπ∈--，则=()A ．2tan α-B ．2tan αC ．2tan α-D ．2tan α【答案】C=1cos 1cos 1cos 1cos 2cos sin ||sin |sin sin sin |αααααααααα+-+-=--=---2tan α=-.故选C 考点九：三角函数式证明例9．求证：(1)2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x xx x x--=-+(2)2222tan sin tan sin αααα-=⋅【解析】(1)左边()()()2cos sin cos sin 1tan cos sin cos sin cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---====-+++右边.即证2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x xx x x--=-+.(2)左边()2222222222sin 1cos sin sin sin cos sin cos cos cos αααααααααα--=-==22tan sin αα==右边.即证：2222tan sin tan sin αααα-=⋅.【真题演练】1．(2022学年辽宁省沈阳市部分学校高一下学期期中)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边经过点()sin 30,cos30o o，则cos α=()A ．12B C D ．1【答案】A【解析】由三角函数的定义可得1cos 2α==.故选A 2．(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)已知角α终边在第一象限，sin k α=，那么tan α的值为()A ．k B ．kC D ．【答案】C【解析】由题意，α在第一象限，则cos α=sin tan cos ααα=故选C.3.(2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考)若4π5cos 513α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-=⎪⎝⎭()A ．513-B ．1213-C ．513D ．1213【答案】C【解析】7π7π4π3π4π5sin sin sin cos 101052513αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C4.(多选)(2022学年湖北省部分重点高中高一上学期期末)已知α∈R ，sin cos 2αα+=，那么tan α的可能值为()A．2+B．2-+C．2D．2-【答案】BD【解析】因为sin cos 2αα+=①，又sin 2α+cos 2α=1②，联立①②，解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或，sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为α∈R，所以tan 2α=-+2-BD5.(多选)(2022学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期期中)已知点(sin cos ,tan )P θθθ-在第一象限，则在[0,2]π内θ的取值范围是()A ．5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】AB【解析】因为点(sin cos ,tan )P θθθ-在第一象限，所以sin cos 0tan 0θθθ->⎧⎨>⎩，即θ位于第一象限或者第三象限且，且满足sin cos θθ>，所以，当θ位于第一象限时，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos θθ>；当θ位于第三象限时，5,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos θθ>.故选AB6.(2022学年上海财经大学附属北郊高级中学高一下学期3月月考)cos3θ=-，则θ的取值范围是__．【答案】3966,22k k k Z πππθπ+≤≤+∈cos cos33θθ==-所以cos 03θ≤，则322,232k k k Z πθπππ+≤≤+∈即3966,22k k k Z πππθπ+≤≤+∈7.(2022学年广西桂林市第十九中学高一下学期期中)(1)已知()1sin 3πα-=，求()sin 3,cos 2ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．(2)化简()()sin 2cos 3sin cos 22παπαππαα-⋅+⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】(1)由sin ()13πα-=，有sin 13α=，所以sin ()()13sin sin 3παπαα+=+=-=-；1cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭.(2)()()()()sin 2cos sin cos 13cos sin sin()cos 22παπαααππαααα-⋅+⋅-⋅-==-⋅-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭.8.(2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期月考)已知1sin cos 5αα+=.(1)求sin cos αα⋅的值(2)若2απ<<π，求()11sin cos απα+-的值.【解析】(1)21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+，∴12sin cos 25αα=-.(2)原式=11cos sin sin cos sin cos αααααα--=，∵21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-= ⎪⎝⎭，又∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 0α<，sin 0α>，cos sin 0αα-<，∴7cos sin 5αα-=-，∴原式7355121225-==-.【过关检测】1.(2022学年北京市昌平区第一中学高一下学期期中)若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅< ，α\是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选B.2.(2022学年安徽省皖中名校高一下学期期中)设0πα<<，1sin cos 2αα+=，则cos sin αα-=()A ．12B ．12±C．2-D．2±【答案】C【解析】因为1sin cos 2αα+=，所以()21sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα=-，sin α与cos α异号．而已知0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<．因为()237cos sin 12sin cos 144αααα-=-=+=，所以取cos sin 2αα-=-．故选C.3.(2022学年北京市中国人民大学附中高一3月检测)若()sin cos 12232sin sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则22sin sin cos 3cos αααα--=()A ．110B ．310C ．910D ．32【答案】C【解析】()sin cos cos sin 1tan 1223sin cos tan 12sin sin 2ππαααααπαααπαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，解得tan 3α=-,则222222sin sin cos 3cos sin sin cos 3cos sin cos αααααααααα----=+22tan tan 39339tan 19110ααα--+-===++.故选C.4.(多选)(2022学年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校协作联考高一上学期月考)以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标不可能的是()A．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B．12⎫⎪⎪⎝⎭C．12⎛ ⎝⎭D．1,2⎛ ⎝⎭【答案】ABD【解析】以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ，则设运动过程中弧长对应的角为α，则133πα=，根据三角函数的定义可得1313cos ,sin 33Q ππ⎛⎫ ⎝⎭，即1,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选ABD.5.(多选)(2022学年山东省德州市高一上学期数学期末)()2021sin 2ππθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()0,2θπ∈，则θ可能等于()A ．23πB ．56πC ．53πD ．116π【答案】BD【解析】因为()20212020sin sin ,sin sin sin cos 2222πππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2021sin 2ππθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得cos θθ=，所以tan θ=因为()0,2θπ∈，所以θ可能等于56π或116π，故选BD 6.(2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中)()8cos330sin 30tan cos903π︒+-︒++︒=______．【答案】【解析】()cos(368cos330030sin 30tan )sin cos930tan 3303πππ︒+-︒++︒⎛⎫︒-︒-︒+- ⎝=⎪⎭1cos30tan23π=︒--12=--7.(2022学年辽宁省沈阳市同泽高中高一下学期4月月考)已知π3sin()34x -=，且π06x <<，则π2πsin()cos()63x x +-+的值为___________.【答案】2【解析】令πππ,363t x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π,π623x t x t +=-+=-∵π3sin()sin 34x t -==，则cos t =()π2ππsin cos sin cos π2cos 6322x x t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=---== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.(2022学年上海财经大学附属北郊高中高一下学期月考)若22tan 2tan 1αβ=+，则222sin sin αβ-=__．【答案】1【解析】因为22tan 2tan 1αβ=+，所以22222sin 2sin cos cos cos αββαβ+=，所以2222sin 1sin 1sin 1sin αβαβ+=--，所以()()()2222sin 1sin 1sin 1sin αβαβ-=-+，所以222sin sin 1αβ-=9．(1)化简：tan 其中α为第二象限角)；(2)求证：sin cos tan 1cos 1cos ααααα⋅⋅=-+1．【解析】(1)sin sin sin cos tan ()1cos cos cos sin αααααααα-=⋅⋅=-；(2)左边222sin sin cos sin cos 11cos sin ααααααα⋅⋅====-右边.10.(2022学年北京市房山中学高一年级4月月考)已知sin α，cos α是关于x 的一元二次方程220x x m --=的两根，(1)求sin cos αα+的值；(2)求m 的值；(3)若0απ<<，求sin cos αα-的值.【解析】(1)因为sin α，cos α是关于x 的一元二次方程220x x m --=的两根，所以1sin cos 2αα+=(2)因为sin α，cos α是关于x 的一元二次方程220x x m --=的两根，所以1sin cos 2αα+=，sin cos 2m αα=-，且2(1)8()0m ∆=---≥，所以221sin cos 2sin cos 4αααα++=，所以114m -=，得34m =，满足180m ∆=+≥，所以34m =(3)由(2)可得1sin cos 2αα+=，3sin cos 08αα=-<，因为0απ<<，所以sin 0,cos 0αα><，所以2απ<<π，所以sin cos αα-=2=。
中考培优竞赛专题经典讲义第15讲函数过定点
第17讲函数过定点常指的是一次函数和二次函数，即一个看似普通的函数，其实隐藏着经过某些特殊点的情况【例题讲解】例题1①直线y= kx— 1 一定经过点 ___________ ;②一次函数y= kx—3k+ 1经过定点 _________ ;③一次函数y=( k+ 3) x+( 2k—1)的图像经过定点P的坐标是_________________ ;③二次函数y= x2 —mx—m—1经过的定点是 ________ ;④当p取任意实数时，抛物线y= 2x2 —px+ 4p + 1都经过一个定点，则该点的坐标为____________ ;①答案：(0,1 )②答案：(3,1 )③答案：(-2 , -7 ).④答案：(-1,0 ).⑤答案：(4,33 ).例题2二次函数y= mx2 3—( m+ 2) x+ 2与x轴交于AB两点，与y轴交于点。
，若厶ABC的面积为4，求m的值.【解析】•••二次函数y= mx2—( m + 2) x+ 2与x轴交于AB两点，与y轴交于点C,2X1 = 1, x2= —, C (0, 2)m•••△ABC的面积为4,1 2丄x 1—三X 2= 4,2 m2 2m1= —, m2 = .3 5例题3在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= mx2—2mx+ m —2 ( m^ 0)的顶点为A,与x轴交于B, C两点(点B 在点C左侧)，与y轴负半轴交于点D.(1)求点A的坐标；(2)连接AD并延长交x轴于E,若AD:DE = 4:5，求抛物线的解析式和B, C两点的坐标.【解析】(1) y= mx2 —2mx+ m—2= m (x2 —2x+ 1)—2= m (x—1) 2—2. ••• A点的坐标为(1,—2).(2)由(1)得，对称轴为直线x = 1 .设对称轴与x轴交于H ,作DF丄AH ,• DF // EH ,• DF // EH ,•△ ADF AEH,• AD:AE= AF:AH ,•/ AD:DE = 4:5 , • AD:AE= AF:AH = 4:9, ••• A (1,—2), D (0, m —2),• AF = m,• m:2= 4:9,8 、1610y= —x2 ——x —999B (——, 0),C (5, 0)本讲是没有配巩固练习的，是完整的讲义。
第15讲 二次函数的图象及其性质
第15讲 │ 考点随堂练 15讲
14．抛物线 y＝－ 2＋bx＋c 的图象如图 15－5 所示，则此抛物线 ． ＝－x ＝－ ＋ － 所示， 的解析式为_________________． 的解析式为 y＝－ 2＋2x＋3 ． ＝－x ＝－ ＋
图 15－5 －
[解析 由对称轴为 x＝1 可得 b＝2， 解析] 再把(3,0)代入 y＝－ 2＋2x＋c ＝－x 解析 ＝ ＝ ， 再把 代入 ＝－ ＋ 中可得 c＝3. ＝
第15讲 │ 考点随堂练 15讲
考点2 二次函数 ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质 二次函数y＝ ＋ 的图象与性质
第15讲 │ 考点随堂练 15讲
4ac－b2 － 4a
4ac－b2 － 4a
第15讲 │ 考点随堂练 15讲
1 4.对于抛物线 y＝－ (x－5)2＋3，下列说法正确的是 A ) 对于抛物线 ＝－ － ，下列说法正确的是( 3 A．开口向下，顶点坐标 ．开口向下，顶点坐标(5,3) B．开口向上，顶点坐标 ．开口向上，顶点坐标(5,3) C．开口向下，顶点坐标 －5,3) ．开口向下，顶点坐标(－ D．开口向上，顶点坐标 －5,3) ．开口向上，顶点坐标(－ 1 [解析 a＝－ <0，开口向下． 解析] 解析 ＝－3 ，开口向下．
[解析 x2＋2x－7＝8，解得 x1＝－ ，x2＝3. 解析] ＝－5， 解析 － ＝ ， 2． m 取何值时， ． 当 取何值时， 函数 y＝(m＋1)xm2－m－2x＋1 是二次函数？ ＝ ＋ － ＋ 是二次函数？
m2－m＝2， ＝ ， m＋1≠0. ＋ ≠
根据二次函数的定义， 解： 根据二次函数的定义，得
第15讲 │ 考点随堂练 15讲
11．如图 15－3 为二次函数 y＝ax2＋bx＋c ． － ＝ ＋ 的图象，在下列说法中： 的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程 ＜ ； ＝－1， ax2＋bx＋c＝0 的根为 x1＝－ ，x2＝3；③a ＋ ＝ ； ＋b＋c＞0；④当 x＞1 时，y 随着 x 的增大 ＋ ＞ ； ＞ 而增大．正确的说法有__________． 请写 而增大 ． 正确的说法有 ①②④ ． (请写 出所有正确说法的序号) 出所有正确说法的序号 15－ 图 15－5
2023届高考数学一轮复习讲义：第15讲 函数模型及其应用
第15讲函数模型及其应用➢考点1 利用函数图象刻画实际问题[名师点睛]判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．[典例]1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)[举一反三]1.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是________(填序号).3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.➢考点2 已知函数模型解决实际问题[名师点睛]求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 1.（2022·江苏·高三阶段练习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为00()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 2.（2022·浙江·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()253,025050-,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）. (1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？[举一反三]1．（2022·广东茂名·二模）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A ．28hB ．28.5hC ．29hD ．29.5h2．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:003．（2022·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P （单位，亿元）与时间t （单位：年）之间的关系为()()0110%tP t P =+，其中0P 为0=t 时的P 值.假定02P =，那么在10t =时，GDP 增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：101.1 2.59≈，当x 取很小的正数时，()ln 1x x +≈4．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x 万元，且25002,020()21406250370,20x x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.➢考点3 构建函数模型解决实际问题1.（2022·全国·高三专题练习）A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度.（1）求x的取值范围；（2）把月供电总费用y表示成x的函数；（3）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？2.（2022·全国·高三专题练习）杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t ．（Ⅰ）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为8()2656()60p t Q t t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．[举一反三]1．（2022·福建龙岩·模拟预测）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A 地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A 地距离上海500km ，设车队从A 地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h 110~km/h .已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v km/h 的立方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.若1200b =，410a =，为了使全程运输成本最低，车队速度v 应为（ ） A ．80km/hB ．90km/hC ．100km/hD ．110km/h2．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11B ．22C ．227D ．4813．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．304．（2022·全国·高三专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3vN v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A．135 B．149C．165 D．1955．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分（x为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x=时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为___________.6．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量y（单位：mg）与时间x（单位：h）的关系是：当113x<<时，227010801111y x x=-+；当113x≥时，110yx=，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h才可驾车.7．（2022·全国·高三专题练习）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元第15讲函数模型及其应用➢考点1 利用函数图象刻画实际问题[名师点睛]判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．[典例]1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()答案 B解析水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)答案 B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.[举一反三]1.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()答案 A解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是________(填序号). 答案 ①解析 由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确； 不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.答案 ②103解析 由散点图的走势，知模型①不合适.曲线过点⎝⎛⎭⎫4，73，则后三个模型的解析式分别为②y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，当t ＝1时，代入④中，得y ＝43，与图不符，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②式，得y ＝13＋log 28＝103(米).➢考点2 已知函数模型解决实际问题[名师点睛]求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．1.（2022·江苏·高三阶段练习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()tn （单位：小时）大致服从的关系为00()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 【答案】647【解析】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N >， 16=，解得064t =.8，解得064N =，所以64()8,64n t n n <=≥⎩，所以当49n =时，64(49)7t =. 故答案为：6472.（2022·浙江·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()253,025050-,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）. (1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【解】(1)由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()22155330,02,7530225,02,75050750-30,2 5.1550-)30,2511x x x x x x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎧-+≤≤⎪⎪==⎨⎨-<≤⨯-<≤⎪⎪+⎩+⎩（ (2)解：由（1）得()()22175222,02,7530225,02,5=750750-30,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==；当25x <≤时，()()25780301780304801f x x x ⎡⎤=-++≤-⨯=⎢⎥+⎣⎦ 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立. 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =.∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.[举一反三]1．（2022·广东茂名·二模）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A ．28hB ．28.5hC ．29hD ．29.5h【答案】B【解析】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h. 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102t at t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:00【答案】A【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)， 代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102tt t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩， 令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫ ⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00. 故选：A.3．（2022·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P （单位，亿元）与时间t （单位：年）之间的关系为()()0110%tP t P =+，其中0P 为0=t 时的P 值.假定02P =，那么在10t =时，GDP 增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：101.1 2.59≈，当x 取很小的正数时，()ln 1x x +≈ 【答案】0.52【解析】由题可知()()2110%2 1.1tt P t =+=⨯，所以()2 1.1ln1.1tP t '=⨯，所以()10102 1.1ln1.12 2.590.10.5180.52P '=⨯≈⨯⨯=≈,即GDP 增长的速度大约是0.52. 故答案为：0.52.4．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x 万元，且25002,020()21406250370,20x x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【解】(1)当020x <≤时，()(380150)S xR x x =-+ 25002380150x x x =--- 22120150x x =-+-，当20x >时，()(380150)S xR x x =-+ 62503702140380150x x x=+--- 6250101990x x=--+， 所以年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式为22120150,0206250101990,20x x x S x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩(2)当020x <≤时，2221201502(30)1650S x x x =-+-=--+， 所以函数S 在(0,20]上单调递增，所以当20x 时， S 取得最大值1450，当20x >时，62506250101990(10)1990S x x x x=--+=-++199050019901490≤-=-+=， 当且仅当625010x x=，即25x =时取等号，此时S 取得最大值1490，因为14901450>，所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元➢考点3 构建函数模型解决实际问题1.（2022·全国·高三专题练习）A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度. （1）求x 的取值范围；（2）把月供电总费用y 表示成x 的函数；（3）核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 【解】（1）由题意知x 的取值范围为[10，90].（2）222250.25200.2510(100)5(100)2y x x x x =⨯⨯+⨯⨯-=+-，∴2255(100)2y x x =+-（1090x ≤≤）；（3）2255(100)2y x x =+-215500250002x x =-+21510050000()233x =-+，∴1003x =时，min 500003y =． ∴核电站建在距A 城1003km 处，供电总费最少． 2.（2022·全国·高三专题练习）杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t ．（Ⅰ）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为8()2656()60p t Q t t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．【解】（Ⅰ）由题设，当210t ≤<时，令2()=500(10)p t k t --，而发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴2(2)=500(102)=372p k --，解得2k =.∴2300402,210()=500,1020t t t p t t ⎧+-≤<⎨≤≤⎩，故5t =时有2(5)=5002(105)=450p -⨯-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：25626016,210()134460,1020t t tQ t t t⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，∵210t ≤<时，()260132Q t ≤-=当且仅当4t =等号成立， ∴210t ≤<上max ()(4)132Q t Q ==，而1020t ≤≤上，()Q t 单调递减，则max ()(10)74.4Q t Q ==， 综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. [举一反三]1．（2022·福建龙岩·模拟预测）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A 地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A 地距离上海500km ，设车队从A 地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h 110~km/h .已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v km/h 的立方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.若1200b =，410a =，为了使全程运输成本最低，车队速度v 应为（ ） A ．80km/h B ．90km/h C ．100km/h D ．110km/h【答案】C 【解析】解：设运输成本为y 元，依题意可得432150055000000102002y v v v v ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭， 则()()()3622243222251051010105000000550000005v v v v v y v v v v v--++-=-===' 所以当210v =时0y '=，当60100v ≤<时0y '<，当100110v <≤时0y '>，即函数在()60,100上单调递减，在()100,110上单调递增，所以当100v =时取得极小值即最小值，所以100v =km/h 时全程运输成本最低； 故选：C2．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G G L L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11 B ．22 C ．227 D ．481【答案】D【解析】由于00G GL L D =，所以220.5GL D =⨯，依题意222290.5100.45D D⇒==⨯，则229100.5GL ⎫ ⎪⎝⎭⨯⎛=， 由220.50.05190G L ⨯<⎛⎫=⎪⎝⎭得2291101G ⎛⎫⎪<⎝⎭，221lg ,1l 1099g lg 101022G G ⎛⎫ ⎭<⎝<-⎪， ()2lg9lg 021G ⋅-<-，()92222,lg10lg 9lg10lg G G ⋅>->-， 222222480.35120.4812lg 37710.045G ==≈->-⨯， 所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．30【答案】C 【解析】设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得404040x y -=，0<x <40， 解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)， 当x ＝20时，S max ＝400．故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A ．135B ．149C ．165D ．195【答案】B【解析】由题意得，2010001000149300.70.30.720.3300.70.3v N v v d v v ==≤≈+++⨯++，当且仅当300.3v v=，即10v =时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B5．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg ，则额外奖励x 分（x 为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x =时，若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元； ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x 的最大值为___________.【答案】 13 36【解析】①若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，则该家庭月底的积分为12010130+=分， 故该家庭该月积分卡能兑换1300.113⨯=元；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元. 若0100t ≤<时，()0.10.340.40.136f t t t t =<⨯=恒成立；若100t ≥时，()0.10.10.340.4f t t x t =+≤⨯，可得()min 0.3636x t ≤=.故x 的最大值为36.故答案为：①13；②36.6．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml ，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量y （单位：mg ）与时间x （单位：h ）的关系是：当1103x <<时，227010801111y x x =-+；当113x ≥时，110y x =，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h 才可驾车.【答案】5.5 【解析】当1103x <<时，2227010802701080(2)11111111y x x x =-+=--+， 当2x =时，函数有最大值10802011>，所以当1103x <<时，饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量小于20mg/100ml ， 当当113x ≥时，函数110y x =单调递减，令11020 5.5y x x==⇒=，因此饮酒后5.5小时体内每100ml 血液中的酒精含量等于20mg/100ml ，故答案为：5.5。
第15讲_函数的应用
解 (1)M(12，0)，P(6，6)． 2 (2)设抛物线为 y＝a(x－6) ＋6， 2 ∵抛物线 y＝a(x－6) ＋6 经过点(0，0)， 1 2 ∴0＝a(0－6) ＋6，36a＝－6，a＝－ ， 6
解 (1)M(12，0)，P(6，6)． 2 (2)设抛物线为 y＝a(x－6) ＋6， 2 ∵抛物线 y＝a(x－6) ＋6 经过点(0，0)， 1 2 ∴0＝a(0－6) ＋6，36a＝－6，a＝－ ， 6
归类探究 考点3
二次函数相关应用题
1 1 2 2 ∴抛物线解析式为：y＝－ (x－6) ＋6＝－ x ＋2x. 6 6 1 2 (3)设 A(m，0)，则 B(12－m，0)，C(12－m, － m ＋2m)， 6 1 2 D(m，－ m ＋2m)． 6 1 2 ∴“支撑架”总长 AD＋DC＋CB＝－ m ＋2m ＋(12－2m) 6 1 2 1 2 1 2 ＋－ m ＋2m＝－ m ＋2m＋12＝－ (m－3) ＋15. 3 3 6 1 ∵a＝－ <0， 3 ∴当 m＝3 时，AD＋DC＋CB 有最大值为 15 米．
归类探究
考点4
函数的综合应用
4.（2013· 安徽）某大学生利用暑假40天社会实践参与 了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商 品在第x天销售的相关信息如下表所示：
归类探究
考点4
函数的综合应用
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
归类探究
考点4
函数的综合应用
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
归类探究
考点4
函数的综合应用
6-x 5x+80 6
4
归类探究
考点4
第15讲 max函数与min函数问题(解析版)
第15讲 max 函数与min 函数问题参考答案与试题解析一．解答题（共24小题）1．（2021春•东莞市期末）已知函数2()f x x x xlnx =--，3()3g x x ax e =-+． （1）证明()0f x 恒成立；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值．已知函数()()2f x h x x x=-+，记函数(){()x max h x ϕ=，()}g x ，若函数()x ϕ在(0,)+∞上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【解答】（1）证明：由题得()f x 的定义域为(0,)+∞，则20x x xlnx --在(0,)x ∈+∞上恒成立等价于10x lnx --在(0,)x ∈+∞上恒成立，．⋯⋯（1分）记()1x x lnx φ=--，则11()1x x x xφ-'=-=，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）当()0x φ'<时，01x <<；()0x φ'>时，1x >， 故()x φ在(0,1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 所以()x φφ（1）0=，即()0f x 恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （2）解：由题得()1h x lnx =-，①当0x e <<时，()()0x h x ϕ>，此时无零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）②当x e =时，h （e ）0=，g （e ）33e ae e =-+a ．当g （e ）330e ae e =-+，即213e a +时，x e =是()x ϕ的一个零点；b ．当g （e ）330e ae e =-+>，即213e a +<时，x e =不是()x ϕ的一个零点；．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）③当x e >时，()0h x <恒成立，因此只需考虑()g x 在(,)e +∞上的零点情况． 由2()33g x x a '=-a ．当2a e 时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增，且g （e ）33e ae e =-+，当213e a +<时，g （e ）0>，则()g x 在(,)e +∞上无零点，故()x ϕ在(0,)+∞上无零点；当213e a +=时，g （e ）0=，则()g x 在(,)e +∞上无零点，故()x ϕ在(0,)+∞上有1个零点；当2213e a e +<时，由g （e ）0<，333(2)86860g e e ae e e e e =-+-+>，得()g x 在(,)e +∞上仅有一个零点，故()x ϕ在(0,)+∞上有2个零点；所以2213e a e +<，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）b ．当2a e >时，由()0g x '=得x =由()0g x '<时，e x <<()0g x '>时x >()0g x '<，故()g x 在(e 上单调递减，()g x 在)+∞上单调递增；由g （e ）0<，322(2)8620g a a a e a e =-++>，得()g x 在(,)e +∞上仅有一个零点，故()x ϕ在(0,)+∞上有2个零点；所以2a e >，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）综上所述，213e a +>时，()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）2．（2021•南平模拟）已知函数3217()(4)322x f x x e x x -=--+-，()cos x g x ae x =+，其中a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集； （2）若1a =，证明：当0x >时，()2g x >；（3）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值，设函数(){()h x max f x =，()}g x ，若()0h x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）33()(3)3(3)(1)x x f x x e x x e --'=--+=--，（1分） 当3x >时，30x ->，310x e -->，()0f x ∴'>， 当3x <时，30x -<，310x e --<，()0f x ∴'>， 当3x =时，()0f x '=，（2分）所以当x R ∈时，()0f x '，即()f x 在R 上是增函数；（3分） 又f （3）0=，所以()0f x >的解集为(3,)+∞．（4分） （2）()sin x g x e x '=-．（5分）由0x >，得1x e >，sin [1x ∈-，1]，（6分）则()sin 0x g x e x '=->，即()g x 在(0,)+∞上为增函数．（7分）故()(0)2g x g >=，即()2g x >．（8分） （3）由（1）知，当3x 时，()0f x 恒成立，故()0h x 恒成立；当3x <时，()0f x <，因为(){()h x max f x =，()}g x ，要使得()0h x 恒成立， 只要()0g x 在(0,3)上恒成立即可．（9分） 由()cos 0x g x ae x =+，得cos xxa e -． 设函数cos ()xxr x e =-，[0x ∈，3]， 则sin cos ()xx xr x e +'=．（10分）令()0r x '=，得34x π=．随着x 变化，()r x '与()r x 的变化情况如下表所示：所以()r x 在(0,)4上单调递增，在(4，3)上单调递减．（11分）()r x 在(0,3)上唯一的一个极大值，即极大值343()4r ππ-=，故3422ae π-．综上所述，所求实数a 的取值范围为34[2π-，)+∞．（12分） 3．（2021•衡水模拟）已知函数1211()(2)22x f x x e x x -=--++，2()4cos (1)g x ax x a x ln x =-+++，其中a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 的最大值，记(){()F x max f x =，()}g x ，讨论函数()F x 的零点个数．【解答】解：（1）11()(1)1(1)(1)x x f x x e x x e --'=--+=--， 当1x >时，10x ->，110x e -->，则()0f x '>， 当1x <时，10x -<，110x e --<，则()0f x '>， 当1x =时，f '（1）0=，所以当x R ∈时，()0f x '，()f x 在R 上是增函数， 又f （1）0=，所以()0f x >的解集为(1,)+∞． （2）函数()F x 的定义域为(1,)-+∞，由（1）得函数()f x 在R 上单调递增，f （1）0=， 当1x >时，()0f x >，又(){()F x max f x =，()}g x ，所以当1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点， 当11x -<<时，()0f x <恒成立， 所以()F x 的零点即为函数()g x 的零点， 下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数： 1()214sin 1g x ax a x x '=--++， 所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+， ①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈，又函数cos y x =在区间(0,)2π单调递减，所以1cos1cos32π>=， 即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(1cos )0(1)g x a x x ''=--<+，所以()g x '单调递减，由(0)0g '=得： 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x →-时，(1)ln x x +→-， 所以()g x →-∞，当0x =时，(0)40g a =>，有g （1）14cos12a a ln =-++，f （1）0=， 当g （1）12014cos1ln a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点，当g （1）12014cos1ln a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点，当g （1）120014cos1ln a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点，②当0a =时，()(1)g x ln x x =+-，由①得当10x -<<，()0g x '>，()g x 单调递增， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以()(0)0max g x g ==，g （1）210ln =-<， 所以当0a =时，函数()F x 有两个零点，③当0a <时，2()(4cos )(1)g x a x x x ln x =+-++，2(4cos )0a x x +<，(1)0x ln x -++，即()0g x <成立，由f （1）0=， 所以当0a <时，函数()F x 有1个零点， 综上所述：当1214cos1ln a ->+或0a <时，函数F （1）有1个零点，当1214cos1ln a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点，当12014cos1ln a -<<+时，函数()F x 有3个零点．4．（2021•临沂一模）已知函数12()24x f x xe x x -=++-，21()2cos (1)2g x ax x a x ln x =-+++．（1）判断()f x 的单调性，并求()f x 的最值；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 的最大值，记函数(){()h x max f x =，()}g x ，讨论()h x 的零点个数．【解答】解：（1）111()22(1)(2)x x x f x e xe x x e ---'=+++=++， ①当1x <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)-∞-上是增函数， ②当1x >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)-+∞上是减函数， 所以()f x 最小值为2(1)5f e --=--；（2）函数()h x 的定义域为(1,)-+∞，其中f （1）0=，①当1x >时，()f x f >（1）0>，则函数(){()h x max f x =，()}g x 无零点；②当11x -<时，()0f x ，下面讨论()g x 的零点情况，(1)0x ln x -+（当0x =时取等号），1cos cos1cos 123x π=<， ()i 当0a <时，21()(2cos )[(1)]02g x a x x x x ln x =-+--+<，此时()g x 在(1-，1]上无零点，因为()h x 的零点为1x =，故()h x 有一个零点； ()ii 当0a =时，()(1)0g x x ln x =-++，(0)0g =，g （1）120ln f =-+<=（1）， 所以()g x 在(1-，1]上有一个零点，故()h x 有两零点； ()iii 当0a >时，1()211g x ax alnx x '=--++，所以2211()2cos (12cos )(1)(1)g x a a x a x x x ''=--=--++， 因为12cos 0x -<，所以()0g x ''<，所以()g x '在(1-，1]上单调递减， 又(0)0g '=，所以()0g x '>在(1,0)-上恒成立，()0g x '<在(0,1)上恒成立， 所以()g x 在0x =取得极大值，此时(0)20g a =>，又因为当1x →-时，(1)ln x +→-∞，所以()g x 在(1,0)-上有一个零点，又g （1）12cos1122a a ln =+-+， 当g （1）0>，即22214cos1ln a ->+时，()g x 在(1-，1]上有一个零点，故()h x 有一个零点；当g （1）0=，即22214cos1ln a -=+时，()g x 在(1-，1]上有两个零点，故()h x 有两个零点；当g （1）0<，即22214cos1ln a -<+时，()g x 在(1-，1]上有两个零点，故()h x 有三个零点；综上所述，当0a <或22214cos1ln a ->+时，()h x 有一个零点；当0a =或22214cos1ln a -=+时，()h x 有两个零点；当222014cos1ln a -<<+时，()h x 有三个零点．5．（2021•信阳模拟）已知函数()2x f x e ax a =--，()g x lnx =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值，若函数(){()h x max f x =，()}(0)g x x >只有一个零点，求a 的取值范围．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，且()2x f x e a '=-． 当0a 时，()0f x '>对x R ∈恒成立，所以()f x 在R 上单调递增． 当0a >时，令()0f x '=，得(2)x ln a =，当(x ∈-∞，(2))ln a 时，()0f x '<．当((2)x ln a ∈，)+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在(-∞，(2))ln a 上单调递减，在((2)ln a ，)+∞上单调递增． （2）①当(1,)x ∈+∞时，()0g x lnx =>， 从而(){()h x max f x =，()}()0g x g x >， 所以()h x 在(1,)+∞上无零点． ②当1x =时，f （1）3e a =-， 若3ea，h （1）{max f =（1），g （1）}g =（1）0=，所以1x =是()h x 的零点，若3ea <，h （1）{max f =（1），g （1）}f =（1）0>，所以1x =不是()h x 的零点， ③当(0,1)x ∈时，()0g x lnx =<，所以()h x 在(0,1)上零点个数只需要考虑()f x 在(0,1)上的零点个数．()f x 在(0,1)上的零点个数()0f x ⇔=在(0,1)上实根的个数⇔21xe a x =+在(0,1)上实根的个数，令函数()21xe x x ϕ=+，(0,1)x ∈，则2(21)()(21)xx e x x ϕ-'=+，所以()x ϕ在1(0,)2上单调递减，在1(,1)2上单调递增，又(0)1ϕ=，ϕ（1）3e=，1()2ϕ=，当a <或1a 时，()f x 在(0,1)上无零点，当a 或13e a < 时，()f x 在(0,1)上有两个零点，3ea <<时，()f x 在(0,1)上有两个零点，综上可得a 时，()h x 在(0,)+∞上有1个零点，1a <<时，()h x 在(0,)+∞上有两个零点， 当1a 时，()h x 在(0,)+∞上有1个零点，则()h x 在(0,)+∞上有唯一零点，所以a 的取值范围为[1，){}2e +∞． 6．（2020秋•新华区校级期中）已知函数221()43,()4x f x lnx a g x lnx x+=++-=． （1）求证：21()(1)f x a x-+；（2）用{max p ，}q 表示p ，q 中的最大值，记(){()h x max f x =，()}g x ，讨论函数()h x 零点的个数．【解答】证明：（1）：设222111()43(1)4(1)x x lnx a a lnx x x xϕ+=++----=+-，定义域为(0,)+∞，则22114(1)()4()x x x x x ϕ-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<；当1x >时，()0x ϕ'>， 故()x ϕ在(0,1)内是递减函数，在(1,)+∞内递增函数，所以1x =是()x ϕ的极小值点，也是()x ϕ的最小值点，所以()()min x x ϕϕϕ=（1）0=， 所以21()(1)f x a x-+．解：（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，3234222(21)(1)()x x f x x x x x +-'=--=， 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)内是递减函数，在(1,)+∞内是递增函数，所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，即()min f x f =（1）a =， ()i 若0a =，则2221(1)(31)()()3x x x f x g x x x +-+-=-=， 当01x <<时，()()f x g x >；当1x =时，()()f x g x =；当1x >时，()()f x g x <， 所以(),01()(),1f x x h x g x x <<⎧=⎨>⎩，于是()h x 只有一个零点1x =．()ii 当0a >时，则2(1)(31)()()x x f x g x a x -+-=-+，当01x <时，()()f x g x >，此时()()0h x f x a =>； 当1x >时，()0f x a >>，()0g x >，此时()0h x >． 所以()h x 没有零点．()iii 当0a <时，根据（1）知：21()(1)f x ax -+，而01<<，所以211)0f a >-+=，又因为()min f x f =（1）0a =<，所以()f x 在(0,1)上有一个零点0x ， 从而一定存在0(c x ∈，1)，使得f （c ）g =（c ），即22130c a c ++-=，即2213c a c +-=， 当x c >时，222121()()3(2)0x c x c c xg x f x a x c cx cx++-+-=-+-+=+>， 所以()()g x f x >，从而(),0()(),f x x ch x g x x c <⎧=⎨>⎩，于是()h x 有两个零点0x 和1．当0a <时，()h x 有两个零点．综上：当0a =时，()h x 有一个零点；当0a >时，()h x 没有零点；当0a <时，()h x 有两个零点．7．（2020•衡阳三模）已知函数()f x lnx ax a =-+，2()1g x x =-． （1）当0a =，0x >且1x ≠时，证明：212()()11x f x g x x x +<--； （2）定义{},,,m m nmax m n n m n ⎧=⎨<⎩，设函数(){()h x max f x =，()}(0)g x x >，试讨论()h x 零点的个数．【解答】（1）证明：当0a =时，()f x lnx =， 要证212()()11x f x g x x x +<--，需证1[(1)2(1)]01x lnx x x +--<-，即12(1)[]011x lnx x x --<-+， 即证：当1x >时，2(1)1x lnx x ->+；当01x <<时，2(1)1x lnx x -<+． 令2(1)()1x x lnx x ϕ-=-+，则22214(1)()0(1)(1)x x x x x x ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递增，∴当01x <<时，()x ϕϕ<（1）0=，此时12(1)[]011x lnx x x --<-+； 当1x >时，()x ϕϕ>（1）0=，此时12(1)[]011x lnx x x --<-+． 故0a =，0x >且1x ≠时，212()()11x f x g x x x +<--． （2）解：()i 当1x >时，()0g x >，()()0h x g x >，()h x ∴在(1,)+∞上无零点； ()ii 当1x =时，g （1）f =（1）0=，则h （1）0=，1x ∴=是()h x 的唯一零点； ()iii 当01x <<时，()0g x <，()g x ∴在(0,1)上无零点， ()h x ∴在(0,1)上的零点个数等价于()f x 在(0,1)上的零点个数． 1()(01)f x a xx'=-<<， ∴①若1a 时，1()0f x a x'=->，()f x ∴在(0,1)上单调递增，()f x f <（1）0=，此时()f x 无零点； ②若1a >即101a <<时，令()0f x '>，得10x a <<；令()0f x '<，得11x a<<，()f x ∴在1(0,)a 上单调递增，在1(,1)a 上单调递减，1()()1max f x f a lna a∴==--，令t （a ）1(1)a lna a =-->，则t '（a ）110a=->，t （a ）在(1,)+∞上单调递增， t ∴（a ）t >（1）0=，即1()10f a lna a=-->，即1a lna ->，两边取指数，有1a lna e e ->，即a e ae a >>，∴10a e a-<<， 又()(1)0a a a f e a a e ae ---=-+-=-<，由零点存在性定理可知，()f x 在(0,1)上存在唯一的零点0x ，且01(,)a x e a-∈．综上所述：当1a 时，()h x 仅有一个零点； 当1a >时，()h x 有两个零点．8．（2020春•广陵区校级期中）已知函数2()f x lnx x ax =-+，()x g x e e =-，其中0a >． （1）若1a =，证明：()0f x ；（2）用{max m ，}n 表示m 和n 中的较大值，设函数(){()h x max f x =，()}g x ，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数． 【解答】解：（1）1(1)(21)()21(0)x x f x x x x x--+'=-+=>， 令()0f x '=，则1x =或12x =-（舍)，∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()()max f x f x f ∴=（1）0=．（2）在区间(1,)+∞上，()0g x >，(){()h x max f x ∴=，()}()0g x g x >， ()h x ∴在区间(1,)+∞上不可能有零点．下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况．由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=．令0()0f x '=可得0x =（负值舍去）．在0(0,)x 上()0()f x f x '>为增函数，在0(x ，)+∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 0()()max f x f x ∴=．①当1a =时，01x =，()max f x f ∴=（1）0=．在区间(0,1)上，()0g x <，且g （1）0=，∴此时()h x 存在唯一的零点1x =．②当01a <<时，01x =<．0001()20f x x a x '=-+=，∴0012a x x =-． ∴222000000001()(2)11110f x lnx x x x lnx x ln x =-+-=+-<+-=， 于是()0f x <恒成立，结合函数()g x 的性质， 可知此时()h x 存在唯一的零点1x =．③当1a >时，01x =>，()f x ∴在(0,1)上递增． 又f （1）10a =->，2221111111111()1()022********f ln a a a a a a =-+<--+=---<， ()f x ∴在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =．结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点． 综上，当01a <时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =； 当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点．9．（2020•白云区模拟）设函数32()32x ax f x x =-+，其中a R ∈．（Ⅰ）当52a =时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）当()f x 存在两个正极值点1x ，2x 时，符号1{max a ，2}a 分别表示1a ，2a 中较大的，令01{x max x =，2}x ，求证：2a >，且01()3f x <．【解答】解：32()32x ax f x x =-+，2()1f x x ax '=-+．()I 当52a =时，25()102f x x x '=-+=． 解得12x =，或2． ()f x ∴的极值点为12，或2． ()II 证明：当()f x 存在两个正极值点1x ，2x 时，210x ax ∴-+=．△240a =->，120x x a +=>，121x x =，解得2a >． 不妨设12x x <，01{x max x =，22}1x x =>，22210x ax -+=． 2221ax x ∴=+．33222022221()()3262x x a f x f x x x x ==-+=-+．令32221()62x g x x =-+，22211()022g x x '=-+<，∴函数2()g x 在(1,)+∞上单调递减．02()()f x g x g ∴=<（1）111263=-=． 01()3f x ∴<．10．（2019秋•辽阳期末）已知函数()2x f x e ax a =--，()g x lnx =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值，已知2a =，求函数(){()h x max f x =，()}(0)g x x >的零点的个数．【解答】解：（1）定义域为R ，因为()2x f x e a '=-，当0a 时，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，当0a >，令()0f x '=，即2x e a =，解得2x ln a =，2x ln a >，()0f x '>，()f x 单调递增；2x ln a <，()0f x '<，()f x 单调递减；综上所述：0a ，函数()f x 在R 上单调递增；0a >，函数()f x 在(,2)ln a -∞单调递减，在(2,)ln a +∞单调递增；（2）2a =时，()42x f x e x =--，当(1,)x ∈+∞，()0g x lnx =>，从而函数(){()h x max f x =，()}()0g x g x >， 所以函数()h x 无零点，1x =时，f （1）60e =-<，g （1）0=，所以1x =是函数()h x 的一个零点；(0,1)x ∈，()0g x lnx =<，所以函数()h x 的零点个数就考虑()f x 的零点个数，由（1）得：()42x f x e x =--在(0,1)上单调递减， 所以()(0)10f x f <=-<，从而函数()h x 在(0,1)无零点， 综上所述函数()h x 的零点只有一个．11．（2020秋•历下区校级期中）已知函数1211()(2)22x f x x e x x -=--++，2()4cos (1)g x ax x a x ln x =-+++，其中a R ∈． （1）求函数()f x 在(0,2)x ∈的值域；（2）用{max m ，}n 表示实数m ，n 的最大值，记函数(){()F x max f x =，()}g x ，讨论函数()F x 的零点个数．【解答】解：（1）1211()(2)22x f x x e x x -=--++，11()(1)1(1)(1)x x f x x e x x e --∴'=--+=--，当1x >时，()0f x '>，此时函数单调递增，当1x 时，()0f x '，此时函数单调递增， 即()f x 在R 上单调递增， 12(0)2f e =-，f （2）12= 故函数在(0,2)上的值域为12(2e -，1)2．（2）()F x 的定义域(1,)-+∞，由（1）可知，()f x 在R 上单调递增，且f （1）0=， 故当1x >时，()0f x >，当1x <时，()0f x <， (){()F x max f x =，()}g x ，故当1x >时，()0F x >恒成立，没有零点，当11x -<<时，()0f x <恒成立，没有零点，因此()F x 的零点即为()g x 的零点， 下面讨论11x -<<时，()g x 的零点个数，2()4cos (1)g x ax x a x ln x =-+++， 1()214sin 1g x ax a x x∴'=--++，21()24cos (1)g x a a x x ''=--+，(11)x -<<，①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈， 又cos y x =在1(0,)2π单调递减，故11cos1cos 32π>=，故当10x -<<时，12cos 0x -<，()0g x ''<，()g x '单调递减，且由(0)0g '=可得， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又1x →-时，(1)ln x +→-∞，()g x →-∞， 当0x =时，(0)40g a =>，又g （1）14cos12a a ln =-++，f （1）0=，当g （1）0>即1214cos1ln a ->+时，()F x 有1个零点，当g （1）0=即1214cos1ln a -=+时，()F x 有2个零点，当g （1）0<即12014cos1ln a -<<+时，()F x 有3个零点，②当0a =时，由I 可得()(1)g x ln x x =+-，当10x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 故当0x =时，()g x 取得最大值(0)0g =，g （1）210ln =-<， 此时函数()F x 有2个零点，③当0a <时，2()4cos (1)g x ax x a x ln x =-+++，2(4cos )0a x x +<，(1)0x ln x -++，即()0g x <， 又f （1）0=， 故()F x 有1个零点， 综上，1214cos1ln a ->+或0a <时，()F x 有1个零点，1214cos1ln a -=+或0a =时，()F x 有2个零点，12014cos1ln a -<<+时，()F x 有3个零点，12．（2020•兴庆区校级二模）已知函数3()3f x x ax e =-+，()1g x lnx =-，其中e 为自然对数的底数．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中较大者，记函数(){()h x max f x =，()}g x ，(0)x >．若函数()h x 在(0,)+∞上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）2()33f x x a '=-， 当0a 时，()0f x '，()f x 在R 上单调递增， 当a >时，()3(f x x x '=+-，当(,x ∈-∞，，)+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，当(x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；（2）当(0,)x e ∈时，()0g x >，()()0h x g x >，()h x 在(0,)e 无零点，当x e =时，g （e ）0=，f （e ）33e ae e =-+，若f （e ）0，即213e a +，则e是()h x 的一个零点，若f （e ）0>，即213e a +<，则e不是()h x 的零点，当(,)x e ∈+∞时，()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 的零点的情况．因为22()3333f x x a e a '=->-， ①当2a e 时，()0f x '>，()f x 在(,)e +∞上单调递增．所以：（ⅰ）当213e a +时，f （e ）0，()f x 在(,)e +∞上无零点； （ⅱ）当2213e a e +<时，f （e ）<，又332(2)86860f e e ae e e e e =-+-+>，所以此时()f x 在(,)e +∞上恰有一个零点；②当2a e >时，由（1）知，()f x 在(e 递减，)+∞递增，又因为f （e ）333330e ae e e e e =-+<-+<，32222(2)868620f a a a e a a e a e =-+>-+=+>，所以此时()f x 恰有一个零点．综上，213e a +>．13．（2021•肥城市模拟）已知函数()()xf x ln x a x a=+-+，a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a =，1()cos (2sin )2g x x x mx x =++，0m >，用{min m ，}n 表示m ，n 的最小值，记函数(){()h x min f x =，()}g x ，[x π∈-，]π，讨论函数()h x 的零点个数． 【解答】解：（1）由已知可得函数()f x 的定义域为(,)a -+∞，2()()xf x x a '=+，当0a 时，0x a >-，故()0f x '>，()f x 在(,)a -+∞上单调递增； 当0a >时，(,0)x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在(,0)a -上单调递减， (0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；综上所述，当0a 时，()f x 的单调递增区间是(,)a -+∞，无单调递减区间； 当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,0)a -，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． （2）由（1）可知当4a =时，()(0)422min f x f ln ln ===， 所以()()22min f x f x ln =，所以()0f x >，所以[x π∈-，]π时，函数()h x 的零点个数即为函数()g x 在区间[π-，]π内的零点个数， 211()cos (2sin )sin cos 22g x x x mx x x x x mx =++=++，任取[x π∈-，]π，因2211()()sin()cos()()sin cos ()22g x x x x m x x x x mx g x -=--+-+-=++=，所以()g x 是偶函数．，因为()cos (cos )g x mx x x x m x '=+=+，当1m 时，cos 0m x +在[0，)π上恒成立，所以[0x ∈，)π时，()0g x '， 所以()g x 在[0，)π上单调递增，又因为(0)1g =，所以()g x 在[0，)π上有0个零点， 又因为()g x 是偶函数，所以()g x 在[π-，]π上有0个零点， 当01m <<时，令()0g x '=，得cos x m =-，由10m -<-<可知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0cos x m =-， 所以当[0x ∈，0)x 时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0(x x ∈，)π时，()0g x '<，()g x 单调递减， 因为(0)1g =，201()1,()12g x g m ππ>=-，所以当21102m π->，即221m π<<时，()g x 在[0，]π上有0个零点，由()g x 是偶函数，知()g x 在[π-，]π上有0个零点，所以当21102m π-，即220m π<时，()g x 在[0，]π上有1个零点，由()g x 是偶函数，知()g x 在[π-，]π上有2个零点， 综上，当220m π<时，()g x 有2个零点，当22m π>时，()g x 有0个零点；即当220mπ<时，()h x 有2个零点，当22m π>时，()h x 有0个零点．14．（2021•日照二模）已知cos ()cos axf x a x a=-，其中0a >且1a ≠． （1）若2a =，()()x f x ϕ'=，曲线()y x ϕ=在点(t ，())t ϕ处的切线为l ，求直线l 斜率的取值范围：（2）若()f x '在区间(0,2)π有唯一极值点0x ， ①求a 的取值范围；②用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，c 的最小值．证明：0(){2f x min a π'<，(1)}a π-． 【解答】解：（1）当2a =时，cos2()2cos ,()()sin 22sin 2xf x x x f x x x ϕ'=-==-， 2()4cos 2cos 2k t t t ϕ∴='=--，令cos m t =，[1m ∈-，1]，2422k m m =--， 当14m =时，94min k =-，当1m =-时，4max k =， ∴直线l 斜率的取值范围为9[,4]4-；（2）①设()()sin sin g x f x ax a x ='=-，则11()cos cos 2sin sin 22a a g x a ax a x a x x +-'=-=-， ()i 若1a >，令()0g x '=，则1224,11x x a a ππ==++在区间(0,2)π内，且使11sin0,sin 022a a x x +-=≠， ()g x ∴'在(0,2)π内至少有两个变号零点，()g x ∴在区间(0,2)π内至少有两个极值点，不符合题意； ()ii 若01a <<，令()0g x '=，得22,(,)11m n m n x x m n Z a aππ==∈+-， 令2021m m x a ππ<=<+，解得012m a <<+<，故m 只能取1；令2021n n x aππ<=<-，解得011n a <<-<，此时n 无解； 故仅当1m =时，12(0,2)1x a ππ=∈+， 1111()2sinsin 2sin sin (01)2222a a a a g x a x x a x x a +-+-'=-=<<，1sin 02ax ->， ∴当1(0,)x x ∈时，1sin0,()0a x g x a +'>>，当1(x x ∈，2)π时，1sin 0,()02a x g x +'<<， ()g x ∴在(0,2)π有唯一极大值点；综上，实数a 的取值范围为(0,1)； ②证明：由①知，02,011x a a π=<<+， 此时00022222()sin sin sinsin sin sin(2)(1)sin11111a a a f x ax a x a a a a a a a a ππππππ'=-=-=+-=++++++， 1)当2(1)a a ππ-，即103a <，由不等式0x >时，sin x x >知，22(1)sin(1)211a a a a a a a πππ+<+⋅=++，故0()2f x a π'<； 2)当(1)2a a ππ-<，即113a <<时，22(1)(1)(1)sin(1)sin()(1)sin (1)(1)1111a a a a a a a a a a a a a ππππππ--+=+-=+<+⋅=-++++； 综上，0(){2f x min a π'<，(1)}a π-，即得证． 15．（2021•成都模拟）已知函数()f x lnx =． （1）讨论函数()()()g x f x ax a R =-∈的单调性； （2）设函数1()()(xF x f x e e =-为自然对数的底数）在区间(1,2)内的零点为0x ，记(){()m x min xf x =，}xxe （其中{min a ，}b 表示a ，b 中的较小值），若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，证明：1202x x x +>．【解答】解：（1）()g x 的定义域是(0,)+∞， 11()(0)axg x a x x x-'=-=>， 当0a 时，()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞递增， 当0a >时，令()0g x '=，解得：1x a=，当1(0,)x a ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x a∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，综上：当0a 时，()g x 在(0,)+∞递增，当0a >时，()g x 在1(0,)a 单调递增，在1(a，)+∞单调递减；（2）证明：1()xF x lnx e =-，定义域是(0,)+∞， 11()xF x x e '=+，而(1,2)x ∈，故()0F x '>，()F x 在(1,2)单调递增， 又F （1）10e =-<，F （2）2120ln e=->，且()F x 在(1,2)内的图像连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在(1,2)上有且只有1个零点， 故存在0(1,2)x ∈，使得0()0F x =，即001x lnx e=， 且当01x x <<时，1()()x xxf x xf x e e<⇒<， 当0x x >时，1()()x xxf x xf x e e>⇒>， 故00,1(),xxlnx x x m x x x x e <⎧⎪=⎨>⎪⎩，当01x x <<时，()m x xlnx =， 由()10m x lnx '=+>得()m x 单调递增， 当0x x >时，()x x m x e =，由1()0xxm x e -'=<得()m x 单调递减， 若()m x n =在区间(1,)+∞内有2个不相等的实数根1x ，212()x x x <， 要证1202x x x +>，即证2012x x x >-，又0102x x x ->，而()m x 在区间0(x ，)+∞内单调递减， 故可证201()(2)m x m x x <-，又由12()()m x m x =， 即证101()(2)m x m x x <-，即01011122x x x x x lnx e--<， 记0022()x xx xh x xlnx e--=-，01x x <<，其中0()0h x =， 记()t t t e ϕ=，则1()tt t e ϕ-'=， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'>，当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'<，故()t ϕ的最大值是1e ，而()0t ϕ>，故10()t e ϕ<<，而021x x ->，故002210x x x x e e ---<-<，故00022211()110x xx xx x h x lnx e e e ---'=++->->，即()h x 单调递增，故当01x x <<时，0()()0h x h x <=， 即01011122x x x x x lnx e --<，故1202x x x +>．16．（2021•湖北模拟）已知函数2()x ax b f x e +=在2x =时取到极大值24e ． （1）求实数a 、b 的值；（2）用{min m ，)n 表示m ，n 中的最小值，设函数(){()g x min f x =，1}(0)x x x->，若函数2()()h x g x tx =-为增函数，求实数t 的取值范围． 【解答】解：（1）2222()2()()x x x xax e e ax b ax ax bf x e e ⋅-+-+-'==， ()f x 在2x =时取得极大值24e， ∴2244(2)(2)440a b f e e f a a b +⎧==⎪⎨⎪'=-+-=⎩， 解得1a =，0b =．（2）设()()()()222111,0,1,0x x x x x F x f x x x x F x x x e x e x -⎛⎫=--=-+>'=--> ⎪⎝⎭则， 当2x 时，()0F x '<恒成立． ()()()22222111102,2[]1,11102x x x xx x F x e x x x +-<<-='--<--=-<当时从而， ()0F x '∴<在(0,)+∞上恒成立，故()y F x =在(0,)+∞上单调递减． ()()()()()[]214310,20,1201,22F F F F y F x e e =>=-<⋅<⋅=所以又曲线在上连续不间断， 故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0F x =，∴当0(0,)x x ∈时，()0F x >，当0(x x ∈，)+∞时，()0F x <．∴0201,0,1()(),,.x x x x x g x min f x x x x x x e ⎧-<⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪>⎪⎩，∴202201,0(),x x tx x x xh x x tx x xe ⎧--<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，故020112,0,()(2)2,.x tx x x x h x x x tx x x e ⎧+-<⎪⎪'=⎨-⎪->⎪⎩；由于函数2()()h x g x tx =-为增函数，且曲线()y h x =在(0,)+∞上连续不间断， ()0h x '∴在0(0,)x 和0(x ，)+∞上恒成立．①0x x >时，(2)20x x x tx e --在0(x ，)+∞上恒成立，即22xxt e -在0(x ，)+∞上恒成立， 令2()xxu x e -=，0(x x ∈，)+∞， 则3()xx u x e -'=， 当03x x <<时，()0u x '<，()u x 单调递减，当3x >时，()0u x '>，()u x 单调递增， 所以()min u x u =（3）31e=-， 故312t e=-， 即312t e-， ②当()()()00210,12,0,00,x x h x tx t h x x x <'=+-'时当时在上恒成立． 综合①、②知，t 的范围(-∞，31]2e-． 17．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知函数1()x f x e alnx -=+．(e 为自然对数的底数） （1）当0a =时，设()()g x f x x =-，求函数()g x 在13[,]22上的最值；（2）当1x 时，证明：2()(1)2f x x x λ+-+，其中{2min a λ=+，5}({min a ，}b 表示a ，b 中较小的数．)【解答】解：（1）当0a =时，1()x g x e x -=-，13[,]22x ∈，所以1()1x g x e -'=-，令()0g x '=，得1x =，当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间1(,1)2上单调递减，在区间3(1,)2上单调递增，所以()g x 在13[,]22上的最小值为g （1）0=．因为1211()22g e -=-，1233()22g e =-，所以112213()()1022g g e e --=-+=<=<， 所以13()()22g g <，故()g x 在13[,]22上的最大值为1233()22g e =-．综上，函数()g x 在13[,]22上的最小值为0，最大值为1232e -．（2）①当25a +，即3a 时，2a λ=+，因为2()(1)2f x x x λ+-+，所以12(2)0x e alnx x a x a -++-++， 设12()(2)x k x e alnx x a x a -=++-++，则1()2(2)x ak x e x a x-'=++-+． 令1()2(2)x a x ex a xϕ-=++-+，则2121222()2x x a x e x a x e x x ϕ--+-'=-+=， 因为1x ，所以212212(2)3x x x e x x e --+=+，因为3a ，所以()0x ϕ'，当且仅当1x =且3a =时，等号成立， 所以()k x '在[1，)+∞上单调递增．由于k '（1）1=，所以()0k x '>，即()k x 在[1，)+∞上单调递增， 又因为k （1）0=，所以()0k x ，即原不等式成立． ②当25a +>，即3a >时，5λ=．因为2()(1)2f x x x λ+-+，所以12530x e alnx x x -++-+， 由（1）知，1x e x -，因为1x ，3a >，所以12253343x e alnx x x lnx x x -++-+>+-+．设2()343h x lnx x x =+-+，1x ，则2243()0x x h x x-+'=，所以()h x 在[1，)+∞上单调递增，因为h （1）0=，所以()0h x ，即原不等式成立．综上所述，当1x 时，2()(1)2f x x x λ+-+，{2min a λ=+，5}． 18．（2020•厦门一模）已知函数()1f x alnx x =+-，3()1g x x =-． （1）若直线:1l y x =-+与曲线()y f x =相切，求实数a 的值；（2）用{min m ，}m 表示m ，n 中的最小值，设函数(){()h x min f x =，()}(0)g x x >，讨论()h x 零点的个数．【解答】解：（1）依题意，()1af x x'=+，则曲线()y f x =在点0(P x ，0)y 处的切线方程为000(1)()ay y x x x -=+-， 又0001y alnx x =+-，代入整理得00(1)1ay x alnx a x =++--，此直线与l 重合，得001111ax alnx a ⎧+=-⎪⎨⎪--=⎩，消去0x 得： ()10222a a aln ---=①，令()1x xlnx x Φ=-+-，则()x lnx Φ'=-，当01x <<时()x Φ单调递增，当1x >时，()x Φ单调递减，()max x ∴Φ=Φ（1）0=．由①知()02a Φ-=，12a ∴=-，解得2a =-；（2）①'当01x <<时，3()10g x x =-<，所以()()0h x g x <，无零点；②'当1x =时，f （1）g =（1）0=，从而h （1）0=，故1x =为()h x 的一个零点； ③'当1x >时，()0g x >，则()h x 的零点即为()f x 的零点． 又()1a x af x x x+'=+=， 所以①''当1a -时，()0f x '>，此时()f x 在(1,)+∞上单调递增，()f x f >（1）0=，此时()h x 无零点；②''当1a <-时，令()0f x '=，解得：x a =-，易知()f x 在(1,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增，又f （1）0=，()f x ∴在(1,)a -上无零点，另外，由（1）可知1()xΦΦ（1）0=恒成立，即1lnx x -对0x >恒成立，则2(4)2(2)2(21)ln a ln a a =---，所以2222(4)(4)412(21)41210f a aln a a a a a a =+-⨯--+-=-->，故存在20(,4)x a a ∈-， 进而存在0(,)x a ∈-+∞，使得0()0f x =，即0()0h x =，此时()h x 在(1,)+∞上存在唯一零点； 综上可得：当1a -时，()h x 有1个零点；当1a <-时，()h x 有2个零点．19．（2020•南充模拟）已知函数()()f x x a lnx =+，2()x x g x e=，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与直线230x y --=平行．（1）求证：方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的实根；（2）设函数(){()m x min f x =，()}({g x min p ，}q 表示p ，q 中的较小者），求()m x 的最大值．【解答】解：（1）由题意知，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为2， 所以f '（1）2=，又()1af x lnx x'=++，所以1a =． 设2()()()(1)x x h x f x g x x lnx e=-=+-，当(0x ∈，1]时，()0h x <，又h （2）2244328110ln ln e e =-=->-=， 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =． 因为1(2)()1xx x h x lnx x e -'=+++， 当(1,2)x ∈时，20(2)(1)11x x x <-=--+<， x e e >，所以110x e e <<，所以(2)1xx x e e-<， 所以1()10h x e'>->，所以当(1,2)x ∈时，()h x 单调递增，所以方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的实根．（2）由（1）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的实根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，又当0(x x ∈，2)时，()0h x '>，当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>， 所以当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>， 所以当0(x x ∈，)+∞时，()()f x g x >， 所以020(1),0(),x x lnx x x m x x x x e+<⎧⎪=⎨>⎪⎩，当0(0,)x x ∈时，若(0x ∈，1]，则()0m x ； 若(1x ∈，0]x ，由1()10m x lnx x'=++>，可知00()()m x m x <， 故当(0x ∈，0]x 时，0()()m x m x ．。
第15讲 一次函数的应用
第15讲 一次函数的应用例1、某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。
（1）试写出总费用y （元）与销售套数x （套）之间的函数关系式。
（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本。
例2、“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：（1）若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商家可以购买彩电和洗衣机各多少台？（2）若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润．（利润＝售价－进价）例3、辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三种苹果42吨到外地销售。
按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。
（1）设用x 辆车装运A 种苹果，用y 辆车装运B 种苹果，根据下表提供的信息求y 与x 之间的函数关系式，并求x 的取值范围；（2）设此次外销活动的利润为W （百元），求W 与x 的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。
例4、某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%。
经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数y kx b =+，且x =70时，y =50，x =80时，y =40。
（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？例5、某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x （分钟）与收费y （元）之间的函数关系如图所示。
第15讲二次函数的零点分布
第15讲 二次函数的零点分布教学目标 1、掌握二次函数零点分布的图像方法。
2、了解用韦达定理和求根公式处理零点问题的方法。
3、尝试掌握二次函数在闭（开）区间上的零点分布的模型。
教学重点：用图像方法，分析首项系数，判别式，区间端点取值，对称轴（不产生讨论节点）讨论二次函数零点个数。
教学难点：二次函数在闭（开）区间上有一个零点，两个零点和有零点的等价条件。
【知识回顾】1． 函数()y f x =的零点即f (x )=0的解，或函数图像与x 轴交点的横坐标。
例如：函数265y x x =-+的零点为：15x x ==或2． 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的零点个数与方程20ax bx c ++=根的关系： 若0∆>，则方程20ax bx c ++=有 2 根，函数2y ax bx c =++有 2 个零点 若0∆=，则方程20ax bx c ++=有 1 根，函数2y ax bx c =++有 1 个零点 若0∆<，则方程20ax bx c ++=有 0 根，函数2y ax bx c =++有 0 个零点【典型例题】例1：函数29y x mx =++有两个零点均大于2，求实数m 的范围 解法一（图像法）：013-2622(2)0b m af ∆≥⎧⎪⎪>⇒-<≤-⎨⎪>⎪⎩ 解法二（韦达定理）：1212013(2)(2)062(2)(2)0x x m x x ∆≥⎧⎪-->⇒-<≤-⎨⎪-+->⎩变式1：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围 0(2)0256(4)0402f m f b a∆≥⎧⎪>⎪⎪⇒-<≤->⎨⎪⎪->⎪⎩变式2：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）两侧，求实数m 的范围 【答案】(2)025(4)04f m f >⎧⇒≥-⎨>⎩ 变式3：函数29y x mx =++有且仅有一个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围 【答案】①06242m b a ∆=⎧⎪⇒=-⎨<-<⎪⎩；②1325(2)(4)024f f m <⇒-<<-变式4：函数29y x mx =++的两个零点，一个在（2，3）内，一个在（4，5）内，求实数m 的范围 【答案】(2)0(3)0(4)0(5)0f f f f >⎧⎪<⎪⇒∅⎨<⎪⎪>⎩变式5：函数29y x mx =++有两个零点一个比2大，一个比2小，求实数m 的范围 【答案】13(2)02f m <⇒<-例2：是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程()()223310k x k +-=-－有两个实数根，且两根都在[0,2]之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.例3：已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．【巩固练习】1、若关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.2、若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
第15讲 max函数与min函数问题(解析版)
第15讲 max函数与min函数问题(解析版)第15讲 max函数与min函数问题(解析版)在编程领域中，max函数和min函数是非常常用的函数，用于求取一组数据中的最大值和最小值。
本文将对max函数和min函数的用法进行解析，并给出一些实际应用案例。
一、max函数的用法max函数用于返回一组数据中的最大值。
其基本用法如下：max(x1, x2, x3, ..., xn)其中，x1, x2, x3, ..., xn是要比较的数据。
max函数将从这些数据中找到最大值，并返回该值。
下面是一个示例：numbers = [1, 3, 5, 2, 4]max_num = max(numbers)print(max_num)输出结果为：5二、min函数的用法min函数用于返回一组数据中的最小值。
其基本用法如下：min(x1, x2, x3, ..., xn)其中，x1, x2, x3, ..., xn是要比较的数据。
min函数将从这些数据中找到最小值，并返回该值。
下面是一个示例：numbers = [1, 3, 5, 2, 4]min_num = min(numbers)print(min_num)输出结果为：1三、max函数和min函数的实际应用max函数和min函数在实际应用中有广泛的用途，以下是几个示例：1. 求取列表中的最大值和最小值假设有一个列表存储了某地区一周的气温数据，我们需要找出最高温度和最低温度。
temperatures = [28, 30, 27, 26, 29, 31, 25]highest_temp = max(temperatures)lowest_temp = min(temperatures)print("最高温度：", highest_temp)print("最低温度：", lowest_temp)2. 比较两个数的大小如果需要判断两个数中哪个更大或更小，可以使用max函数和min 函数进行比较。
第15讲三角函数的图像和性质
第15讲 三角函数的图像和性质项目一 知识概要1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质项目二 例题精讲任务一 求三角函数的定义域和最值问题【例1】 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为______________________．分析 求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识．答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0x ≠π2＋k π，k ∈Z，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．评注 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 任务二 三角函数的单调性和周期性问题 【例2】 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 分析 (1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求单调性及周期． 解析 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.评注 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定． 任务三 三角函数的奇偶性和对称性问题【例3】 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图像关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.评注 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．任务三 三角函数的单调性和对称性问题【例4】 (1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2](2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3(3)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4分析 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像相邻两条对称轴之间的距离是T2；(4)可结合图像分析函数的单调性，周期性确定ω，φ.解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)利用三角函数的对称轴求得周期． 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.答案 (1)A (2)C (3)A评注 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像与其对称轴的交点是最值点.项目三 感悟提高1． 讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 3． 对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4． 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．5． 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时情况．项目四 冲刺必练A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 下列函数中，周期为π且在[0，π2]上是减函数的是( )A ．y ＝sin(x ＋π4)B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x答案 D解析 对于函数y ＝cos 2x ，T ＝π，当x ∈[0，π2]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数．2． 函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 答案 B解析 将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解． ∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．3． 已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．4． 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[0,1]B ．[12，1]C ．[－1,2]D ．[0,2]答案 A解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5． 将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13B ．1C.53D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.6．若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( ) A ．(－π8，0)B ．(0,0)C ．(－18，0)D ．(18，0)答案 C解析 由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin(2πx ＋π4)．将x ＝－18代入得函数值为0.二、填空题7． 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．8． 函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的最大值为________．答案 43π解析 由正弦函数的图像知(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π3.9． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图像过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.10．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图像关于点(π4，0)对称；②图像关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，由图像及性质可知②④正确．三、解答题11． 设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 12．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)． 当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3， 因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为 g (x )max ＝3cos π3＝32. 方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为 y ＝f (x )在[23，2]上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)， 当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为 g (x )max ＝3sin π6＝32.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)1． 函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是 ( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z ) C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z ) D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z ) 答案 A解析 |sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )． 2． 设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2. 3． 已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数； ④f (x )的图像关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题是________．答案 ③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时， f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题； 因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12， 故f (x )的图像关于直线x ＝34π对称，故④是真命题． 4． 已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1. 当x ∈[π4，π2]时，则f (x )的最大值和最小值分别为________；f (x )的单调区间为________．答案 3，2；[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z 解析 (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2，于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3， ∴f (x )的最大值是3，最小值是2.(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ， ∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ， 同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 得f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 5．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2. 6． 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
第15讲 正比例函数(基础课程讲义例题练习含答案)
正比例函数（基础）【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、k xy=（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义1、已知1(2)m y m x-=+，当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数为1．【答案与解析】解：由题意得，2011m m +≠⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 m ＝2∴当m ＝2时，y 是x 的一次函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1. 举一反三：【变式】如果函数23(2)m y m x -=+是正比例函数，那么m 的值是________．【答案】解：由定义得220,31,m m +≠⎧⎨-=⎩解得 2.2.m m ≠-⎧⎨=±⎩ ∴ m ＝2．类型二、正比函数的图象和性质2、（秋•灵武市校级期中）在同一直角坐标系上画出函数y=2x ，y=﹣x ，y=﹣0.6x 的图象．【思路点拨】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可．【答案与解析】 解：列表：描点，连线：【总结升华】本题考查的是用描点法画函数的图象，具体步骤是列表、描点、连线. 3、（春•马山县期末）已知正比例函数y=kx （k ≠0）的图象经过点（﹣6，2），那么函数值y 随自变量x 的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【思路点拨】根据正比例函数的性质来判断. 【答案】减小；【解析】解：把点（﹣6，2）代入y=kx ，得到：2=﹣6k ，解得k=﹣＜0，则函数值y 随自变量x 的值的增大而减小.【总结升华】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是确定函数中k 的值，当k ＞0时，随着y 的增大x 也增大；当k ＜0时，随着y 的增大x 反而减小. 举一反三： 【变式】（•伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=﹣5x 的说法中，正确的是（ ） A ．当x=1时，y=5B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限 【答案】B ；解：A 、当x=1时，y=﹣5，错误；B 、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；C 、根据k ＜0，得图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小，错误；D 、图象经过二四象限，错误； 故选B ．4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =、2y k x =、3y k x =、4y k x = 的图象分别为1l 、2l 、3l 、4l ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1k ＜2k ＜3k ＜4kB ．2k ＜1k ＜4k ＜3kC ．1k ＜2k ＜4k ＜3kD ．2k ＜1k ＜3k ＜4k【答案】B ；【解析】首先根据直线经过的象限，知：2k ＜0，1k ＜0，4k ＞0，3k ＞0，再根据直线越陡，|k |越大，知：2||k ＞|1k |，|4k |＜|3k |．则2k ＜1k ＜4k ＜3k【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小. 类型三、正比函数应用5、如图所示，射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程s 与时间t 的函数关系，则他们行进的速度关系是（ ）．A ．甲比乙快B ．乙比甲快C ．甲、乙同速D ．不一定【思路点拨】观察图象，在t 相同的情况下，有s s >乙甲，故易判断甲乙的速度大小． 【答案】A ；【解析】由s vt =知，sv t=，观察图象，在t 相同的情况下，有s s >乙甲，故有s s v v t t=>=甲乙乙甲． 【总结升华】此问题中，l 甲、l 乙对应的解析式y kx =中，k 的绝对值越大，速度越快． 举一反三：【变式】如图，OA ，BA 分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ） A.2.5米 B.2米 C.1.5米 D.1米【答案】C ；提示：从图中可以看出甲用了8秒钟跑了64米，速度是8米/秒，乙用了8秒钟跑了52米，速度是132米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5米.【巩固练习】 一.选择题1. 直线3y x =-过点（0，0）和点（ ）A.（－1，－3）B.（1，3）C.（1，－3）D.（3，－1） 2. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A ．2y x = B ．12y x=C ．2y x =D ．21y x =-3．（春•澧县期末）在下列各图象中，表示函数y=﹣kx （k ＜0）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 如图所示，直线y kx =的函数解析式是（ ）．A ．2y x =B ．3y x =-C ．23y x =-D ．32y x =- 5.（•江西模拟）关于函数y=2x ，下列结论中正确的是（ ）A ．函数图象都经过点（2，1）B ．函数图象都经过第二、四象限C ．y 随x 的增大而增大D ．不论x 取何值，总有y ＞06．点A （–5，1y ）和B （–2，2y ）都在直线12y x =-上，则1y 与2y 的关系是（ ）A. 1y ≤2yB. 1y ＝2yC. 1y ＜2yD. 1y ＞2y二.填空题7．若直线y kx =经过点A （－4，3），则k ＝______．如果这条直线上点A 的横坐标A x ＝4，那么它的纵坐标A y ＝______．8. 已知三角形底边长为4，高为x ，三角形的面积为y ，则y 与x 的函数关系式为_______________.9. y －2与x ＋1成正比例，比例系数为－2，将y 表示成x 的函数为：___________. 10.（春•建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1﹣m ）x |m ﹣2|，且y 随x 的增大而减小，则m 的值是 ．11. 若函数()()414y m x m =-+-是正比例函数，那么m ＝______,图象经过第_______象限.12. （春•正定县期末）若函数y=（2m +6）x +（1﹣m ）是正比例函数，则m 的值是 ． 三.解答题13.蜡烛点燃后缩短长度y （cm ）与燃烧时间x （分钟）之间的关系为()0y kx k =≠，已知长为21cm 的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛缩短了3.6cm ，求： （1）y 与x 之间的函数解析式； （2）此蜡烛几分钟燃烧完.14.（春•衡阳县期中）已知y 是x 的正比例函数，且函数图象经过点A （﹣3，6）． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y ； （3）当x 取何值时，y=．15.若正比例函数的图像经过点A （－5，3）， （1）求k 的值；（2）判断y 随x 的增大如何变化；（3）如果这条直线上点B 的横坐标B x ＝4，那么它的纵坐标的值是多少？【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】正比例函数过原点和点(1，k ). 2. 【答案】A ； 3. 【答案】C ；【解析】解：∵k＜0，∴﹣k ＞0，∴函数y=﹣kx （k ＜0）的值随自变量x 的增大而增大，且函数为正比例函数，故选：C ．4. 【答案】C ；【解析】由图知，y kx =的图象过点(－3，2)，则2＝－3k ，解得23k =-，故选C ． 5. 【答案】C ；【解析】A 、函数图象经过点（2，4），错误；B 、函数图象经过第一、三象限，错误； C 、y 随x 的增大而增大，正确；D 、当x ＞0时，才有y ＞0，错误；故选C ． 6. 【答案】D ； 【解析】k ＜0，y 随着x 的增大而减小. 二.填空题 7. 【答案】34-；－3； 【解析】将点A 的坐标代入y kx =，求k . 8. 【答案】2y x =； 【解析】由题意1422y x x =⨯=. 9. 【答案】2y x =-；【解析】由题意可得：()221y x -=-+，化简得：2y x =-． 10.【答案】3；【解析】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得m=3.11.【答案】4，一、三【解析】函数()()414y m x m =-+-是正比例函数，可知m －4＝0，可以得出m 的值，即可得出函数关系式，比例系数为15＞0，故图象过第一、三象限． 12.【答案】1；【解析】∵函数y=（2m +6）x +（1﹣m ）是正比例函数，∴，解得m=1．三.解答题 13.【解析】解：（1）由题意，3.6＝6k ，解出k ＝0.6 所以y ＝0.6x )350(≤≤x（2）21＝0.6x ，解得x ＝35，所以此蜡烛35分钟燃烧. 14.【解析】解：（1）设正比例函数解析式为y=kx ，∵图象经过点（﹣3，6）， ∴﹣3k=6， 解得k=﹣2，所以，此函数的关系式是y=﹣2x ； （2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12； （3）把y=代入解析式可得：x=﹣． 15.【解析】解：(1)∵直线y kx =经过点A （－5，3）∴3＝－5k∴k ＝53- ∴直线的解析式为35y x =- （2）∵k ＝53-＜0,∴y 随x 的增大而减小。
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Scopes of Identifiers
局部变量【重点】：函数的形参、函数体内任 何{ }内定义的变量
可以在复合语句内部定义局部变量（定义应该在 复合语句内其它语句之前），其作用域是该复
合语句
当局部变量所在作用域内的程序段执行完毕时，该 范围内的局部变量被释放（不存在）
在局部变量所在作用域内调用另一函数时，该范围 内的局部变量仍存在，但在被调用函数中不可访问 （存在但不可见！）
Scopes of Identifiers
Storage Classes of Variables
——变量存储类（存在性、生存期）【p164:7.5.2】
【重点】auto变量、static局部变量、全局变量 【难点】存储类与作用域之间的区别与作用以及关系、static局部变
量的特性
Internal & External Functions
全局变量
f{lvfm {olooa接输aiatdi收入ntai(a数的nn)nap组数aluyl名据tzy(eiz和，ne(it接值数存(niant收和组储[ta数最元到]s[, c组小素共]in,o名值个享it[nn]和 分数 数t,)n;数 别i， 组n)/*组 存t接 元/*数n元 放收 素a)所组素 到为键 中;可a/有输*个 全一盘v访成函g入数 局维问s绩数函c， 变数o分数求 量组析(最，L函e大nc数为tu元r*e素/12个示数例函-*数1/函)返数*回/原值型
main()
int f1(int a)
{
/* a==2 */
int a=1, b=1, c=0;
{
a=a+f1(a+b);
int b=1;
/* a==1+3==4 */
b=b+a;
/* b==1 */
/* a==2 */
…
/* b==1+2==3*/
} 此时,f1中定义的 a,b被释放而不存在
return b; }
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##idnecfliunSdeeNc<1so0tdp/i*oe.成hs>绩个o数f*/Idemmnainxtssiccfooiers
int maxsco, minsco; /* 最高成绩和最低成绩 */
foarv(gi=sc1o; i=<na;nia+l+y)ze(score, N); /*调用函数区进行成绩分析*/
{
pprriinnttff((a""v\\nng最平=均高a成成vg绩绩+::%%a[fd"i,]s,最c;aov低rge成s[cN绩o-:)1%;] d",
maxsco,am[Nin-1sc] o); analyze改变了全局
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Storage Classes of Variables
程序运行期间对内存区域的划分【pp306: 11.4.1】
程
程序代码区
序
结 束
静态存储区
时
释 放
文字常量存储区
动释 态放
动态存储区
存放函数体的二进制 代码
存放全局变量和静态 变量
存放字符串常量
inint ti;s/c*元omr素eax[序Nsc号]o; *和/*/ m成i绩ns数co组中s，c*o/返re回[0平]均值
a[0]
flfoloaat taavgvg; s/*c平o;均/*值平*均/ 成绩 */
共
aivngp=umt(asxcsocroe=, mN)i;n/s*c输o入=a成[0绩]; */*/ 最初第0个元享素是最大/最小/平均值*/
Pre-processors
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Storage Classes of Variables
核心概念提示
变量作用域：变量在什么范围内可以访 问？
决定变量可使用的范围 取决于变量定义的位置
Pre-processors
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Scopes of Identifiers
以下关于变量的所有论述都适用于数组
局部变量（数组）与全局变量（数组）【重 点】
Scopes of Identifiers
变量遮挡示例
输出：
#include "stdio.h"
3
void f(void);
2
int a=1;
1
main()
{
int a=2;
{
void f(void)
int a=3;
{
printf("\n%d", a);
printf("\n%d", a);
}
}
printf("\n%d", a);
}
if (maxsco < a[i]m) amina函xs数co= a[变i] 量; 的值！avg
else if (minsco > 可a[访i])问minsco = a[i] ;
} avg = avg / n ;
内存
analyze函 数可访问
return avg ; }
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存放函数的参数值， 局部变量的值;用户 动态分配的内存
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Storage Classes of Variables
变量的存储类 动态存储类
① 自动变量【重点】：存储在动态存储区 ② 寄存器变量：存储在CPU内部寄存器
（也不在作用域
内），不可见
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Scopes of Identifiers
全局变量【重点】
全局变量定义在所有函数之外，其作用域 为整个源文件——从定义点开始到本源文 件结束
第15讲 函数 (3/3)
【Chap.8,Chap.7】
2019.9
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Lecture 15 Functions (3/3)
Introduction to Functions Function Definitions Function Calls Function Declarations Arrays as Arguments Nested Calls & Recursive Calls
for (…)
Scopes of Id{ entinift iae; rs
int a[10] ;
{
int a; ✓
以下关于变量的所有论述都适…用于数组
}
变量名的唯一性}
一个块结构中可包含另一块结构（{}内可以嵌套包 含另一{}），不同块层次中定义的变量，变量名可 以相同而互不影响（占不同内存）
变量存储类：变量存储在内存什么区域？
决定变量的生存期限 取决于变量定义的位置与格式
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Storage Classes of Variables
以下关于变量的所有论述都适用于数组
问题：破坏了模块化原则，长期占用 内存，降低函数的通用性——应尽可 能避免（过多）使用
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Scopes of Identifiers
使用全局变量与函数之间共享数组元素（实 参是数组名）的差异
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Scopes of Identifiers
此时,main中定义
两个函数中的的a,b,c仍存在，但
局部变量【重点局】不部同变内量存a单,b元占因用执域行内点，不不在可其见作
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Scopes of Identifiers
示例-1：设计函数analyze求一批成 绩（整数）中的最高成绩和最低成绩 以及平均成绩
思路
① 利用两个全局变量存储最高成绩和最低 成绩
② 函数analyze的形参为数组和元素个数， 以接收成绩，返回值为平均成绩
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Lecture 15 Functions (3/3)
Introduction to Functions